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2.8 指数与指数函数
一、n 次方根
1．n 次方根的定义
如果xn＝a，那么x 叫做 a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．a 的n 次方根的表示
n
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n√a
R
n 为偶数
±n√a
［0，+ ∞）
3．根式
式子
n√a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
4．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)负数没有偶次方根．
(2)0 的任何次方根都是0，记作
n√0＝0．
(3)根据n 次方根的意义，可得(
n√a)n＝a．
(4)n 为奇数时，
n√a
n＝a．
n 为偶数时，
n√a
n＝| a | ＝{
a，a≥0，
−a，a<0．
【注意】(1)
n√a
n是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．
(2)(
n√a)n已暗含了n√a有意义，根据n 的奇偶性可知a 的范围，其运算结果恒等于a．
二、分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定：a
m
n ＝
n√a
m(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂
规定：a
−m
n＝
1
a
m
n ＝
1
n√a
m (a>0，m，n∈N ∗，n>1)
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
【注意】分数指数幂a
m
n它是根式的一种写法，不可理解为m
n 个a 相乘．
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝a r ＋ s (a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝a rs (a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r∈Q)．
【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如
(−3)
1
2 ×4
＝9，［(−3)
1
2 ］
4无意义．a
1
2 ×4
＝(a
1
2)4在a<0 时不成立．
三、无理数指数幂的运算
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α 为无理数)是一个确定的实数．
2．实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
四、指数函数的概念
一般地，函数y ＝
a x (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数
x 是自变量，函数的定义域是R．
【注意】指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于
0 且不等于
1 的常数．
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
五、指数函数的图象和性质
项目
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
最值
无
最值
定点
过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
函数值的
变化
当x<0 时，0<
y <1
；
当x>0 时，y >1
当x>0 时，0<
y <1
；
当x<0 时，y >1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
y＝ax与y＝(
1
a)
x
的图象关于y 轴
对称
①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1 和0<a<1 时图象的大体形状．
(2)在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
考点一 指数化简与运算
考点二 指数函数概念以及求解析式
考点三 指数型函数定点问题
考点四 利用指数型函数图像求参
考点五 指数函数单调性问题
考点六 指数函数比较大小问题
考点七 利用指数函数的单调性解不等式
考点八 指数函数的值域或最值问题
考点九 指数函数的应用
考点一 指数化简与运算
1．（25-26 高三上·新疆和田·月考）计算：
(1)
(2)
；
【答案】(1)
(2)100
【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可；
（2）根据指数幂的运算公式计算化简即可.
【详解】（1）由题意得
.
（2）由题意得
．
2．（25-26 高三上·云南曲靖·开学）已知
，则
的分数指数幂形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的运算法则化简.
【详解】
．
故选：A
3．（25-26 高二下·上海·开学）已知
，则
的最小值为__________.
【答案】18
【详解】易知
，由
可得
；
当且仅当
时，即
时，等号成立；
因此
的最小值为18.
4．（25-26 高三上·北京·月考）求值：
__________.
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质计算可得.
【详解】原式
.
5．（25-26 高三上·浙江杭州·月考）化简：
______．
【答案】
【详解】设
，则
，
，
，
．
6．（25-26 高三上·河北衡水·月考）已知
，求
的值______
【答案】
【分析】结合完全平方和公式，利用指数运算性质化简求值即可.
【详解】由
，则
，即
，
，又
，则
，故
，
故
.
故答案为：
考点二 指数函数概念以及求解析式
7．（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）函数
是指数函数，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．1 或
【答案】A
【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值.
【详解】因为函数
是指数函数，所以
且
，
即
且
，解得
.
故选：A.
8．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数
的图象经过点
___________.
【答案】81
【分析】设指数函数
，
且
，代入点
可得
，即可得结果.
【详解】设指数函数
，
且
，
因为指数函数
的图象经过点
，则
，
即
，可得
，
则
，所以
.
故答案为：81.
9．（25-26 高三上·全国·开学）已知指数函数
，则实数
的取值范围是________；
【答案】
【分析】根据指数函数的定义求解；
【详解】由已知
且
，解得
且
，
所以
的范围是
.
故答案为：
10．（24-25 高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】由指数函数定义结合
的图象经过点
可得
，
，据此可得答案.
【详解】因
为指数函数，则
.因
的图象经过点
，则
，
∴
.
故选：A.
