文档文本内容
{前排提醒：解析并不能体现题目真正的价值，做题的意义在
于识别题型、摸透方法，所以大家一定要看课哦}
一轮复习——导数
课时：5 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
零点个数与隐零点问题
课时四（10.19）
极值点偏移
课时五（10.26）
函数放缩与不等式证明
第二讲
恒成立问题
【注】由于课时所限，我们只讲最重要的单变量恒成立问题，双变量恒成立问题
我们在二轮复习再讲.
方法一、基本方法——分参法与整体法
重要性：☆☆☆☆☆
难度：☆☆☆
1．常见表达&解读：
常见表达（函数取到最值的情形）
解读
,
x
a b
，
f x
m
恒成立
min
f x
m
,
x
a b
，
f x
g x
恒成立
,
x
a b
，使得
f x
m
成立
max
f x
m
,
x
a b
，使得
f x
g x
成立
【注意】若函数取不到相应的最值，则参数取值区间的开闭须单独讨论．
【易错题】
已知函数
2
f x
x
，那么：
①若对任意的
2,2
x
，都有
f x
m
≥
，那么m 的取值范围是________．
②若对任意的
2,2
x
，都有
f x
m
，那么m 的取值范围是________．
③若对任意的
2,2
x
，都有
f x
m
≤
，那么m 的取值范围是________．
④若对任意的
2,2
x
，都有
f x
m
，那么m 的取值范围是________．
2．恒成立/存在性问题的处理方法：①直接讨论法；②参变分离法．
方法选用的原则：优先考虑参变分离，不易分离、分离后不易处理的情况，考虑直接讨论．
【例1】（2010·天津理）函数
2
1
f x
x
，对任意
3 ,
2
x
，
2
4
1
4
x
f
m f
x
f
x
f m
m
恒成立，则实数m 的取值范围是___________．
【答案】
3
3
,
,
2
2
【解析】
2
2
2
2
2
2
1
4
1
1
1
4
1
x
m
x
x
m
m
，即
2
2
2
2
1
4
2
3
m
x
x
x
m
3 ,
2
x
，因此
2
2
2
2
1
2
3
4
x
x
m
m
x
，可将m 与x 分在两边
2
2
2
3
x
x
g x
x
3
2
x
3
6
g
x
x
当
3
2
x
时，
0
g
x
，
g x 单调递增；
只要
2
2
1
3
5
4
2
3
m
g
m
即可
2
2
4
3 3
1
0
m
m
因此
3
2
m
或
3
2
m
即可
方法二——特值探路，缩小范围
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆
在自变量的取值范围内取一个或几个适当的特殊值（往往取端点），代入恒成立的不等式，
可以缩小参数的范围，这是恒成立问题减少分类讨论的一种有效手段．
此方法的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以大大简化接下来的分类讨
论过程．
【例2】若
2
3
2
0
f x
ax
a x
a
在
0,1 上恒成立，则实数a 的取值范围是________.
【答案】
9
1,
.
5
【解析】由题意，有
0
0
2
0
1
2
1
0
1
0
f
a
a
a
f
，对称轴
3
1 ,1
2
4
a
x
a
对
在区间
0,1
内，所以
9
0
1
5
a
.
【例3】设
，若对于
总有
成立，则
________．
【答案】4
【解析】考虑端点有
，所以
的两根
，
均落在区间
内，可得
在
上递增，在
上递
减，在
上递增，因此
，因为
，所以
得到
．
【例4】已知函数
．
是否存在实数
，使
恒成立，若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说
明理由．
【解析】
恒成立等价于
恒成立，
令
，
当
，即
时，
，
故
在
内不能恒成立，
当
，即
时，则
，
故
在
内不能恒成立，
当
，即
时，
，
由
，解得
，
当
时，
；
当
时，
．
所以
，
解得
．
综上，当
时，
在
内恒成立，即
恒成立，
所以实数
的取值范围是
．
方法三——多个可疑点，合并讨论
重要性：☆☆☆
难度：☆☆☆☆
（1）分类讨论时，在每一类下面，分析完在哪一点（或哪些点）有可能取到最值后，让这
些所有的可疑点都满足条件即可，不需要另外比较它们的大小．
（2）有时候我们甚至可以无需分类，只须找到取最值的所有可疑点（所有情况下），并且能
保证所有可疑点都在自变量的可取范围内，那么只须让它们都满足条件即可．
【例5】设函数
3
2
1
1
4
24 ,
1
3
f x
x
a
x
ax
a a
，若当
0
x≥
时，
0
f x
恒成立，求
a 的取值范围．
【答案】
1,6 ．
【解析】考察单个变量的恒成立问题．
研究
0
x≥
时，
f x 的最小值
min
f x
，使
min
0
f x
即可．
而
2
2
1
4
2
2
0,
1
f
x
x
a
x
a
x
x
a
x
a
≥
由
1
a 得知：2
2
a
∴当0
2
x
或
2
x
a
时，
0
f
x
，
f x 分别单调递增，
当2
2
x
a
时，
0
f
x
，
f x 单调递减．
∴
min
f x
为
0
f
