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6.8 计数原理数学思想与重难点方法总结
模块一：数学思想方法................................................................... 2
思想一：分类讨论思想................................................................ 2
思想二：函数思想......................................................................3
思想三：整体思想......................................................................3
思想四：主元思想......................................................................4
思想五：“正难则反”思想............................................................5
模块二：重难点方法总结................................................................ 6
题型一：两个计数原理的综合应用..................................................6
题型二：数字排列问题................................................................ 7
题型三：涂色问题......................................................................8
题型四：全排列问题................................................................. 11
题型五：元素位置有限制问题......................................................12
题型六：相邻与不相邻问题........................................................ 13
题型七：分组分配问题.............................................................. 14
题型八：二项展开式及其逆应用...................................................15
题型九：特定项（特定项系数）...................................................16
题型十：二项式系数（含最值问题）.............................................17
题型十一：系数（含系数最大，小项）..........................................18
题型十二：二项式系数和与系数和................................................20
题型十三：二项式定理应用........................................................ 21
题型十四：杨辉三角形.............................................................. 23
6.8 计数原理数学思想与重难点方法总结
模块一：数学思想方法
思想一：分类讨论思想
1.部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，
国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，
某高等院校7 名男生和5 名女生报名参军，经过逐层篮选，有5 人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2 名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
2. 有9名歌舞演员，其中7 名会唱歌，5名会跳舞，从中选出2 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不
同的选派方法有（
）
A．19种
B．26 种
C．32种
D．72 种
3.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（
）
A．18
B．36
C．72
D．48
4.武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意
拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器
上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（
）
A．19840 种
B．16000 种
C．31360 种
D．9920 种
5.“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首
回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文
数”，如232，251152 等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有
个.
思想二：函数思想
1.已知(1 2 )n
x
的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
2.设m 为正整数，
2
(
) m
x
y
展开式的二项式系数的最大值为a ，
2
1
(
) m
x
y
展开式的二项式系数的最大值为
b ，若13
7
a
b
，则m
A．5
B．6
C．7
D．8
3.已知
2
2
*
9
2A
C
4!
n
n
N
，则n （
）
A．5
B．4
C．3
D．2
思想三：整体思想
1. 有9名歌舞演员，其中7 名会唱歌，5名会跳舞，从中选出2 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不
同的选派方法有（
）
A．19种
B．26 种
C．32种
D．72 种
2.某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，活
动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
种(用数字作答)．
3. A ，B ，C ，D ，E ，F ，6 名同学站成一排参加文艺汇演，若A 不站在两端，B 和C 必须相邻，则不
同的排列方式共有
种．
4.将5 个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
5.用1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1 和2
相邻．问：有多少个这样的六位数？
6.现有8 个人（5 男3 女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法?
(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法?
思想四：主元思想
1.某医院选派甲、乙等4 名医生到3 个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、
乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有
种．
2.现有包括甲、乙在内的5 名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要
求的排列方法共有
种
3.为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6 位乡村振兴指导员到A，B，C，3
地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中
张指导员不安排到C 地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（
）
A．180 种
B．240 种
C．480 种
D．540 种
4.2022 年10 月16 日至10 月22 日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，
某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织
,
,
,
,
A B C D E 去甲、乙、丙、丁4 个村开展二十大宣讲
工作，每村至少1 人，其中A 不去甲村，且
,
A B 不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（
）
A．216
B．198
C．180
D．162
5.学校安排甲乙丙丁4 名运动员参加4 100
米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有
种不同的接力方
式.
思想五：“正难则反”思想
1.平面上有10 个点，其中有4 个点在同一条直线上，除此以外，不再有三点共线.问：由这些点可以确定
多少条直线？
2.（1）从10 男8 女中任选5 人，共有多少种不同的选法？
（2）从10 男8 女中任选5 人（男女都有）担任5 项不同的工作，共有多少种不同的选法？
3.某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织
委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（
）.
