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专题 08 基本不等式综合必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1．已知 均为正实数，且满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合基本不等式求得 ，再利用对数的运算，即可求解.
【详解】
由 均为正实数，且满足 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，即 的最大值为 .
故选：C
2．已知 ， ，且 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件将多项式写成 的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由题知， ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故选：B
3．已知圆C ：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C ：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且
1 2ab≠0，则 ＋ 的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【分析】
根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
因为圆C ：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C ：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
1 2
所以两圆相内切，其中C (－2a，0)，r＝2；C (0，b)，r＝1，故|C C |＝ ，由题设可知
1 1 2 2 1 2
，
当且仅当a2＝2b2时等号成立．
故选：D.
4．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求 的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】
， ，又 ，且 ，
，
当且仅当 ，解得 ， 时等号成立，
故 的最小值为9．故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．已知 ，函数 在 处的切线与直线 平行，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到 ，
进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
因为 ，则 ，因为切点为 ，则切线的斜率为 ，又因为切线与直线 平行，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则 的最小值是 ，
故选：C.
6．已知直线 与圆 相切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直线与圆相切可得 ，然后利用均值不等式可得 ，从而可求 的最大值.
【详解】
解：因为直线 与圆 相切，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，
故选：D.
7．若 ， 且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是 D． 的最小值是
【答案】A
【分析】
根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为 ， 且 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值是 ，所以A正确，
对于B， ， 且 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以
的最大值是 ，所以B错误，
对于C，因为 ， 且 ，所以 ，所以 ，由选项B的解答可知，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值是 ，所以C错误，
对于D，因为 ， 且 ，所以 ，当
且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ，所以D错误，
故选：A
8．已知a，b为正实数，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得 ，由 ，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立．
故选：C．
9．已知在 中，动点C满足 ，其中 ，且 ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段 上，于是 ，且 ，然后利用均值不等式即
可求解.
【详解】解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段 上，于是 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故选：C.
10．若实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 ，令 ，利用不等式的性质即可求得 的范围．
【详解】
解： ，
又 ，
，令 ，
则 ，
，即 ，当且仅当 时，取等号，
的取值范围是 ， ．
故选：A．
11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ）
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【分析】
由x2+2xy-3=0，可得y= ，则2x+y=2x+ ，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】
解：∵x2+2xy-3=0，∴y= ，
∴2x+y=2x+ 2 =3，
当且仅当 ，即x=1时取等号.
故选：B.
12．已知 ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求 的最小值.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ (当且仅当 时等号成立)，
∴ (当且仅当 时等号成立)，
∴ 的最小值为3，
故选：C.
13．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
法一：由基本不等式即可求出结果；法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.
【详解】解析：法一：由题意，得 ， ，且 ，即 ，亦即 ，
由基本不等式，得 ，解得 （当且仅当 时，取等号），
所以 的最小值为 .
法二：由 ，得 .
因此 （当且仅当 时，取等号） ，所以 的
最小值为 .
故选：C.
14．若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当 ，即
时取等号），
的最小值为 .
故选：C.
15． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则 面积的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A【分析】
根据题意得到 ，结合基本不等式，求得 ，结合面积公式，即
可求解.
【详解】
在 中，满足 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时
取等号，所以 ，可得 ，
所以 ．
故选：A.
16．设a，b为正数，若圆 关于直线 对称，则 的最小值为（
）
A．9 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【分析】
求出圆的圆心坐标，得到 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆 ，即 ，所以圆心为 ，
所以 ，即 ，因为 、 ，
则 ，
当且仅当 时，取等号．
故选： ．
17．已知 ，且 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先化简 ，由 ，结合基本不等式，求得 ，进而求得
的最大值.
【详解】
由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 .
故选：D.
18．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意可得 ，结合基本不等式可求 的最小值，然后由 恒成立可
知 ，解不等式可求 的范围，从而得解．
【详解】
解： ， ，且 ，，
当且仅当 且 时取等号，此时 ，
若 恒成立．
，
，
解不等式可得， ，故实数 的最小值为 ，
故选： ．
19．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】
由目标式可得 ，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等
号成立的条件.