或
2
f
a
∴只需令
0
0
2
0
f
f
a
同时成立，即可令
min
0
f x
．
解得1
6
a
．
【例6】设函数
，
，若
在
时恒成立，求
的
取值范围．
【解析】
即
对
恒成立．
法一：整体考虑法
令
，则
．
，由
的形式知，
在
上可能单调递增，单调递减，或
先减后增，故
．
故只需
，解得
．
法二：分离参数法
因为
，故
，故
等价于
，
设
，
则
．
在
上单调递减，
．
．
【例7】（2008 江西文20）函数
3
2
1
1
1
0
3
2
f x
x
a
x
ax x
≥
，若
2
3
f x
a
恒成立，
求a 的取值范围．
【答案】1 ,4
7
．
【解析】考察单个变量的恒成立问题．
研究
f x 的最小值
min
f x
，使
min
2
3
f x
a
即可．
而
2
1
1
f
x
x
a
x
a
x
x
a
0,
0
x
a
≥
若
1
a ，那么
0
f
x
≥
，
f x 单调递增，
min
0
f x
f
；
若0
1
a
，那么
当0
x
a
或
1
x 时，
0
f
x
，
f x 分别单调递增，
当
1
a
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递减．
此时，
f x 的最小值为
0
f
或
1
f
；
若
1
a ，那么
当0
1
x
或x
a
时，
0
f
x
，
f x 分别单调递增，
当1
x
a
时，
0
f
x
，
f x 单调递减．
此时，
f x 的最小值为
0
f
或
f a ．
综上所述，
f x 的最小值为
0
f
、
1
f
或
f a ，因此只需令
2
0
3
2
1
3
2
3
f
a
f
a
f a
a
同时成立，即
可达到使
min
2
3
f x
a
的目的．
解得1
4
7
a
．
方法四——隐零点方法（最佳整数问题）
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆
当导函数存在零点，但无法求解时，可考虑虚设零点
0x ，再对关系式
0
(
)
0
f
x
进行合理的
变形与代换，由此去求最值
0
(
)
f x
所在的整数区间.
【例8】已知函数
．当
时，
恒成立，求整数
的最大值．
【答案】
【解析】当
时，
恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，
再令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，
，
，
所以
在
上存在唯一实数根
，即
，
所以
时，
，即
，故
在
上单调递减，
时，
，即
，故
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以
的最大值为
．
【例9】设函数
（
为常数），
为自然对数的底数．当
时，求
使得
恒成立的最小正整数
．
【答案】最小正整数
的值为
．
【解析】当
时，要使
恒成立，即
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
的
上单调递增．
又因为
时，
，且
，
所以，存在唯一的
，使得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增．
所以，当
时，
取到最小值．
，
因为
，所以
，
从而使得
恒成立的最小正整数
的值为
．
【例10】已知函数
，
．
是否存在实数
，使得对任意的
，都有函数
的图象在
的图象的下方？若存在，请求出最大整数
的值；若不存在，请说明理由．
（参考数据：
，
，
，
）．
【答案】
【解析】假设存在实数
满足题意，
则不等式
在
上恒成立．
即
在
上恒成立，
令
，则
，
，
在
上单调递增，且
，
，
存在
，使得
，即
，
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
的最小值
，
，
在区间
内单调递增．
，
存在实数
满足题意，且最大整数
的值为
．
方法五——构造合适的函数（指数找基友，对数单身狗）
重要性：☆☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆
含
xe 型函数的构造
形如
0
x
f x e
g x
可以考虑变形成
1
0
x
f x e
g x
g x
或者
1
0
x
g x
f x
e
f x
，通
过构造新函数
1
x
f
x
h x
e
g x
或者
1
x
g x e
f x
来处理
含ln x 型函数的构造
形如
ln
0
f x
x
g x
可以考虑变形成
ln
0
g x
f x
x
f x
，通过构造新函数
ln
g x
h x
x
f x
来处理．
【例11】（2010·全国Ⅱ卷）设函数
1
x
f x
e
，设当
0
x
时，
1
x
f x
ax
，求a 的取
值范围．
【解析】
0
x
时，1
1
x
x
e
ax
即
1
1
x
x
x
e
e
ax
1
1
0
1
x
x
e
ax
1
1
1
1
x
a x
g x
e
ax
，
0
0
g
2
2
2
1
2
1
xe
a
a
x
a x
g
x
ax
当
0
a
时，
1
x
a
时，