考点三 指数型函数定点问题
11．（25-26 高三上·上海奉贤·开学）已知实数
，
，则函数
的图象恒经过定点的坐标为______．
【答案】
【详解】易知函数
的图象是由指数函数
向下平移两个单位得到的，
又因为函数
恒过定点
，
所以函数
的图象恒过定点
.
12．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数
（
，且
）的图象恒过定点P，则点P
的坐标为______.
【答案】
【分析】根据指数函数恒过定点
可得.
【详解】因为
且
，
，
所以函数
（
，且
）的图象恒过定点
.
所以点P 的坐标为
.
13．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的图
象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【答案】C
【分析】先根据指数函数的性质求出定点
的坐标，再将其代入直线方程得到
与
的关系式，最后利用基本不
等式即可求解.
【详解】
过定点
，所以
，
因为点
在函数
的图象上，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为4.
14．（25-26 高三上·四川成都·开学）已知函数
的图象恒过定点A，且A 点在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据指数函数
的图象恒过点
可求出点A 的坐标，代入直线方程可得到
的关系
式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解.
【详解】因为函数
的图象恒过定点
，所以
.
又A 点在直线
上，所以
，即
，
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的最小值为2.
考点四 利用指数型函数图像求参
15．（25-26 高三上·江苏连云港·开学）（多选）设
，
为实数，
，
.已知函数
的图象如图所
示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据单调性、当
时，
判断.
【详解】因为函数为递减函数，所以
，故B 正确；A 错误；
当
时，
，得
，故D 正确，C 错误.
故选：BD
16．（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数
，且
的图象如图所示.则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由指数函数的单调性以及
判断
的范围，即可得解.
【详解】由
的图象可知
，
由
知
，
所以函数
的两个零点分别在
和
上，且开口向上.
故选：C.
17．（25-26 高三上·江苏南京·开学）已知函数
（
，且
）的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可.
【详解】因为函数
的图象是由指数函数
向下平移而得到，
由图可知
，解得
．
故选：D.
18．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
但又不与该
直线相交.则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据已知得
，且函数
为偶函数，再由指数函数图象性质可求出
的值即可.
【详解】由函数
过原点可知
，即可得
，即
；
又函数定义域为
，且满足
，可知函数
为偶函数，
当
时，
趋近于0，所以函数
趋近于
,
因此可得
，所以
；
即
.
故选：D
19．（25-26 高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数
与函数
在同
一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图象性质逐项分析即可．
【详解】A：由图可得二次函数
的对称轴为
且
，结合图可得
，即得
，
由图知
为减函数，则有
，符合
，故A 不合题意；
B：由图可得
且
，此时
、
异号，则与函数
为减函数相矛盾，故B 符合题意；
C：由图可得
且
，即得
，由图知
为减函数，则
，符合
，故C
不合题意；
D：由图可得
且
，此时
、
异号，则与函数
为减函数相矛盾，故D 符合题意；
故选：BD.
考点五 指数函数单调性问题
20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得.
【详解】令
，
由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.
a 的取值范围是
.
21．（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
，定义域为
.
易知函数
只含
项，
因此
关于直线
对称.当
增大时，
增大，函数值增大，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
等价于
离
的距离小于
离
的距离大小问题，
即
.两边平方得
；
整理得
，解得
.
故
的取值范围为
.
22．（25-26 高二下·浙江宁波·开学）已知函数
.
(1)用定义证明函数
在
上是增函数；
(2)解不等式
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用作差法证明函数在
上单调递增；
（2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集.
【详解】（1）任取
，设
，
，
又
，
，所以
，
故
，即
，
函数
在
上是增函数.
（2）因为
，所以
为偶函数，
则由
，可得
，
即
，即
，解得
.
23．（2026·山西吕梁·三模）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出
的
取值范围．
【详解】当
时，
，开口向下，对称轴为
，
在
上单调递增，最大值为
；
当
时，
，求导得
，
要使
在
上单调递增，需
对所有
恒成立，
即
，则
，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
在
处取得最大值，
，
，
在
上单调递增，
，解得
，
综上可得，a∈
．
24．（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可.
【详解】由
在
上单调递减知
；
由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；
当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
25．（25-26 高三下·江西赣州·开学）若函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，则
在
上单调递增，从而得到
即可.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
令
，
又因为
单调递减，则
在
上单调递增，
则
，所以实数
的取值范围是
.
