文档文本内容
2.8 指数与指数函数
一、n 次方根
1．n 次方根的定义
如果xn＝a，那么x 叫做 a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．a 的n 次方根的表示
n
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n√a
R
n 为偶数
±n√a
［0，+ ∞）
3．根式
式子
n√a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
4．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)负数没有偶次方根．
(2)0 的任何次方根都是0，记作
n√0＝0．
(3)根据n 次方根的意义，可得(
n√a)n＝a．
(4)n 为奇数时，
n√a
n＝a．
n 为偶数时，
n√a
n＝| a | ＝{
a，a≥0，
−a，a<0．
【注意】(1)
n√a
n是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．
(2)(
n√a)n已暗含了n√a有意义，根据n 的奇偶性可知a 的范围，其运算结果恒等于a．
二、分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定：a
m
n ＝
n√a
m(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂
规定：a
−m
n＝
1
a
m
n ＝
1
n√a
m (a>0，m，n∈N ∗，n>1)
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
【注意】分数指数幂a
m
n它是根式的一种写法，不可理解为m
n 个a 相乘．
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝a r ＋ s (a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝a rs (a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r∈Q)．
【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如
(−3)
1
2 ×4
＝9，［(−3)
1
2 ］
4无意义．a
1
2 ×4
＝(a
1
2)4在a<0 时不成立．
三、无理数指数幂的运算
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α 为无理数)是一个确定的实数．
2．实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
四、指数函数的概念
一般地，函数y ＝
a x (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数
x 是自变量，函数的定义域是R．
【注意】指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于
0 且不等于
1 的常数．
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
五、指数函数的图象和性质
项目
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
最值
无
最值
定点
过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
函数值的
变化
当x<0 时，0<
y <1
；
当x>0 时，y >1
当x>0 时，0<
y <1
；
当x<0 时，y >1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
y＝ax与y＝(
1
a)
x
的图象关于y 轴
对称
①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1 和0<a<1 时图象的大体形状．
(2)在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
考点一 指数化简与运算
考点二 指数函数概念以及求解析式
考点三 指数型函数定点问题
考点四 利用指数型函数图像求参
考点五 指数函数单调性问题
考点六 指数函数比较大小问题
考点七 利用指数函数的单调性解不等式
考点八 指数函数的值域或最值问题
考点九 指数函数的应用
考点一 指数化简与运算
1．（25-26 高三上·新疆和田·月考）计算：
(1)
(2)
；
2．（25-26 高三上·云南曲靖·开学）已知
，则
的分数指数幂形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高二下·上海·开学）已知
，则
的最小值为__________.
4．（25-26 高三上·北京·月考）求值：
__________.
5．（25-26 高三上·浙江杭州·月考）化简：
______．
6．（25-26 高三上·河北衡水·月考）已知
，求
的值______
考点二 指数函数概念以及求解析式
7．（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）函数
是指数函数，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．1 或
8．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数
的图象经过点
___________.
9．（25-26 高三上·全国·开学）已知指数函数
，则实数
的取值范围是________；
10．（24-25 高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
考点三 指数型函数定点问题
11．（25-26 高三上·上海奉贤·开学）已知实数
，
，则函数
的图象恒经过定点的坐标为______．
12．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数
（
，且
）的图象恒过定点P，则点P
的坐标为______.
13．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的图
象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
14．（25-26 高三上·四川成都·开学）已知函数
的图象恒过定点A，且A 点在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
考点四 利用指数型函数图像求参
15．（25-26 高三上·江苏连云港·开学）（多选）设
，
为实数，
，
.已知函数
的图象如图所
示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数
，且
的图象如图所示.则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（25-26 高三上·江苏南京·开学）已知函数
（
，且
）的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
但又不与该
直线相交.则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
19．（25-26 高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数
与函数
在同
一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 指数函数单调性问题
20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（25-26 高二下·浙江宁波·开学）已知函数
.
(1)用定义证明函数
在
上是增函数；
(2)解不等式
.
