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第27 讲 机械振动、机械波
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 简谐运动................................................................................................................................4
知识点1 简谐运动......................................................................................................................................4
知识点2 简谐运动的特征与图像......................................................................................................5
考向1 简谐运动的定义及特征..................................................................................................................6
考向2 简谐运动的图像..............................................................................................................................8
考向3 弹簧振子........................................................................................................................................10
考点二 单摆......................................................................................................................................15
知识点1 单摆及其周期公式....................................................................................................................15
知识点2 单摆的理解................................................................................................................................16
考向1 单摆................................................................................................................................................17
考向2 等效单摆........................................................................................................................................17
考点三 受迫振动及共振..................................................................................................................21
知识点 受迫振动及共振........................................................................................................................... 21
考向 受迫振动及共振............................................................................................................................... 22
考点四 机械波的形成与描述..........................................................................................................26
知识点1 机械波的形成、传播和分类....................................................................................................26
知识点2 波的图像............................................................................................................................27
知识点3 描述波的物理量........................................................................................................................28
知识点4 波的多解问题............................................................................................................................28
考向1 波的形成和描述............................................................................................................................29
考向2 波的多解问题................................................................................................................................35
考点五 波的反射、折射、干涉、衍射、多普勒效应..................................................................38
知识点 波的反射、折射、干涉、衍射、多普勒效应...........................................................................38
考向1 波的反射、折射............................................................................................................................40
考向2 波的干涉、衍射............................................................................................................................41
考向3 多普勒效应....................................................................................................................................46
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................48
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
简谐振动
选择题
非选择题
\
\
全国甲卷T11,10 分
单摆
选择题
非选择题
四川卷T5,4 分
\
\
受迫振动
及共振
选择题
非选择题
\
\
\
机械波的形成与
描述
选择题
非选择题
\
全国甲卷T15,6 分
\
波的反射、折
射、干涉、衍
射、多普勒效应
选择题
非选择题
四川卷T2,4 分
\
\
考情分析：
1．简谐振动、单摆机械波是四川物理的重要知识点，从近几年考情来看，命题注重对基本概念、规律的
理解以及实验能力的考查，常与实际生活或其他物理知识相结合。
2．从命题思路上看，试题情景为
未来可能会更多地将简谐振动与单摆知识与其他物理知识综合考查，如与能量守恒定律结合，分析单摆摆
动过程中的能量转化；或与运动学知识结合，求解摆球的速度、加速度等。
复习目标：
目标一：理解简谐振动的核心概念，包括回复力、位移、振幅、周期、频率等，明确各物理量的定义、物
理意义及相互关系。
目标二：熟练掌握简谐振动的运动学、动力学规律及单摆周期公式，理解公式推导过程和适用条件。
目标三：熟练掌握机械波的相关知识。
2
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考点一 简谐运动
知识点1 简谐运动
1.简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从
正弦函数
的规律，即它的振动图像（x-t 图像）是一条
正弦曲线
，
这样的振动是一种简谐运动。
2.平衡位置
振动物体
原来静止
时的位置。
3.回复力
（1）定义：使振动物体在平衡位置附近做
往复运动
的力。
（2）方向：总是指向
平衡位置
。
（3）来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
4.描述简谐运动的物理量
物理
量
定义
意义
位移
由
平衡位置
指向物体
所在位置
的有向
线段
描述物体振动中某时刻的位置相对于
平衡位置
的位移
振幅振动物体离开平衡位置的
最大距离
描述振动的
强弱
和能量的
大小
周期
做简谐运动的物体完成一次
全振动
所需要
的时间
描述振动的
快慢
，两者关系：T＝ 1
f
频率物体完成全振动的次数与
所用时间
之比
相位
ωt＋φ0
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
5.表达式
（1）动力学表达式：F＝
－
kx
，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
（2）运动学表达式：x＝
A sin
（
ωt
＋
φ 0）
，其中A 表示振幅，ω＝2π
T ＝2πf 表示简谐运动的快慢，ωt＋
φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作
初相
位。
知识点2 简谐运动的特征与图像
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简谐运动的五个特征
位移特
征
x＝Asin（ωt＋φ）
受力特
征
回复力：F＝－kx；F（或a）的大小与x 的大小成正比，方向相反
能量特
征
系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
对称性
特征
质点经过关于平衡位置O 对称的两点时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移
大小相等；由对称点到平衡位置用时相等
周期性
特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动
能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T
2
简谐运动图像的理解和应用
1.图像信息
（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ0（如图所示）。
（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大
小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
（4）某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，加速度和回复力的方向相同。
（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性（如图所示）
（1）相隔Δt＝(n＋1
2)T（n＝0，1，2，…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大
