文档内容
达一中高 2025 级 2025 年秋季第二次月考
数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合 . .若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.
【详解】集合 . .
，
.
故选：C
2. 命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式恒成立进行求解．
【详解】因为“ ， ”为真命题，即 恒成立，
则 ，即 ，解得 ，
故选：C.3. 已知 ，则 （ ）
A. 50 B. 48 C. 26 D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法，令 即可求解.
【详解】解：令 ，则 ．
故选：A.
4. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
5. 已知函数 ， ，则 的图象大致是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出 时， ，可排除A、B、D．
【详解】令 ，则 ，所以 ，
，故可排除A、B、D．
故选：C．
6. 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式 和 可得．
【详解】由题意得： ，解得： ，
由 ，解得： ，
故函数的定义域是 ，故选：C.
7. 已知定义域为 的函数 单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次函数和反比例函数的单调性，列出不等式求解即可.
【详解】由题意 在 上单调递增，则 解得 ．
故选：D．
8. 已知实数a，b满足 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式，对数的运算法则及指数函数与对数函数的单调性判定即可.
【详解】易知 在 上单调递增，且 ，
故 ，
即 ，
又 在R上单调递增，且 时有 ，
所以 时有 ，故 ，可排除C、D.
令 ，
故 ，
即有 ，所以 ，
即 ，即 ，故 ，故 .
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B. 若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是
的
C. 若 ，则“ ” 充分不必要条件是“ ”
D. “ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据命题的否定即可判断A；利用根的判别式即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不
等式的性质可判断CD
【详解】对于A，命题“ ”的否定是“ ”，故A正确；
对于B，∵命题“ ， ”为假命题，
则关于x的方程 无实数根，
故 ，解得 ，故B正确；
对于C，∵ 可得 ；但当 ， 时，有 ；∴“若 ，则 是 的必要不充分条件，故C错误；
对于D，当“ ”时，则“ ”成立；但当“ ”时，“ 或 ”；
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD.
10. 已知函数 ，且 ，则（ ）
A. b＝1 B. 是减函数
C. 函数 的值域为 D. 不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 求出 可判断A；利用 可判断B；利用分离常数法求值域
可判断C；利用 单调性和奇偶性可判断D．
【详解】 ，解得 ，A正确；
， 是 上的单调递增函数，B错误；
∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ 的值域为 ，C正确；的定义域为 ，∵ ，∴ 为奇函数，
∵ ，
∴ ，即 ，
解集为 ，D正确．
故选：ACD．
11. 用 表示不小于 的最小整数，例如， ， ．已知 ，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 的值域为 D. 方程 所有根的和为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用新函数的定义直接计算可判定A，利用特殊值可判定B，分区间结合定义可判定C，分类讨
论解方程可判定D.
【详解】对于A，易知 ，故A正确；
对于B，因为 ，且 ，
即 ，所以函数 不是奇函数，故B错误；
对于C，由定义不妨设 时，则 ，
可得 ，所以 的值域为 ，故C错误；
对于D， ，因为 ，即 ，解得 ，
当 时，满足方程，即 是方程 的根；
当 时， ，故 ，解得 ，故方程 所有根的和为 ，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知：关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到 ，且 ，从而得所求不等式等价
于 ，即可求解.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，
则方程 的两根为 和 ，且 ，
所以 ，得到 ，且 ，
由 ，得到 ，即 ，
即 ，解得 ，所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
13. 函数 （ 且 ） 图的象恒过定点A，且点A在幂函数 的图象上，则
_________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出 的表达式，最后再求 的值即可．【详解】由题意 ， ，则 ，函数 恒过的定点A为 ，
设 ， 过A点， ，解得 ，
∵ ∴
， ．
∴ ∴
故答案为：27．
14. 当 时，函数 （ ，且 ）的图象恒在函数 的图象下方，则a的取值
范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，得当 时不等式 恒成立，即 ，令 ，
，分类讨论 和 两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，
由图像得到关于a的不等式，解不等式得解
【详解】由题意，得当 时不等式 恒成立，即 ，
令 ， ，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，
当 时，如图所示，
由图可知， ， 恒成立，故不满足题意；当 时，如图所示，
由图可知，要 ， 恒成立， 需 ，即 ，解得 ，故
综上可知： a的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
.
