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第一学期三校联考
高一数学期中试卷
（试题满分：150分；考试时间：120分钟）
第I卷（选择题满分60分）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 函数 则 （ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式即可求解.
【详解】 .
故选：D.
2. 命题“ ，都有 ”的否定是（ ）
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ， 使得
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的定义可以得到结果
【详解】命题“ ，都有 ”的否定是“ ， 使得 ”
故选：D
3. 已知 ，则 的定义域为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先求得 的定义域，然后将 看作一个整体代入计算即可.
【详解】由题可知： 且
所以函数定义域为 且
令 且 ，所以 且
所以 ，所以 的定义域为
故选：C
4. 已知f(x)= ，则 的值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数f(x)= ，求得 即可.
【详解】因为f(x)= ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
5. 不等式 的解集为( )
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式表示的意义即可求解.
【详解】 或x＜0.
故选：A.
6. 已知函数 ，则此函数的最小值等于（ ）
A. B. C. 5 D. 9
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，所以 ，当且仅
当 ，即 时取等号.
故选：C.
【点睛】利用基本不等式求最值的基本方法如下：
（1）若所给表达式满足求最值的三个条件“一正、二定、三相等”时，则直接利用基本不等式进行求解；
（2）若不满足求最值的三个条件时，则需要对所给式子进行变形，通过“1”的代换，添项、配凑、换元
等技巧构造出基本不等式的形式进行求解.
7. “x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
学科网（北京）股份有限公司【7题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1
＞0”的充分而不必要条件．
解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，
“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．
∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．
故选A．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．
8. 若 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.
【详解】因为 是奇函数，又 ，
所以 ，
由 得 或 ，
而 且奇函数 在 内是增函数，
所以 或
解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司所以不等式的解集为 或
故选：D
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是
符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分）
9. 已知函数 为幂函数，则该函数为（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 区间 上的增函数
D. 区间 上的减函数
【9题答案】
【答案】BC
【解析】
【分析】由幂函数的概念可得 的值，根据幂函数的性质可得结果.
【详解】由 为幂函数，得 ，即m=2，
则该函数为 ，故该函数为偶函数，且在区间 上是增函数，
故选：BC.
10. 命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件是 （ ）
A. B.
C. D.
【10题答案】
【答案】BC
【解析】
【分析】先由命题是真命题求出m的范围，再对照四个选项找真子集即可.
【详解】因为命题“ ”是真命题，
所以 ，即 ，解得： .
学科网（北京）股份有限公司要求命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件，
只需找 的一个真子集，
对照四个选项，只有BC符合.
故选：BC
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【11题答案】
【答案】ABCD
【解析】
【分析】直接使用基本不等式可判断ACD；根据 ，使用基本不等式可判断B.
【详解】A中，因 为，由基本不等式可知 成立；
B中，因为 ，所以 ，所以 ，所以 成立；
C中，因为 ，由基本不等式可知 成立；
D中，因为 ，由基本不等式可得 成立.
故选：ABCD
12. 不等式 的解集为 ，则能使不等式 成立的
的集合为（ ）.
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】BC
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】 根据不等式 的解集为 ,可得 ,代入
可解得 或 ,根据题意选 .
【详解】因为不等式 的解集为 ，
所以 和 是方程 的两根且 ，
所以 ， ，
所以 , ,
由 ，得 ,
得 ,
因为 ,所以 ,
所以 或 ,
所以不等式 的解集为 或 ,
.故选BC.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.
第II卷（非选择题满分90分）
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数 ，若 ，则 ___________．
【13题答案】
【答案】0或2
【解析】
【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 或 ，
∴m＝0或m＝2,
故答案为：0或2.
【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.
14. 设全集为 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范
围为___________.
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由交集不是空集得不等关系，从而求得参数范围．
【详解】因为集合 ，集合 ，且 ，
所以 ，解得 ，
故答案为： ．
15. 已知 ，若正数a，b满足 ，则 的最小值为_____________.
【15题答案】
【答案】1
【解析】
【分析】求得 为奇函数，且在 上递增，可得 ，则 ，展开后运用
基本不等式即可得到所求最小值．
【详解】解：函数 ，
可得 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 为奇函数，
由 可得 在 上递增，
则 ，
即有 ，
可得 ，
即为 ，
则
，
当且仅当 时，取得等号．
则 的最小值为1．
故答案为：1．
.
16 给出以下四个命题：
①若集合A={x，y}，B={0，x2}，A=B，则x=1，y=0；
②函数 与 为同一个函数；
③已知 在定义域 上是减函数，且 ，则
④已知 在 上是增函数，则a的取值范围是 .