反向（或都为零），速度也等大反向（或都为零）。
（2）相隔Δt＝nT（n＝1，2，3，…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
考向1 简谐运动的定义及特征
例1 弹簧振子做简谐运动的周期公式为T =2π√
m
k ，其中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数。小鸟落
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在树枝上所引起树枝的振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A 和B 先、后
分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，则以下说法中正确的是（ ）
A．小鸟A 所引起的振动的k 值较小，小鸟A 的质量小于小鸟B 的质量
B．小鸟A 所引起的振动的k 值较小，小鸟A 的质量大于小鸟B 的质量
C．小鸟A 所引起的振动的k 值较大，小鸟A 的质量小于小鸟B 的质量
D．小鸟A 所引起的振动的k 值较大，小鸟A 的质量大于小鸟B 的质量
【答案】A
【详解】两小鸟引起振动的周期相同，但枝头处的k 相对较小，根据简谐运动的周期公式T =2π√
m
k
可
知，枝头处小鸟的质量较小。
故选A。
【变式训练1】钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图所示，当漂静止时露出水面3 目，鱼儿咬钩至1
目时迅速松开，该时刻可认为漂的速度为零，随后漂在竖直方向上做简谐运动。当漂露出水面5 目时（
）
A．漂的浮力小于重力
B．漂的速度不为零
C．漂的动能最大
D．漂的加速度为零
【答案】A
【详解】由图可知在最低点时漂露出水面1 目，根据简谐运动的对称性可知，漂露出水面5 目时，其速度
为零，动能为零，加速度竖直向下，此时浮力小于重力。
故选A。
【变式训练2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短
的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．小球加速度的最大值，不一定大于重力加速度g
B．球所受弹力的最大值，不一定大于其重力的2 倍
C．小球的动能逐渐减小
D．小球、弹簧和地球组成的系统，势能先减少后增加
【答案】D
【详解】AB．小球从接触弹簧开始的运动为简谐振动的一部分，此时的加速度为重力加速度g，根据简谐
振动的对称性，运动到关于平衡位置对称点，速度大小不变，加速度大小为g，但小球还在向下运动，因
此到达最低点时加速度一定大于g，根据牛顿第二定律定性分析有Fmax−mg>mg
可得Fmax>2mg可知此时弹簧的弹力大于2 倍重力，AB 错误；
C．开始一段时间内，弹簧的弹力小于重力，小球做加速运动，当弹簧的弹力等于重力时速度达到最大
值，接下来弹簧的弹力大于重力，小球做减速运动，因此从接触弹簧开始，小球的动能先增大后减小，C
错误；
D．由于整个过程只有弹簧的弹力和重力做功，整个系统机械能守恒，由于小球的动能先增加后减小，因
此系统势能先减小后增加，D 正确。
故选D。
【变式训练3】图甲所示“反向蹦极”区别于传统蹦极，让人们在欢笑与惊叹中体验到了别样的刺激。情
境简化为图乙所示，弹性轻绳的上端固定在O点，下端固定在体验者的身上，多名工作人员将人竖直下拉
并与固定在地面上的力传感器相连，人静止时传感器示数为1200 N。打开扣环，人从a点像火箭一样被
“竖直发射”，经速度最大位置b上升到最高点c。已知ab=3 m，人（含装备）总质量m=80kg（可视为
质点）。忽略空气阻力，重力加速度g=10 m /s
2。下列说法正确的是（ ）
A．打开扣环瞬间，人的加速度大小为5m/s2
B．体验者在a、c间做简谐运动
C．b、c两点间的距离为3.25 m
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D．人在c点的加速度大小也为15 m /s
2
【答案】C
【详解】A．打开扣环瞬间，由kx −mg=ma
且弹力不能突变，则kx−mg=1200 N
则得a=15 m/s
2
故A 错误；
B．打开卡扣时，体验者所受回复力（即体验者所受重力与弹性绳弹力的合力）大小等于传感器的示数，
即1200 N，因1200 N >mg=800 N
所以体验者到达c 点前弹性绳已经松弛，即体验者在a、c间的运动不是简谐运动，故B 错误；
C．设弹性绳的劲度系数为k，体验者处于a 点时弹性绳的伸长量为x，则有kx−mg=1200 N
体验者经过b 点时有k (x−ab)=mg
两式联立得k = 400 N/m，x =5 m
体验者由a 点运动到c 点过程中，由动能定理得kx
2 ⋅x−mg(ab+bc)=0
求得bc =3.25 m
故C 正确；
D．人在c点时只受重力，加速度大小为g，即10 m/s
2，故D 错误。
故选C。
考向2 简谐运动的图像
例1（2025·四川绵阳·高三月考）某弹簧振子沿x 轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t=1s 时，振子的速度为零
B．t=2s 时，振子的加速度最大
C．t=3s 时，振子的加速度为零
D．t=4s 时，振子的速度为零
【答案】A
【详解】A．t=1s 时，振子到达正的最大位移处，速度为零，故A 正确；
B．t=2s 时，振子处于平衡位置，其加速度为零，故B 错误；
C．t=3s 时，振子处于负的最大位移处，加速度最大，故C 错误；
D．t=4s 时，振子处于平衡位置，速度最大，故D 错误。
故选A。
【变式训练1】如图所示为弹簧振子在t =0到t = 4s内的振动图像，下列判断正确的是（ ）
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A．在t =2s时振子的振动方向向上
B．在t =0到t =1s时间内振子的速度减小，回复力增大
C．在t =1s到t =2s时间内振子的加速度和速度都增大
D．在t =1s到t =3s时间内振子的位移为零
【答案】B
【详解】A．由振动图像可知，t =2s时振子的振动方向向下，故A 错误；
B．在t =0到t =1s时间内振子的位移增大，速度减小，回复力增大，故B 正确；
C．在t =1s到t =2s时间内振子的位移减小，加速度减小，速度增大，故C 错误；
D．在t =1s到t =3s时间内振子从正向最大位移处运动到负向最大位移处，位移不为零，故D 错误。
故选B。
【变式训练2】（2025·四川宜宾·高三月考）A、B 两物体均在水平面上做简谐运动。如图，实线为物体A
的振动图线，虚线为物体B 的振动图线。则（ ）
A．物体A、B 的振动均为无阻尼振动但不具有相同的振动周期
B．每经历一个周期，物体A 的路程比物体B 的路程多10cm
C．0.4s 时，物体A 比物体B 具有更大的动能
D．物体B 的振动方程为x =−5sin 5 π
4 t(cm)
【答案】D
【详解】A．根据图像可知，物体A、B 的振动，振幅均未衰减，因此物体A、B 的振动均为无阻尼振动，
而通过图像可知两物体的振动周期相同，为
T A =T B=1.6 s
故A 错误；
B．一个周期内，A、B 两物体的路程分别为
sA = 4 A A = 40cm，sB= 4 AB=20cm
路程差为
Δs= s A−sB=20cm
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故B 错误；
C．0.4s 时，物体A、B 均处于振幅最大位置处，速度均为0，因此两者动能相同，都为0，故C 错误；
D．振动方程
x = A sin(ωt +φ0)cm
对B 物体而言，式中
A =5cm，ω= 2π
T = 5
4 π rad/s，φ0= π
可得
x =5sin( 5 π
4 t + π )cm =−5sin 5 π
4 t(cm)
故D 正确。
故选D。
【变式训练3】（多选）（2025·四川绵阳·高三月考）如图所示为一列波长为2m 的简谐横波中某质点的振
动图像，根据该图像可得出（ ）
A．波的周期是0.1s
B．波的振幅是0.2m
C．波的传播速度是10m/s
D．该质点在t=0 时刻位于波峰
【答案】BC
【详解】A．由图可知，波的周期是0.2s，故A 错误；
B．波的振幅是0.2m，故B 正确；
C．波的传播速度为
v = λ
T = 2
0.2 m/s=10 m/s
故C 正确；
D．该质点在t=0 时刻位于平衡位置，故D 错误。
故选BC。
考向3 弹簧振子
例1 如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置，手机A 以O 点为平衡位置，在竖直方向上M、N 两点
之间做简谐运动，手机上加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向下为正方向，得到手机振
动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线如图乙，为余弦曲线。下列说法正确的是（ ）
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A．t=1s 时，弹簧弹力为0
B．t=2s 时，手机处于平衡位置上方
C．t=2s 至t=3s，手机从N 运动到O
D．t=1s 至t=2s，手机的速度和位移方向相反
【答案】C
【详解】A．由图乙可知，t=1s 时，手机的加速度为0，此时手机所受合力为0，弹簧弹力与重力平衡，故
A 错误；
BC．由图乙可知，t=2s 时，手机的加速度为−4 m /s
2，此时加速度方向向上，则手机处于平衡位置下方最
低点N 处；t=3s 时，手机的加速度为0，手机处于平衡位置，则t=2s 至t=3s，手机从N 运动到O，故B 错
误，C 正确；
D．t=1s 至t=2s，手机从O 运动到N，手机的速度和位移方向相同，均向下，故D 错误。
故选C。
例2（2025·四川德阳·三模）质量为m=0.5kg 的重物和劲度系数为k=100N/m 轻弹簧制作的一个振动装置，
如图（a）所示，轻弹簧上端连接在同定的力传感器上。将重物拉离平衡位置，力传感器的示数F 随时间t
变化的图像如图（b）所示。不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．重物做简谐振动的周期为1.0s
B．t=0.6s 时，重物处于最低点
C．0.4s~0.6s，重物的加速度越来越小
D．重物做简谐振动的振幅为5cm
【答案】D
【详解】A．由题可知，重物做简谐振动的周期等于力传感器的示数F 随时间t 变化的周期，为T =0.8s
故A 错误；
B．由图（b）可知，t=0.6s 时，力传感器的示数最小，即合力为向下的最大，此时重物处于最高点，故B
错误；
C．由图（b）可知，t=0.2s 时，力传感器的示数最大，即合力为向上的最大，此时重物处于最低点，则
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0.4s~0.6s，在由平衡位置向上运动，所以重物的加速度越来越大，故C 错误；
D．由图（b）可知，重物在平衡位置时，弹力为F弹=k x1=5 N
解得x1=5cm
重物在最低点时，弹力为F 弹
′ =k x2=10 N
解得x2=10cm
所以，振幅为A = x2−x1=5cm
故D 正确。
故选D。
【变式训练1】（2025·四川南充·高三月考）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B 之间做往复运
动，O 为平衡位置。若从小球经过B 点开始计时，经0.2s 小球第一次经过O、B 两点间的M 点（图中未画
出），再经1s 小球第二次经过M 点，则小球第三次经过M 点的时刻为（ ）
A．1.6s
B．1.4s
C．1.2s
D．1.0s
【答案】A
【详解】小球从平衡位置第一次经过M 点用时0.2s，再经1s 小球第二次经过M 点，故周期为
T =2×0.2s+1s=1.4s
由题意可知小球第一次到第三次通过M 点间隔一个周期，故小球第三次通过M 点的时刻为
t =T +0.2s=1.6s
故选A。
【变式训练2】（多选）（2025·四川雅安·二模）如图所示，光滑的斜面上有一弹簧振子，O 为其平衡位
置，物块在P、Q 两点间做周期为T 的简谐运动。下列说法正确的是（ ）
A．物块动量变化的周期为T
B．弹簧弹性势能变化的周期为T
C．物块在O 点时，弹簧处于原长
D．物块在P、Q 两点加速度相等
【答案】AB
【详解】A．物块作简谐运动时，速度是正弦或余弦函数，故动量变化的周期为 T，故A 正确；
B．物块在P、Q 两点间做周期为T 的简谐运动，由于两点的弹性势能不同，且Q 点弹性势能最大，所以
弹簧弹性势能变化的周期应为T，故B 正确；
C．平衡位置O 的回复力为0，即弹簧弹力与沿斜面方向重力分量等大，弹簧并非原长，故C 错误；
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D．物块在P、Q 两端的位移大小相等、方向相反，所受回复力（加速度）大小相等、方向相反，则加速
度不相等，故D 错误。
故选AB。