③讨论最值 或 恒成立
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 令 ， .
（1）分别求 和 ；
（2）若 ，且 ，求 .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q.
（2） ，且 ，利用对数换底公式可得 ， ，代入解出即可得出.
【小问1详解】
解： .
.
【小问2详解】
解： ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，可得 ，
∴ .
16. 已知函数 ， ， .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
（3）若对任意 ，任意 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）把 代入解析式，解一元二次不等式即可；（2）把问题转化为求 在恒成立，令 ， ，当 ，成立；当 ，只需 ，求
解即可得解；（3）把问题转化 ， ，对于 ，对称轴
，
；对于 ，对称轴 ，对称轴与区间端点值
的大小进行讨论即可得出结论.
【详解】解：（1） 时， ，
令 ，
得： ，
解得： ，
所以 的解集为： ；
（2）若对任意 ，都有 成立，
即 在 恒成立，
令 ， ，
，
即 时，
和 轴无交点，开口向上，符合题意，时，解得： 或 ，
只需 ，
解得： ，
又 或 ，
得 ；
综上：实数 的取值范围是 ；
（3）若对任意 ，任意 ，使得不等式 成立，
即只需满足 ， ，
，对称轴 ，
在 递减，在 递增，
∴ ，
，
对称轴 ，
① ，
即 时， 在 递增，
恒成立；
② ，即 时，
在 递减，在 递增，
， ，
∴ ，
故： ；
③ ，
即 时， 在 递减，
， ，
∴ ，
解得： ，
综上：实数 的取值范围为： .
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量 （单位：百千克）与肥料费用 （单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时， ；投入的肥料费用超过6百元且不超过10
百元时， ．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 百元．已知这种梨
的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为 （单位：百
元）．
（1）求利润 的函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元
【解析】
【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可；
（2）当 时，由基本不等式求解；当 时，由二次函数的性质求解，综合可得答案.
【小问1详解】
由题意， ，
即 ；
【小问2详解】
当 时， ，，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最大值52；
当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，
所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）解不等式 ；
（3）若 在区间 上的最小值为 ，求 的值．
【答案】（1）
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）结合函数的单调性及奇偶性即可求解；
（3）令 ，可得 ，求出t的范围进一步再对m分类讨论，即可求
得 的最小值，结合题意即可得m的值．
【小问1详解】
是定义域为 上的奇函数，， ， ， ，
此时 ， ，
经检验， 符合题意．
【小问2详解】
， 为增函数， 为减函数，
是在 上单调递增的奇函数，
由 可得 ，
，即 ，
或 ，
不等式的解集为 或 ．
【小问3详解】
， ，
，
令 ， ， ，
，
当 时，当 时， ，则 （ 舍去）；
当 时，当 时， ，解得 ，符合要求；
综上所述， 或 ．19. 已知函数 ，其中 且 .
（1）若 的图象过点 ，求实数 的值；
（2）若方程 有两个实数根 ，且 ，求实数 的取值范围；
（3）若 ， ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入点的坐标，即可求出参数 的值；
（2）利用换底公式化方程为 ，利用换元法及韦达定理得
，根据 解出 的范围；
（3）根据指数与对数的关系得到 、 ，从而得到 ，
再设 ， ，即可得到 ，再求出 的取值范围，即可求出 的最小值，从
而得解.
【小问1详解】
因 为图象过点 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 .
【小问2详解】因为 ，则 ，
因为 且 ，所以 ，
可化为 ，整理得 ，
所以原式可化为 ，
令 ，则有 ，
所以 ，
所以方程 有两个根，
设为 、 ，且 ， ，
所以 ， ，
则 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
， ， ，
， ，又因为 ，所以 .
【小问3详解】
因为 ，所以 ，
又 ，得到 ，
所以 ，
设 ， ，所以 ，
又 ，当且仅当 取等号，
所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 ，又 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
所以当 时 取得最大值，即 ，即 ，
所以 .
