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1.3 不等式的性质
6 大考点汇总
考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确
考点02 由不等式的性质比较数(式)大小
考点03 作差法比较代数式的大小
考点04 作商法比较代数式的大小
考点05 由不等式的性质证明不等式
考点06 利用不等式求值或取值范围
题型专练
考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．（多选）若
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由
，两边同除以正数
即可求解；对于B，使用反例证伪即可，对于C，将原不等式
转化为
即可求解，对于D，使用不等式的传递性完成放缩即可.
【详解】因为
，所以
，
对于A，因为
，且
，则有
，进而可得
，故A 正确；
对于B，不妨取
，此时
，满足
，
此时
，
以2 为底的指数函数单调递增且
，则
，此时
，故B 错误；
对于C，因为
，
，则有
，进而
，即
，
因为
，即
，因为
，即
，
不等式两边同时除以
得
，
整理得
，故C 正确；
对于D，因为
，
，则
，
因为
,
，则
，
进而有a
2>ab>abc，即
，故D 正确.
2．已知
，
为实数，则“
”是“
成立”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可
【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母
，等价于
不同时为
，即
，故
必要性成立.
验证充分性：若
，此时
；
根据绝对值三角不等式，对任意实数
，恒有
，
不等式两边同时除以正数
，可得
，故充分性成立.
综上，“
”是“
成立”的充要条件.
3．已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】选项A：因为
，所以
；因为
，所以
，正数一定大于负数，即
，故A 错误；
选项B：因为
，所以
；因为
，所以
，正数一定大于负数，即
，故B 错误；
选项C：仅知道
，无法确定
与
的大小关系，
例如：若
，则
；若
，则
，故C 不一定正确；
选项D：用作差法验证：
，
因为
，所以
，若
且
（成立，因为
），则分母
，
因此，差
，即
，可得
，故D 一定正确．
4．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．当
时，
的最小值为2
【答案】BC
【详解】取
，满足
，
但
，因此
不成立，故A 错误；
若
，故
，
，
取
，所以
，故B 正确；
若
，则
，故
，故C 正确；
当
时，
，当且仅当
时等号成立，故D 错误.
考点02 由不等式的性质比较数(式)大小
5．（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【详解】对于A：当
时，
，故A 错误；
对于B：因为
，则
，故得
，故B 正确；
对于 C：若取
，
，满足
，
因
，
，
，显然不满足
，故 C 错误；
对于D：由
，得
且
，
因
，可得
，故D 正确.
6．若
，且
，
，均不为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用特殊值法和不等式性质来逐一分析选项.
【详解】对于A 选项，取
，
，
，则
，
，
则有
，
，
则有
，故A 错误，
对于B 选项，取
，
，
，
则
，
，
所以
，故B 错误，
对于C 选项，取
，
，
，
则
，c
bb
a= 4
2⋅2
1
2 =16 ❑√2，
则有a
bb
c<c
bb
a，故C 错误，
对于D 选项，因为
，
所以1
b < 1
a ⇒c
b < c
a，由不等式的同向相加性质可知
，故D 正确．
7．（多选）已知实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】首先根据条件判断
，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小.
【详解】由条件可知，
，则
，故A 正确；
，故B 正确；
，
，所以
，故C 错误；
设
，为增函数
减函数=增函数，所以
为增函数，
因为
，所以
，即
，即
，故D 正确.
8．已知a，b，c 满足
且
，则下列选项中不一定能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD，举反例排除C.
【详解】因为
，不等式
两边同除以正数
，不等号方向不变，因此
一定成立，A 正确；
由
得
，又
，负数除以负数结果为正，因此
一定成立，B 正确；
取
，满足条件，但此时
，C 错误；
由
得
，且
，正数除以负数结果为负，因此
一定成立，D 正确.
9．（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项.
【详解】选项A：由
，两边同乘
得
，
结合
，根据不等式性质：若
，
，则
，
可得
，即
，所以选项A 正确.
选项B：取特值
，
，
，
，则
，
，
此时
，所以选项B 错误.
选项C：已知
，
，设幂函数
，
因为
，所以幂函数
在
上单调递减，
根据幂函数的单调性，可得
，所以选项C 错误.
选项D：对
进行通分：
.
因为
，所以
，
，
，则
.
所以
，即
，所以
，所以选项D 正确.
10．已知非零实数
，满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D.
【详解】易知
，
，故A 错误，B 正确；
对于C，移项作差，得b
a −b+c
a+c = (b−a)c
a(a+c) ，
因为不能判断
的正负，
所以不能确定
的正负，
所以不能判断
的大小关系，故C 错误；
对于D，移项作差，
，
所以
，故D 错误.
考点03 作差法比较代数式的大小
11．比较
与
的大小.
【答案】
【详解】( x −3)
2−( x −2)( x −4)
= x
2−6 x +9−(x
2−4 x −2 x +8)
12．已知
，
，
，判断M，N 的关系?
