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2.5 抽象函数题型汇总
一、周期函数的定义
1、周期函数：对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
3、函数的周期性的常用结论（
是不为0 的常数）
（1）若
，则
；
（2）若
，则
；
（3）若
，则
；
（4）若
，则
；
（5）若
，则
；
（6）若
，则
（
）；
二、函数的对称性
1、函数对称性的常用结论
（1）若
，则函数图象关于
对称；
（2）若
，则函数图象关于
对称；
（3）若
，则函数图象关于
对称；
（4）若
，则函数图象关于
对称；
2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数
满足
，则其函数图象关于直线
对称，
当
时可以得出
，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数
满足
，则其函数图象关于点
对称，
当
，
时可以得出
，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
三、函数对称性与周期性的关系
1、若函数
关于直线
与直线
对称，那么函数的周期是
；
2、若函数
关于点
对称，又关于点
对称，那么函数的周期是
；
3、若函数
关于直线
，又关于点
对称，那么函数的周期是
.
四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
1、①函数
是偶函数；②函数图象关于直线
对称；③函数的周期为
.
2、①函数
是奇函数；②函数图象关于点
对称；③函数的周期为
.
3、①函数
是奇函数；②函数图象关于直线
对称；③函数的周期为
.
4、①函数
是偶函数；②函数图象关于点
对称；③函数的周期为
.
其中
，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
五、类周期函数
1、类周期函数的定义
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函数值扩大
倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
x
y
k2y0
ky0
y0
-m
m
3m
2m
O
x
y
m3
m2
1
m
y0
ky0
k2y0
O
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
若函数
满足
或
，则
横坐标每扩大
倍，则函数值扩大
倍．此函
数称为倍增函数．
注意当
时，构成一系列平行的分段函数，
．
考点一 抽象函数定义域与值域
考点二 抽象函数单调性与奇偶性
考点三 抽象函数求值
考点四 抽象函数周期性
考点五 抽象函数对称性
考点六 类周期函数
考点七 抽象函数综合
考点一 抽象函数定义域与值域
1．（25-26 高三上·江西吉安·阶段检测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 .
【详解】函数
的定义域为
，则
，所以函数
的定义域为
；
若函数
有意义，则
，解得
．
则函数
的定义域为
.
2．（25-26 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
_________．
【答案】
【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解.
【详解】由题意得
，故
，
令
，解得
，
令
得
或
，
综上，
，函数定义域为
.
3．（24-25 高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数
的值域为
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定
的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域.
【详解】函数
是
的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故
的值域为
.
由
，对
的取值范围各减2，得
，即
.
故选：B
4．（25-26 高三上·广东·月考）已知函数
的定义域和值域均为
，则函数
的定义域和值
域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断.
【详解】函数
的定义域为
，即
，所以
，
因此函数
的定义域为
；
由函数
的值域为
，得函数
的值域为
，
即
，则
，故函数
的值域为
．
故选：C．
考点二 抽象函数单调性与奇偶性
5．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）定义在
上的函数
，对任意
都有
，且
当
时，
.
(1)求证：
为奇函数；
(2)求证：
为
上的增函数；
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先令
得
，再令
即可判断奇偶性；
（2）取
，且
，则
，再令
，进而根据奇函数性质，
即可证明.
【详解】（1）证明：根据题意，令
得
，解得
，
令
，则
，即
，
所以函数
为奇函数.
（2）证明：任取
，且
，则
，
令
，则
，
因为
时，
，所以
，
所以
，
因为函数
为奇函数，所以
，
所以
，即
，
所以
为
上的增函数.
6．（25-26 高三上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数
，
满足：
，且当
时
.
(1)求
及
的值；
(2)判断
的奇偶性并证明；
(3)解不等式：
.
【答案】(1)
，
；
(2)函数
是偶函数，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）令
可得
，令
可得
；
（2）令
，结合偶函数的定义即可证明；
（3）先用定义证明函数
在
上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为
，解不等式即
可得到答案.
【详解】（1）在
中，令
，可得
，解得
.
令
，可得
，解得
.
（2）函数
是偶函数，理由如下：
的定义域是
，
，
，
令
，可得
，所以函数
是偶函数.
（3）任意
时，
，由题意得：
，
所以
在
上是增函数，
可化为
，即
，
又由（2）知
是偶函数，所以
可化为
，
又
在
上是增函数，所以
，且
，
解得：
且
，
所以不等式的解集为
.
