文档文本内容
专题04 不等式及其性质
题型一：由已知条件判断不等式是否正确
题型二：由不等式的性质比较大小
题型三：作差法比较大小
题型四：作商法比较大小
题型五：不等式性质的应用
题型六：利用不等式求值或取值范围
题型一：由已知条件判断不等式是否正确
1．（多选）已知
，则下面判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可.
【详解】
，
；
，
，
根据不等式的同向可加性得：
，
，
，
根据同向正值不等式可乘性得：
，
综上，
.
故选：ACD.
2．（多选）已知
，则下列命题不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ABD
【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可.
【详解】当
时，
，故A 不成立；
当
时，若
，则
，故B 不成立；
若
，
，则
，即
，故C 成立；
若
，
，则
，即
，故D 不成立.
故选：ABD.
3．（多选）对于实数
、
、，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】利用作差法可判断AD 选项；利用不等式的基本性质可判断BC 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，则
，故
，A 错；
对于B 选项，若
，则
，由不等式的基本性质可得
，B 对；
对于C 选项，若
，由不等式的基本性质可得
，C 对；
对于D 选项，若
，则
，
所以
，D 对.
故选：BCD.
4．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【分析】对于AB，根据不等式的基本性质分析判断，对于CD，举例判断即可.
【详解】对于A，因为
，所以
，因为
，所以
，即
，所以A 正
确，
对于B，因为
，所以
，所以
，所以
，所以B 正确，
对于C，若
，则满足
，此时
，所以C 错误，
对于D，若
，则满足
，此时
，所以D 错误.
故选：AB
5．（多选）若实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据不等式性质证明B 正确，利用作差法证明D 正确，其余举反例即可.
【详解】
，所以B 正确；
当
时，满足
，
但
，所以A，C；
,故D 正确.
故选：BD
题型二：由不等式的性质比较大小
6．如果
，那么下列不等式中成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】对于A：因为
，所以
，则
，故A 错误；
对于B：因为
，所以
，所以
，故B 错误；
对于C：因为
，所以
，故C 正确；
对于D：因为
，所以
，故D 错误.
故选：C
7．设
，若
，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D.
【详解】因为
，则
，则
，A 选项正确；
因为
，则
，则
，B 选项正确；
因为
，则
，则
，C 选项正确；
取
，所以
，D 选项错误；
故选：D.
8．（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用不等式的性质和同向不等式可加性，可判断ABD，利用作差法可判断C，即可.
【详解】对于A：
，又
，由加法性质知
，A 正确,
对于B：
,
,
，B 正确,
对于C：
,
,
,但是
的正负号不确定,
与
大小关系不确定，C 错误,
对于D：
,
,
，又
,
，D 正确,
故选：ABD.
9．（多选）若
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，由A 选项知，
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ABD.
10．（多选）已知
为实数，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据不等式性质确定BCD 正确，举反例得到A 错误，得到答案.
【详解】对于A，取
，
，满足
，但
，故A 错误；
对于B，由
，则
，即
，故B 正确；
对于C，由
，则
，即
，故C 正确；
对于D，若
，则
，所以
，即
，故D 正确.
故选：BCD.
题型三：作差法比较大小
11．已知
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为
，
所以
．
故选：C
12．（多选）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分
三种情况讨
论即可判断.
【详解】对于A，
，因为
，
所以
，即
，所以
，故A 正确；
对于B，取
，此时
，故B 错误；
对于C，取
，则
，故C 错误，
对于D，若
，则
显然成立，
若
，则
成立，
若
，则
成立，
综上所述，只要
，就一定有
，故D 正确.
故选：AD.
13．已知
，
，设
，
，则
与
的大小关系为 ．
【答案】
【详解】
．因为
，
，所以
，
，
，所以
，所以
．
14．已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为
且
，所以
，且
，两边取倒数得
，又
，则
，从而得证．
解法2 因为
且
，所以
，且
，所以
，即
．
（2）因为
且
，所以
，
，则
，
，由
，可得
，即
，所以
，即
．综上，
．
15．若
，试比较
与
的大小．
【答案】
【分析】分组因式分解，得到
，结合条件即得
.
【详解】
，
因为
，所以
，
故
.
题型四：作商法比较大小
16．设
，
，则
（填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】由
均大于0，可用作商法，再化简后与1 作大小比较，即可得出答案.
【详解】∵
，即
.
又
，
.
17．已知
，试比较
与
的大小.
【答案】
【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】
，
，.
两数作商
，
.
18．甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半
路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若
，试判断哪辆车先到达B 地．
【答案】甲先到达B 地．
【分析】设
两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为
，则
，
．
然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论.
【详解】设
两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为
，则
，
．
方法一 因为
，即
，所以甲先到达B
地．
方法二
，因为
，所以
，从而
，即
，所以甲先到达B 地．
【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.
题型五：不等式性质的应用
19．（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD.
【详解】根据
，则
，A 正确；
由
，又
，则
，B 正确；
当
时，
，C 错误；
当
时，
，D 错误.
故选：AB
20．（1）已知
，
，
，求证：
；
（2）证明：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
．又
，所以
，则
，
所以
，即
．又
，所以
．
（2）要证
，只需证
，即证
，即证
，即证
，即证
，显然成立，所以
．
21．已知
，
，求证
．
【答案】证明见解析．
【分析】利用不等式的性质证明．
【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明．
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
．
22．已知
，求证：
＞
.
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式的性质，利用综合法即可证明.
【详解】因为
，所以
，
所以
，可得
，
即
，得证.
题型六：利用不等式求值或取值范围
23．若
，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由不等式式性质计算即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
根据同向不等式可加性得
．
故答案为：
．
24．已知实数a，b 满足
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据不等式性质直接求解即可.
【详解】
，
.
故答案为：
.
25．若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式性质得到
，进而得到取值范围.
【详解】
，故
，
故
，故
.
故答案为：
.
26．已知
，
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案.
【详解】令
，则
，即
，
由
，即
，可得
，则
.
故答案为：
.
27．设
，
，则
的范围是 .
【答案】
【分析】利用不等式的性质计算即可得.
【详解】由
，则
，
由
，则
，
故
，即
.
故答案为：
.
28．已知
，则
的范围是
【答案】
【分析】应用不等式性质求范围即可.
【详解】由题设
，则
.
故答案为：
29．已知
，
，求
的取值范围.
【答案】
【分析】计算出
，从而得到
，得到答案.
【详解】设
，
∴
，
∴
，解得
，
故
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
即
，
故
的取值范围为
.
30．已知
，
(1)求x 的取值范围
(2)求
的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两不等式相加可求x 的取值范围；
（2）利用待定系数法可得
，再根据不等式的性质可求
的取值范围.
【详解】（1）
，
两个不等式相加可得
解得
.
（2）设
，
则
，
.
即
，
又
，
，
，
即
的取值范围为
.