23．（2026·山西吕梁·三模）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（25-26 高三下·江西赣州·开学）若函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 指数函数比较大小问题
26．（25-26 高三上·贵州毕节·开学）设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 利用指数函数的单调性解不等式
30．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高三上学期5 月春季联赛数学试题）已知函数
，
且
，
，
(1)当
时，求关于x 的不等式
的解集；
(2)当
时，不等式
在
上恒成立，求m 的取值范围.
32．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2026·北京丰台·二模）不等式
的解集是___________.
34．（25-26 高三上·广东广州·开学）已知函数
且
为奇函数.
(1)求实数
的值及函数
的值域；
(2)解不等式
；
35．（2026·吉林长春·二模）已知函数
，若
，则
的取值范围是___________．
考点八 指数函数的值域或最值问题
36．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学）已知函数
，
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的值域．
37．（25-26 高三上·上海·开学）已知函数
是奇函数，
为实数．
(1)求
的值；
(2)当
时，求函数
的值域．
38．（25-26 高三上·云南·开学考试）已知函数
（
且
），若函数
的值域是
R，则实数a 的取值范围是______．
39．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知函数
，其中
且
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
40．（25-26 高三上·北京·开学）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
41．（25-26 高三上·云南文山·开学）已知函数
.
(1)若
，求
的最小值；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围.
42．（2026 高三上·四川成都·专题练习）已知函数
，
(1)判断并用定义证明函数
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)若存在
，使得不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围．
考点九 指数函数的应用
43．（25-26 高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该
物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
44．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了
一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
45．（25-26 高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设
氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为
，其中
，
为常数.在此条件下，已知
氡气经
过天后，氡气的剩余量为
，再经过天后，氡气的剩余量为（ ）
A．
B．
C．
D．
46．（25-26 高三上·重庆·开学）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数.如果前
消除了
的污染物，那
么前
消除的污染物的占比为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（25-26 高二下·浙江温州·开学）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江西赣州·一模）若函数
且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·广东深圳·开学）已知函数
的图像恒过定点P，点
在指数函数
的图像上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学）若函数
且
的图象如图，其中a，b 为常数，则函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·浙江宁波·开学考试）函数
的图象一定过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高二下·湖南长沙·开学）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·江西九江·二模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
9．（2026·河北保定·二模）已知函数
若关于z 的不等式
在
上有解，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·江苏南通·开学）从盛有
纯酒精的容器中倒出
，然后用水填满混合均匀；再倒出
，又
用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的
，则至少要重复操作几次？（ ）（参考
数据：
）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·广东肇庆·二模）（多选）若存在
，使得函数
在区间
和
上单调递减，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递减
12．（25-26 高二下·湖南长沙·开学）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
是偶函数，则
B．若
是奇函数，则
C．若
，则
的取值范围为
D．
的最小值为
13．（25-26 高三上·山西·月考）（多选）若函数
的图象经过第二、三、四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（26-27 高三上·黑龙江大庆·开学）（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数
是指数函数
B．若
则
C．函数
的单调增区间是
D．函数
的图象必过定点
15．（25-26 高三上·山东淄博·开学）已知函数
的图象恒过定点
，则
_____.
16．（25-26 高二下·天津滨海新区·开学）条件“
”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答
案即可）．
17．（25-26 高三上·浙江·开学）已知函数
（
、
为非零常数）
(1)当
时，
为偶函数，求
的值；
(2)当
时，求
满足
的
的取值范围；
(3)当
，
时，若存在
，对任意
，都有
，求
的取值范围.
18．（25-26 高三上·浙江·月考）已知函数
，其中
且
．
(1)设
．
①若
，求
的值；
②若
，求
的最小值．
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
19．（25-26 高三上·安徽六安·月考）目前某县有100 万人，
年后为
万人．如果年平均增长率是
，请回答
下列问题：
(1)写出
关于
的函数解析式；
(2)计算10 年后该县的人口总数（精确到0.1 万人）；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120 万（精确到1 年）．
（参考数据：
）
20．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
且
是定义在
上的奇函数.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
，且
，求函数
在
上的值域.
