文档内容
专练 30 等差数列及其前 n 项和
授课提示：对应学生用书63页
[基础强化]
一、选择题
1．记S 为等差数列{a}的前n项和．若S＝2S，a＋a＝8，则a＝( )
n n 5 4 2 4 5
A．6 B．7
C．8 D．10
答案：D
解析：设等差数列{a}的公差为d.∵S＝2S，a＋a＝8，
n 5 4 2 4
∴
整理得解得
∴a＝a＋4d＝－2＋12＝10.故选D.
5 1
2．已知等差数列{a}的前n项和为S，且a＝，S ＝15，则a＝( )
n n 4 10 7
A． B．1
C． D．2
答案：A
解析：设等差数列{a}的首项为a ，则由等差数列{a}的前n项和为S 及S ＝15，得＝
n 1 n n 10
15，所以a＋a ＝3.由等差数列的性质，得a＋a ＝a＋a，所以a＋a＝3.又因为a＝，所
1 10 1 10 4 7 4 7 4
以a＝.故选A.
7
3．设S 为等差数列{a}的前n项和，若3S＝S＋S，a＝2，则a＝( )
n n 3 2 4 1 5
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案：B
解析：设等差数列{a}的公差为d，
n
则3＝2a＋d＋4a＋d，
1 1
得d＝－a，又a＝2，
1 1
∴d＝－3，∴a＝a＋4d＝－10.
5 1
4．记S 为等差数列{a}的前n项和，若a＋a＝24，S＝48，则{a}的公差为( )
n n 4 5 6 n
A．1 B．2
C．4 D．8
答案：C
解析：∵S＝＝48，
6
∴a＋a＝16，
1 6
又a＋a＝24，
4 5
∴(a＋a)－(a＋a)＝8，
4 5 1 6
∴3d－d＝8，d＝4.
5．等差数列{a}的前n项和为S，且a＋a＝22，S ＝143.若S>195，则n的最小值为(
n n 3 7 11 n
)
A．13 B．14
C．15 D．16
答案：B
解析：设等差数列{a}的公差为d.因为a＋a＝22，所以2a＝22，即a＝11.
n 3 7 5 5
又因为S ＝＝＝143，解得11a＝143，即a＝13.
11 6 6
所以公差d＝a－a＝2，所以a＝a＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，
6 5 n 5
所以S＝＝(n＋2)n.
n
令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n<－15(舍).故选B.
6．已知等差数列{a}中，a＝1，前5项和S＝－15，则数列{a}的公差为( )
n 2 5 nA．－3 B．－
C．－2 D．－4
答案：D
解析：∵{a}为等差数列，∴S＝5a＝－15，
n 5 3
∴a＝－3，
3
∴d＝a－a＝－3－1＝－4.
3 2
7．[2024·九省联考]记等差数列{a}的前n项和为S ，a ＋a ＝6，a ＝17，则S ＝(
n n 3 7 12 16
)
A．120 B．140
C．160 D．180
答案：C
解析：方法一 ，
解得，
∴S ＝16×(－5)＋×2＝160.
16
方法二 因为a＋a＝2a＝6，所以a＝3，所以a＋a ＝3＋17＝20，
3 7 5 5 5 12
所以S ＝＝8(a＋a )＝160.故选C.
16 5 12
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石
板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块．下一
层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下
层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案：C
解析：由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成
以a ＝9为首项、9为公差的等差数列{a}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S ，
1 n 1
中层总数为S ，下层总数为S ，∴S －S ＝[9(2n＋1)·n＋×9]－[9(n＋1)·n＋×9]＝9n2＝729，
2 3 3 2
解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋×9＝27×9＋27×13×9＝
27×14×9＝3 402(块).故选C.
9．记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S＝0，a＝5，则( )
n n 4 5
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
C．S＝2n2－8n D．S＝n2－2n
n n
答案：A
解析：方法一：设等差数列{a}的公差为d，∵
n
∴解得
∴a＝a＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，S＝na＋d＝n2－4n.故选A.
n 1 n 1
方法二：设等差数列{a}的公差为d，∵
n
∴解得选项A，a ＝2×1－5＝－3；选项B，a ＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S
1 1 1
＝2－8＝－6，排除C；选项D，S＝－2＝－，排除D.故选A.