0
1
x
f x
ax
，不符合题意；
当
1
a 时，
0
x
时，
0
g
x
，
0
0
g x
g
不符合题意
当
0
a
时，
0
x
时，
0
x
g
x
xe
，
0
0
g x
g
，符合题意
当
1
a 时，
0
x
时，
2
0
1
x
xe
g
x
x
，
0
0
g x
g
，不符合题意
当
1
0
2
a
时，
0
x
时，
0
g
x
，
0
0
g x
g
，符合题意
当1
1
2
a
时，
x
2
2
1
0
a
x
a
a
2
2
1
a
x
a
a
2
2
1
a
x
a
a
g
x
0
g x
递减
极小值
递增
又
2
1
2
0
a
x
a
a
时，
0
0
g x
g
，不符合题意；
综上：
1
0
2
a
．
【例12】已知函数
2
2
5
1
1
x
f x
a
e
ax
a
，若
1,2
x
时，
0
f
x
恒成立，求实数
a 的取值范围．
【答案】
1,
【解析】若用分离法来处理，当
1,2
x
时，
2
2
5
1
0
xe
x
，则
2
2
2
1
5
1
x
x
e
a
g x
e
x
，
g x 的最大值不好求；若用整体法，
2
5
1
2
x
f
x
a
e
ax
，根本不知道a 按照什么标准
分类．因此我们可以重新构造函数来处理
2
2
2
5
1
1
x
x
f x
e
a
ax
a
e
只要
2
2
1
5
1
0
x
ax
a
g x
a
e
对任意
1,2
x
成立即可，
2
2
2
1
x
ax
ax
a
g
x
e
g x 的导函数只需要研究分子即可，按：先开口方向，第二求方程的根，最后讨论根与1,2 的
大小三步来讨论，实际操作就看二次函数在
1,2 内是否有根来讨论
2
2
2
5
1
1
x
x
f x
e
a
ax
a
e
2
2
1
5
1
x
ax
a
g x
a
e
，只要
0
g x
对任意
1,2
x
成立即可
2
2
2
1
x
ax
ax
a
g
x
e
，记
2
2
1
u x
ax
ax
a
当
0
a
时，
u x 在
1,2 单调递减1
1
0
u
，
2
1
u
a
ⅰ．当
1
a 时，
0
1,2
x
使得
0 =0
u x
x
0
1
x
x
0
x
x
0
2
x
x
g
x
0
g x
递增
极大值
递减
当
0
2
x
x
时，
2
0
g x
g
，不符合题意
ⅱ．当1
0
a
时，当1
2
x
时，
0
u x
，
0
g
x
g x 单调递增，
2
0
g x
g
，符合题意
当
0
a
时，1
2
x
时，
2
1
0
x
g
x
e
，
g x 单调递增，
2
0
g x
g
，符合题意
当
0
a
时，
u x 在
1,2 单调递增，
1
1
0
u x
u
，
2
0
x
u x
g
x
e
，
g x 单调递增，
2
0
g x
g
，符合题意
综上：
1
a
【例13】已知函数
1
ln
1
x
f x
x
a
x
，当
0,1
x
时，
2
f x 恒成立，求实数a 的取值
范围．
【解析】当0
1
x
时，1
ln
0
1
x
x
x
，要1 1
ln
2
1
x
x
a
x
对0
1
x
恒成立，则
0
a
，
2
1
1
1
2
ln
2
ln
1
1
1
a
x
x
x
f x
x
x
a
x
a
x
x
令
2
1
ln
1
a
x
h x
x
x
2
0
f x
对任意0
1
x
恒成立，只要
0
h x
对任意0
1
x
成立即可
2
2
2
4
1
1
x
a x
h x
x x
当
1
a 时，
2
2
4
4
16
1
0
a
a
a
，
2
2
4
1
0
x
a x
有两根
1x ，
2x
1
2
x
x
1
2
4
2
0
x
x
a
，
1
2
1
x x
因此有
1
2
0
1
x
x
当
1
1
x
x
时，
0
h x
，
1
0
h x
h
，不符合题意
当0
1
a
时，
2
2
4
4
16
1
0
a
a
a
，
2
2
4
1
0
x
a x
0
h x
，
1
0
h x
h
，符合题意
综上：0
1
a
【例14】已知当
0
x
时，
2
1 ln
1
2
0
f x
x
x
m x
x
恒成立，求实数m 的取值范
围．
【答案】
1
2
m
【解析】令
1
u
x
，
2
2
2
1 ln
1
2
ln
1
2
1
ln
1
x
x
m x
x
u
u
m
u
u
u
u
m u
0
f x
对任意
0
x
成立，即
2
ln
1
0
u
u
m u
对任意
1
u 成立
ln
0
m
u
u
mu
u
对任意
1
u 成立
ln
m
g u
u
mu
u
只需要
0
g u
对任意
1
u 成立
2
2
mu
u
m
g u
u
当
0
m
时，当
1
u 时，
0
g u
，
1
0
g u
g
不符合题意
当
0
m
时，
①．
1
0
2
m
时，
2
2
1
4
0
m
，
2
0
mu
u
m
有两根
1u ，
2
u
1
2
u
u
1
2
1
0
u
u
m
，
1
2
1
u u ，因此
1
2
0
1
u
u
当
2
1
u
u
时，
0
g u
，
1
0
g u
g
不符合题意
②．
1
2
m
时，
2
2
1
4
0
m
，
2
0
mu
u
m
0
g u
，当
1
u 时，
1
0
g u
g
，符合题意
综上：
1
2
m