7．（25-26 高三上·湖南衡阳·期中）定义在
上的函数
是单调函数，满足
，且
，（
，
）．
(1)求
，
；
(2)判断
的奇偶性；
(3)若对于任意
，都有
成立，求实数
的取值范围
【答案】(1)0，2
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）令
可求出
，令
再继续分解
，结合
可求出
的值；
（2）令
，对
变形可得答案；
（3）先利用奇偶性把不等式转化为
，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式
恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可.
【详解】（1）取
，得
，即
，
，
，
又因为
，得
，可得
.
（2）取
，得
，移项得
，
函数
是奇函数.
（3）
是奇函数，且
在
上恒成立，
在
上恒成立，
因为函数
是单调函数且
；
在
上是增函数，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
令
.
由于
，
，
，
，即实数k 的取值范围为
.
8．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知
满足对任意
，都有
，且
，当
时，
．
(1)计算
，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(2)判断并证明
在
上的单调性；
(3)求不等式
的解集．
【答案】(1)
，
是奇函数，证明见解析
(2)
在
上是单调递减的函数，证明见解析；
(3)
【分析】（1）利用赋值法求得
，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数
的奇偶性.
（2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可.
（3）利用特殊值法，结合代入法进行求解
，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行
求解即可.
【详解】（1）依题意，函数
对任意的
，都有
，
令
，得
，
是奇函数，证明如下：
用
代替
，得
，则
，
所以
是奇函数.
（2）
在
上是单调递减的函数，理由如下：
任取
，则
，由已知得
，
则
，
∴
，∴
在
上是单调递减函数．
（3）由于
，则
，所以
，
又因为
，所以
．
因为
又因为
，所以不等式可化为
，
由于
在
上是单调递减，
，即
，即
，
所以不等式
的解集为
.
考点三 抽象函数求值
9．（25-26 高三下·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且对于任意实数
，
均有
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
恒成立
D．
在
上单调递减
【答案】AC
【分析】利用完全平方公式可计算出
，即可得A；结合
与
可计算出
，
结合函数性质判断可得B；利用
解析式可得C；结合单调性定义举出反例可得D.
【详解】对A：令
，
，则
，
，
则
，故
，
即
，故A 正确；
对B：
，
则
，令
，定义域为
，
且有
，故
为偶函数，
即
为偶函数，故B 错误；
对C：
，故C 正确；
对D：由
，则有
，
，
即
，故
在
上不单调递减，故D 错误.
10．（25-26 高三下·浙江宁波·月考）（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得.
【详解】对于A，令
，则
，解得
或
，A 错误；
对于B，令
，得
，则
，
令
，得
，则
，因此
，B 正确；
对于C，依题意，
，
则
，对
，取
，
得
，又
，则
，即
，
为偶函数，C 正确；
对于D，由
或
，得
，因此
不为奇函数，D 错误.
11．（湖北武汉市2026 届高三年级五月供题数学试题）（多选）已知
为奇函数，
为偶函数，
且
均为非零函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】ACD
【分析】由奇偶性的定义确定
为奇函数，由此得
与
奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即
可.
【详解】设
，
，
由题意得
，即
①，
，即
②，
②除以①得
，即
为奇函数，A 正确；
由上并结合“同偶异奇”知
与
奇偶性相异，故B 错误，
当
为奇函数，
为偶函数时，
为偶函数，
为偶函数，
满足
为奇函数，
为偶函数，
当
为偶函数，
为奇函数时，
为偶函数，
为偶函数，
不满足
为奇函数，故C，D 正确.
12．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，对任意的
，恒有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】C
【分析】对于A：令
后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令
后计算即
可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解．
【详解】对于A：令
，则
，
又
，所以
，故A 错误；
对于B：因为
，所以
不为奇函数，故B 错误；
对于C：令
，则
，
即
，得
。由
的任意性可知
，故C 正确；
对于D：令
，则
，
，则
，
所以
，可得
，
可知
是周期为6 的周期函数．
所以
，故D 错误．
故选：C．
13．（25-26 高三上·云南·月考）若
的定义域为
，且
，
，则
（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4
【答案】A
【分析】根据条件，赋值化简，可得
的周期为6，则所求变为求
的值，通过赋值法，代数计算，即可求
得答案.
