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1.1 集合
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然
数集
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
记法
N
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,就称集合A 为集
合B 的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A).
(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A 是集合B 的真子集,记作A⫋B(或B⫌A).
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A 的
补集为∁UA
图形
表示
集合表示
{x|x∈
A,
或
x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,
且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩= ,
⌀⌀A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)= ,⌀A∪(∁UA)=U,
∁U(∁UA)=A.
考点一 集合含义与表示
考点二 集合间的基本关系
考点三 集合的运算
考点四 集合的新定义问题
考点一 集合含义与表示
1．（2026·湖北孝感·二模）如果集合
只有一个元素，则实数
的值是（ ）
A．0 或4
B．4
C．0 或
D．0
【答案】C
【分析】分
和
两种情况讨论，当
时
，即可求出
的值.
【详解】集合
，
表示关于
的方程
的解集，
当
时，解得
，则
，符合题意；
当
时，
，解得
，
此时
，符合题意,
综上可得
或
.
2．（25-26 高三上·江苏常州·月考）（多选）下列各组中
表示不同集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A 中，
是数集，
是点集，二者不是同一集合,故
；
选项B 中，
与
表示不同的点，故
；
选项C 中，
，
，故
；
选项D 中，
是二次函数
的所有
组成的集合，而集合
是二次函数
图象上所有点
组成的集合，故
.
故选：ABD.
3．（25-26 高三上·上海金山·开学测试）含有三个实数的集合既可表示成
，又可表示成
，则
____________.
【答案】
【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可.
【详解】由题意可知
，所以根据集合元素的互异性可知
，
则
，此时需
，即
，所以
.
故答案为：
4．（25-26 高三上·四川成都·开学测试）下列集合符号运用不正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确.
【详解】A 选项，集合
中的元素
和都是自然数，所以集合
是自然数集
的子集，即
，A 选项
集合符号运用正确；
B 选项，对于方程
，在实数范围内，
，则
，方程
无解，所以集合
是空集，空集
是集合
的子集， B 选项集合符号运用正确；
C 选项，
是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以
不属于整数集
，即
，C 选项集合符
号运用不正确；
D 选项，分数属于有理数，所以
属于有理数集
，即
，D 选项集合符号运用正确.
故选：C.
考点二 集合间的基本关系
5．（2026·江西·二模）已知集合
，集合
，则集合
的真子集个数为
（ ）
A．3
B．4
C．15
D．16
【答案】C
【详解】求解集合
，由
得
，即
.
故
.
求解集合
，由
且
，得
，整数解为
，故
.
所以
，该集合元素个数为
.
因为
个元素的集合真子集个数
，代入得真子集个数为
.
6．（2026·湖南长沙·二模）已知集合
，
，则M 与N 的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】已知集合
，
因为任何数的平方都大于等于0，要使
成立，则必须满足
，
即
，
，所以集合
，集合M 中的元素是一个点
.
集合
，集合N 中的元素是两个数0 和1.
所以集合M 与集合N 没有公共元素，即
.
7．（2026·四川遂宁·二模）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过分析两个集合中元素的特征，变形
的元素表达式，结合整数性质判断集合间的包含关系.
【详解】集合
，代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成
的形式.
对集合
中任意元素
，变形得
，因为
，所以
，
因此
符合
中元素的形式，即任意
都有
，可得
，A 正确；
取奇数，
（
时
），但若
，得
，因此
，说明
，
，
取奇数，
（
时
）且
（
时，
），即
和
有公共元素，交集不为空，
因此B、C、D 错误.
8．（2026·湖南怀化·二模）已知集合
，
．若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合
，再根据并集的定义可得.
【详解】由
，解得
，所以
.
