文档文本内容
专题03 基本不等式求最值9 大题型
考点01 直接法求最值
考点02 配凑法求最值
考点03“1”的代换
考点04 双换元法求最值
考点05 条件等式有和有积求最值
考点06 多次基本不等式求最值
考点07 消元法求最值
考点08 恒成立问题
考点09 实际应用
考点01 直接法求最值
1．已知
，且
，则
的（ ）
A．最大值为-2
B．最大值为2
C．最小值为-2
D．最小值为2
【答案】A
【详解】由题意，
，
，且
，
根据基本不等式，有：
当且仅当
时等号成立，
所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最大值为
；
由于
，且
，则
，因此
的取值范围是
，
当
时，
，故没有最小值.
故选： A.
2．
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对任意的
，
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：A.
3．已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】因为
，又
，
所以
，当且仅当
时，等号成立.
所以
故选：D
4．已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．
D．8
【答案】A
【详解】
且
，
，
当且仅当
时取等．
故选：A．
5．下列各式中最小值等于2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A 项，当
时，得
，则不合题意，故A 项错误；
对于B 项，
，等号成立时，
，但
，故等号取不到，
故B 项错误；
对于C 项，
，故C 项错误；
对于D 项，因为
，所以
，等号成立时，
，故D 项正确．
故选：D
6．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的最小值为
.
故选：B
考点02 配凑法求最值
7．当
时，
的最小值是 ．
【答案】3
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值等于3．
故答案为：
8．已知
，则
的最小值为 ，此时
．
【答案】
【详解】因
，则
，等号成立时
，
故当
时，
有最小值
.
故答案为：
；
9．已知
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为.
故答案为：.
10．若
，则函数
的最小值为 ，此时
.
【答案】
【详解】由
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，故
最小值为.
故答案为：，
11．函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
12．已知实数
，
满足
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】由
，
，得
.
由
，得
，
又
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
考点03“1”的代换
13．已知0＜x＜1，则
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．27
D．34
【答案】B
【详解】由
，得
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，
取得最小值25．
故选：B.
14．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】A
【详解】由题意得
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为8.
故选：A
15．已知
，若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．9
【答案】B
【详解】依题意，
，故
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
的最小值为3.
故选：B.
16．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．9
【答案】A
【详解】
得
，又
，解得
，故
，
故
，
其中
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：A
17．若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．16
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
则
，
当且仅当
时，
取最小值9.
故选：B.
18．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】由题可知，
，又因为
,
则
,
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
因此
的最小值为4，
故
的最小值为3.
故选：D.
考点04 双换元法求最值
19．已知
．
(1)求
的最大值；
(2)求
的最小值；
(3)求
的最小值．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）
，
，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最大值为1．
（2）
，
，
，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
的最小值为
．
（3）
，
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
的最小值为
．
20．若
，且
，则
的最小值为 .
【答案】31
【详解】因为
得
，
所以
当且仅当
且
，即
时取等号，
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
21．已知
且
，则
的最小值为 .
【答案】12
【详解】因为
，
所以
，
化简得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
取最小值为12.
故答案为：12.
22．已知
，
,若
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
考点05 条件等式有和有积求最值
23．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．25
C．36
D．64
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
即
，解得
（
舍去），
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是
.
故选：B.
24．已知
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．5
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
，得
，
又
，即
，
令
，上式为
，解得
或
（舍去），
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
得最小值为1.
故选：A.
25．（多选）若正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A：
，令
，则有
，
整理得
，解得
或
（舍去），即
，当且仅当
时，等号成立，故A
错误；
对于B：由A 可知
，故
，故B 正确；
对于C：由
可得
，
故
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故C 正确；
对于D：
，令
，则有
，解得
（舍去）或
，
即
，
，当且仅当
时，等号成立，
因此
，故D 正确.
故选：BCD.
26．已知实数
，
满足
，则
的最大值为 ．
【答案】2
【详解】
，
，
因为
，所以意到
，当且仅当
时取等号.
，化为
，
，当且仅当
时取等号，
的最大值为2．
故答案为：2．
27．若正数
，
满足
，
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)当
时，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，有
，
即
所以
当且仅当
，即
时取等号．
所以
的最小值为；
（2）当
时，有
，则
，
因为
，
所以
，
即
，解得
或
（舍），
当
，即
时，等号成立，
所以
，
所以
的最小值为
考点06 多次基本不等式求最值
28．已知
，则
的最小值为 ，此时
.
【答案】 6 3
【详解】
.
因为
，所以
，
故
，当且仅当
即
时，两个不等式等号同时成立，
所以所求最小值为6，此时
.
故答案为：
.
29．已知
，
，且
．
(1)求
的最小值；
(2)是否存在实数
，使得
的值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
．
因为
，当且仅当
时取等号．
所以
的最小值为
．
（2）因为
，
，又由（1）知
，
所以
，
当且仅当
时取等号．
因为当且仅当
时取等号时，
，
所以
又
，所以不存在实数
，使得
的值为
．
30．
且
(1)求证
.
(2)是否存在a，b 使得
？
【答案】(1)见解析；
(2)不存在．
【分析】
【详解】（1）由题，因为
，
，所以
，解得
，仅当
时取得等号
所以
， 仅当
取得等号.
（2）
仅当
取得等号，又
仅当
取得等号，
所以
，仅当
取得等号，与题目条件矛盾
所以不存在a，b 使得
．
31．已知
，
，
且
，则
的最小值为（ ）.