【详解】令
，则
，
则
，与上式相加可得
，
即
，所以
，
则
，
所以
是以周期为6 的函数，
所以
，
因为
，
，
所以令
，可得
，解得
或4，
令
，可得
，所以
，
令
，可得
，所以
，
令
，可得
，所以
.
故选：A
14．（25-26 高三上·浙江温州·月考）已知函数
的定义域为
为偶函数，且
，则
（ ）
A．47
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得函数
是周期函数，用赋值法可求得
，利用周期函数的性质即可得到结果.
【详解】因为函数
的定义域为
,且
所以
，且
，即
.
因为函数
为偶函数，所以
.
所以
，所以函数
是周期为4 的周期函数.
所以
.
故
故选：C.
考点四 抽象函数周期性
15．（25-26 高三上·云南·期中）（多选）已知函数
的定义域为
，满足
，
且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题意，令
，求得
，可判定A 正确；由
，根据奇函数的性质，可判定B
不正确；分别求得
的值，得到
的周期，可判定C 正确；由
，可判定
D 不正确.
【详解】由题意知，函数
的定义域为
，满足
，
对于A，令
，可得
，
因为
，所以
，所以A 正确；
对于B，因为
，所以
一定不是奇函数，所以B 不正确；
对于C，令
，可得
，所以
；
令
，可得
，所以
；
令
，可得
，所以
；
令
，可得
，所以
，
，
由此可得，函数
的周期为2，则
，所以C 正确；
对于D，由
，
，可得
，
所以
，所以D 不正确.
故选：AC.
16．（25-26 高三下·河北衡水·月考）已知定义域为R 的函数
满足
，且
为奇函数，
则一定有（ ）
A．6 为
的一个周期
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题目所给条件分析函数对称性与奇偶性。首先由
得出函数关于直线
轴对称，再
由
为奇函数还原
的对称性，可令
，得函数
关于点
中心对称，结合同时满足轴对
称和中心对称的函数为周期函数推出函数的周期，利用周期性求值
【详解】因为
，将
代入得
，
所以
，故
关于直线
对称，
又因为
为奇函数，所以
，
令
，则
，代入得
，即
，
将
代入
得
，即
，
所以
关于点
中心对称，
将
代入
得
，
又
，故
，
令
，则
，再将
代入得
，即
，
将
代入
得
，
又
，所以
，
的周期为8，故A 错，
设
，依题意
为奇函数，所以
又对称轴为
，所以
，无法推出
，故B 错，C 对，
因为
，所以
，同理
，一直到
，
所以一个周期内和为
，
，故总和为
，
举反例如下，令
满足题意，但
，故D 错.
17．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件求出
的周期，结合函数周期性求值即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，即
.
所以
是周期为4 的周期函数.
所以
.
在
中，令
，则
，所以
.
因此
.
18．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知非常值函数
的定义域为R，且
，均有
，若
，则
_______．
【答案】2
【分析】利用赋值法令
结合题意可得
，令
，
可得
，分析可知
函数
的一个周期为4，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为
，
令
，则
，解得
或
，
若
，令
，
，则
，
可得
，即
，为常值函数，不合题意，所以
，
又因为
，令
，
，则
，
可得
，即
，则
，
可知函数
的一个周期为4，
在
中令
，则
，可得
，
所以
.
19．（25-26 高三上·广东深圳·期末）已知函数
满足
，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据所给关系式可判断函数的周期性即可求解.
【详解】在
中，将
替换为
，
可得
，故
，
因此
，
因此
是以6 为周期的周期函数，故
，
在
中令
，则
，
在
中令
，
则
，故
，可得
.
故选：C
考点五 抽象函数对称性
20．（25-26 高三上·安徽·期末）已知定义在
上的奇函数
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
关于
对称
B．
关于点
对称
C．
的一个周期为4
D．
为奇函数
【答案】C
【分析】根据函数对称性、奇偶性、周期性的定义逐项判断即可.
【详解】
为奇函数，
，所以
.
，
，即
.
，
是周期为
的函数.所以C 正确.
为奇函数，
，
所以
，所以
关于
对称，所以A 错误.
，
关于
对称.所以B 错误.
函数
的图象可由
的图象向右平移1 个单位得到，
关于
轴对称，即
为偶函数.所以D 错误.
故选：C.