因为
，所以
，如图：
所以
．
9．（25-26 高三上·四川内江·开学测试）已知集合
，
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的值；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
或
【详解】（1）由
，即
，解得
，
所以
，
由
，即
，显然
，
解得
，
又
，
当
时
，
所以
；
（2）
，
，
，
，解得
，则
，满足
，
所以
；
（3）因为
，
所以
或
，又
，
，
所以
或
，解得
或
．
所以
的取值范围是
或
．
考点三 集合的运算
10．（25-26 高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，解得
或
，所以
或
，
由
，所以
，解得
或
，
所以
或
，所以
或
．
11．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，又
，所以
．
12．（2026·北京石景山·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以
.
13．（25-26 高三上·四川内江·开学测试）设全集为
，集合
，
．
(1)求如图阴影部分表示的集合；
(2)已知
且
，若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）解不等式求出
，再计算
即可求出答案；
（2）由
得
，分为
和
两种情况分别求解，即可求出答案.
【详解】（1）解不等式
得
或
，
所以
或
，
或
，
所以
或
.
（2）由
得
，
当
，即
时，
，符合题意；
当
，即
时，
则
，解得
，
综上所述，
，
所以实数
的取值范围为
.
14．（25-26 高三上·广东东莞·期末）已知集合
.
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）解分式不等式求解集合A，求解函数定义域可得集合B，然后利用并集运算求解即可；
（2）先求出集合B 的补集，然后利用交集运算得
，进而列不等式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，解得
，所以
，
因为
，即
，所以
，解得
，
所以
，
所以
；
（2）由
，得
或
，
若
，则
，
，
当
，即
时，满足
；
当
，即
时，满足
；
综上，
的取值范围是
或
.
考点四 集合的新定义问题
15．（2026·河南开封·二模）定义集合
且
，已知集合
，
，若
，
则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，集合
，集合
，
，
所以
，
，
，
选项A：因为
，所以
或者
（且满足集合元素的互异性）；
选项B：因为
，所以
一定成立；
选项C：当
时，集合
，集合
，
，C 错误；
选项D：当
，
时，集合
，集合
，
，D 错误.
16．（25-26 高三上·安徽阜阳·月考）（多选）对于由
个正整数组成的集合
，设
为集合
中所有元素的和，
定义：若对任意不大于
的正整数
，都存在
的子集
，满足
，则称集合
是“完全集合”．下列
说法正确的是（ ）
A．
是完全集合
B．对于确定的正整数
，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的
C．若
，则
是完全集合
D．若
是完全集合，且
，则
中的元素个数的最小值为10
【答案】ABC
【分析】根据“完全集合”的定义即可判断A；根据题意存在
，继而可推出只能是
，
进而可判断B；设
中的元素从小到大依次为
，可得
，进而得到
即可判断C；由“完全集合”的定义，结合使完全集合
的元素尽可能少，得出
即可判断D．
【详解】解：对于A
，容易验证，
都可以被
中的元素及其和覆盖到，
符合完全集合的定义，故A 正确；
对于B，根据完全集合的定义，必存在
，则
，
要使
中元素从小到大成等差数列，只能是
，因此这样的完全集合是唯一的，故B 正确；
对于C，设
中的元素从小到大依次为
，由于
，而
，
所以
，所以
，当且仅当
时等号成立，
因为
，所以
，易知该集合是完全集合，故C 正确；
对于D，要使完全集合
的元素尽可能少，需要让每个元素尽可能“高效”地覆盖连续的正整数，
设
中的元素从小到大依次为
，
最优的策略：令
表示前
项和），即
，
，
此时
，
即只有10 个元素不满足条件，只需再加上1003，
即
，
此时有
，且
都可以被
中的元素及其和覆盖到，
因此
中的元素最少有11 个，故D 错误．
17．（2026·福建漳州·三模）已知
是集合
的非空子集，若
，则称
是集合
的“互斥子集
组”，并规定
与
为不同的“互斥子集组”．集合
的不同“互斥子集组”的个数是
___________．（用数字作答）
【答案】50
【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可.