【变式训练3】装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示．把玻璃管向下缓慢
按压4cm 后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5s．竖
直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图象如图乙所示，其中A 为振幅．对于玻璃管，下列说法正确
的是（ ）
A．系统受到重力、浮力和回复力的作用
B．位移满足函数式x = 4 sin(4 πt −5
6 π )cm
C．振动频率与按压的深度有关
D．在时间t1~t2内，位移减小，加速度减小，速度减小
【答案】B
【详解】A．玻璃管（包括管内液体）只受到重力和水的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力等于重力
和浮力的合力，故A 错误；
B．振动周期为0.5s，则ω= 2π
T
= 4 π rad/s
由题意可知图像中A=4cm
t=0 时刻x0=−1
2 A = A sin φ0
结合t=0 时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0= 7
6 π
则玻璃管的位移满足函数关系式为x = A sin(ωt +φ0)= 4 sin(4 πt + 7
6 π )cm = 4 sin(4 πt −5
6 π )cm
故B 正确；
C．由于玻璃管做简谐运动，与弹簧振子的振动相似，结合简谐运动的特点可知，其振动周期与振幅无
关，故与按压的深度无关，故C 错误；
D．由题图乙可知，在t1～t2时间内，位移减小，加速度减小，玻璃管向着平衡位置加速运动，所以速度增
大，故D 错误。
故选B。
【变式训练4】（多选）如图所示，质量均为m 的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，
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悬挂于O 点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正
确的是（ ）
A．若将 B、C 间的细线剪断，此后A、B 间弹簧始终处于拉伸状态
B．若将 B、C 间的细线剪断，此后 B 的加速度最大值为2g
C．若将B、C 间的细线剪断，落地前C、D 与轻弹簧组成的系统机械能守恒
D．若将C、D 间的弹簧剪断，此后C 的最大动能为m
2 g
2
4 k
【答案】BCD
【详解】AB．以B、C、D 三个小球为整体，可知初始时A、B 间弹簧弹力为
F1=3mg
若将 B、C 间的细线剪断，剪断瞬间弹簧弹力保持不变，B 的加速度最大，以B 为对象，根据牛顿第二定
律可得
am = F1−mg
m
=2g
B 球将做简谐运动，根据对称性可知，B 球在最高点的加速度为2g，方向竖直向下，则B 球在最高点弹簧
弹力大小为F
′
1=mg，方向竖直向下，弹簧处于压缩状态，此时A 上方的绳子拉力刚好为0，所以A 一直
处于静止状态，B 做简谐运动，A、B 间弹簧不是始终处于拉伸状态，也有处于压缩状态，故A 错误，B
正确；
C．若将B、C 间的细线剪断，落地前C、D 与轻弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，所以系统满足
机械能守恒，故C 正确；
D．若将C、D 间的弹簧剪断，剪断瞬间，以BC 为整体，根据牛顿第二定律可得
a
′
m = F1−2mg
2m
= 1
2 g
设B、C 保持相对静止一起做简谐运动，根据对称性可知，处于最高点时的加速度大小为1
2 g，方向竖直向
下；以C 对象进行受力分析，可知此时绳子对C 的拉力为1
2 mg，则B、C 一直保持相对静止做简谐运动，
当弹簧弹力等于B、C 的总重力时，B、C 的动能最大；最低点时，弹簧的伸长量为
x1= F1
k = 3mg
k
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当处于平衡位置时，弹簧的伸长量为
x2= 2mg
k
根据系统机械能守恒可得
1
2 k x1
2−1
2 k x2
2=2mg( x1−x2)+ 1
2 ×2m vm
2
联立解得C 的最大动能为
Ekm = 1
2 mvm
2 = m
2 g
2
4 k
故D 正确。
故选BCD。
考点二 单摆
知识点1 单摆及其周期公式
1.定义：用不可伸长的细线悬挂小球的装置，细线的
质量
与小球相比可以忽略，球的
直径
与线的
长度相比也可以忽略。（如图所示）
2.做简谐运动的条件：最大摆角θ＜5°。
3.回复力：F＝mg
sin
θ
。
4.周期公式：T＝
2π
√
l
g
。
（1）l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g 为当地重力加速度。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于
摆长
l
和
重力加速度
g
，与振幅和摆球质量
无关
。
知识点2 单摆的理解
1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝－mgsin θ≈－mg
l x＝－kx，负号表示回复力F 与
位移x 的方向相反。
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（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，Fn＝FT－mgcos θ。
（3）两个特殊位置：
①当摆球在最高点时，Fn＝mv
2
l ＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，Fn＝mvmax
2
l
，Fn最大，FT＝mg＋mvmax
2
l
。
2.等效重力加速度的理解
（1）对于不同星球表面：g＝GM
R
2 ，M 与R 分别为星球的质量与半径。
（2）单摆处于超重或失重状态时：g 效＝g±a。
（3）重力场与匀强电场中：g 效＝G效
m 。
点拨
1.类单摆模型：物体的受力及运动符合单摆模型的装置。例如：
（1）如图甲所示，BC
⏜为竖直面内的光滑圆弧，且BC
⏜≪R，当小球在BC
⏜间运动时，其运动为类单摆运动，
等效摆长为R。
（2）如图乙所示，用不可伸长的细线悬挂在光滑斜面上的小球，做小角度摆动时的运动也是类单摆运动，
等效重力加速度为g 效＝gsin θ。
2.类单摆问题的解题方法
（1）确认符合单摆模型的条件，即“类单摆”模型。
（2）寻找等效摆长l 效及等效加速度g 效，最后利用公式T＝2π√
l效
g效
或简谐运动规律分析求解问题。
考向1 单摆
例1 如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低
位置，则下列说法正确的是（ ）
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A．摆球在B点时，动能最大，回复力最大
B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大
D．摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小
【答案】C
【详解】A．单摆近似可以看作简谐运动，在最低点B 处，即平衡位置处时，速度最大，回复力为零，故
A 错误；
B．摆球做圆周运动，摆球由A 点向B 点摆动过程中，细线拉力增大，回复力减小，故B 错误；
C．摆球在A 点和C 点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C 正确；
D．摆球运动过程中，机械能守恒，在最低点B 处，动能最大，重力势能最小，故D 错误。
故选C。
考向2 等效单摆
例1（2025·四川遂宁·高三月考）如图所示，AB 为半径R =2m的一段光滑圆糟，A、B 两点在同一水平高度
上，且AB 弧长20cm。将一小球由A 点释放，则它运动到B 点所用时间为（ ）
A．1
2π√
R
g
B．√
2π R
g
C．π√
R
g
D．2π√
R
g
【答案】C
【详解】A、B 与O 连线与竖直方向的夹角均为
θ = 1
2 ×
´AB
2π R ×360° = 9°
π <5°
所以小球的运动可视为简谐运动，类比单摆的周期公式可知小球由A 运动到B 所用的时间为
t =(2n+1) T
2 =(2n+1)π√
R
g (n=0，1，2，…)
故选C。
【变式训练1】如图甲，小球在光滑球面上的A、B 之间来回运动。t=0 时刻将小球从A 点由静止释放，球
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面对小球的支持力大小F 随时间t 变化的曲线如图乙，若弧长AB 远小于半径，则（ ）
A．小球运动的周期为0.2πs
B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg
D．小球的最大速度约为0.10m/s
【答案】C
【详解】A．小球在一个周期内经过两次最低点，根据图乙可知，小球的运动周期为0.4 π s，故A 错误；
B．小球在光滑球面上做简谐振动，根据周期公式
T =2π√
L
g
式中的L即为光滑球面的半径R，代数数据可得
R = L=0.4 m
故B 错误；
CD．设小球在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为θ，小球到达最低点时
的速度的最大值为v，则在最高点有
mgcosθ = F1
在最低点有
F2−mg=m v
2
R
从最高点到最低点由动能定理有
mgR(1−cosθ)= 1
2 mv
2
其中
F1=0.495 N，F2=0.510 N
联立以上各式解得
m=0.05kg，v = √2
5 m/s
故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练2】如图所示，一个光滑弧形凹槽半径为R，弧长为L（已知R≫L）。现将一质量为m 的小球
从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，下列说法正确
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的是（ ）
A．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力
B．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力
C．小球做简谐运动的周期为2π√
L
g
D．小球运动到凹槽最低点时所受合力为零
【答案】B
【详解】AB．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力，A 错误，B 正确；
C．小球做简谐运动时，弧形凹槽的半径相当于摆长，则其周期为2π√
R
g
，C 错误；
D．小球运动到凹槽最低点时所受合力提供向心力，不为零，D 错误；
故选B。
【变式训练3】如图所示，表面光滑的斜面固定在水平桌面上，将摆线一端固定在斜面上并使其与斜面平
行。现拉开摆球使轻绳刚好绷直，摆球由静止释放后贴着斜面做简谐运动。已知摆线长为L，摆的周期为
T，当地的重力加速度为g，斜面的倾角为θ，下列说法正确的是（ ）
A．摆球在最高点的加速度gsinθ，在平衡位置的加速度为零
B．只增大摆球的质量，摆球运动的周期将增大
C．若增大摆长的同时减小斜面的倾角，摆的周期可能不变
D．通过计算可知摆球的半径为(gT
2sinθ)
4 π
2
−L
【答案】D
【详解】A．斜面上的单摆的回复力由重力的下滑分力的切向分量提供，重力的下滑分力为mgsinθ，下
滑分力的切线分力即回复力为mgsinθsin α，根据牛顿第二定律
mgsinθsin α =ma
解得摆球在最高点的加速度
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a= gsinθsin α
摆球在平衡位置时回复力为零，由于摆球有向心加速度，摆球在平衡位置的加速度不为零，故A 错误；
BC．等效重力加速度为gsinθ，根据单摆的周期公式有
T =2π√
l
gsinθ
只增大摆球的质量，摆球运动的周期不变，若增大摆长的同时减小斜面的倾角，摆的周期将变大，故BC
错误；
D．等效重力加速度为gsinθ，根据单摆的周期公式有
T =2π√
l
gsinθ
又
l = L+r
解得摆球的半径为
r = (gT
2sinθ)
4 π
2
−L
故D 正确。
故选D。
【变式训练4】（多选）做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥
摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，
另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速
度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
A．若单摆做圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为l＋d