21．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在
上的函数
满足
为偶函数，且
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于
成中心对称
D．
【答案】BCD
【分析】先根据
为偶函数，可得到
的图象关于直线
对称，再根据
可得到
的图象关于直线
对称，进而可得到
的周期，再判断各个选项的正确性.
【详解】
为偶函数，
，
即
，
的图象关于直线
对称，
即函数
的图象关于直线
对称，故A 错误；
又
，
，
故函数
关于
中心对称，故C 正确；
而函数
有对称轴
，有对称中心点
，由对称性可得函数
关于直线
对称，故B 正确；
又
，
，
所以函数
为周期函数，周期是
，故D 正确．
22．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知
是定义在
上的函数，且
，
，
则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
是
的周期
【答案】ACD
【详解】在
中,令
，可得
，所以
，故A 正确；
由
，可得
的图象关于直线
对称，故C 正确；
在
中，令
，可得
，又由选项A 知
，故
，
若
是定义在
上的奇函数，则
与
矛盾，故
不是奇函数，故B 错误；
由
，可得
的图象关于点
对称，又因为
的图象关于直线
对称，
故
，故D 正确．
23．（2026·山西晋中·三模）已知函数
的定义域为
是偶函数，
，则
__________.
【答案】2
【分析】根据函数的对称性以及奇偶性求出函数的周期，再求解即可.
【详解】由
是偶函数，可知
是偶函数，则
的图像关于直线
对称.
由
，可知
的图象关于点
对称，可得
故
是
的周期.
由
，可得
，
，因此
.
24．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数
______.
①定义域为
；
②
；
③
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】由题意知
图象关于点
对称，再结合正比例函数构造即可；
【详解】由③
得函数
图象关于点
对称，
，则可取
，符合①②③.
.（答案不唯一）
25．（25-26 高二下·山西长治·期中）（多选）已知函数
的定义域均为
，
，
，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】ACD
【详解】选项A：令
代入已知等式：
，得
，故
，故A 正
确.
选项B：令
代入已知等式：
，
已知
，对任意
：若
，可得
；
若
，在原函数关系式
中令
，
得
，
再令
，得
. 因为
，所以
，即
，
此时也有
. 等式仍成立. 因此
是奇函数，不是偶函数，故B 错误.
选项C：由
为偶函数，得
，令
，即
，
说明
关于直线
对称.
推导得：
，
，
因此
，故C 正确.
选项D：由
，得
，故
周期
.
计算一个周期内的函数值：
，
，
，
，
即一个周期和为
.
已知
，因此
，故D 正确.
考点六 类周期函数
26．（25-26 高三上·山西忻州·期末）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，若
在
上恒成立，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】已知递推关系
，分区间推导函数表达式，再通过解方程找到
的对应点，最后结
合图象确定
的取值范围即可得解.
【详解】根据已知条件，
，
，
当
时，有
，
当
时，有
.
令
，解得
或
，
结合图象，
的最大值为
.
故选：ABC.
27．（25-26 高三上·湖南·期中）（多选）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值，无最小值
B．存在负数
，使得
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】根据函数在
时的图象，结合类周期函数的性质，作图，结合图象可逐项分析可得.
【详解】
当
时，
,此时
,当
时，函数取得这段区间内的最小值
.
由
,可知
以此类推，
所以
有最大值0,无最小值，且当
时，
.
故A 正确，B 错误；
当
时，
，则
，故C 正确；
当
时，
，
，故D 正确.
故选：ACD.
28．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）设函数
的定义域为R，满足
，且当
时，
，若对任意
，都有
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出
在
上的解析式，借助数形结合求得结果.
【详解】当
时，
，由
，得
，
即函数
的图象每向右平移1 个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2 倍，如图，
当
时，
，
令
，整理得：
，解得
，
观察图象知，当
时，对任意
时，
成立，
所以m 的取值范围是
.
故选：B
【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2 倍，导致题目出错，需加
深对抽象函数表达式的理解.
29．（25-26 高三上·湖北荆州·期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出当
时，函数
，
做出示意图如下图所示： 要使
，则需
，而由
可解得
，从而得出
的范围.
【详解】当
时，
，而
时，
所以
又
，
所以当
时，
，
当
时，
，
做出示意图如下图所示：
要使
，则需
，而由
解得
，所以
，
故选：D.
【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件
求出相应区间的解
析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题.