A．15
B．11
C．14
D．23
4．将2 个男生和4 个女生排成一排，要求2 个男生都不与女生甲相邻的排法有
种.
5.第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3 位同学报名，高二年级有5 位同学报名，现要从报名的学
生中选取4 人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为
.（结果用数值表示）
模块二：重难点方法总结
题型一：两个计数原理的综合应用
1.用0，1，2，…，9 这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
2.安排5 名志愿者完成
, ,
,
A B C D 四项工作，其中A 项工作需2 人，B 项工作不安排5 人中的甲完成，5 名
志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（
）
A．66 种
B．60 种
C．54 种
D．48 种
3.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地
理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（
）
A．216 种
B．384 种
C．408 种
D．432 种
4.2023 年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热
门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门
所选旅游地全不相同的方法种数共有（
）
A．1800
B．1080
C．720
D．360
5.为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举
＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的
形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种
植”“3D 打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4 名学生中至少有3 名所选劳动课全不相同的
方法共有
种．
6.在由数字1，2，3，4，5 组成的数字不重复的五位数中，小于50000 的奇数有
个．
题型二：数字排列问题
1.已知0，1，2，3，4，5 这六个数字．
(1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000 的自然数？
(3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000 且小于5 421 的四位数？
2.在0 ，1，2 ，3，4 ，5，6这7 个数中任取4 个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比
4351大的数共有（
）
A．54个
B．62 个
C．74 个
D．82 个
3.由数字0，1，2，3，4，5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数为
．
4.若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有
个．
5.将0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123 大的数？
6.用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于2018 的正整数？
题型三：涂色问题
1.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，
欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，
则共有（
）种不同的涂色方法.
A．78
B．66
C．56
D．48
2.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图
是五行图，现有5 种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，
不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方
法种数有（
）
A．3125
B．1000
C．1040
D．1020
3.如图为我国数学家赵爽（约3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5 种
颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有
种（用数字作答）.
4.某植物园要在如图所示的5 个区域种植果树，现有5 种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种
果树，则共有（
）种不同的方法.
A．120
B．360
C．420
D．480
5.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨
分成8 个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域
涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1 与区域5）所涂颜色相同.若有
7 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（
）
A．1050 种
B．1260 种
C．1302 种
D．1512 种
6.（多选）用n 种不同的颜色涂图中的矩形
, ,
,
A B C D ，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数
记为
s n ，则（
）
A．
3
12
s
B．
4
36
s
C．
5
120
s
D．
6
600
s
题型四：全排列问题
1.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课
程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排
法种数为
2.班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2 个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2 个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加1个魔术节目，要求重新编排节目单，要求2 个相声节目不相邻且2 个魔术节目也不相邻，
有多少种排法？
3.求下列问题的排列数:
(1)3 名男生和3 名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
(2)3 名男生和3 名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
4.有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数
字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.
5.毕业典礼期间，国际班的7 名师生站成一排拍照留念，其中老师1 人，男学生4 人.在下列各种情况下，
有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果
(1)前排站3 人，后排站4 人
(2)老师的左右两边都是女学生
(3)男学生互不相邻
(4)老师不站中间，且女学生不站两端
6.如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由8 块相同的区域组成的，用7 种颜色分别涂在伞蓬的8个区域内，且恰
有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?
