高三清北班秋季第四讲补充讲义(ˆ学生版)-f5d951561925_学而思高三全套_2019秋季高三直播_秋季目标清北班高三理科数学1(1).5轮复习直播班（全国）16讲王侃_资料

{前排提醒：解析并不能体现题目真正的价值，做题的意义在
于识别题型、摸透方法，所以大家一定要看课哦}
一轮复习——导数
课时：5 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
零点个数与隐零点问题
课时四（10.19）
极值点偏移
课时五（10.26）
函数放缩与不等式证明
第二讲
恒成立问题
【注】由于课时所限，我们只讲最重要的单变量恒成立问题，双变量恒成立问题
我们在二轮复习再讲.
方法一、基本方法——分参法与整体法
重要性：☆☆☆☆☆
难度：☆☆☆
1．常见表达&解读：
常见表达（函数取到最值的情形）
解读


,
x
a b

，

f x
m

恒成立
min
f x
m



,
x
a b

，


f x
g x

恒成立


,
x
a b

，使得

f x
m

成立
max
f x
m



,
x
a b

，使得


f x
g x

成立
【注意】若函数取不到相应的最值，则参数取值区间的开闭须单独讨论．
【易错题】
已知函数

2
f x
x

，那么：
①若对任意的


2,2
x
，都有

f x
m
≥
，那么m 的取值范围是________．
②若对任意的


2,2
x
，都有

f x
m

，那么m 的取值范围是________．
③若对任意的


2,2
x
，都有

f x
m
≤
，那么m 的取值范围是________．
④若对任意的


2,2
x
，都有

f x
m

，那么m 的取值范围是________．
2．恒成立/存在性问题的处理方法：①直接讨论法；②参变分离法．
方法选用的原则：优先考虑参变分离，不易分离、分离后不易处理的情况，考虑直接讨论．
【例1】（2010·天津理）函数

2
1
f x
x

，对任意
3 ,
2
x





，




2
4
1
4
x
f
m f
x
f
x
f m
m









恒成立，则实数m 的取值范围是___________．
方法二——特值探路，缩小范围
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆
在自变量的取值范围内取一个或几个适当的特殊值（往往取端点），代入恒成立的不等式，
可以缩小参数的范围，这是恒成立问题减少分类讨论的一种有效手段．
此方法的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以大大简化接下来的分类讨
论过程．
【例2】若



2
3
2
0
f x
ax
a x
a






在

0,1 上恒成立，则实数a 的取值范围是________.
【例3】设
，若对于
总有
成立，则
________．
【例4】已知函数
．
是否存在实数
，使
恒成立，若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说
明理由．
方法三——多个可疑点，合并讨论
重要性：☆☆☆
难度：☆☆☆☆
（1）分类讨论时，在每一类下面，分析完在哪一点（或哪些点）有可能取到最值后，让这
些所有的可疑点都满足条件即可，不需要另外比较它们的大小．
（2）有时候我们甚至可以无需分类，只须找到取最值的所有可疑点（所有情况下），并且能
保证所有可疑点都在自变量的可取范围内，那么只须让它们都满足条件即可．
【例5】设函数



3
2
1
1
4
24 ,
1
3
f x
x
a
x
ax
a a





，若当
0
x≥
时，
0
f x 
恒成立，求
a 的取值范围．
【例6】设函数
，
，若
在
时恒成立，求
的
取值范围．
【例7】（2008 江西文20）函数





3
2
1
1
1
0
3
2
f x
x
a
x
ax x




≥
，若

2
3
f x
a

恒成立，
求a 的取值范围．
方法四——隐零点方法（最佳整数问题）
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆
当导函数存在零点，但无法求解时，可考虑虚设零点
0x ，再对关系式
0
(
)
0
f
x


进行合理的
变形与代换，由此去求最值
0
(
)
f x
所在的整数区间.
【例8】已知函数
．当
时，
恒成立，求整数
的最大值．
【例9】设函数
（
为常数），
为自然对数的底数．当
时，求
使得
恒成立的最小正整数
．
【例10】已知函数
，
．
是否存在实数
，使得对任意的
，都有函数
的图象在
的图象的下方？若存在，请求出最大整数
的值；若不存在，请说明理由．
（参考数据：
，
，
，
）．
方法五——构造合适的函数（指数找基友，对数单身狗）
重要性：☆☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆
(1) 含
xe 型函数的构造
形如


0
x
f x e
g x


可以考虑变形成



1
0
x
f x e
g x
g x










或者



1
0
x
g x
f x
e
f x











，通
过构造新函数



1
x
f
x
h x
e
g x


或者


1
x
g x e
f x









来处理
(2) 含ln x 型函数的构造
形如


ln
0
f x
x
g x


可以考虑变形成



ln
0
g x
f x
x
f x










，通过构造新函数



ln
g x
h x
x
f x


来处理．
【例11】（2010·全国Ⅱ卷）设函数

1
x
f x
e

，设当
0
x 
时，

1
x
f x
ax

，求a 的取
值范围．
【例12】已知函数



2
2
5
1
1
x
f x
a
e
ax
a





，若


1,2
x
时，

0
f
x 
恒成立，求实数
a 的取值范围．
【例13】已知函数



1
ln
1
x
f x
x
a
x



，当


0,1
x
时，

2
f x 恒成立，求实数a 的取值
范围．
【例14】已知当
0
x 
时，






2
1 ln
1
2
0
f x
x
x
m x
x






恒成立，求实数m 的取值范
围．