A．22
B．23
C．24
D．25
【答案】C
【详解】因为
，
，
且
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
，
，
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
考点07 消元法求最值
32．已知
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】3
【详解】∵已知
，
，
∴
，即
∴
，当且仅当
，
时等号成立，最
小值为3，
故答案为：3.
33．已知
，且
，则
的最小值是 ，此时
【答案】 5
【详解】解法一：因为
，
，
，所以
，
则
，故
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，此时
.
解法二：由
，得
，因为
，所以
，
故
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，此时
.
故答案为：；
.
34．若正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
可得
，
因为
，
，由
可得
，故
，且
，
故
.
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：D.
35．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
【答案】C
【详解】因为
，当
时，等式不成立，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
或
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
36．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．8
D．9
【答案】C
【详解】由
，可得
，
时该等式不成立，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为.
故选：C.
37．已知
，且
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，所以
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
考点08 恒成立问题
38．已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为
，
，且
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
，
时，所以
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
39．若不等式
对
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．12
B．
C．6
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即
恒成立，则
，故
，
故实数
的最大值为
.
故选：A.
40．已知
，
，若不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）.
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】
，
，
恒成立，
而
，
当且仅当
时，等号成立，则
，故
的最大值为.
故选：C.
41．已知
，
，且
若关于
，
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
代入
得
，
将
代入原不等式，得
，
两边同时除以
，得
，
把
代入，得
，
即
，
由均值不等式可得，
，当且仅当
，即
时等号成立，
，
恒成立，
故实数
的取值范围为
.
故选：
.
42．（多选）若
恒成立，则实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】BCD
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
由题意得
恒成立，故得
.
故选：BCD．
43．已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，则
，
因为
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，则
的最小值是4．
因为
恒成立，所以
，所以
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
．
44．若命题“存在正数a，b，使得
”是假命题，则实数k 的最大值为 .
【答案】
/0.5
【详解】因为“存在正数a，b，使得
”是假命题，
所以“对任意正数a，b，
”为真命题，
即
恒成立，
因为
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以实数
的最大值为
.
故答案为：
.
考点09 实际应用
45．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚
相约登泰山，若小明上山的速率为
，下山（原路返回）的速率为
（
），小刚上山和下山的速率
都是
，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（ ）
A．小明上山和下山所用时间之和为
B．小明上山和下山所用时间之和为
C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少
D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少
【答案】BD
【详解】解：小明上山和下山所用时间之和为
，故A 错误，B 正确；
对于C，D，小刚上山和下山所用时间之和为
，因为
，
所以
，
，
所以
，
所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C 错误，D 正确．
故选：BD．
46．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁
片
加以利用．已知
，设
，当截取的矩形铁片
的面积
最大时，
，
【答案】 10 8
【详解】设矩形铁片
的面积为，
因为
，所以
，解得
，
所以
，则
，
当且仅当
时等号成立，即取得最大值时
.
故答案为：
，
47．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3 米，底
面积为12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因
此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体报价为每平方
米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（
）.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.
【答案】(1)
米，
元
(2)
【分析】
【详解】（1）设甲工程队的总报价为y 元，
则
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立.
即当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元.
（2）由题意可得，
对任意的
恒成立，
即
，
所以
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
，所以
的取值范围为
.
48．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5 元，年销售8 万个．
(1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1 元，年销售量将相应减少2000 个．如何定价才使年销售总收入不
低于原收入？
(2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要
再投入
万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量
至少达到多少万个时，才能
使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？
【答案】(1)玩具的单价不少于2.5 元且不超过
元时，才使年销售总收入不低于原收入
(2)该玩具的年销售量
至少达到5 万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和
【分析】
【详解】（1）设玩具的单价为
元，则年销售量为
万个，
令
，解得
，
由题意可得：
，
整理可得
，解得
，
所以玩具的单价不少于2.5 元且不超过
元时，才使年销售总收入不低于原收入.
（2）由题意可知：
，且
，可得
，
原题意即为存在
，
有解，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以该玩具的年销售量
至少达到5 万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和.
49．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为
的花园．图中阴影部分是宽度
为
的小路，中间
三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中
区域的形状、大小完全相
同）．设矩形花园的一条边长为
，鲜花种植的总面积为
．
(1)用含有
的代数式表示
；
(2)当
的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1)
，
(2)当
时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为
.
【分析】
【详解】（1）设矩形花园的长为
，因为矩形花园的总面积为
，
所以
，可得
，又
，则
，
又因为阴影部分是宽度为1m 的小路，可得
，
可得
，即
关于
的关系式为
.
（2）由（1）知，
，
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以当
时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为
.
50．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3 米，背面靠墙，其余三面使用一种新
型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为
米，侧面长为
米.
(1)若
满足
，则展房占地面积至少为多少平方米？
(2)若已知展房占地面积为192 平方米，正面每平方米造价1200 元，侧面每平方米造价800 元，屋顶造价
5800 元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？
【答案】(1)9 平方米.
(2)当展房正面长为16 米，侧面长为12 米时，总造价最低为121000 元.
【分析】
【详解】（1）
，且
，
，
即
，
解得
或
（舍），
，当且仅当
时，等号成立.
所以当正面和侧面长均为3 米时，展房占地面积最少为9 平方米.
（2）由题知
，
总造价为
当
即
时，上式等号成立，
所以当展房正面长为16 米，侧面长为12 米时，总造价最低为121000 元.