题型五：元素位置有限制问题
1.2023 杭州亚运会于9 月23 日至10 月8 日举办，组委会将6 名志愿者随机派往黄龙体育中心､杭州奥体
中心､浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1 名
志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（
）
A．180
B．300
C．360
D．380
2.2023 年10 月23 日，杭州亚运会历时16 天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排
合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（
）
A．18 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
3.第19 届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的
机器人，组合名为“江南忆”.现有6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2 个，将这6 个吉祥物
排成前后两排，每排3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有
.（用数字作答）
4.某班在一次班团活动中，安排2 名男生和4 名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生
之间不超过1 人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（
）
A．168
B．192
C．240
D．336
5.已知A、B、C、D、E 为0﹣9 中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法，则满足条件的四位数ABCD
共有
个．
6.甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行劳动技能比赛，决出第1 名到第5 名的名次，已知甲没有得到冠军，
并且甲和乙都不是第5 名，则这5 个人名次排列的可能情况共有
种．
题型六：相邻与不相邻问题
1、7 个人站成两排，前排3 人，后排4 人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（
）
种站排方式．
A．672
B．864
C．936
D．1056
2.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3 项
开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6 项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1 与2 不
相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（
）
A．144
B．120
C．108
D．96
3.（1）现有4 男2 女共6 个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8 个体育生名额，分配给5 个班级，每班至少1 个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4 个不同的朗诵节目和3 个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且
任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7 名，其中3 名女医生，有外科医生5 名，其中只有1 名女医生．现选派6 名去
甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2 名男医生1 名女医生，且每队由2 名外科医生1 名内科医生
组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
4.某5 位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3 位同学要加入，若保持原来5 位同学的相对顺序不
变，且甲､乙2 位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（
）
A．360 种
B．144 种
C．180 种
D．192 种
5.唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、
欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪
潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末
开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至
少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有
种.（用数字作答）
6.电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战
役胜利做出重要贡献的故事，现有4 名男生和3 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连
在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
题型七：分组分配问题
1.2023 年杭州亚运会志愿者第一小组有5 人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1 人，
至多2 人，则不同的分配方法有多少种（
）
A．90 种
B．150 种
C．180 种
D．240 种
2.2023 年7 月28 日至8 月8 日，第31 届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，
举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5 位同学报名参加3 个项目，每人只报名1 个项目，每
个项目至少1 人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（
）
A．72 种
B．114 种
C．120 种
D．144 种
3.2023 年成都大运会期间，5 名同学到3 个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，每个场馆至少安排1
名同学，则不同的安排方法共有
种．
4.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教
师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学
校支教，则不同的安排方案有（
）
A．18种
B．24 种
C．36种
D．48 种
5.为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新
疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两
位女教师分派到同一个地方的方法种数为（
）
A．18
B．150
C．36
D．54
6.将六名志愿者分配到
,
,
,
A B C D 四个场所做志愿活动，其中A 场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各
至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有
种．（用数字作答）
题型八：二项展开式及其逆应用
1.设数列
na
的通项公式为
1
2
2
3
3
*
1
2C
2 C
2 C
2 C
N
n
n
n
n
n
n
n
a
n
，其前n 项和为
n
S ，则使
2023
n
S
的最小n 是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.化简
5
4
3
2
1
5
1
10
1
10
1
5
1
x
x
x
x
x
．
3.若对
x
R ，
5
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
ax
b
x
x
x
x
x
恒成立，其中a ，
R
b
，
则a
b
（）
A．3
B．2
C．0
D．1
4.若对
x
R ，
5
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
ax
b
x
x
x
x
x
恒成立，其中,a bR ，则
a
b
（
）
A．1
B．0
C．2
D．3
题型九：特定项（特定项系数）
1.已知
4
2
n
x
x
的展开式中第4 项与第6 项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项
．
2.
8
2
1
2
x
x
x
展开式中的常数项为
．
3.已知
4
5
A
40C
n
n
，设
3
1
n
f x
x
x
．
(1)求n 的值；
(2)求
f
x 的展开式中的有理项．
4.
6
3
1
2
3
x
x
x
x
的展开式中常数项为
（用数字作答）．
5.在
4
1
2x
x
的展开式中，x 的系数为
．
6.已知
3
3
3
n
x
x
的展开式中，第6 项为常数项.
(1)求含
2x 项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
题型十：二项式系数（含最值问题）
1.（多选）若
3
2
n
x
（n
N ）的展开式中第5 项的二项式系数最大，则n 的可能取值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
2.若
2
n
x
x
展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为
.