【详解】
∵ ，
∴ 当且仅当 时等号成立.
故选：C
20．已知正数a，b满足 ，则 的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【分析】整理 得出 ，进而得 ，结合基本不等式即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等式成立，
故选：D．
21．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出 不
符合题意， 符合题意．
【详解】
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符
合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即
可解出．
22．若直线 （ ， ）被圆 截得弦长为 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即 ，
，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值.
【详解】
直线被圆截得的弦长为4，
圆的半径为 ,圆心为
直线过圆心，故 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，最小值为9.
故选：A
【点睛】
理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由 ，求 的最小值联
想用基本不等式求最值.23．设 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式，结合“1”的妙用，即可得解.
【详解】
可得 ，
当且仅当 时成立，
故选：A
24．已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知等式把代数式 进行变形为 ，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即
可.
【详解】
，因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因此 ，因为 是正实数，所以 ，（当且仅当
时取等号，即 时取等号，即 时取等号），
故选：A
25．在等比数列 中， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等比数列性质可求得 及 ，利用基本不等式可求得 的最大值，即为所求结果.
【详解】
由等比数列性质知： ，
（当且仅当 时取等号），
， ，即 的最大值为 .
故选：B.
26．已知实数a，b，c成等差数列，则点 到直线 的最大距离是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
由等差数列性质得 ，求出点到直线的距离，代入消元后应用基本不等式可得最大值．
【详解】
由已知 ，点P到直线的距离 ，
由均值不等式知 ，当且仅当 时取等，故 ，最大值为 ．故选：C．
27．实数a，b满足 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】
令 ， ，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
令 ， ，则 ， ，且 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号.
故选：D.
28．已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可得 ，根据 展开利用基本不等式可求.
【详解】
， ， ，
，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为9.
故选：B.
29．设 (其中00，b>0，且 ＋ ＝1，求证：a＋2b ＋ .
【答案】证明见解析
【分析】
设2a＋b＝x，b＋1＝y，则x>0，y>1， ＋ ＝1，则a＝ ，b＝y－1，所以a＋2b＝ ＋2y－2，利用基本式不等式化简计算即可证明结果.
【详解】
设2a＋b＝x，b＋1＝y，则x>0，y>1， ＋ ＝1，则a＝ ，b＝y－1，
所以a＋2b＝ ＋2y－2＝ ＋ － ＝ －
＝ ＋ ＋ 2 ＋ ＝ ＋ ，
当且仅当 ＝ ，即a＝ ＋ ，b＝ 时等号成立.
故a＋2b ＋ .
39．已知函数 的最小值为 ．
(I)求 的值；
(II)当 时，求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】
(1)利用绝对值不等式得 ，再加上 可得， ；
(2)先用基本不等式得 ，再用基本不等式得 ，
所以 .
【详解】
(I)因为 ，当 时，等号成立；
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为3，所以 .(II)当 时，由基本不等式得，
，
又 ，
所以 .原命题得证.
40．已知 是正实数.
（1）证明： ；
（2）若 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）利用三个同向不等式 ， ， 相加即可得证；
（2）利用 ，将 化为 ，再根据基本不等式即可得证.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）
，当且仅当 时，等号成立.
【点睛】
关键点点睛：利用基本不等式和不等式的性质求解是解题关键.
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
1．已知三次函数 在 上单调递增，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数单调性可知 恒成立，结合二次函数图象与性质可确定 ，由此化简所求式子为
；利用 ，配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.
【详解】
在 上单调递增， 恒成立，
， ， ， ，
，令 ，设 ，
则 ，
， ， （当且仅当 ，即 时取等号），
，即 的最小值为 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解
问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定 的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.