【详解】解法一：若
中各含1 个元素时，“互斥子集组”有
个，
若
中一个含1 个，一个含2 个元素时，“互斥子集组”有
个，
若
中一个含1 个，一个含3 个元素时，“互斥子集组”有
个，
若
中各含2 个元素时，“互斥子集组”有
个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50 个．
解法二：当集合
中有1 个元素时，有
，共4 种情况，
集合
是由集合
中去除这个元素后，剩下的3 个元素组成的非空子集，
可得这样的“互斥子集组”有
个，
当集合
中有2 个元素时，有
，
共6 种情况，而集合
是由集合
中去2 个元素后，
剩下的2 个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有
个，
当集合
中有3 个元素时，有
，共4 种情况，
而集合
是由集合
中去除3 个元素后，剩下的1 个元素组成的非空子集，
则此时“互斥子集组”有
个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50 个．
18．（2026·北京顺义·二模）已知集合
，集合
是集合
的一个含
个元素的子集.若集合
满足如下两个性质，则称集合
为集合
的完美子集：
①集合
的任意两个不同子集的元素之和不相等；
②对任意
且
，令
，且集合
存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若
，判断
是否为集合
的完美子集；
(2)若集合
为集合
的完美子集，证明：集合
的元素之和的最小值为16；
(3)若集合
为集合
的完美子集，证明：
.
【答案】(1)
不是
的完美子集，
是
的完美子集
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）验证两个条件即可；
（2）用反证法证明；
（3）根据集合的新定义结合反证法证明即可.
【详解】（1）
中任意子集之和可以是
，
，
，
，
，均互不相
等，满足性质①，
是
再添一个不在
中但在
中的元素，取
，
，
的不同子集元素和分别为：
，
没有和相等的子集，所以不满足性质②，
不是
的完美子集；
的任意子集之和可以是
，
均互不相等，满足性质①，
对于性质②，对任意
，
，
任意子集之和组成的集合为
当
,存在
的子集
的元素和等于
，只要取
的两个子集为
，
即可满足条件，而当
，
，取子集
和
即可，
所以
是
的完美子集；
（2）反证法：设A 的元素和为S,若
,考察包含A 的
元子集
.
由于A 的任意两个子集元素之和不等，且B 的任意一个包含16 的子集元素和比B 的任意个不包含16 的子集元素和
大，
从而B 的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而
.
又
满足条件，此时
，从而的最小值为16.
（3）
，
假设若
，则
的非空子集有
个，
而其中每个子集元素和不超过
，但
，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若
，考虑
的一、二、三、四元子集，共有
个不同的子集，其元素和都在区间
内
(因为任意一个这样的和小于
，且由
知：
，
，
，
不同时属于
)
若
，则由
知，
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
所以此时最大的和不大于
而
，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若
则由
知．
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
所以此时最大的和不大于
而
，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若和
都不属于
，则最小的和不小于
于是，其和都属于区间
，最多有
个不同的和．
而
，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述，
．
19．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合
，定义变换
，
中元素的个
数分别记为
，
，
.
(1)设集合
，直接写出
，
，
的值；
(2)设集合
,
中所有元素的和记为
，求数列
的通项公式；
(3)设集合
与
同时满足下列两个性质：
①
，且
；
②
且
，其中
.
求
的最大值.
【答案】(1)
；
；
(2)
(3)676
【分析】（1）依据变换的定义，枚举集合元素两两相加的结果，去重后统计元素个数即可.
（2）先分析集合
的元素特征，证明
中元素的唯一性，再对所有元素分组求和推导通项.
（3）先根据
的元素个数限制推导集合
、
为公差相等的等差数列，再结合元素的取值范围约束求解
的最大值.
【详解】（1）
；
；
.
（2）由
,得
.
，
若
，则
.
①当
时,
；同理，当
时,
.即
与
同时成立.
②当
与
都不成立时，必有
或
两者之一成立.
不妨设
则
.
所以
且
.
所以
且
.
所以
.
