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微专题7 动量定理与动量守恒定律
动量定理
[例1] (2025·甘肃卷)如图1 所示，细杆两端固定，质量为m 的物块穿在细杆
上。初始时刻，物块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F 作用在物块上，
F 随时间t 的变化如图2 所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。
细杆足够长，重力加速度为g，θ＝30°。求：
(1)t＝6 s 时F 的大小，以及t 在0～6 s 内F 的冲量大小。
(2)t 在0～6 s 内，摩擦力f 随时间t 变化的关系式，并作出相应的f-t 图像。
(3)t＝6 s 时，物块的速度大小。
[听课记录]
规律方法：
1．冲量的三种计算方法
(1)公式法：I＝Ft，适用于求恒力的冲量。
(2)动量定理法：I＝p′－p，多用于求变力的冲量或F、t 未知的情况。
(3)图像法：用F-t 图线与时间轴围成的面积可求变力的冲量。若F-t 呈线性关系，
也可直接用平均力求变力的冲量。
2．用动量定理的解题思路
[针对训练1] (2025·山西·三模)(多选)研究运动员竖直跳跃时，脚下的传感
器记录了运动员与传感器间作用力的大小随时间的变化。如图所示，1.0 s 时运
动员开始起跳，3.1 s 时恰好静止于传感器上。将运动员视为质点，不考虑空气
阻力，取g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．刚离开传感器时，运动员的速度大小为3 m/s
B．起跳过程中，传感器对运动员的冲量为240 N·s
C．2.5～3.1 s 时间内，传感器对运动员平均作用力的大小约为1 200 N
D．1.0～1.9 s 与2.5～3.1 s 时间内，运动员所受合力的冲量不同
[针对训练2] (2025·北京卷节选)关于飞机的运动，研究下列问题。
(1)质量为m 的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x 时速
度为v。在此过程中，飞机受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。
(2)无风时，飞机以速率u 水平向前匀速飞行，相当于气流以速率u 相对飞机向
后运动。气流掠过飞机机翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请
建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作用力大小F 与u 的关系满
足F∝uα，并确定α 的值。
动量守恒定律
[例2] (2025·四川凉山·三模)(多选)如图所示，小车静止在光滑水平面上，
站在车上的人以对车相同的位置和速度，将右边筐中相同的球一个一个地投入
左边的筐中。假设球入筐的位置相同且入筐后即静止，忽略空气阻力，则在投
球过程中( )
A．小车始终未动
B．人、车和球组成的系统动量守恒
C．每个球在空中运动期间小车将向右移动相同距离
D．球全部落入左筐后，小车将静止不动
[听课记录]
规律方法：
1．动量守恒定律的三种表达形式
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
(2)Δp1＝－Δp2。
(3)Δp＝0。
2．爆炸与反冲的三个特点
(1)时间极短，内力远大于外力，系统动量守恒或某个方向的动量守恒。
(2)因有内能转化为机械能，系统机械能会增加，要利用能量守恒定律解题。
(3)若系统初始状态处于静止状态，则爆炸或反冲后系统内物体速度方向往往相
反。
3．注意人船模型和某一方向动量守恒的应用
[针对训练] (2025·云南普洱·二模)(多选)如图所示，斜面B 静止在水平地面
上，物块A 以平行于斜面的初速度从斜面底端开始沿斜面上滑，不计一切摩擦。
在A 从斜面底端运动到最高点的过程中(A 未冲出斜面)，以下说法正确的是(
)
A．A、B 组成的系统动量守恒
B．A 的动量变化量方向水平向左
C．到达最高点时A 的动能最小
D．到达最高点时A 的机械能最小
碰撞模型
[例3] (2023·重庆卷)如图所示，桌面上固定有一半径为R 的水平光滑圆轨道，
M、N 为轨道上的两点，且位于同一直径上，P 为MN 段的中点。在P 点处有
一加速器(大小可忽略)，小球每次经过P 点后，其速度大小都增加v0。质量为
m 的小球1 从N 处以初速度v0沿轨道逆时针运动，与静止在M 处的小球2 发生
第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：
(1)球1 第一次经过P 点后瞬间向心力的大小；
(2)球2 的质量；
(3)两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。
[听课记录]
规律方法：
1．碰撞遵循的三原则
(1)动量守恒定律。
(2)机械能不增加。
Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或p1
2
2m1
+ p2
2
2m2
≥p1
' 2
2m1
＋p2
' 2
2m2
。