3.已知在
1
n
ax
的展开式中，第3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，且
3x 的系数为80
，则
a
.
4.已知
1
(2 +
)n
x
x
展开式前三项的二项式系数和为22 .
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
5.已知
2
2
n
x
x
展开式中第3 项和第5 项的二项式系数相等，则n
，且展开式中的常数项为
.
6.
3
2
n
x
x
的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4 项，则展开式中
6
x 的系数为
．
7.已知
1 2
n
x
的展开式中第7 项和第8 项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最
大的项．
8.若
1
3
n
x
x
展开式前三项的二项式系数之和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
题型十一：系数（含系数最大，小项）
1.
2
1
2
n
x
x
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，则
2
1
2
n
x
x
的展开式中系数最大的项的系数
为
.
2.在
8
2
2
x
x
的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
3.已知
2
2
(
,
1)
N
n
x
n
n
x
的展开式中，二项式系数和为256.
(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
(2)求展开式中系数最小的项.
4.已知在
3
1
2
n
x
x
的展开式中，前三项的系数分别为
1a ，
2a ，
3
a ，且满足
2
1
3
2a
a
a
．
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中所有有理项．
5.求
9
3
2x
的二项展开式中系数最大的项．
6.(1)已知在
3
2
1
n
x
x
的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x 的项；
(2)已知在
3
2
1
n
x
x
的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n 的值；
(3)已知在
3
2
1
n
x
x
的二项展开式中，第六项的系数最小，求n 的值．
题型十二：二项式系数和与系数和
1.若
10
2
10
0
1
2
10
2
1
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
，则
1
2
10
2
10
a
a
a
（
）
A．
10
3
B．
10
3
1
C．
9
20 3
D．
9
10 3
2.（多选）已知
2023
2
2023
0
1
2
2023
1
2x
a
a x
a x
a
x
，则（
）
A．展开式中所有二项式的系数和为
2023
2
B．展开式中二项式系数最大项为第1012 项
C．
1
2
3
2023
2
3
2023
1
2
2
2
2
a
a
a
a
D．
1
2
3
2023
2
3
2023
4046
a
a
a
a
3.在
3
2
n
x
x
的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为
．
4.已知二项式
0
1
2
1
n
n
n
x
a
a x
a x
，且满足
4
5
A
30C
n
n
.
(1)求n 的值；
(2)求
1
2
3
n
a
a
a
a
的值.
5.已知
2023
2
2023
0
1
2
2023
3
2
x
a
a x
a x
a
x
，则下列结论不正确的是（
）
A．
2023
0
2
a
B．
0
1
2
2023
1
a
a
a
a
C．
2023
1
3
5
2023
5
1
2
a
a
a
a
D．
1
2
3
2023
0
2
3
2023
1
3
3
3
3
a
a
a
a
a
6.已知
2
3
2
n
x
x
展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中
4
x 的系数为
.（用数字作
答）
7.已知
2
0
1
2
(3
2)
(
1)
(
1)
(
1)
n
n
n
x
a
a x
a
x
a
x
，若(3
2)n
x
展开式各项的二项式系数的和为1024，
则
4a 的值为
．
8.已知(1 2 )n
x
的二项式系数和为256，则展开式中含
2x 项的系数为
．
题型十三：二项式定理应用
1.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若a 和b 被
m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为
mod
a
b
m
.若
1
2
2
18
18
18
18
18
C
2
C
2
...
C
2
a
，
mod10
a
b
，则b 的值可以是（
）
A．2018
B．2020
C．2022
D．2024
2.泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，
有
3
5
7
2
1
1
sin
1
3!
5!
7!
2
1 !
n
n
x
x
x
x
x
x
n
，其中
R
x
，
*
nN ，!
1 2
3
n
n
，0! 1
．现用上
述式子求
2
4
6
2
2
1
4
4
4
4
1
1
2!