30．（25-26 高三上·宁夏石嘴山·月考）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
若对任意
，都有
，则
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因
，又当
时，
，
当
时，
，
，
当
时，由
，解得
或
，
当
时，
，
，
显然，当
时，
，
作出函数
的大致图象，
对任意
，都有
，必有
，
所以m 的取值范围是
.
故答案为：
.
考点七 抽象函数综合
31．（25-26 高三上·江苏苏州·月考）已知函数
的定义域为
，
，
，
，
且
，
在区间
上单调递减.
(1)求证：
；
(2)求
的值；
(3)求不等式
的解集.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）借助赋值法令
即可得；
（2）借助赋值法可得
为周期为6 的周期函数，并可计算出
、
，结合周期性即可得.
（3）借助赋值法令
，可将原不等式转化为
，解出可得
的范围，结合函数性质
即可得.
【详解】（1）令
，则有
，
由
，故
；
（2）令
，结合
，则有
，
则
，即
，
故
，即
，
则
，即
，
故
，即
，
故函数
为周期为6 的周期函数，
令
、
，则有
，即
，
令
、
，则有
，即
，
由
，故
，
，
，
，
故
.
（3）令
，则有
，
即
，则
，
即
可化为
，
即解
，即
，即
，
由
、
，又函数
为周期为6 的周期函数，
故
的解为
或
，即
故原不等式的解集为
.
32．（24-25 高三上·湖北武汉·月考）已知定义在R 上的函数
满足：对任意实数m，n 均有
，若
，且
时，
，则关于x 的不等式
的解集
为__________.
【答案】
【分析】先由已知条件证明
即
恒成立，接着赋值
求出
，再由题意结合单调
性的定义证明函数
为R 上的增函数，再接着赋值得
和
，从而替代题设不等式，
将其转化成
求得
或
，再利用单调性即可求解.
【详解】因为
，
所以对任意实数x，
，则
，
假设存在
使得
，
则对任意实数x 有
，
此时
为常数函数，与
矛盾，故不存在
使得
，
所以
即
恒成立.
令
，则
，
因为
，所以
即
.
又由
可得
，
任取
，则
，所以由题意
，
所以
，
所以
，所以
为R 上的增函数，
因为
，所以
，
所以
，
所以
等价于
，
令
，则有
即
，
所以
，解得
或
，即
或
，
又
为R 上的增函数，
，
，
所以
或
.
所以关于x 的不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1 是由已知条件证明得
即
恒成立关键点2 是通过赋值
法求出
，
，以及利用单调性定义证明函数
为R 上的增函数，从而将原题设中的不等式变形为
求得
或
，进而再利用单调性即可得解.
33．（25-26 高三上·湖北武汉·期末）（多选）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
，则有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由题意得到函数
图象关于直线
对称，关于
中心对称，可判断B；得到周期为
，可判断
C；根据周期性和对称性可判断A；求出
，结合周期性可判断D.
【详解】因为
为偶函数，则
，即
，
所以函数
图象关于直线
对称，
又因为
，由
可化为
，
所以函数
图象关于
中心对称，故B 错误；
易知
，又
，所以
，
故函数
的周期为
，故
，故C 正确；
又
，故A 正确；
易知
，
，故
，
，故D 正确.
故选：ACD.
34．（25-26 高三上·重庆·期末）（多选）已知函数
、
的定义域均为
，
，
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
的周期为
D．
【答案】ACD
【分析】根据已知得
，将
转化为
，
给
、
取值推导奇偶性和周期性解决问题.
【详解】对于A 选项，
，A 对；
对于C 选项，因为
，所以
，
所以
，
令
，则
①，
所以
②，
①
②可得
，
所以
，则
，
所以
，因此
的周期为
，故C 正确；
对于B 选项，令
，
，
令
，
，
，
则
，故
，
，
故
为偶函数，所以B 不正确；
因为
，故
的图象关于直线
对称，
且
，
，
令
，
，则
，令
，
，
，
则
，
，
，
所以
，且
，
则
，故D 正确.
故选：ACD.
35．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数
是定义在
上的非常值函数，
的图象关
于原点对称，且
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】BCD
【分析】得到
可以判断AB，算出
，结合周期性可判
断C，D.
【详解】对于AB，
，
即
，又因为
，故A 错，B 正确；
的图象关于原点对称，所以
，
由
C 正确；
因为
，所以
，
.
故选：BCD.