2．已知函数 ，若 ，其
中 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过函数 解析式可推得 ，再利用倒序相加法求得
，得到 的值，然后对 分类讨论利用基本不等式求
最值即可得出答案.
【详解】
解：因为 ，所以
，
令
则 所以
所以 ，所以 ，其中 ，则 .
当 时
当且仅当 即 时等号成立；
当 时
，
当且仅当 即 时等号成立；
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．设 ，则 取得最小值时， 的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】
转化条件为原式 ，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．已知 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】
利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】
令
，等号在 时取到．
故选：A
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
5．若 ， 均为正实数，则 的最大值为
a b
A． B． C． D．
2
【答案】B
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，则 ，
当且仅当 ，且a=1取等，即a=1,b= 取等
即则 的最大值为 ，
故选B．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题.
6．已知 的内角 的对边分别是 且 ，若 为最大边，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，化简得到 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，
可得 ，
通分得 ，
整理得 ，所以 ，
因为 为三角形的最大角，所以 ，
又由余弦定理，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ，
又由 ，所以 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，
着重考查了推理与运算能力.
7．已知正数 满足 ， 则 的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用不等式进行变型，转化为 ，所以原式
变化成关于z的函数，然后求导进行求最值即可得到答案.
【详解】
(当且紧当 时取等号)
又因为已知正数 满足 ，所以
即
故
令此时函数 递增；
此时函数 递减；
故
故选B
【点睛】
本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应用，利用单调性求最值，
属于较难题.
8．（改编）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
分析：由 变形为 ，将 乘以 后再根据基本不等式求解即可得
到所求．
详解：∵ ，
∴ ．
∴
，当且仅当 且 ，即 时等号成立．
∴ 的最小值为 ．
故选C．
点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．
（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其
满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
9．若 ， ， ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设 ,则 ,所以
,因为
,所以 ,故选A.
点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条
件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还
要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如： ， (a>0，
b>0)．
10．设 ， ，若三个数 ， ， 能组成一个三角形的三条边长，则实
数 的取值范围是
m
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
由题意可得 ，可令 ，判断可得 ，可得
，化为
，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成
立思想，即可得到所求范围．
【详解】
， ，
令 ， ， ，
，
，
，
，y，z能组成一个三角形的三条边长，
可得 ，
即为 ，
设 ，可得 ，可令 ，
即有 ，
即为 ，
由 ，当且仅当 上式取得等号，但 ，可得 ，
则 ，即 ；
又设 ，可得 ，
由 的导数为 ，
由 可得 ，即函数y为增函数，
可得 ，
即有 ，即有 ，
可得 ，
故选C．
【点睛】
本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为
关于 的函数求最值.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．已知实数 ， ， 满足 ，则 的最大值是________．
【答案】
【分析】
先消去 ，再将分子分母同除以 ，然后令 ，利用对勾函数的单调性即可求解.
【详解】解：先消去 ，再将分子分母同除以 ，可得原式 ，
设 ，可得原式 ，
由对勾函数的单调性可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，在
上单调递增，
所以 或 ，
所以原式 ，
故答案为： .
12．若 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】
根据题中所给等式可化为 ，再通过平方关系将其与 联系起来，运用基本不等式求解最小
值即可.
【详解】
因为 且 ，则两边同除以 ，得 ，
又因为 ，当且仅当 ，即
时等号成立，所以 .故答案为:
13．已知 ， ，若 ，则 的最大值是________．
【答案】
【分析】
以 为主元，以 为参数，将问题转化为对勾函数的最值问题，利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】
令 ，则 ，令 ，
因为 ，
等价于 ，
所以题意可转化为函数 在 有最小值 ，
因为对勾函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
故 的最大值是 ．
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由函数 在 有最小值 结合对勾
函数的单调性得到 .14．已知a，b， ，记 ，则T最大值为________.
【答案】
【分析】
将 分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母
，再将 ，分子分母同除以b，
利用基本不等式求解.
【详解】
，
而 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ， .
