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1.5 解其他不等式
5 大考点汇总
考点01 分式不等式
考点02 高次不等式
考点03 绝对值不对等式
考点04 双绝对值的问题
考点05 含根式的不等式问题
题型专练
考点01 分式不等式
1．设集合
，
，则
中整数的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．16
【答案】B
【分析】先分别求解对数不等式和分式不等式得到集合
、
，计算二者的交集后统计交集中的整数个数即
可.
【详解】对数函数
的定义域为
，不等式
可变形为
，
由于
在
上单调递增，因此
，即
.
分式不等式
等价于{
( x−4)( x +1)≤0
x +1≠0
)，解得
，即
.
，其中的整数为
，共4 个.
2．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解
【详解】因为
，所以
，解得
，
由
，
因为
是
的真子集，
所以
是
成立的充分不必要条件.
3．已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出集合
，再根据集合并集求解即可.
（2）根据
得到
，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得2 x−1
x−2 <1⇔2 x−1
x−2 −1= x +1
x−2 <0⇔−1< x<2，
所以
，
当
时，
，
，
（2）
，
，
①若
，则
，解得
；
②若
，要使
，则
应满足．
，即
，解得
，
综上所述，所求实数a 的取值范围是
．
4．已知集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若
，则
，解得
或
，
所以若
，则
的取值范围为
.
5．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
即为
，故
，故
.
6．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设
，
或
，
所以
.
7．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
考点02 高次不等式
8．不等式
的解集为______
【答案】
【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数
的大致图象如下：
由函数图象可知，当
或
或
时，
，
故答案为：
.
9．不等式
的解集为___________（用区间的形式表示）.
【答案】
【分析】移项通分，转化为一元高次不等式即可求解.
【详解】移项得
，
即
，
解得
，
故答案为：
.
10．分式不等式
的解集为______
【答案】
或
或
【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体
原则，得到不等式解集.
【详解】∵
，∴
，
∴
或
或
.
故答案为：
或
或
.
11．求下列不等式的解集：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）利用穿根法即可求解；
（3）首先代入
求解，当
时，因式分解后再求解不等式即可.
【详解】（1）
，即
，解得
，则其解集为
.
（2）
，即
，
则
，且
，
利用穿根法得
，则其解集为
.
（3）当
时，原不等式可化为
，解集为
，
当
时，原不等式可化为
，解集为
，
当
时，原不等式可化为
，
当
，即
时，解集为
；
当
，即
时，解集为
；
当
，即
时，解集为
．
综上所述：当
时，解集为
，
当
时，解集为
，
当
时，解集为
，
当
时，解集为
，
当
时，解集为
．
12．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】按
的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案.
【详解】按
的正负分类可得：
或
，
得：
或
或
，
解得：
或
或
.
故选：A
考点03 绝对值不对等式
13．解下列不等式
(1)
(2)
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）原不等式等价于
，由一元二次不等式解法求解即可；
（2）去绝对值，分
，
两种情况求解即可.
【详解】（1）原不等式等价于
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以不等式等价于
，解得
，
所以不等式解集为
；
（2）当
时，
，所以原不等式可化为
，
解得
，此时不等式解为
；
当
时，
，所以原不等式可化为
，
解得
，此时不等式解为
；
综上，不等式解集为
.
14．解下列关于
的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【答案】(1)
(2)
或
.
(3)
(4)
或
【分析】（1）化简不等式为
，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）化简得到
，转化为
，结合分式不等式的解法，即可求解；
（3）不等式转化为
且
，进而得到不等式的解集；
（4）根据题意，分
和
，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式
，可得
，
解得
，所以不等式的解集为
.
（2）解：由不等式
，可得
，
即
，解得
或
，所以不等式的解集为
或
.
（3）解：由不等式
，可得
且
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
（4）解：由不等式
，
当
时，即
时，不等式即为
，显然成立；
当
时，即
时，不等式可化为
，
即
，解得
或
，所以
或
且
，
综上可得，不等式的解集为
或
.
15．已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，解得
或
，所以
或
，
由
，所以
，解得
或
，
所以
或
，所以
或
．
16．若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在集合A 中，
，
，解得
且
，即集合
.
在集合B 中，
，
，解得
，即集合
.
，即
.
17．求下列不等式的解集．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2){3}∪(4 ,+ ∞)
【分析】（1）首先根据绝对值的非负性初步得到x 的一个范围，再去绝对值符号，解一次不等式即可；
（2）根据开偶次方根的数为非负数，分母不为0 得到x 的一个范围，再根据分子是否为0 分类讨论求解.
【详解】（1）因为5 x−1>|2 x +1|≥0，所以
，解得
．
当
时，
，所以
.
所以原不等式即5 x−1>2 x +1，解得
．
取交集可得原不等式的解集为
．
（2）不等式有意义的条件为
，即
且
．
当
时，不等式即
，成立；
当
且
时，
，故
，可化为log2( x−2)−1>0，即
，解得
．
综上，原不等式的解集为{3}∪(4 ,+∞)．
18．已知集合
，其中
为实数，集合
.
