文档文本内容
学习目标
1. 理解基本不等式及其使用条件.
2. 能用基本不等式解决“和定求积”、“积定求和”型的最值问题.
3. 熟练掌握“凑定值”、“1”的代换等技巧来解决一系列求最值问题，培养学生举一反三的逻辑推理能力以及计算能
力.
基本不等式-直击课堂
基本不等式考情分析
基本不等式
基本不等式
学习目标
直击课
击课堂
考情分析
考情分析
模块1：基本不等式
：基本不等式
素材
knowledge combing
模块一 基本不等式
1. 基本不等式：如果
，那么
，当且仅当
时， 等号成立．
此结论又称基本不等式．
2．对于任意两个实数
，
叫做
的算术平均值，
叫做
的几何平均值．
因此基本不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
考法：考点1：基本不等式
1 已知、
，若
，则下列不等式：
①
；②
；③
；④
，
其中恒成立的不等式序号是( ) 53%
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
a, b > 0
⩾
2
a + b
ab
a = b
a, b
2
a + b
a, b
ab ⩾0
ab (
)
a, b
例题1
a
b ∈R
ab= 0
/
⩾
2
a + b
2
2
ab
+
∣∣∣∣
a
b
∣∣∣∣
⩾
∣∣∣
b
a
∣∣∣
2
+
a
b
⩾
b
a
2
a + b ⩾2
ab
模块2：利用基本不等式求最
：利用基本不等式求最值
素材
knowledge combing
模块二 利用基本不等式求最值
【知识点睛】
1.最值定理
已知、
，
（1）如果乘积
为定值
，那么当
时，和
有最小值
；
（2）如果和
为定值，那么当
时，乘积
有最大值
．
2.利用基本不等式求最值的条件
利用均值不等式求最值必须满足三个条件，即“一正二定三相等”．
（1）“一正”：即求最值的两项必须都是正数．
（2）“二定”：要求和
的最小值，则乘积
须是定值；
要求乘积
的最大值，则和
须是定值．
特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式．
a
b ∈R+
ab
P
a = b
a + b
2
P
a + b
S
a = b
ab
S
4
1
2
a + b
ab
ab
a + b
（3）“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值．
考法：考点2：凑定值
1 若
，则
的最小值为( ) 84%
A.
B.
C.
D.
1 已知正数，满足
，则
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
1 已知
，则
的最大值为( ) 75%
例题2
x > 0
6x + 1 +
2x
1
2
3
2
+
3
1
5
3 +
3
达标检测1
a
b
ab = 8
2a + b
8
10
4
16
例题3
0 < a < 1
a 1 −a
(
)
A.
B.
C.
D.
1 若
，则
的最大值为( ) 85%
A.
B.
C.
D.
1 求函数
的最小值． 68%
2
1
4
1
8
1
9
1
达标检测2
2 < x < 6
(x −2)(6 −x)
2
4
6
8
例题4
y =
+
x
2
+ 1
x
1
2 若
，则代数式
的最大值为
．
1 已知
，则函数
的最小值为( ) 66%
A.
B.
C.
D.
素材
knowledge combing
【考点3】“1”的代换
【考点3】“1”的代换
已知
，求
的最小值；或者已知
，求
的最小值．（
为正常数，
）
对于上述问题，我们可以转化为求
的最小值．
<
3
2
x <
5
7
3x −2
7 −5x
(
)(
)
达标检测3
x >
4
5
y = 4x +
4x −5
1
−3
2
5
7
ax + by = c
+
x
d
y
e
+
x
d
=
y
e
c
ax + by
a, b, c, d, e
x, y > 0
ax + by
+
(
) ( x
d
y
e )
例题5
1 已知、为正实数，且
，则
的最小值为( ) 79%
A.
B.
C.
D.
1 设、
且
，则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
1 若正数、满足
，则
取最小值时的值为( ) 62%
A.
B.
C.
D.
a
b
a + 2b = 1
+
a
1
b
1
4
2
6
3 −2
2
3 + 2
2
达标检测4
x
y > 0
+
x
1
=
y
9
4
x + y
4
8
16
32
达标检测5
x
y
3x + y = 5xy
4x + 3y
y
1
3
4
5
考法：考点4：多次利用基本不等式
1 已知
，求
的最小值．
2 若，
，
，则
的最小值为
．
素材
knowledge combing
学霸笔记
学霸笔记
模块3：课
：课堂总结
总结
例题6
a > b > 0
a +
2
b a −b
(
)
16
a
b ∈R
ab > 0
ab
a + 4b + 1
4
4
素材
knowledge combing
基本不等式-课堂总结
模块4：直
：直击高考
高考
考法：2018天津13
1 已知、
，且
，则
的最小值为
．
例题7
a
b ∈R
a −3b + 6 = 0
2 +
a
8b
1