考点六 指数函数比较大小问题
26．（25-26 高三上·贵州毕节·开学）设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
是减函数，所以
，即
；
因为函数
是减函数，所以
，即
；
，
，所以
.
函数
是减函数，所以
，即
.
所以
.
27．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，则
.
28．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助幂函数与对数函数单调性判断即可得.
【详解】因为幂函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
又因为对数函数
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
.
29．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，可判断
大小，构造函数
，求导确定单调性，可判断
大小，即可求解.
【详解】因为
，所以
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，
则
，即
．故
．
考点七 利用指数函数的单调性解不等式
30．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
可得对称性，进而根据函数的单调性，可得
求解．
【详解】由
，
得
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
因为
在
上单调递增，且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
由
，可得
，
所以
，整理得
，
解得
或
．
31．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高三上学期5 月春季联赛数学试题）已知函数
，
且
，
，
(1)当
时，求关于x 的不等式
的解集；
(2)当
时，不等式
在
上恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)当
时，不等式的解集为
，当
时，不等式的解集为
(2)当
时，m 的取值范围是
，当
时，m 的取值范围是
【分析】（1）因式分解后，分
及
进行讨论并计算即可得；
（2）问题可转化为
在区间
上恒成立，令
，构造函数
，再分
及
讨论并计算即可得.
【详解】（1）当
时，
，
下面解不等式
，即
，
因为
，所以
，
当
时，解得
；
当
时，解得
，
综上所述，当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
；
（2）当
时，不等式
可变形为
，
即
，
，
所以问题转化为
在区间
上恒成立，
令
，则
，则
，故
，
令
，
，
当
时，函数
在
上单调递增，
，则
；
当
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，故
，则
；
综上所述，当
时，m 的取值范围是
；
当
时，m 的取值范围是
．
32．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论，当
时，根据
解不等式，当
时，即
时根据函数的单调性求
解,
【详解】当
时，即
时，
，
故
满足题意；
当
时，即
时，令
，则
+1 在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以由
可得
，解得
，
又
，故
.
综上，实数a 的取值范围为
.
33．（2026·北京丰台·二模）不等式
的解集是___________.
【答案】
【分析】把不等式化为
，结合指数函数
的单调性，即可求解.
【详解】由不等式
，可化为
，
因为函数
为定义域
上的单调递增函数，所以
，
所以不等式
的解集为
.
34．（25-26 高三上·广东广州·开学）已知函数
且
为奇函数.
(1)求实数
的值及函数
的值域；
(2)解不等式
；
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出
的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求
解；
（2）根据条件得
，利用指数不等式的解法，即可求解；
【详解】（1）因为
且
，则
的定义域为
，又
为奇函数，
则
，解得
，所以
，
则
，所以
满足题意，
又
，所以
，则
，所以函数
的值域为
.
（2）由（1）知
，由
，得到
，
整理得到
，解得
，所以不等式
的解集为
.
35．（2026·吉林长春·二模）已知函数
，若
，则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先判断函数
的奇偶性，再判断函数
的单调性，利用函数性质求
的范围即可.
【详解】已知函数
，则
，
是奇函数，
是增函数，
是增函数，
是增函数，
因为
，
，即
，
是单调递增函数，
，解得
．
所以
的取值范围是
.
考点八 指数函数的值域或最值问题
36．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学）已知函数
，
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的值域．
【答案】(1)
的减区间为
，增区间为
(2)
【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数
与外层函数
的单调性与值域，即可求得函
数
的单调区间与值域.
【详解】（1）
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
在
上单调递减，
所以根据复合函数单调性判断法则：
的减区间为
，增区间为
.
（2）令
，则
，
则
，即
的值域为
.
37．（25-26 高三上·上海·开学）已知函数
是奇函数，
为实数．
(1)求
的值；
(2)当
时，求函数
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数
是奇函数，有
，解得
的值并检验即可；
（2）利用单调性求函数在区间内的值域．
【详解】（1）函数
是奇函数，则
，解得
，
当
时，
，
为奇函数，所以
的值为2．
（2）由（1）知函数
，
由
是
上的增函数，可得
为
上的减函数，
所以
在
上是增函数，
可得
，
即
，故函数
的值域为
．
38．（25-26 高三上·云南·开学考试）已知函数
（
且
），若函数
的值域是
R，则实数a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质可求解
在
上的值域为
，进而根据
在
上的值域需要包
含
，结合指数函数的性质求解.