2
C．这个双线摆的周期为T=2π√
lcosθ+ d
2
g
D．图中双线摆的θ 角越小越好
E．小球宜采用密度大的铅球或者铁球
【答案】ACE
【详解】A．若为圆锥摆时，则
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mg tanθ =m( 2π
T )
2
lsinθ
解得
T =2π√
lcosθ
g
小于单摆的周期
T
' =2π√
l
g
选项A 正确；
B．这个双线摆的摆长为
L=lcosθ＋d
2
选项B 错误；
C．这个双线摆的周期为
T =2π√
L
g =2π√
lcosθ+ d
2
g
选项C 正确；
D．图中双线摆的θ 角太小的话，摆动起来越不稳定，选项D 错误；
E．小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，选项E 正确。
故选ACE。
考点三 受迫振动和共振
知识点 受迫振动和共振
1.振动中的能量损失
（1）阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然
逐渐减小
，这
种振动称为阻尼振动。
（2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为
内能
；
②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量
向四周辐射出去
。
2.受迫振动
系统在
驱动力
作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期（或频率）
等于
驱动力
的周期（或频率），与物体的固有周期（或频率）
无
关。
3.共振
如图反映了受迫振动振幅A 与驱动力频率f 之间的关系。驱动力的频率f 跟振动系统的固有频率f0相差越小，
受迫振动的振幅越大；驱动力的频率f 等于振动系统的
固有频率
f 0 时，受迫振动的振幅最大，这种现
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象称为共振。
拓展
1.共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的
振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f 与f0越接近，振幅A 越大；当f＝f0时，振幅A 最大。
2.受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，驱动力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统的振动维持下去。
3.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。
考向 受迫振动及共振
例1 如图所示为受迫振动的演示装置，在一根根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱
动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法不正确的是（ ）
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π√
L
g
C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
【答案】C
【详解】A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F =−kx
可得，加速度a= F
m =−k
m x
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位移相同，故加速度一定相同，故A 正确。
B．如果驱动摆的摆长为L，根据单摆周期公式T =2π√
L
g
而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，故B 正确。
C．当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，某个单摆的摆长大，但振
幅不一定也大，故C 错误;
D．同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够
达到最大，这种现象称为共振，故D 正确。
本题选不正确的，故选C。
例2 如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移-时间图像，M、N 是图像上的两个点，且M、N 两点到
平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（ ）
A．单摆做阻尼振动的过程中周期变小
B．摆球在M 点时的动能大于在N 点时的动能
C．摆球在M 点时做减速运动
D．摆球在N 点时正在升高
【答案】B
【详解】A．单摆的周期T =2π√
L
g
，周期与振幅于关，单摆做阻尼振动的周期不变，振幅减小，故A 错
误；
B．M、N 两点对应位置高度相同，故从M 到N 重力做功为0，由于单摆做阻尼振动，可知摆球需克服阻力
做功，由动能定理可知摆球在M 点时的动能大于在N 点时的动能，故B 正确；
C．由图可知摆球在M 点时正在靠近平衡位置，速度在增大，即摆球在M 点时做加速运动，故C 错误；
D．摆球在N 点时正在靠近平衡位置，高度在降低，即摆球在N 点时正在下落，故D 错误。
故选B。
【变式训练1】（2025·四川·高三月考）“伽利略”研究小组记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的
关系，若该振动系统的固有频率为f 固，则下式可能正确的是（ ）
驱动力频率/Hz
40
50
60
70
80
90
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A．60 Hz<f 固≤70 Hz
B．80 Hz<f 固<90 Hz
C．f 固=80 Hz
D．f 固=50 Hz
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【答案】A
【详解】共振曲线如图所示
由图可判断出f 驱与f 固相差越大，受迫振动的振幅越小；f 驱与f 固越接近，受迫振动的振幅越大，并可以
从中看出f 驱越接近f 固，振幅的变化就越慢，比较各组数据知f 驱在60 Hz∼80 Hz范围内，因此
60 Hz<f 固≤70 Hz为可能范围。
故选A。
【变式训练2】（2025·四川乐山·高三月考）如图，一根张紧的绳上悬挂3 个单摆，摆长关系为lA=lC<lB，
摆球质量关系为mA>mB=mC。当A 摆振动起来，通过张紧的绳迫使B、C 也振动起来，达到稳定后有（
）
A．A 摆的摆球质量最大，故振幅最小
B．A、B 摆振动周期相同，振幅不同
C．B 摆的摆长最大，故振动周期最长
D．A、C 摆振幅不同，振动周期相同
【答案】B
【详解】摆球A 振动后带动其他球做受迫振动，而做受迫振动的周期等于驱动力的周期，故它们的振动周
期均和A 摆相同，而
T =2π√
L
g
可知C 的固有周期与驱动力的周期相等，C 摆发生共振，其振幅最大，与A 摆振幅相同，B 振幅最小。
故选B。
【变式训练3】（2025·四川成都·高三月考）如图为一个共振筛，筛子用四根弹簧支起来（后排的两根弹簧
未画出），筛子上装有一个电动偏心轮。工作时偏心轮被电动机带动匀速转动，从而给筛子施加与偏心轮
转动周期相同的周期性驱动力，使筛子做受迫振动。假设偏心轮的转速与电动机的输入电压成正比，筛子
的固有周期与筛子的质量成正比。已知筛子的固有周期为0.8s，偏心轮的转速为60r/min。下列可使筛子
做受迫振动的振幅增大的操作是（ ）
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A．只适当减小筛子的质量
B．只适当减小偏心轮电动机的输入电压
C．适当减小筛子的质量同时适当减小偏心轮电动机的输入电压
D．适当增大筛子的质量同时适当增大偏心轮电动机的输入电压
【答案】D
【详解】在题给条件下，筛子振动的固有频率为
f 固= 1
0.8 Hz=1.25 Hz
电动机偏心轮的转动频率（对筛子来说是驱动力的频率）为
f 驱= 60
60 Hz=1.0 Hz
要使筛子的振幅增大，就得使这两个频率接近，可采用的方法有：①适当增大偏心轮电动机的输入电压，
增大驱动力的频率；②适当增大筛子的质量，使筛子的固有频率减小；③适当增大筛子的质量同时适当增
大偏心轮电动机的输入电压。
故选D。
【变式训练4】（多选）（2025·四川南充·高三月考）如图是用来测量发动机转动频率的原理图。在同一铁
支架MN 上焊有固有频率依次为100Hz，80Hz，60Hz，40Hz 的四个钢片a、b、c、d，将M 端与正在转动
的电动机接触，发现c 钢片振幅很大，其余钢片振幅很小，则（ ）
A．发动机转动频率为60Hz
B．钢片d 振动频率为60Hz
C．钢片b 振动频率为80Hz
D．钢片a 振动频率约为100Hz
【答案】AB
【详解】当驱动力的频率等于钢片的固有频率时，将发生共振，振片的振幅最大，由题意可知，c 钢片振
幅很大，其余钢片振幅很小，则驱动力的频率等于c 的固有频率，约为60Hz，四个钢片a、b、c、d 都是
做受迫振动，其频率都等于驱动力频率，约为60Hz。
故选AB。
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考点四 机械波的形成与描述
知识点1 机械波的形成、传播和分类
1.机械波的形成和传播
（1）产生条件
①有
波源
；
②有
介质
，如空气、水、绳子等。
（2）传播特点
①传播
振动形式
、能量和信息；
②介质中质点不
随波迁移
；
③介质中各质点振动频率、起振方向都与波源
相同
。
2.机械波的分类
分类
质点振动方向与波的传播方向的关系
形状
举例
横波
相互垂直
凹凸相间；有
波峰
、
波谷
绳波等
纵波
在同一直线上
疏密相间；有
密部
、
疏部
弹簧波、
声波等
知识点2 波的图像
1.坐标轴：横坐标x 表示在波的传播方向上各质点的
平衡位置
，纵坐标y 表示某一时刻各质点偏离平
衡位置的
位移
。
2.意义：表示介质中的“
各个质点
”在“某一时刻”的位移。
3.图像（以简谐波为例）：如图所示。
4.波的特点
（1）当Δt＝nT（n＝1，2，3，…）时，两个时刻波的波形相同，波传播的距离x＝nλ。
（2）在波的传播方向上：①当两质点平衡位置间的距离为nλ（n＝1，2，3，…）时，它们的振动步调相
同；②当两质点平衡位置间的距离为（2n＋1）λ
2（n＝0，1，2，3，…）时，它们的振动步调相反。
5.波的传播方向与质点振动方向的互判
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“上
下
坡”
法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同
侧”
法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微
平
移”
法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x 坐标的两波形曲线上
的点来判断质点振动方向
6.振动图像和波的图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向
的判断
Δt 后
的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状
不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期
性变化
联系
（1）纵坐标均表示质点的位移；
（2）纵坐标的最大值均表示振幅；
（3）波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
知识点3 描述波的物理量
1.波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是
相同
的两个相邻质点间的距离。
2.波速v：波在介质中的传播速度，由
介质
本身的性质决定。
3.频率f：由波源决定，等于波源的
振动频率
；与周期的关系为f＝1
T 。
4.波长、波速和频率（周期）的关系：v＝
fλ
＝ λ
T 。
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知识点4 波的多解问题
1.造成波的多解问题的主要因素
（1）周期性
①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx 与波长λ 的关系不明确。
（2）双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
b.只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下（或向左、向右）两种可能。
c.只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x 轴正方向或沿x 轴负方向传播。