所以所求数列
的通项公式为
.
（3）设集合
，
，其中
，
，
则
.
所以
.①
.②
式①与式②中均有
个不同的数，这些数都是集合
中的元素.
因为
，所以
中有且仅有
个不同元素.
所以式①与式②中的数对应相等，即
.
所以
.
所以数列
是公差为
，项数为
的等差数列.
同理，数列
是公差为
，项数为
的等差数列.
所以数列
与
是两个公差相等（公差
），项数为
的等差数列.
设
，
，其中
.
则
，
则
，且
.
因为
，所以
.
①当
时，设
，
，
.
所以
，
，且
或
.
所以
，解得
.
当
时，
，
，
.
经检验符合题意.
②当
时，因为
，
所以
，
.
所以
.
综上，
的最大值为
1．（2026·云南·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解
可得集合
，再将集合
使用列举法表示，进而可求得
.
【详解】解
，得
或
，因此
；
满足
的自然数
为：
，
因此，
，故
，
故选：B．
2．（25-26 高三上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（ ）
A．
B．
.
C．
D．
.
【答案】C
【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；
对于D，根据集合相等的定义判断.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知
，故错误；
对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误；
对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确；
对于D，
不是空集，0 是一个元素，故错误；
故选C.
3．（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①
，②
.③
，④
.正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据常用数集的概念进行判断即可.
【详解】对于①，
是有理数，但不是整数，故①错误；
对于②，
是无理数，不是有理数，故②正确；
对于③，0 是自然数，所以
不成立，故③错误；
对于④，
是无理数，也是实数，故④正确；
故正确的个数为2.
故选：B.
4．（25-26 高三上·山东济南·开学测试）下列集合中，与集合
表示同一个集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可
【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合
表示错误，A 错误；
对于B，
解得
，此时与集合
表示同一个集合，B 正确；
对于C，
且
，故两集合不表示同一集合，C 错误；
对于D，集合
表示点集，只有一个元素，D 错误.
故选：B.
5．（安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026 届年高三上学期5 月学情自测数学试
题）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
或
，解得
或
，所以
，
所以
，A 错；
，B 错；
，C 错；
，D 对.
6．（2026·福建三明·二模）已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解不等式求得集合
，由
，可得
，求解即可.
【详解】由
，得
，解得
，
所以
，又
，
由
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
7．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵
，∴
， 解得
，
又
， ∴
.
∵
，即
，解得
，
又
，∴
.
∴
.
8．（25-26 高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
.
9．（25-26 高三上·北京朝阳·开学测试）当集合是
的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚
度”.集合
的全部非空子集的厚度之和为（ ）
A．3200
B．1600
C．1550
D．800
【答案】B
【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可.
【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:
.
集合
的元素之和为
.
所以集合
的全部非空子集的厚度之和为:
.
10．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
中元素个数为
D．
【答案】BD
【分析】分析可知，所以方程
有两个相异实根
、
，且
、
异号，结合全集
中的元素可确定
集合
，结合韦达定理求出
的值，再利用集合运算可判断BCD 选项.
【详解】在集合
中，因为
，所以方程
有两个相异实根，
设为
、
，由韦达定理可得
，所以
、
异号，且
，
因为全集的元素中两元素之积为
的只有两组
、
和
、
，
所以
或
.
当
时，
，则
，
所以
，
，
；
当
时，
，则
，
所以
，
，
.
综上，则
或
，
，
中元素个数为，
，
故A 错误，B 正确，C 错误，D 正确.
11．（25-26 高三上·四川宜宾·开学测试）（多选）下列命题中为真命题的有（ ）
A．“四边形
是正方形”是“四边形
是长方形”的充分不必要条件.
B．若
是无理数，则
也是无理数.
C．若
，则实数
的值为1 或2.
D．
，则
的子集个数是4 个.
【答案】AD
【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A 的正误；代入特殊值，可判断B 的正误；
根据集合的确定性及互异性，可判断C 的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D 的正误.