【详解】当
时，
，则函数
在
上的值域为
．
因为函数
的值域是R，故
在
上的值域需要包含
，
所以
解得
．
故实数a 的取值范围是
．
39．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知函数
，其中
且
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】（1）结合二次函数性质和指数函数性质，利用配方法可求
的最小值；
（2）先判断
，然后求出
的最大值后列不等式即可求解．
【详解】（1）当
时，
，
则
，
∴当
即
时，
．
（2）当
时，则
在
上为增函数，
故
的值域为
，不符合条件；
∴
，此时
在
上为减函数，
故
，
由题意得
，得
，又
，
解得
，即实数
的取值范围为
．
40．（25-26 高三上·北京·开学）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】换元后利用基本不等式求解即可.
【详解】换元转化令
，由指数函数性质得
，原函数
可转化为二次函数：
恒成立等价于
对任意
恒成立，
分离参数求范围对
（
）移项得：
对任意
恒成立，
因此只需
，
对
有：
当且仅当
即
时取等号，因此
，
即
，故
的取值范围是
.
41．（25-26 高三上·云南文山·开学）已知函数
.
(1)若
，求
的最小值；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可；
（2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）
，即
，
令
，则
，
，
因为
，
所以当
时，函数
有最小值
，
所以当
时，函数
有最小值
；
（2）
，
因为
，
所以
，
，当且仅当
时取等号，
即当且仅当
时，
有最小值.
要想存在
，使得
成立，
只需
，
所以
的取值范围为
.
42．（2026 高三上·四川成都·专题练习）已知函数
，
(1)判断并用定义证明函数
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)若存在
，使得不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
在R 上单调递增，证明见解析；
(2)
；
(3)
【分析】（1）利用单调性的定义，通过作差判断函数
的单调性；
（2）通过换元法，将指数函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质求解
的取值范围；
（3）先求出
在给定区间上的最大值，再根据条件得到
的最大值，进而求解
的取值范围.
【详解】（1）
，函数定义域为
在R 上单调递增，证明如下，
令
，则
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，即
，
所以
在R 上单调递增；
（2）令
，因为
，所以
，
依题意可得
在
上恒成立，
因为
，所以
在
上恒成立，
令
，所以
，
又函数
在[1,7]上单调递增，
所以当
时，[(t −1)−
1
t −1 +2]min
❑❑=2，所以
；
（3）由（1）知，
在
上的最大值为
，所以
对任意
恒成立，
即
，令
，
①
，即
时，
在[1,2]上单调递增，所以
，
所以
，所以
；
②
，即
时，
在
上单调递减，在[
a
2 ,2]上单调递增，
所以m(2)−m( a
2 )=(4−2a)−(−a
2
4 ）= a
2
4 −2a+ 4≤4，所以
，
所以
；
③
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以m(1)−m( a
2 )=(1−a)−(−a
2
4 ）≤4，所以
，所以
；
④
，即
时，
在[1,2]上单调递减，
所以
，所以
，所以
综上可得，
的取值范围为
．
考点九 指数函数的应用
43．（25-26 高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该
物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
【答案】B
【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的
，化简可得
，利用换底公式得到最终结果.
【详解】由题意，
，
设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的
，
则有
，所以
，
（天），
故大约经过27 天后，剩余质量变为初始质量的
.
44．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了
一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】设他经过
个小时后
血液中酒精含量为
，
则
，
当
时，
，即
，
解得
，
因为时间必须大于
小时才能使酒精含量低于
，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选
项C 正确.
45．（25-26 高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设
氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为
，其中
，
为常数.在此条件下，已知
氡气经
过天后，氡气的剩余量为
，再经过天后，氡气的剩余量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，
，解得
．
．
46．（25-26 高三上·重庆·开学）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数.如果前
消除了
的污染物，那
么前
消除的污染物的占比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
、
求出
，再令
即可求出.
【详解】当
时，
；当
时，
，即
，
当
时，
，即
后，还剩64%的污染物，
所以前
消除的污染物的占比为
.
故选：B.
1．（25-26 高二下·浙江温州·开学）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据自变量的范围，代入相应的解析式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
2．（2026·江西赣州·一模）若函数
且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法得出
，求出
的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可.
【详解】函数
且
为偶函数，且该函数的定义域为
，所以
，
因为
，
，所以
，可得
，
又因为
且
，解得
，此时
，
因为
，
故当
时，函数
为偶函数，故
.