2.解决波的多解问题的一般思路
（1）首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。
（2）对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用
从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt 或Δx 满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt
（n＝0，1，2，…）；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx（n＝0，1，2，…）。
（3）注意题目是否有其他限制条件，如果波的周期、波长、波速有限定，则求出符合限定条件的解。
考向1 波的形成和描述
例1 关于简谐运动与波的下列说法中，正确的是（ ）
A．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同
C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向
相同
D．物体做机械振动，一定会产生机械波
【答案】C
【详解】A．处于平衡位置的物体，物体的回复力为0，但合力不一定为0，也不一定处于平衡状态，故A
错误；
B．由于
a=−kx
m
则位移方向总跟加速度方向相反，，但与速度方向可能相反也可能相同，故B 错误；
C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向
相同，故C 正确；
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D．机械波的形成必须具备两个条件有振源和介质，只有物体做机械振动，其周围没有介质的话，远处的
质点不可能振动起来形成机械波，故D 错误。
故选C。
例2（多选）（2025·四川成都·高三月考）如图甲所示，通过战斗绳进行高效全身训练是健身房的最新健
身潮流之一，健身爱好者训练时，手持绳的一端上下甩动形成的绳波可简化为简谐横波，手的平衡位置在
x＝0 处，手从平衡位置开始甩动时开始计时，图乙是t＝0.3s 时的波形图，此时波刚好传播到x＝6m 处，
则（ ）
A．x＝6m 处质点的起振方向沿y 轴正方向
B．x＝6m 处的质点振动的周期为0.3s
C．波传播的速度大小为20m/s
D．当x＝6m 处的质点第一次到达波峰时，x＝3m 处的质点通过的路程为0.8m
【答案】BC
【详解】A．根据波的传播方向与振动方向的关系可知，x =6 m处质点的起振方向沿y 轴负方向，故A 错
误；
B．图乙是t =0.3s时的波形图，此时波刚好传播到x =6 m处，可知此波的周期为T =0.3s，故x =6 m处的
质点振动的周期为0.3s，故B 正确；
C．波传播的速度
v = λ
T = 6
0.3 =20 m/s
故C 正确；
D．x =6 m处质点的起振方向沿y 轴负方向，当x =6 m处的质点第一次到达波峰时，历时3
4 T，x＝3m 处的
质点比x =6 m处质点早半个周期开始振动，故x＝3m 处的质点经过的路程为5 个振幅，由图可知A =20cm，
即
s=5×20cm =100cm=1m
故D 错误；
故选BC。
【变式训练1】（多选）（2024·四川达州·一模）如图所示，位于原点O 处的波源从某时刻开始振动，其
振动方程y =−10sin(
10
3 πt)cm。该波源产生的简谐横波沿x 轴正方向传播，当坐标为(3.5 m ,0)的质点
P 刚开始振动，波源刚好第一次到达N 点，N 点坐标为(0,5cm)，则下列说法正确的是（ ）
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A．质点P 的起始振动方向沿y 轴负方向
B．质点P 的起始振动方向沿y 轴正方向
C．该简谐波的波速大小为10 m /s
D．波源从开始起振计时，0.8s 内质点P 通过的路程为40cm
【答案】AC
【详解】AB．根据波源振动方程可知，波源起始振动方向沿y 轴负方向，故质点P 的起始振动方向沿y 轴
负方向，故A 正确，B 错误；
C．设振动周期为T，波长为λ，波源刚好第一次到达N 点所需时间为t，则有
5cm=−10sin(
2π
T t)cm
解得
t = 7
12 T
依题意波长需满足
3.5 m = 7
12 λ
整理得
λ =6 m
根据振动方程得
ω= 10
3 π = 2π
T
解得
T =0.6s
故波速
v = λ
T = 6
0.6 m /s=10 m /s
故C 正确；
D．根据振动方程可知，振幅A=10cm，以上分析可知，该波传播到P 点所需时间为
t1= 3.5
10 s=0.35s
故0.8s 内质点P 通过的路程为
s= 0.8s−t1
T
×4 A =(
0.8−0.35
0.6
×4×10)cm=30cm
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故D 错误。
故选AC 。
【变式训练2】（多选）简谐波在绳中传播的示意图如图所示。质点1 在外力作用下沿竖直方向做简谐运
动，带动质点2、3、4…依次做受迫振动。质点1 从平衡位置向上运动开始计时，t =0.4s时，质点1 第一
次到达最高点，质点5 开始运动，若质点1 的振幅为4cm，则下列说法正确的是（ ）
A．质点7 和质点11 的振动情况始终相反
B．t =1.1s时，质点11 开始向上振动
C．t =1.2s时，质点9 处于波峰
D．0~1.4s内，质点7 通过的路程为8cm
【答案】CD
【详解】A．设相邻两个质点水平间距为a，由题意可知，波长为
λ =16a
质点7 和质点11 相距1
4 λ，振动情况并不会始终相反，A 错误；
B．t =0.4s时间内波传播1
4 λ，历时1
4 T，故振动周期为
T =1.6s
质点11 距波源10a，即5
8 λ，传播到该点历时5
8 T，即1s 后质点11 开始向上振动，B 错误；
C．质点9 距波源波1
2 λ，波传播到该点历时1
2 T，向上振动至波峰历时1
4 T，故质点9 到达波峰所需时间
为
t1= 1
2 T + 1
4 T =1.2s
C 正确；
D．质点7 距波源3
8 λ，波传播到该点历时3
8 T，即0.6s，在剩余0.8s，即1
2 T内通过的路程为2A，即8cm，
D 正确。
故选CD。
【变式训练3】（多选）（2025·四川遂宁·高三月考）在同种均匀介质中，x＝0 处的波源完成半个周期振
动产生沿x 轴正方向传播的简谐横波，间隔Δt 时间后又产生一列简谐横波。以波源第一次从平衡位置开始
振动为计时零点，t＝3s 时首次出现如图所示波形。则下列说法正确的是（ ）
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A．波源两次振动的间隔时间Δt＝1s
B．波源前后两次振动的周期相同
C．t＝4s 时，x＝6m 和x＝21m 处的两质点的位移大小不相等
D．从t＝2s 至t＝4.5s 的时间内，x＝12m 处的质点经过的路程为28cm
【答案】A
【详解】A．由题图可知，在t＝3s 时，第一列波传播到x1＝18m 处，则波的传播速度为v = x1
t =6 m/s
第二列波传播到x2＝6m 处，传播时间为t2= x2
v =1s
第一列波的振动时间为t3=
λ
2
v =1s
则波源两次振动的间隔时间为Δt＝t－t2－t3＝1s
故A 正确；
B．由题图可知，两次振动形成的两列波的波长不同，由同种介质中波的传播速度相等以及v＝λ
T
可知波源前后两次振动的周期不同，故B 错误；
C．两列波在第4 s 内传播的距离Δx＝vΔt＝6m
则根据题图可知，第一列波x＝15m 处的振动传至x＝21m 处，故x＝21m 处质点的位移为－10m，第二列
波x＝0 处的振动传至x＝6m 处，故x＝6m 处质点的位移为10m，则t＝4s 时，x＝6m 和x＝21m 处的两质
点的位移大小相等，故C 正确；
D．从t＝2s 至t＝4.5s 的时间内，第一列波引起x＝12m 处的质点经历半个周期的振动，经过的路程为s1＝
20cm，第二列波引起x＝12m 处的质点经过的路程为s2＝10cm，则从t＝2s 至t＝4.5s 的时间内x＝12m 处
的质点经过的路程为s＝s1＋s2＝30cm
故D 正确。
故选A。
【变式训练4】一列沿x轴正方向传播的机械波某时刻的波形图如图所示，a、b、c三个质点到各自平衡位
置的距离相等。下列说法正确的是（ ）
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A．该时刻b质点振动方向沿y轴正方向
B．a质点比b质点先回到平衡位置
C．b质点和c质点的加速度大小始终相等
D．仅增大波源振动频率，波长变长
【答案】B
【详解】A．根据“上下坡”规律可知该时刻b质点振动方向沿y轴负方向，故A 错误；
B．根据“上下坡”规律可知该时刻a 质点振动方向沿y轴正方向，故a质点比b质点先回到平衡位置，故
B 正确；
C．根据“上下坡”规律可得c 质点振动方向沿y轴负方向，故b 远离平衡位置，c 靠近平衡位置，故二者
的加速度大小发生变化，一个增大，一个减小，故C 错误；
D．机械波的传播速度由介质决定，与频率和波长无关，若增大波源的振动频率，该波的传播速度不变，
根据公式v = λ
T = λf 可知该波的波长将变小，故D 错误。
故选B。
【变式训练5】（2025·四川绵阳·高三月考）一列沿x 轴传播的简谐波在t =0时刻的波形如图所示，P、Q
是在波的传播方向上平衡位置相距1m 的两个质点，质点P 此时刻恰过平衡位置并沿y 轴负方向振动。已
知波的周期为6s，则下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x 轴负方向传播
B．质点Q 第一次到达平衡位置的时间1.5s
C．t =0s时，质点Q 正在做加速运动
D．t =1s时，质点P 刚好运动到x = 4 m处
【答案】C
【详解】A．由题可知此时P 点沿y 轴负方向振动，根据“上下坡法”，可知波沿x 轴正方向传播，故A
错误；
B．根据题图可得波的波长λ =6 m
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则波速v = λ
T =1m/s
质点Q 第一次到达平衡位置的时间t = Δ x
v = 1
1 s=1s，故B 错误；
C．t =0s时，根据“上下坡法”，质点Q 正向y 轴负方向振动，靠近平衡位置 ，故正在做加速运动，故
C 正确；
D．质点不会随波传播，只会在平衡位置上下振动，故D 错误。
故选C。
【变式训练6】如图x =12m处有一质点做简谐运动，其振动方程为y =3√2sin（π
2 t ）cm。某时刻在介
质中形成波形如图所示，振动刚好传播到x = 4 m处。则下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速为3 m /s
B．波源的起振方向沿y 轴负方向
C．从该时刻起，x =0处质点第一次到达y =−3cm处需要4.5s
D．x = 4 m与x =8 m处的两质点相位差为π
2
【答案】C
【详解】A．由运动方程可得周期为
T = 2π
ω = 4s
故波速为
v = λ
T = 8
4 m /s=2m /s
故A 错误；
B．由题意知振动刚好传播到x = 4 m处，所以波向左传播，由上下坡法可知x = 4 m处的质点起振方向向上，
即波源起振方向向上，故B 错误；
C．从x = 4 m处传播到原点处需要时间为
t1= △x
v = 4
2 s=2s
又原点处质点开始向上振动，由图可得x =0处质点第一次到达y =−3cm处还需要
t2= 1
2 T + 1
8 T =2.5s
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故从该时刻起，x =0处质点第一次到达y =−3cm处需要
t =t1+t2= 4.5s
故C 正确；
D．x = 4 m与x =8 m处的两质点相位差为π，故D 错误。
故选C。
考向2 波的多解问题
例1 如图甲所示，在波的传播方向上有A、B、C 三点，其中AB = BC =10 m，t =0时刻开始观察到A、C
两点处质点的振动情况分别如图乙、丙所示。下列说法正确的是（ ）
A．若向右传播，该波的波长为
80
4 n+3 m (n=0,1,2,3,⋯)
B．若向左传播，该波的波长为
80
4 n+1 m (n=0,1,2,3,⋯)
C．若振源位于C点，起振方向向上，且3 λ< AC <4 λ（λ为波长），那么从振源起振开始计时，B处质点
第1 次到达波峰需要17s
D．若振源位于C点，起振方向向下，且3 λ< AC <4 λ（λ为波长），那么从振源起振开始计时，B处质点
第1 次到达波峰需要17s
【答案】C
【详解】A．由图乙、丙可得T =8s
当波向右传播时x AC =nλ+ 1
4 λ（n=0，1，2，3…）
解得λ=
80
4 n+1 m（n=0，1，2，3…）
故A 错误；
B．当波向左传播时x AC =nλ+ 3
4 λ（n=0，1，2，3…）
解得λ =
80
4 n+3 m（n=0，1，2，3…）
故B 错误；
C．由题意可得，波向左传播，又因为3 λ< AC <4 λ，所以x AC =nλ+ 3