当且仅当 ，即 时取等号，
所以T最大值为
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．已知 ， ，若 ，则 的最大值是________．
【答案】
【分析】
以 为主元、 为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，根据对勾函数的单调性可解得结果.
【详解】
令 ，则 ,令 ，
因为 ，
等价于 ，
所以题意可转化为函数 在 有最小值 ，
因为对勾函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
故 的最大值是 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用．根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中
选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法．本题中以 为主元、 为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，达到了“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果．属于中档题.
三、解答题
16．已知函数 ．
（1）求不等式 的最小整数解 ；
（2）在（1）的条件下，对任意 ， ，若 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）8
【分析】
（1）利用分类讨论法求解不等式，进而得到最小整数解 ；
（2）化简整理 ，再利用基本不等式及不等式的性质求出 ，进而
求得结果.
【详解】
（1）当 时，原不等式化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，原不等式化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，原不等式化为 ，解得 ，所以 ．
综上，原不等式的解集为 ．
所以最小整数解 ．
（2）由（1）知 ， ，又 ，
所以
．， ， ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，所以 的最小值为8
【点睛】
方法点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数与基本不等式的综合应用，含有多个绝对值符合的不
等式，一般可用零点分段法求解，对于形如 或 ，利用实数绝对值的几何意义求解，
解答题采用零点分段法求解，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
17．已知a，b，c均为正实数，且满足 .
证明：（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先推得 ，再由条件转化为 的式子，运用基本不等式可得结论；
（2）运用基本不等式推得 ， ， ，再相加即可得到所求结论．
【详解】
（1）由 ， ， 均为正实数，且满足 ，
，
可得 ，当且仅当 时取得等号．
则 ，
当且仅当 ， 时取得等号．
（2）由 ， ， 均为正实数，且满足 ，，当且仅当 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
上面三式相加可得 （当且仅当 时取得等号）．
【点睛】
本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题．在利用基本不
等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为
正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出
现错误.
18．已知 ， ， 为正数，且满足 ，证明：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 ， ， 为正数，且 ，将不等式 转化为 ，
再利用基本不等式结合不等式的性质证明；
（2）根据 ， ， 为正数，且 ，直接利用基本不等式证明.
【详解】
（1）因为 ， ， 为正数，且 .
所以不等式 等价于
，即等价于 .
因为 ， ， 为正数，所以 ， ， ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ， ， 为正数时， 成立.
（2）因为 ， ， 为正数，且 ，
所以
原式
.
当且仅当 时等号成立.
所以 ， ， 为正数时， 成立.
【点睛】
本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中
档题.
19．已知 ， ， ， ．
证明： ．
证明： ．
【答案】 证明见解析； 证明见解析.
【分析】先利用完全平方式子证出 ，再利用均值不等式证出 ，进而可求证；
化简式子得 ，再利用完全平方公式和基本不等式的运用得 ，进而可求证
结论.
【详解】
解： 证明：由 ，
得 ．
另一方面， ， ， ，
所以 ，即 ．
所以 ．
证明：
，
因为 ，
即 ，则 ，
所以 ．
【点睛】
本题考查不等式的证明，结合基本不等式和完全平方公式的运用，属于中档题.
20．已知实数 满足 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，求 的最小值，
【答案】（1）9；（2）4.
【分析】（1）由 得 ，并且将其代入得 ，再根据二次函数的最值可求
从而可得 的最小值；
（2）由 得 ，并代入得 ，再由 ，利用基
本不等式得 ，可得 的最小值.
【详解】
（1）由 得 ，所以 ，
而 当 取等号，
所以 ，当 取等号，
所以 的最小值为 ；
（2）由 得 ，所以 ，
因为 ，所以 ,
又 ，当且仅当 ，即 ( 舍去)时取等号，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ；
故得解.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，解决问题的关键在于将两个量转化成求关于一个量的最值，再运用二次函数
的最值和基本不等式求解，属于中档题.