3．（25-26 高三上·广东深圳·开学）已知函数
的图像恒过定点P，点
在指数函数
的图像上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出点
坐标，再代入求解即可.
【详解】令
，得
，所以函数
的图像恒过定点
，
设指数函数为
，因为点
在指数函数
的图像上，
所以
，解得
，所以
，所以
.
故选：D.
4．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学）若函数
且
的图象如图，其中a，b 为常数，则函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察图像判断底数
，再结合特殊值求解.
【详解】观察
的图像可知
，
则
也应当是单调递增的，排除掉选项C，D；
代入
，
，
，可得
；
则
，结合图像判断A 正确.
5．（25-26 高三上·浙江宁波·开学考试）函数
的图象一定过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】易知函数
恒过定点
，
将
向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位，可得到函数
，
因此该函数图象一定过定点
.
6．（25-26 高二下·湖南长沙·开学）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
是一个减函数，所以当
时，函数最小值为
，
因此
，即
，化简可得
，即
，
因为
，所以解得
或
，
即不等式
的解集为
.
7．（2026·江西九江·二模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可得：
，
，
，故
.
8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定
义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值.
【详解】设
，则
，函数
等价于函数
．
令
，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线
．
当
，即
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
或
（舍去）．
所以实数
的值是
.
9．（2026·河北保定·二模）已知函数
若关于z 的不等式
在
上有解，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问
题进行解答.
【详解】函数
，
令函数
，即
，
，故
是奇函数，
因为
是
上的增函数，
所以
是
上的减函数，
是
上的减函数，
因此
是
上的减函数，
也是
上的减函数，
将
代入不等式
，
即
，化简可得
，
因为
是奇函数，所以
，
代入可得
，
因为
是减函数，
，所以
，
令
，
，故
，
，
是对勾函数，在
上单调递增，
因此当
时，
，当
时，
，
即
，则
，
在
上有解，即
大于
在
上的下确界，
因此实数
的取值范围是
.
10．（25-26 高三上·江苏南通·开学）从盛有
纯酒精的容器中倒出
，然后用水填满混合均匀；再倒出
，又
用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的
，则至少要重复操作几次？（ ）（参考
数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知分析第
次倒出，剩下纯酒精为
升，再列不等式，结合指数，对数函数的性质求解.
【详解】第一次倒出
，纯酒精剩余
，
第二次倒出
，纯酒精剩余
，
第
次后，纯酒精剩余
，
则
，两边同取以
为底的对数得
，
则
，所以
，则至少操作次.
故选：
11．（2026·广东肇庆·二模）（多选）若存在
，使得函数
在区间
和
上单调递减，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递减
【答案】BC
【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A 和B，再根据单调
性判断C，D.
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以原命题等价于“存在
，使得函数
在区间
和
上单调递减”.
又因为
，所以
，故A 错误､B 正确；
此时
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
所以
在
上单调递增，在
和
上单调递减，故C 正确､D 错误.
12．（25-26 高二下·湖南长沙·开学）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
是偶函数，则
B．若
是奇函数，则
C．若
，则
的取值范围为
D．
的最小值为
【答案】AB
【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出
判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取
可判
断D.
【详解】对于A，因为
为偶函数，则
，
所以
，整理得到
，
因为
对
恒成立，所以
，故A 正确，
对于B，因为
为奇函数，则
，
所以
，整理得到
，
因为
对
恒成立，所以
，故B 正确，
对于C，由
，得到
恒成立，即
恒成立，
又易知
，所以
，故C 错误，
对于D，取
，则
，函数
无最小值，所以D 错误，
13．（25-26 高三上·山西·月考）（多选）若函数
的图象经过第二、三、四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与
的符号，可得出
的取值范围.
【详解】若函数
的图象经过第二、三、四象限，则
的图象如下图所示：
函数
单调递减，所以
，所以
，
由题意可知
，解得
，所以
，
，
故选：AC.
14．（26-27 高三上·黑龙江大庆·开学）（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数
是指数函数
B．若
则
C．函数
的单调增区间是
D．函数
的图象必过定点
【答案】CD
【分析】A 选项，根据指数函数的定义判断；B 选项，根据指数函数的单调性判断即可；C 选项，根据复合函数的
单调性判断；D 选项，指数函数过定点，令
即可求得.