4 λ
取n=3，此时v = λ
T =
10
4 n+3 m/s= 2
3 m/s
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设波从波源传播到B 点所用时间为t1，则t1= xBC
v = 10
2
3
s=15s
若振源位于C点，起振方向向下，B 点起振后到第1 次到达波峰所用时间为t2，则t2= 1
4 T =2s
那么从振源起振开始计时，B处质点第1 次到达波峰需要t =t1+t2=17s
故C 正确；
D．由题意可得，波向左传播，又因为3 λ< AC <4 λ，所以x AC =nλ+ 3
4 λ
取n=3，此时v = λ
T =
10
4 n+3 m/s= 2
3 m/s
设波从波源传播到B 点所用时间为t1，则t1= xBC
v = 10
2
3
s=15s
若振源位于C点，起振方向向下，B 点起振后到第1 次到达波峰所用时间为t2，则t2= 3
4 T =6s
那么从振源起振开始计时，B处质点第1 次到达波峰需要t =t1+t2=21s
故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·三模）一列简谐横波沿x轴正方向传播，x轴上相距8.0m 的甲、乙两质点
的振动图像如图中实线、虚线所示，则该简谐横波波速可能是（ ）
A．2m/s
B．4m/s
C．8m/s
D．12m/s
【答案】C
【详解】根据题目描述，甲、乙两质点相距8.0 m，结合振动图像可知，
若乙振动传到甲的情况，有
甲、乙两质点之间的距离可以表示为(n+ 3
4)λ，其中n=0、1、2…
所以有(n+ 3
4)λ =8.0
解得λ=
32
4 n+3
根据波速v = λ
T ，其中周期T = 4s
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解得v =
8
4 n+3 m/s
若甲振动传到乙的情况，有
甲、乙两质点之间的距离可以表示为(n+ 1
4)λ，其中n=0、1、2…
所以有(n+ 1
4)λ =8.0
解得λ=
32
4 n+1
根据波速v = λ
T ，其中周期T = 4s
解得v =
8
4 n+1 m/s
所以当n=0是此时的速度v =8 m/s，C 选项符合题意。
故选C。
【变式训练2】（2025·四川泸州·高三月考）如图甲为一波源的共振曲线，图乙中实线表示该波源在共振状
态下沿x 轴形成的机械波在t=0 时刻的波形图线，虚线表示一段时间后的某时刻形成的波形图线，由图甲
及图乙可判断出（ ）
A．由甲图可知，该波源驱动力的周期为0.3s
B．图甲中，若驱动力周期变大，共振曲线的波峰将向频率高的方向移动
C．该波的波速为1.2m/s
D．实线和虚线波形的时间间隔不可能为6s
【答案】D
【详解】A．当驱动力频率等于物体的固有频率时产生共振，振幅最大，由甲图可知，该波源驱动力的频
率为0.3Hz，则周期为T = 1
f = 10
3 s
A 错误；
B．当驱动力频率等于物体的固有频率时产生共振，振幅最大，驱动力周期变大时，物体的固有频率不
变，则振动曲线的峰不变，故B 错误；
C．由共振曲线读出共振状态下的振动频率为f =0.3 Hz，由2 图知，波长为λ =8 m，则该波波速为
v = λf =2.4 m/s
C 错误；
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D．共振状态下的振动周期为T = 1
f = 10
3 s
若波向左传播，则2 图中a、b 波形时间间隔为t =(n+ 3
4)T (n=0,1,2…)
当t=6s 时n 不是整数；
若波向右传播，则2 图中a、b 波形时间间隔为t =(n+ 1
4)T (n=0,1,2…)
当t=6s 时n 不是整数；实线和虚线波形的时间间隔不可能为6s，D 正确。
故选D。
【变式训练3】（多选）一列机械横波沿x 轴传播，在x 轴上有P、Q 两质点，其平衡位置相距6m，t =0
时刻P 处在波峰，Q 在平衡位置且正在向上振动，此后再过0.25s，质点 P 首次回到平衡位置，则该机械
波的波速可能为（ ）
A．24 m /s 沿+ x方向
B．5 m /s 沿+ x方向
C．8 m /s 沿−x方向
D．9 m /s 沿−x方向
【答案】AC
【详解】若波从P 传到Q，则有6 m = 1
4 λ+nλ
得λ=
24
4 n+1 m
0.25s= 1
4 T
得T =1s
波速v = λ
T =
24
4 n+1 m/s
当n=0时v =24 m/s
若波从Q 传到P，则有6 m = 3
4 λ+nλ
得λ =
24
4 n+3 m
波速v = λ
T =
24
4 n+3 m/s
当n=0时，v =8 m/s
故选AC。
考点五 波的反射、折射、干涉、衍射、多普勒效应
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知识点 波的反射、折射、干涉、衍射、多普勒效应
1.波的反射
定义：当波传播到两种介质的分界面时，一部分返回来继续传播的现象。
入射角：入射线与法线的夹角 叫做入射角。
反射角：反射线与法线的夹角叫做反射角。
反射定律：（1）入射线、法线、反射线在同一平面内，入射线与反射线分居法线两侧，反射角等于入射
角。
（2）反射波的波长、频率、波速都跟入射波相同．
（3）波遇到两种介质界面时，总存在反射．
2.波的折射
定义：波从一种介质进入另一种介质时，波的传播方向发生了改变的现象叫做波的折射。
折射角r：折射波的波线与两介质界面法线的夹角r 叫做折射角。
折射定律：入射线、法线、折射线在同一平面内，入射线与折射线分居法线两侧．入射角的正弦跟折射角
的正弦之比等于波在第一种介质中的速度跟波在第二种介质中的速度之比。
3，波的反射、折射现象中各物理量的变化
4.波的衍射：波
绕过障碍物
继续向前传播的现象。只有
缝
、
孔的宽度
或
障碍物的尺寸
跟波长
相差不多，或者
比波长更小
时，才能观察到明显的衍射现象。
5.波的干涉：频率
相同
、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动
始终加强
，
某些区域的振动
始终减弱
，并且振动加强和振动减弱的区域
始终相互间隔
的现象。
6.波的干涉现象中振动加强点、减弱点的判断方法
（1）公式法
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时：
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动加强；
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若Δr＝（2n＋1）λ
2（n＝0，1，2，…），则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时：
若Δr＝（2n＋1）λ
2（n＝0，1，2，…），则振动加强；
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动减弱。
（2）波形图法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交
点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，即加强线和减弱线，
两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
7.多普勒效应：由于波源和观察者之间有
相对
运动，使观察者感到接收到的波的频率
发生变化
的
现象；波源与观察者相对静止时，观察者观测到波的频率
等于
波源振动的频率；波源与观察者相互靠
近，观察者观测到的波的频率
大于
波源振动的频率；波源与观察者相互远离，观察者观测到的波的频
率
小于
波源振动的频率。
8.多普勒效应的理解
（1）形成条件：波源和观察者之间有相对运动。
（2）现象：观察者接收到的波的频率发生变化。
（3）实质：波源与波的频率不变，观察者接收到的波的频率变化。
（4）成因分析
①接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
②当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的波的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收
到的波的频率变小。
考向1 波的反射、折射
例1 一列水波在深度不同的水域传播时，在交界面处发生图示的现象，这是水波的（ ）
A．反射现象
B．折射现象
C．衍射现象
D．干涉现象
【答案】B
【详解】深度不同，则水压不同，水密度不同。水波在不同密度的水中传播速度不同，会发生折射现象。
故选B。
【变式训练1】下列说法正确的是（ ）
A．波发生反射时，波的频率不变，波速变小，波长变短
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B．波发生反射时，频率、波长、波速均发生变化
C．波发生折射时，波的频率不变，但波长、波速发生变化
D．波发生折射时，波的频率、波长、波速均发生变化
【答案】C
【详解】AB．波发生反射时，在同一种介质中运动，因此波长、波速和频率都不发生变化，故AB 错误；
CD．波发生折射时，频率不变，波长和波速均发生变化，故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练2】关于波的反射与折射，下列说法正确的是（ ）
A．入射波的波长一定等于反射波的波长，其频率不变
B．入射波的波长一定小于反射波的波长，其频率不变
C．入射波的波长一定大于折射波的波长，其频率不变
D．入射波的波长一定小于折射波的波长，其频率不变
【答案】A
【详解】AB.入射波与反射波在同种介质中波速相同，频率由波源决定，频率相同，由v = λf 知波长相同，
选项A 符合题意，B 不符合题意．
CD.因不知介质情况，入射波与折射波波长无法比较，选项CD 不符合题意．
考向2 波的干涉、衍射
例1（2025·四川攀枝花·三模）如图所示，振幅分别为3cm、4cm 的甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中
沿x 轴相向传播，t=0 时在x=2cm 处的P 点相遇。已知两列波的波速均为2cm/s，则位于x=3cm 处的Q 点
在0~5s 内的通过的路程为（ ）
A．13cm
B．30cm
C．40cm
D．70cm
【答案】A
【详解】波的周期T = λ
v = 4
2 s=2s
t=0 时刻Q 点在乙波的波谷；甲波传到Q 点的时间t = 1
2 s=0.5s
此时Q 点到达平衡位置，即在0~0.5s 时间内Q 点的路程s1=4cm；甲波传到Q 点时振动减弱，则振幅为
A=4cm-3cm=1cm
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则在0.5~5s 时间内即2 1
4 T内的路程为s2=8 A + A =9cm
则位于x=3cm 处的Q 点在0~5s 内的通过的路程为s= s1+ s2=13cm
故选A。
例2 如图甲为一列沿x 轴传播的简谐横波在t =0.1s时的波形图，图乙为该波传播方向上质点Q 的振动图
像。下列说法正确的是（ ）
A．t =0.2s时，质点P 的速度方向沿y 轴负方向
B．该波的波速为1m/s，方向沿x 轴负方向
C．t =0.2s到t =0.3s内，质点Q 沿x 轴负方向运动了1.0cm
D．该波遇到尺寸大小为1m 的障碍物时会发生明显的衍射现象
【答案】B
【详解】A．由图乙可知t =0.1s时，质点Q 通过平衡位置向y 轴正方向振动，根据上下坡法可知，该波沿
x 轴负方向传播，质点P 向下振动，t =0.2s时（即经过半个周期），质点P 通过平衡位置向y 轴正方向振
动，A 错误；
B．由图甲可知波长λ =0.2m，由图乙可知周期T =0.2s，由
v = λ
T
得波速为1m/s，B 正确；
C．各质点只在各自平衡位置附近振动，不随波迁移，C 错误；
D．当缝的宽度或障碍物的尺寸大小与波长相差不多或比波长小时，能发生明显的衍射现象，D 错误。
故选B。
【变式训练1】（多选）（2025·四川宜宾·三模）中医的悬丝诊脉悬的是“丝”，“诊”的是脉搏通过悬丝
传过来的振动，即通过机械波判断出病灶的位置与轻重缓急。如图甲，假设“丝”上有A、B、C 三个质
点，坐标分别为x A =0、xB=0.4m、xC =1.4m。t =0时刻，病人的脉搏搭上丝线上的质点A，质点A 开始
振动，其振动图像如图乙所示，产生的机械波沿丝线向x 轴正方向传播，A、B 两质点的振动方向始终相
反，波长大于0.6m。则该机械波（ ）
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A．波长为0.8m
B．t =2s 时，质点C 第一次运动到波峰
C．在t =0到t = 4.25s 内，质点B 通过的路程为7.5mm
D．若医生将丝线的另一端搭在自己的脉搏上，他的脉搏振动频率为1.25Hz，则丝线中两列波相遇时能发
生干涉
【答案】AC
【详解】A．A、B 两质点运动的方向始终相反，可知A、B 两质点间的距离为xB=nλ+ λ
2
(n=0,1,2...)