(3)速度要合理。
①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，前面的物体速度大或相等。
②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。
2．碰撞的分类
类型
动碰静
动碰动
弹性碰撞
m1v0＝m1v1+m2v2
1
2 m1v0
2＝1
2 m1v1
2
+ 1
2 m2v2
2
v1＝
m1-m2
m1+m2
v0
v2＝
2m1
m1+m2
v0
m1v1＋m2v2＝m1v1
'
+m2v2
'
1
2 m1v1
2+ 1
2 m2v2
2＝
1
2 m1v1
' 2+ 1
2 m2v2
' 2
v′1＝
m1-m2
m1+m2
(v1－v2)＋v2
v′2＝
2m1
m1+m2
(v1－v2)＋v2
完全非弹性碰撞
m1v0＝(m1＋m2)v
v＝
m1v0
m1+m2
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
v＝
m1v1+m2v2
m1+m2
[针对训练1] (2025·山东青岛·三模)(多选)物体间发生碰撞时，因材料不同，
机械能损失程度不同，该性质可用碰撞后二者相对速度大小与碰撞前二者相对
速度大小的比值e 来描述，称之为恢复系数。现有运动的物块A 与静止的物块
B 发生正碰，关于A、B 间的碰撞，下列说法正确的是( )
A．若e＝0，则碰撞后A、B 均静止
B．若e＝1，则碰撞后A、B 交换速度
C．若e＝1，则碰撞前后A、B 总动能相等
D．若e＝0.5，A、B 质量相同，则A、B 碰后速度大小之比为1∶3
[针对训练2] (2024·广东卷)(多选)如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、
乙两个相同滑块分别从H 甲、H 乙高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O
处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，乙在水平面上追上甲时发生
弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有( )
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与H 乙无关
D．甲最终停止位置与O 处相距H 乙
μ
类碰撞模型
[例4] (2025·新课标卷)如图，物块P 固定在水平面上，其上表面有半径为R
的1
4圆弧轨道。P 右端与薄板Q 连在一起，圆弧轨道与Q 上表面平滑连接。一
轻弹簧的右端固定在Q 上，另一端自由。质量为m 的小球自圆弧顶端A 点上方
的B 点自由下落，落到A 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减
小至刚接触时的1
3时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P 和Q 的连接，从静止
开始向右滑动。g 为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q 的上、下
表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功；
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A 两点间的距离；
(3)欲使P 和Q 断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q 的质量应为多大？
(4)欲使P 和Q 断开后，Q 的最终动能最大，Q 的质量应为多大？
[听课记录]
规律方法：
1．“保守型”类碰撞模型
图例(水平面光滑)
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足
mv0＝(m＋M)v 共，损失的动能最大，分别转化为弹性势
能、重力势能或电势能
再次分离
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝
mv1＋Mv2，能量满足1
2 mv0
2＝1
2 mv1
2+ 1
2 M v2
2
2．“耗散型”类碰撞模型
图例(水平面、水
平导轨都光滑)
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v 共，损
失的动能最大，分别转化为内能或电能
[针对训练] (2025·四川宜宾·三模)如图所示，长L＝3 m 的长木板B 放在光
滑的水平地面上，其左端放有一可视为质点的小物块A，长木板B 右侧与放置
于地面的1
4光滑圆弧槽C 紧挨着但不粘连，长木板B 的右端与圆弧轨道平滑连
接。已知mA＝m，mB＝m，mC＝2m，小物块A 与长木板B 间的动摩擦因数μ＝
0.3。现给小物块A 一水平向右的初速度v0＝5 m/s，小物块A 到达长木板B 的
右端后冲上圆弧轨道。重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小物块A 刚滑离长木板B 时，小物块A 的速率v1；
(2)圆弧槽C 能达到的最大速率vm。