【详解】A 选项，由指数函数定义得函数
不是指数函数A 错；
B 选项，当
时，此时
在定义域内单调递减，由
，根据单调性可得
，B 错；
C 选项，函数
中，
令
，在
上递增，在
上递减，
又
在R 上单调递减，
因此函数
的单调增区间是
，C 正确；
D 选项，函数
中，由
得
，
即函数
图象过点
，D 正确．
故选：CD
15．（25-26 高三上·山东淄博·开学）已知函数
的图象恒过定点
，则
_____.
【答案】
【分析】令
求出函数定点即可.
【详解】当
时，
，则函数
的图象恒过定点
，
则
，则
.
故答案为：
16．（25-26 高二下·天津滨海新区·开学）条件“
”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答
案即可）．
【答案】
（答案不唯一，符合要求即可）
【详解】已知不等式
，由于 指数函数
是单调递减函数，因此不等式等价于
；
又由于对数函数
定义域为
，且本身是单调递增函数，因此原条件等价于：
.
必要不充分条件的定义为：若原条件为
，所求条件为
，满足
，但
，则
是
的必要不充分条件.
这里
，取
，可满足
，但
.
因此原条件的一个必要不充分条件是
.（答案不唯一，符合要求即可）
17．（25-26 高三上·浙江·开学）已知函数
（
、
为非零常数）
(1)当
时，
为偶函数，求
的值；
(2)当
时，求
满足
的
的取值范围；
(3)当
，
时，若存在
，对任意
，都有
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于
的等式，解之即可；
（2）当
时，由
化简得出
，利用指数函数的单调性解之即可；
（3）当
，
时，利用复合函数法分析函数
在
上的单调性，并求其最大值，于是得出
，再利用参变量分离法得出
，等价于
大于等于
的最大值且小于等于
的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
因为
是偶函数，所以对任意
，都有
，
即
，化简得
，
即
对任意的
恒成立，故
，所以
.
（2）当
时，
，
由
得
，化简得
，
因为
，所以
，可得
，解得
.
（3）当
，
时，
.
设
，
，
因为
在
上单调递增，
在
单调递增，
所以
在
单调递增，所以
的最大值为
，
从而依题意可得
对任意
恒成立，
将
变形得
，可得
，
所以
恒成立等价于
大于等于
的最大值且小于等于
的最小值，
函数
在区间
单调递增，有最大值
，
函数
（当且仅当
取等号）有最小值
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
18．（25-26 高三上·浙江·月考）已知函数
，其中
且
．
(1)设
．
①若
，求
的值；
②若
，求
的最小值．
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】(1) ①由
得
，代入表达式即可；②写出
的表达式，利配方法求其最小值即
可；
(2) 当
分别讨论分析即可.
【详解】（1）
时，
，
①由
得
，
．
②
，
时，
，即
时，
；
（2）当
时，
的值域为
，不符合条件，
，且
解得
，
，即实数
的取值范围
.
19．（25-26 高三上·安徽六安·月考）目前某县有100 万人，
年后为
万人．如果年平均增长率是
，请回答
下列问题：
(1)写出
关于
的函数解析式；
(2)计算10 年后该县的人口总数（精确到0.1 万人）；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120 万（精确到1 年）．
（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)112.7 万
(3)大约16 年后该县的人口总数将达到120 万
【分析】（1）利用指数函数模型，写出
关于
的函数解析式；
（2）令
，代入（1）中的解析式，计算即得；
（3）利用（1）中的解析式，结合题意列方程，借助于对数运算求解.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
故
关于
的函数解析式为
；
（2）当
时，
．
故10 年后该县约有
万人．
（3）设
年后该县的人口总数为120 万，
即
，即
，
两边取常用对数，得
，
则
．
故大约16 年后该县的人口总数将达到120 万．
20．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
且
是定义在
上的奇函数.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
，且
，求函数
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数
，由
判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义
域列不等式组求解，得到不等式的解集；
(2)由
求出底数
，通过换元法将
转化为关于的二次函数，根据
的取值范围确定的区间，再利用
二次函数的单调性求解值域.
【详解】（1）由
为定义在
上的奇函数，得
，即
，
故
，
.
由
，结合
，得
，故
.
在
上单调递增，且
.
由
，得
.
所以
，解得
.
所以不等式
的解集为
.
（2）由
，整理得
，
解得
（
舍去），故
.
，令
，
则
，故
.
当
时，
单调递增，得
.
函数
，开口向上，对称轴为
.
当
时，
；当
时，
，
故函数
在
上的值域为
.