解得λ= 2 xB
2n+1
(n=0,1,2...)
由题知，波长大于0.6m，即λ = 2 xB
2n+1 >0.6 m
解得n< 1
6
故此时n=0
则波长为λ =2 xB=0.8 m
故A 正确；
B．由图乙可知，周期为T =1s，质点A 开始振动的方向为沿轴y负方向，则所有质点的起振方向都是沿轴
y负方向，故质点C 第一次运动到波峰的时间为t = xC
v + 3
4 T
又v = λ
T =0.8 m /s
联立解得t =2.5s
故B 错误；
C．由乙图可振幅为A =0.5 mm
波从A 点传到B 点的时间为t B= xB
v =0.5s
即质点B 从0.5s时开始振动，在t = 0 到t = 4.25s 内，质点B 振动的时间为
Δt = 4.25s−0.5s=3.75s=3 3
4 T
故质点B 通过的路程为s=3×4 A +3 A =15 A =15×0.5 mm =7.5 mm
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故C 正确；
D．由图乙可知，该波的周期为T =1s，则频率为f = 1
T =1Hz
若医生将丝线的另一端搭在自己的脉搏上，他的脉搏振动频率为1.25Hz，与该波的频率不相等，故则丝线
中两列波相遇时不能发生干涉，故D 错误。
故选AC。
【变式训练2】（多选）（2025·四川·高三月考）某学校的长方形操场尺寸如图所示，主席台靠近操场的两
个角有两个喇叭O1、O2，播放着完全相同的音乐，音乐频率为170Hz。一位同学发现A、B位置的音量听
起来比周围更大。已知人耳朵（看作质点）和两个喇叭刚好在同一水平面，空气中声音的传播速度为
340m/s，√5≈2.24。下列说法正确的是（ ）
A．声波是横波
B．这种现象属于干涉现象
C．A、B两处介质的振动一定同时到达最大位置
D．从操场底边的C点走到D点，共有9 个音量极大的位置
【答案】BD
【详解】A．声波是一种纵波，故A 错误；
B．两列相同的波在同一空间叠加，形成某些地方振动加强，某些地方振动减弱的稳定现象，为波的干涉
现象，声波虽然为纵波也有这种性质，故B 正确；
C．A、B处虽然都是振幅极大位置，但O1 A与O1B的距离差不一定恰好为波长的整数倍，因此当A处介
质的振动达到极大位置时，B处介质的振动不一定也达到极大位置，故C 错误；
D．几何关系可知|O1C|−|O2C|=√150
2+80
2−√160
2+80
2=170−80√5≈−9.2m
同理|O1 D|−|O2 D|≈9.2m
声波波长λ= v
f =2m
因此从C点走到D点的过程中共会经历Δ x =−8 m，-6m，-4m，-2m，0m，2m，4m，6m，8m 共9 个音量
极大位置，故D 正确。
故选BD。
【变式训练3】（多选）（2025·四川成都·高三月考）如图甲所示，在同一水平面内（俯视图），A 、B
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是两个波源，介质中的 P 点离 A 点的距 离为 10m ，离 B 点的距离为 8m 。两波源均从 t=0 时刻开
始振动，规定竖直向上为位移的正 方向，波源 A 振动图像如图乙所示，波源 B 振动图像如图丙所示，
两列波在介质中的波速均为 v=1m/s 。则下列说法正确的是 （ ）
A．t=8s 时 P 点开始振动
B．P 点的起振方向向上
C．P 点是振动减弱点
D．在 0~ 12s 内，P 点运动的路程为 30cm
【答案】AD
【详解】AB．由图可知，波的周期为4s，则波长为λ = vT = 4 m
由于P 点离A 点的距离为10m，离B 点的距离为8m，即经过8s 质点P 开始振动，起振方向与B 的起振方
向相同，即P 点的起振方向向下，故A 正确，B 错误；
C．根据AP−BP =2m = λ
2
因两个波源反向振动，因此P 点应为振动的加强点，故C 错误；
D．8s 时P 开始振动，即0~8s 内P 点运动的路程为0，8s~10s 内运动路程为10cm，10~12s 内运动的路程
为20cm，所以在0~12s 内，P 点运动的路程为30cm，故D 正确。
故选AD。
【变式训练4】（多选）（2025·四川南充·三模）x轴上两波源P（横坐标为−10）、Q（横坐标为10）形
成的简谐横波在同种均匀介质中相向传播，某时刻波形如图所示，波的传播速度为2m/s。下列说法正确
的是（ ）
A．波源P的起振方向沿y轴正向
B．波源Q的振动周期为2s
C．两波源P、Q同时运动到坐标原点
D．各质点振动稳定后，平衡位置在坐标原点的质点振幅为45cm
【答案】BD
【详解】A．结合图像，由同侧法可得，波源P的起振方向沿y轴负向，故A 错误；
B．由图可知，波源Q形成的机械波的波长为4 m，则周期为T = λ
v =2s
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故B 正确；
C．从图示位置，波源P振动形式传播到原点的时间为t1= 6
2 s=3s
波源Q振动形式传播到原点的时间为t2= 4
2 s=2s
两波源不能沿x 轴运动，故C 错误；
D．结合上述分析，由图可知，两波源形成的机械波的波长相等，则周期相等，叠加后可发生稳定的干涉
现象，当波源P振动形式传播到原点时，波源Q在x =6 m处质点的振动形式传播到原点，且振动方向相
同，则坐标原点的质点为振动加强点，质点振幅为A =15cm +30cm = 45cm
故D 正确。
故选BD。
【变式训练5】（多选）（2025·四川成都·二模）图甲为中国京剧中的水袖舞表演，若水袖的波浪可视为简
谐横波，图乙为该简谐横波在t =0时刻的波形图，P、Q 为该波上平衡位置相距1.05m的两个质点，此时
质点P 位于平衡位置，质点Q 位于波峰（未画出），且质点P 比质点Q 先振动。图丙为图乙中P 点的振
动图像。已知该波的波长在0.5m至1m 之间，袖子足够长，则下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x 轴负方向传播
B．该波的传播速度为1m/ s
C．质点Q 的振动方程为y =0.2sin( 5 π
2 t + π
2 )m
D．若该波遇到一障碍物能发生明显的衍射现象，则该障碍物的尺寸可能为60cm
【答案】CD
【详解】A．根据图丙可知，t =0时刻，质点P 沿y 轴正方向振动，根据同侧法可知该波沿x 轴正方向传
播，故A 错误；
B．因为P 点比Q 点先振动，所以Q 点在P 点右侧，根据题意可知
nλ+ 3
4 λ =1.05 m （n=0，1，2⋯⋯）
整理得λ =
21
20n+15 m （n=0，1，2⋯⋯）
又因为该波波长在0.5 m至1m 之间，所以λ =0.6 m
该波的传播速度为v = λ
T = 0.6
0.8 m/s=0.75m/s
故B 错误；
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C．圆频率为ω= 2π
T = 2π
0.8 rad/s= 5 π
2 rad/s
因此点Q 的振动方程为y =0.2sin(
5 π
2 t + π
2)m
故C 正确；
D．根据明显衍射的条件可知，当障碍物的尺寸小于波长或与波长接近时，该波将发生明显衍射，故D 正
确。
故选CD。
考向3 多普勒效应
例1（2025·四川绵阳·高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．在干涉现象中，振动加强点的位移总比减弱点的位移要大
B．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，其振动周期与单摆的摆长有关
C．火车鸣笛向我们驶来时，我们听到的笛声频率将比声源发声的频率高
D．当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长大得多时，将发生明显的衍射现象
【答案】C
【详解】A．振动加强减弱是指加强减弱振幅，振动加强点的位移不一定比减弱点的位移大，故A 错误；
B．受迫振动的振动周期与外力的周期相同，故与单摆的摆长无关，故B 错误；
C．根据多普勒效应，火车鸣笛向我们驶来时，我们听到的笛声频率将比声源发声的频率高，故C 正确；
D．当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长小得多时，将发生明显的衍射现象，
故D 错误。
故选C 。
【变式训练1】（2025·四川泸州·高三月考）测速装置可以向运动的汽车发射一个频率已知的超声波，超声
波被运动的汽车反射回来后，根据接收到的频率发生变化，可以测出汽车的运动速度。现有一固定的超声
源发出频率为100kHz 的超声波，一汽车向超声波迎面驶来，在超声源处接收到从汽车反射回来的超声
波，利用拍摄装置测得反射波的频率为110kHz，设声波在空气中的传播速度为340m/s，则汽车行驶的速
度为（ ）
A．16.2m/s
B．30.9m/s
C．34.0m/s
D．37.4m/s
【答案】A
【详解】设汽车行驶的速度为u，超声波的传播速度为v，当声源及汽车都不动时，拍摄装置接收到声波的
频率为f = v
λ
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当声波波源不动，汽车驶向声源时，由于声波对汽车的相对速度变为u+ v，所以接收到声波频率变为
f 1= u+ v
λ
= u+ v
v
f
汽车将此频率声波向超声源反射回去,则汽车相当于一个发出频率为f 1的声波的波源。由于此波源以速度u
向接收处运动，所以对接收处而言，声波的波长λ2变短，即λ2= λ1−uT 1
式中λ1、T 1为汽车反射声波的波长及周期，所以超声源处接收到的声波频率为f 2=
v
(λ1−uT 1)
= v f 1
v −u
解得f 2= v +u
v −u f
则u= f 2−f
f 2+ f v = 110−100
110+100 ×340m/ s≈16.2m/ s
故选A。
【变式训练2】根据高中物理所学知识，分析下列现象，这些物理现象分别属于（ ）
A．衍射、多普勒效应、共振、干涉
B．干涉、多普勒效应、共振、干涉
C．干涉、衍射、共振、多普勒效应
D．反射、共振、折射、多普勒效应
【答案】C
【详解】两列水波相遇产生稳定的花纹属于波的干涉现象；《红楼梦》中王熙凤出场闻其声不见其人属于
声波的衍射现象；“狮吼功”吼破玻璃杯属于共振现象；鸣笛的救护车迎面而来，我们听到笛声音调变高
属于多普勒效应。
故选C。
【变式训练3】声波是机械纵波，声波频率按从低到高的顺序可分为“次声波”、“可闻声波”和“超声
波”。其中“可闻声波”可以引起人的耳膜振动，经传入神经传入大脑从而形成听觉。“超声波”虽然不
能引起人的听觉，但大量应用于医疗、工业及其它领域。下列关于声波的说法中正确的是（ ）
A．若听者匀速靠近静止的声源，听者耳膜振动的频率将大于声源振动的频率
B．在空气中传播时，“超声波”比“次声波”传播得更快
C．在水中传播时，“超声波”的波长比“次声波”的波长更长
D．“可闻声波”从空气中进入水中传播时波长将为变短
【答案】A
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【详解】A．根据多普勒效应可知，观察者离波源越近，接受到的频率大于声源的频率，A 正确；
B．声音传播的速度与介质的种类有关，同种介质，声音传播的速度相同，B 错误；
C．在水中，超声波与次声波传播的速度相同，但由于超声波振动的频率更高，因此超声波的波长更短，C
错误；
D．“可闻声波”从空气中进入水中传播时，频率不变，波速变大，根据波长、频率、波速的关系可知，
其波长变长，D 错误。
故选A。