【答案】当
或
时，
；
当
，
中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，
.
【详解】由
.
①当
时，
，即
；
②当
时，
，即
；
③当
，
中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，
，即
.
综上所述，当
或
时，
；
当
，
中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，
.
13．已知
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．与
有关
【答案】A
【详解】
，故
14．已知函数
．
(1)若
的定义域为
，求实数
的取值范围；
(2)若
，设
，试比较
与
的大小并说明理由．
【答案】(1)
；
(2)当
时，
；当
且
时，
.
【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数
在
上恒非负，利用判别式
，求解
的
取值范围；
（2）通过作差法计算
，化简后判断其符号，即可比较
与
的大小.
【详解】（1）由题意，
，则
，
因为函数
的定义域为
，
所以对任意
，都有x
2−2ax +8≥0恒成立．
即
，解得
．
故a 的取值范围是
．
（2）由题意，当
时，
，
所以
．
所以当
时，
；当
且
时，
．
考点04 作商法比较代数式的大小
15．试比较下列各数的大小，并说明理由：
(1)
与
；
(2)
与
．
【答案】(1)
，理由见解析
(2)
，理由见解析
【分析】（1）两数大小即为
的大小，平方后可得它们的大小关系；
（2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系；
【详解】（1）
理由：
，
由于
，且
所以
，即
，
因此
.
（2）
理由：
因为
，所以
即得
，
即
，又
，
故
.
【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法.
16．设
，
，且
，则
和
的大小关系是_________．
【答案】
【分析】由
，
，且
，得到
，再分
和
讨论求解.
【详解】因为
，
，且
，所以
，
当
时，由
，
，可得
，所以
．
当
时，由
，
，可得
，所以
．
综上可得，
．
故答案为：
．
17．（1）比较大小：
与
；
（2）设
，比较
与
的大小.
【答案】（1）
.
（2）
.
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用作商法比较大小.
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
即
.
（2）由
，得
，
，
，
因此
，
所以
.
18．若
，则
与
的大小关系是_______．（用“>”连接）
【答案】
【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断；
【详解】方法一（作商法）：因为
，
所以
，
所以
．
方法二（作差法）：
，即
．
故答案为：
考点05 由不等式的性质证明不等式
19．已知
均为正实数，且
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论．
【详解】
，
，
，
又
，
，故
，
，
，
，
，即
．
20．（1）比较
与
的大小；
（2）已知
，
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【分析】（1）利用作差法比较大小；
（2）根据
，得到
，再由
，根据不等式的性质可得
，从而得证.
【详解】（1）因为
，
所以
；
（2）因为
，所以
，
又
，所以
，得证.
21．已知
，
.
(1)求证：
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【详解】（1）由
，则
，故
，
由
，则
，故
，
所以
，得证.
（2）由
，而
，
所以
，即
，得证.
22．已知b 克糖水中有a 克糖
，往糖水中加入m 克糖
，（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较
的大小；
(3)证明命题：设
，证明：
.
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到不等式
，结合作差比较法，即可得证；
（2）根据题意，化简
，利用上述结论，即可求解；
（3）由（1）中的结论，得到
，证得
，
再由
，
，
,由即可得证.
【详解】（1）由题意，可得不等式
.
证明：由
，
因为
，可得
，
所以
，即
.
（2）由
，
由（1）中的结论，可得
，即
.
（3）证明：因为
，
根据（1）中的结论，可得
，
同向不等式相加可得，
①，
又由
，同理可得
，
则
，②
综合①②，得
.
考点06 利用不等式求值或取值范围
23．已知
，
，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质来确定
的取值范围.
【详解】∵4<b<9，∴1
9 < 1
b < 1
4 ，又因为
，
∴1
9 ×3< a
b < 1
4 ×8，即
．
24．已知
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，而
，则
.
25．若
，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，解得
.
，
，相加得
.
【点睛】错误思路：先单独求
、
各自范围，再代入求
.
两式相加:
两式相减:
再算
：
得到：
.
和
不是相互独立变量，
与
有约束关联，不能先拆开单独求
范围再直接代入，拆开后放大了
取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围.
26．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意可知
，
由
可得
，又
，
所以
，即
的取值范围是
.
27．已知
，则
的取值范围为______
【答案】
【分析】利用不等式待定系数配凑求解
【详解】设
展开得
对比系数列方程得
，解得
所以
因为
，
所以
，即
，两不等式相加得
，即
28．已知实数
．
(1)若
，则
的取值范围；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围.
（2）将
用
表示出，再利用不等式的性质求出范围.
【详解】（1）由
，得
，
当
时，
，则
，即
，
当
时，
，因此
，
所以
的取值范围是
.
（2）依题意，
，
由
，得
，
则
，所以
的取值范围是
.