【详解】选项A：若四边形
是正方形，则四边形
也是长方形；
若四边形
是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形
是正方形，
所以“四边形
是正方形”是“四边形
是长方形”的充分不必要条件，故A 正确；
选项B：若
是无理数，则
是有理数，故B 错误；
选项C：若
，则
或
，
若
，则
，不满足互异性，故舍去；
若
，则
或
（舍），综上实数
的值为2，故C 错误；
选项D：由题意，
有两个元素，
则
的子集个数有
个，故D 正确.
12．（2026·山西临汾·二模）（多选）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】易知
，即
.
，即
.
A.
，成立.
B.因为
，所以
，不成立.
C.
或
，
，成立.
D.
或
，
或
，成立.
13．（2026·陕西榆林·三模）集合
的真子集的个数为______.
【答案】3
【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解.
【详解】方程
可化为
，解得
或1，
则
，故集合
的真子集的个数为
.
14．（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，且满足
条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
【答案】
或
【分析】由题意得出
是一元集，然后按
的正负或0 分类讨论求解．
【详解】由题意
的子集恰有2 个，所以
是一元集，
若
，则
，而
，
满足题意，
若
，则
，
，此时
，不合题意；
若
，则
，
，
只含一个元素，则
，
综上，
的取值范围是
或
．
15．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学测试）已知
，
，则
___________．
【答案】
【详解】令
，解得
，即集合
；
令
，解得
，即集合
；
所以
.
16．（25-26 高三上·上海·开学测试）已知不等式
的解集为
，不等式
的解集为
.
(1)若
，求
；
(2)若对任意实数
，不等式
均成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式分别求出集合
，可求得
；
（2）对参数
的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果.
【详解】（1）易知不等式
等价于
，
可得
；
当
时，不等式
即为
，
可得
；
因此可得
（2）当
时，不等式为
恒成立；
当
时，由恒成立可得
，解得
；
综上可得实数
的取值范围为
.
17．（25-26 高三上·北京海淀·开学测试）已知
为给定的正整数，
，集合
，设非
空集合
，
.若对任意的
，集合
均恰有
个不同的元素，其中
，则称
是
的
阶伴随子集.
(1)设
，写出2 个
的1 阶伴随子集；
(2)设
，非空集合
不存在1 阶伴随子集，求
中元素个数的最小值；
(3)设
和
互为3 阶伴随子集，求
中元素个数的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)240
【分析】（1）根据1 阶伴随子集的定义进行求解即可；
（2）根据题中定义，结合假设法进行求解即可；
（3）利用转化法，结合题中定义分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）A 共有12 个1 阶伴随子集，形如
是1，2，3，4 的排列）.
（2）一方面，若
，则
，对
.
令
，则
是
的1 阶伴随子集.
另一方面，若
.令
.
假设
是
的1 阶伴随子集.
则
互不相同，且恰取遍
.
有
，不可能.
综上，
．
（3）将
中的元素自然的看做小方格，A，B 中的方格分别记为“○”、 “△”
A，B 互为3 阶伴随子集
每个标记格恰有3 个异标记格与之同行或同列.
一方面，如图标记时，
.
另一方面，设A，B 互为3 阶伴随子集.
设有
个双b 标记行，
个双b 标记列.
注意到以下两个事实：
①每个双标记行（列）最多有3 个“○”格，最多有3 个“△”格；
②若某行（列）只有“○”（“△”）格，则该行（列）的每个“○”（“△”）格所在的列（行）必是双标记
的.
（i）若
，则
，
（ii）若
，与（i）同理.
（iii）若
，则最多有5 个单标记行，每行最多21 个格被双标记，否则由②，
，矛盾.
（iv）若
，与（iii）同理.
（v）若
且
，设同行或同列的异标记格对有
个，则
．
每个双标记行（列）最多产生9 个异标记格对，
，
综上，
.