1.（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左
至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同
时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2 个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高
点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（ ）
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3:4
D．小球丙、丁的摆长之比为1:2
【答案】C
【详解】根据单摆周期公式T =2π√
L
g
可知T 丁>T 丙>T 乙>T 甲
CD．设甲的周期为T 甲，根据题意可得2T 甲= 3T 乙
2
=T 丙= T 丁
2
可得T 丙=2T 甲，T 乙= 4
3 T 甲，T 丁= 4T 甲
可得T 甲:T 乙=3:4，T 丙:T 丁=1:2
根据单摆周期公式T =2π√
L
g
结合T 丙:T 丁=1:2
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可得小球丙、丁的摆长之比L丙: L丁=1:4
故C 正确，D 错误；
A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过T 甲（T 丙
2
）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，
位移最大，根据a=−kx
m 可知此时加速度最大，故A 错误；
B．根据上述分析可得T 乙= 1
3 T 丁
小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为T 丁
4 （即3T 乙
4
）可知此时小球乙经过平衡位置，此时
速度最大，动能最大，故B 错误。
故选C。
2.（四川·高考真题）光滑的水平面上叠放有质量分别为m 和m
2 的两木块，下方木块与一劲度系数为k 的弹
簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组
成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）
A．f
k
B．2f
k
C．3 f
k
D．4 f
k
【答案】C
【详解】对整体，当最大振幅时有
kA =(m+ m
2 )a
得
a= 2kA
3m
隔离分析，当最大振幅时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力
f = m
2 a= kA
3
得
A = 3 f
k
故C 正确，A、B、D 错误。
故选C。
3.（2025·广东·高考真题）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（ ）
A．系统的固有频率与驱动力频率有关
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B．只要驱动力足够大，共振就能发生
C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
【答案】C
【详解】A．系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A 错误；
B．只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B 错误；
CD．根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源
相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度，C 正确，D
错误。
故选C。
4.（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在
竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，
如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．t =0时，弹簧弹力为0
B．t =0.2s时，手机位于平衡位置上方
C．从t =0至t =0.2s，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为a= 4 sin(2.5 πt )m/s
2
【答案】D
【详解】A．由题图乙知，t =0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为
F =mg
A 错误；
B．由题图乙知，t =0.2s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B 错误；
C．由题图乙知，从t =0至t =0.2s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，
动能减小，C 错误；
D．由题图乙知
T =0.8s
则角频率
ω= 2π
T =2.5 π rad/s
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则a 随t 变化的关系式为
a= 4 sin(2.5 πt )m /s
2
D 正确。
故选D。
5.（2024·河北·高考真题）如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机
的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的
方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x−t图像．已知轻杆在竖直面内长0.1m,电动机
转速为12r /min．该振动的圆频率和光点在12.5s内通过的路程分别为（ ）
A．0.2rad/s,1.0 m B．0.2rad/s,1.25 m C．1.26rad/s,1.0 m D．1.26rad/s,1.25 m
【答案】C
【详解】紫外光在纸上的投影做的是简谐振动，电动机的转速为
n=12r/min=0.2r/s
因此角频率
ω=2πn=0.4 π =1.26rad/s
周期为
T = 1
n =5s
简谐振动的振幅即为轻杆的长度A =0.1m，12.5s 通过的路程为
s= 12.5
5
×4 A =1m
故选C。
6.（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向
上为正方向建立x 轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像
如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n
倍。
ρ1
ρ2
的值为（ ）
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A．2n
B．n
2
C．2
n
D．1
2n
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度为g，某球体天体表面的重力加速度为g
′，弹簧的劲度系数为k，根据简
谐运动的对称性有
k ⋅4 A −mg=mg
−m g
′ =m g
′
可得
g= 2kA
m
g
′ = kA
m
可得
g
g
′ =2
设某球体天体的半径为R，在星球表面，有
G
ρ1⋅4
3 π (nR)
3⋅m
(nR)
2
=mg
G
ρ2⋅4
3 π R
3⋅m
R
2
=m g
′
联立可得
ρ1
ρ2
= 2
n
k ⋅2 A
故选C。
7.（2025·安徽·高考真题）如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧
上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确
的是（ ）
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A．弹簧上形成的波是横波
B．推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C．标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D．标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
【答案】D
【详解】A．弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行是纵波，故A 错误；
B．同一介质中，波的传播速度相同，则波的传播速度不变，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，由
公式λ = vT可知，波长越短，故B 错误；
C．标记物振动的速度反应的是标志物在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度是波在介质中
的传播速度，二者不是同一个速度，故C 错误；
D．标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波使得能量传递给标记物，则标记物由静
止开始振动的现象表明机械波能传递能量，故D 正确。
故选D。
8.（多选）（2025·甘肃·高考真题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m 的
小球B 与A 用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下
列说法正确的是（ ）
A．小球A 运动到弹簧原长处的速度最大
B．剪断细线的瞬间，小球A 的加速度大小为g
2
C．小球A 运动到最高点时，弹簧的伸长量为mg
k
D．小球A 运动到最低点时，弹簧的伸长量为2mg
k
【答案】BC
【详解】A．剪断细线后，弹力大于A 的重力，则A 先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度
减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A 错误；
B．剪断细线之前则F弹=3mg
剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A 由牛顿第二定律F弹−2mg=2ma
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解得A 的加速度a= g
2
选项B 正确；
C．剪断细线之前弹簧伸长量x1= 3mg
k
剪断细线后A 做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量x2= 2mg
k
即振幅为A = x1−x2= mg
k
由对称性可知小球A 运动到最高点时，弹簧伸长量为mg
k ，选项C 正确；
D．由上述分析可知，小球A 运动到最低点时，弹簧伸长量为3mg
k
，选项D 错误。
故选BC。
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