其中正确的命题有___________.（写出所有正确命题的序号）
【16题答案】
学科网（北京）股份有限公司【答案】①④##④①
【解析】
【分析】逐一验证，对①，根据集合相等，计算即可；对②，求得定义域，简单判断即可；对③，列出式
子 计算即可；对④，列出式子 即可.
【详解】对①，A=B，所以 或 （不符合题意，不满足集合元素的互异性）
所以 ，则 ，故正确；
对②，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，故不是同一个函数，故错误；
对③， ，故错误；
对④， ，所以 ，故正确
故答案为：①④
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合 ， .
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围.
【17题答案】
【答案】（1）A∩B={x|4<x<6}， ；（2）{a|4≤a≤8}.
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式得集合 ，然后由交并集定义计算；
（2）根据集合的包含关系求解．
【详解】（1）由题意，集合A={x|3≤x<6}，B={x|4<x<9}.
所以A∩B={x|4<x<6}， .
（2） ， .
∵C⊆B，
，
解得：4≤a≤8.
故得实数 的取值的集合为{a|4≤a≤8}.
18. （1）已知关于 不的等式 的解集为 或 .求 的值；
（2）已知 是一次函数，且 求 ；
【18题答案】
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，然后使用韦达定理计算即可.
（2）设 的解析式，然后代入 计算即可.
的
【详解】 1 解一：因为不等式 解集为 或 ，
所以1和b是方程 的两个实数根且 ，
所以 ，解得
解二：因为不等式 的解集为 或 ，
学科网（北京）股份有限公司所以1和b是方程 的两个实数根且 ，
由1是 的根，有 ，
将 代入 ，得 或 ，
2 设 ，
则： ，
即 ，解得： 或 ，
∴ 或 ；
19. （1）已知 ，求 的最小值，并求取到最小值时 的值；
（2）设 且 ，求证：
【19题答案】
【答案】（1）当 时， 有最小值7 ；
（2）证明见解析 ．
【解析】
【分析】（1）通过配凑，使得原式满足积为定值，然后由基本不等式可得；
（2）巧用“1”，将不等式左边乘以 ，展开后使用基本不等式可证.
【详解】解：（1）因为 ，所以 ，由基本不等式，得
，当且仅当 ，
即 时，等号成立．
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 有最小值7．
（2）因为 ，由基本不等式，得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．又
由 解得 ，所以当 时，等号成立，
所以 成立．
20. 已知命题p：“方程 有两个不相等的实根”，命题p是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式 的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．
【20题答案】
【答案】（1）M={m| 或 }；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）利用判别式即可求出；
（2）由题可得 ，根据包含关系建立关系即可求解.
【详解】(1) 命题 ：方程 有两个不相等的实根，
，解得 ，或 ．
M={m| 或 }．
学科网（北京）股份有限公司(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以
N= ，可知 ，
则 或 ，
综上， 或 .
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对应的集合与 对应集合互不包含．
21. 已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ．
的
（1）求 时，函数 解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）解不等式 ．
【21题答案】
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）设 ，计算 ，再根据奇函数的性质 ，即可得对应解析式；
（2）作出函数 的图像，利用数形结合思想，列出关于 的不等式组求解；
（3）由（1）知分段函数 的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.
【详解】（1）设 ，则 ，所以
学科网（北京）股份有限公司又 为奇函数，所以 ，
所以当 时， ，
（2）作出函数 的图像，如图所示：
要使 在 上单调递增，结合 的图象知 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
（3）由（1）知 ，解不等式 ，
等价于 或 ，解得： 或
综上可知，不等式的解集为
【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数
范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.
22. 已知函数 [1，2].
（1）判断函数 的单调性并证明；
（2）求函数 的值域；
学科网（北京）股份有限公司（3）设 ， ， ，求函数 的最小值 .
【22~24题答案】
【答案】（1）增函数，证明见解析
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义进行证明：取值，作差，变形，断号，结论即可.
（2）根据（1）的条件，代值计算即可.
（3）化简式子，利用换元 ，然后根据二次函数的性质进行求值，分 ， ，
进行讨论.
【小问1详解】
在 ， 任取 ， 且 ，则 ， ，
所以， ，
即 ，所以 是 ， 上增函数.
【小问2详解】
因为 是 ， 上增函数，故当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值
0，
所以函数 的值域为 ， .
【小问3详解】
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司令 ， ， ，则 .
①当 时， 在 ， 上单调递增，故 ；
②当 时， 在 ， 上单调递减，故 ；
③当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
故 ；
综上所述，
学科网（北京）股份有限公司