1
二、填空题
10．记S 为等差数列{a}的前n项和．若a≠0，a＝3a，则＝________．
n n 1 2 1
答案：4
解析：设等差数列{a}的公差为d，由a＝3a，即a＋d＝3a，得d＝2a，
n 2 1 1 1 1
所以＝＝＝＝4.
11．已知数列{a}是等差数列，公差d＝4，前n项和为S，则－的值为________．
n n
答案：2
解析：由等差数列的前n项和S ＝na ＋d得＝a ＋d＝a ＋(n－1)，所以{}仍是等差数列，
n 1 1 1
其公差是原等差数列公差的一半，所以－的值为2.12．[2024·新课标Ⅱ卷]记S 为等差数列{a}的前n项和，若a ＋a ＝7，3a ＋a ＝5，则
n n 3 4 2 5
S ＝________．
10
答案：95
解析：方法一 设等差数列{a}的公差为d，
n
∵a＋a＝7，3a＋a＝5，
3 4 2 5
∴解得
∴a＝3n－7，
n
∴S ＝＝＝95.
10
方法二 ∵{a}为等差数列，且a＋a＝7，
n 3 4
∴∴
∴公差d＝＝3，
∴a＝a＋(n－2)d＝－1＋3(n－2)＝3n－7，
n 2
∴S ＝＝＝95.
10
[能力提升]
13．[2024·北京师大二附中期中]《九章算术》是中国古代数学经典著作之一．全书分为
九章，第六章“均输”有一问题“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节
欲均容，各多少？”其意思为：今有竹9节，下3节容量共4升，上4节容量共3升，使中
间两节也均匀变化，每节容量是多少？在这一问题中，从下部算起第5节容量是________升．
答案：
解析：记从下部算起第n节的容量为a 升，由题意可知，数列{a}为等差数列，设其公
n n
差为d，则解得所以a＝a＋4d＝，即从下部算起第5节容量是升．
5 1
14．(多选)已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S ，a ＝18，a ＝12，则下列选项
n n 2 5
正确的是( )
A.d＝－2
B．a＝22
1
C．a＋a＝30
3 4
D．当且仅当n＝11时，S 取得最大值
n
答案：AC
解析：对于A，易知3d＝a －a ＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a
5 2 1
＝a －d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a ＋a ＝a ＋a ＝18＋12＝30，所以选
2 3 4 2 5
项C正确；对于D，因为a ＝a ＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a ＝2＞0，a ＝
n 1 10 11
0，a ＝－2＜0，所以当n＝10或n＝11时，S 最大，所以选项D错误．故选AC.
12 n
15．[2024·全国甲卷(理)]记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S ＝S ，a ＝1，则a ＝
n n 5 10 5 1
( )
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：方法一 设等差数列{a}的公差为d，∵S＝5a＋10d，S ＝10a＋45d，S＝S ，
n 5 1 10 1 5 10
∴5a＋10d＝10a＋45d，即a＝－7d.∵a＝a＋4d＝1，∴d＝－，∴a＝－7d＝.故选B.
1 1 1 5 1 1
方法二 ∵S＝S ，∴a＋a＋a＋a＋a ＝0，∴5a＝0，∴a＝0.
5 10 6 7 8 9 10 8 8
∵a＝1，a＝0，∴公差d＝－，则a＝a－4d＝，故选B.
5 8 1 5
16．在等差数列{a}中，a ＝7，公差为d，前n项和为S ，当且仅当n＝8时S 取最大
n 1 n n
值，则d的取值范围是________．
答案：
解析：方法一 由于S＝7n＋d＝n2＋n，
n
设f(x)＝x2＋x，则其图象的对称轴为直线x＝－.当且仅当n＝8时，S 取得最大值，故
n
7.5＜－＜8.5，解得－1＜d＜－.
方法二 由题意，得a＞0，a＜0，所以7＋7d＞0，且7＋8d＜0，即－1＜d＜－.
8 9