4!
6!
2
2 !
n
n
n
的值，下列选项中与该值最接近的是（
）
A．cos49
B．cos41
C．sin49
D．sin41
3.已知
9
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
.
(1)求
2a 的值；
(2)设
9
2
3
f
x
x
，求
(20)
20
f
被6 除的余数.
4.若
1
2
2
3
3
100
100
100
100
100
100
1 3C
3 C
3 C
3
C
S
，且
17
S
m
n
（
,
m nZ ，且0
17
n
），则n （
）
A．1
B．2
C．15
D．16
5.（多选）下列说法正确的是（
）
A．若
10
2
10
0
1
2
10
2
1
x
a
a x
a x
a x
，则
10
1
2
10
3
1
a
a
a
B．
10
1.05 精确到0.1 的近似数为1.6
C．
55
55 被8 整除的余数为1
D．
0
9
1
8
9
9
9
9
9
C 2
C 2
C
3
6.已知正项等比数列
na
中，
2
1
3
,3 ,
a
a a 成等差数列，其前n 项和为
n
S ，若
1
n
n
S
ka
，则
2024
S
除以7 的余
数为
.
题型十四：杨辉三角形
1.我国南宋时期数学家杨辉于1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(
)n
a
b
展开式的系
数规律.
当代数式
4
3
2
12
54
108
81
x
x
x
x
的值为1 时，则x 的值为（
）
A．2 或4
B．2 或4
C．2
D．4
2.（多选）为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古
迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p 行第q个数记为
*
,
,
p q
a
p q N
，并从左腰上
的各数出发，引一组平行的斜线，记第n 条斜线上所有数字之和为
1
2
3
1,
2
n
S
S
S
S
，入场码由两段数
字组成，前段的数字是
4
4
4,
1
10
i
i
i
a
的值，后段的数字是
2021
2023
1
i
i
S
S
的值，则（
）
A．
2023,2
2023
a
B．
4
4
4,
1
10
1331
i
i
i
a
C．
9
34
S
D．该景点入场码为13311
3.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，
杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》给出了如下图1 所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2 是杨
辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中
华民族自豪的.
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.
性质1：杨辉三角的第n 行就是(
)n
a
b
的展开式的二项式系数；
性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C
C
r
n r
n
n
；
性质3（递归性）：除1 以外的数都等于肩上两数之和，即
1
1
1
C
C
C
r
r
r
n
n
n
；
性质4：自腰上的某个1 开始平行于腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，
比如：1
2
3
4
5
15,1
3
6
10
20
；
请回答以下问题：
(1)求杨辉三角中第8 行的各数之和；
(2)证明：
1
1
1
C
C
C
r
r
r
n
n
n
；
(3)在
2
3
1
(1
)
(1
)
(1
)n
x
x
x
的展开式中，求含
2x 项的系数.
4.如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为
n
S ，设
2
5log
1
1
n
n
b
S
，将数列
nb
中的整数项依次取出组成新的数列记为
nc
，则
20
c 的值为（
）
A．545
B．51
C．560
D．48
5.（多选）将杨辉三角中的每一个数Cr
n 都换成
1
1 Cr
n
n
，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角
形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0 行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果
*
2
N
n
n
，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（
）
A．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．第8 行第2 个数是1
72
C．
1
1
1 C
1 C
r
n r
n
n
n
n
（
N
r
，0
r
n
）
D．
1
1
1
1
1
1 C
1 C
C
r
r
r
n
n
n
n
n
n
（
N
r
，1
r
n
）
6.将杨辉三角中的每一个数Cr
n 都换成
1
1 Cr
n
n
，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布
尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0 行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果
2
n
（n 为
正整数），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是
.
①当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；②第
8 行第2 个数是1
72 ；③
1
1
1 C
1 C
r
n r
n
n
n
n
（r N ，0
r
n
）；