(1)若
，求
；
(2)若非空集合
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合
，可求
；
（2）利用集合非空可得
，由
，可得
，求解即可.
【详解】（1）若
，由
，得
，解得
，所以
.
由
，得
，即
，所以
，
解得
，
，所以
；
（2）由（1）得
，
因为集合
为非空集合，所以
，
由
，得
，解得
，所以
，
又
，所以
，解得
，又
，所以
，
所以实数
的取值范围
.
考点04 双绝对值的问题
19．（多选）已知不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
【答案】BC
【分析】首先根据绝对值三角不等式求
的最小值，再根据不等式恒成立，转化为
，即
可求解.
【详解】不等式
，
由不等式
恒成立，可知
，
即
，解得：
，
选项中满足条件的只有BC.
20．不等式
的解集为________．
【答案】
【详解】令
，
当
时，
；
当
时，
，得
，所以
；
当
时，
不成立．
故原不等式的解集为
.
21．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】两边平方后可求不等式的解.
【详解】因为
，故
，化简得
，解得
，
即不等式
的解集为
.
22．若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为__________．
【答案】
【分析】应用绝对值三角不等式计算求解最大值，再解绝对值不等式求解.
【详解】因为不等式
，不等式
的最大值为
，
对任意
，不等式
恒成立，所以
，
则
的取值范围为
，即得
的取值范围为
.
23．已知
，则实数
的取值范围为__________.
【答案】
【详解】根据绝对值的几何意义，
表示数轴上点
到点
的距离，
表示数轴上点
到点
的距离，
已知
，而点
和点
之间的距离为
，
所以当
时，点
到点
和点
之间(包括端点)，此时点
到点
的距离与点
到点
的距离之和恰
好等于点
和点
之间的距离3，满足
.
24．若对任意实数
，都有
，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】要使不等式对任意
恒成立，只需
小于等于
的最小值即可.
【详解】根据绝对值的几何意义，
是数轴上点
到点的距离，
是点
到点
的距离，
当点
在
和之间（含端点）时，两个距离之和最小，最小值就是
到的距离
，
即
的最小值为
.
因此不等式恒成立要求
即可，即
的取值范围是
.
考点05 含根式的不等式问题
25．不等式
的解集是___________．
【答案】
【分析】对于原不等式，有
，原不等式化为
，两边平方化简为
，结
合高次不等式的解法并结合
可得出原不等式的解集.
【详解】对于不等式
，有
，可得
，
所以原不等式化为
．
因为
，必有
，可得
，
由
可得
，
即
，
整理可得
，
方程
的两根分别为
，
，如下图所示：
不等式
的解为
或
或
，
又因为
，故原不等式的解集为
.
26．关于
的不等式
的解集为___________．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式解法，分段求解即可.
【详解】由不等式
有意义，得
，解得
，
当
时，
，因此
；
当
时，
，即
，解得
，因此
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
27．不等式
的解集为
，则
______．
【答案】-8
【分析】根据平方根的被开方数非负的要求，求出
，从而得到
是方程
的解，进而
求出答案．
【详解】由
得
，
又不等式
的解集为
，该解集只有左端为闭区间，故
，即
，
从而可得
是方程
的解，代入可得
，
解得：
，经检验满足题意.
．
故答案为：
28．不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，分
和
，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】当
，解得
，此时不等式
恒成立；
当
时，即
时，不等式
，平方得
，
即
，即
，解得
，所以
，
综上可得，不等式
的解集为
.
故选：B.
29．已知命题
：
，
：
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值
范围是________.
【答案】
【分析】先解不等式得到命题
和
成立的
的范围，再由
是
的充分不必要条件得到自变量范围的包含
关系从而可得结果.
【详解】由
得
，即
，记
；
由
得
，即
，记
.
因为
是
的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
则
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
30．已知关于
的不等式
的解集是
，其中
，则
的值为_________．
【答案】
【分析】由二次根式的非负性求
的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论
的不同取值得到不等式
的解集，根据题意列方程，解得
，即可求得结果.
【详解】∵
，∴
或
∵
，∴
，
∵
，∴
，
即
，
当
时，
恒成立，
∴不等式
的解集是
不符合题意，舍去.
当
时，
，
∴不等式
的解集是
，
即
，即
，
则
，
或
（舍去），
则
.
当
时，不等式
的解集是
，
即
，即
，
∴
，即
，则
（舍去）或
（舍去）
当
时，
，
当
，
，即
时，
不等式
的解集是
，不符合题意，舍去.
当
，
，即
时，
∵
，
当且仅当
，即
时取等号，
∴当
时，
，
不等式
的解集是
或
，不符合题意，舍去.
综上所述，
.
故答案为：
.