36．（2026·吉林·三模）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
的最小正周期为4
D．
在
上单调递增
【答案】B
【分析】通过对
和
的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出
自身的对称轴和对
称中心，进而推导出其奇偶性与周期性.
【详解】因为
为偶函数，所以
，
将
替换为
，则有
①，
因为
为奇函数，所以
，
将
替换为
，则有
，
再将
替换为
，则有
②，
将
替换为
，则有
③，
结合①③得
④，
结合②④得
，因此
为偶函数，选项A 错误，B 正确；
因为
，结合偶函数，将
替换为
得
，
则
，即2 为
的周期，选项C 错误，
对于D 选项，如
满足偶函数且周期为2，
但不满足
在
上单调递增.
1．（2026·江西·二模）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】先由
为奇函数推得
，再由
为偶函数推得
，即得4 是
的一个周期，通过赋值代入求得
，再由周期性即可求得答案.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
令
，则
，即
①；
因为
为偶函数，所以
，
令
，则
，即
，
所以
，所以
，即
②，
所以
，所以4 是
的一个周期．
由① 式，取
，可得
，即得
，
又由② 式，取
，可得
故
，
，
由② 式，取
，可得
，取
，可得
，
故
，
则
.
2．（25-26 高三下·安徽淮北·阶段检测）已知函数
的定义域为
，
，
为奇函数，
，则
（ ）
A．
B．2025
C．1
D．
【答案】B
【详解】因为
①，
所以
，所以
，
所以函数
是周期函数，且周期为4.
所以
.
在①中，令
得：
.
因为
为奇函数，所以
②
在②中，令
可得：
.
结合①可得
③.
在②中，令
，可得
；
在③中，令
，可得
；
在②中，令
，可得
.
由函数的周期性可知，
的值呈
周期变化，
故
.
3．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
（ ）
A．
B．
C．[1，3]
D．(1，3]
【答案】B
【详解】因为函数
的定义域为
，所以函数
的定义域为
，
所以
的定义域需满足：
，解得
.
4．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知函数
的定义域和值域均为
，则函数
的定义域和值
域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，则在函数
中，
，解得
，
因此函数
的定义域为
；
由函数
的值域为
，得函数
的值域为
，即
，
则
，故函数
的值域为
.
故选：C
5．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·月考）偶函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】首先根据条件判断函数的周期，再求函数值.
【详解】因为函数
是偶函数，所以
，
，
又因为
是奇函数，所以
，即
将
替换为
，代入上式得
，则
，故函数
的周期
为
，
已知
，将
代入
，得
，将
代入
，得
，
因此
，故A 正确.
6．（25-26 高三上·湖北咸宁·期末）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】C
【分析】分析可知函数
的一个周期为4，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，且
，
由题意知
，即
，可得
，
可知函数
的一个周期为4，
又因为当
时，
，且
所以
.
故选：C.
7．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）（多选）已知函数
定义域为
，其导函数为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
一个对称中心为
B．
的一个周期为2
C．
的图象关于
对称
D．
【答案】ACD
【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由
，两边求导可得
的图象关于
对称，结合条件可得
，由周期函数的定义得解；对C，由
的图象关于
对称，周期为4，
可判断；对D，将
代入
，可得
，将
代入
结合
可得
，结合函数的周期性运算得解.
【详解】对于A，由
满足
，则
关于
中心对称，故A 正确；
对于B，由
，两边求导可得
，
即
，所以
的图象关于
对称，
又
等价于
，
，所以
，
，即
的一个周期为4，故B 错误；
对于C，因为
的图象关于
对称，周期为4，所以
的图象关于
对称，故C 正确；
对于D，将
代入
，可得
，
将
代入
，得
，又
，
所以
，
，
所以
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）（多选）已知奇函数
的定义域为
，其导函数为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】设
，求得
为奇函数，且
，得到
是周期为4 的周期函数，由
，求得
，结合
，可判定A 正确；由
，求得
，
可判定B 错误；求得
，令
，求得
，再由
，结合
，可判定C 正确；由
，得到
，得到
，结合
，可判定D 正确.
【详解】由题意，设
，可得函数
的定义域为
，
则
，所以函数
为奇函数，
又由
，可得
，即
，
又由
，则有
，即
，
可得
，所以
是周期为4 的周期函数，
对于A 中，由
，可得
，
又由
，即
，所以
，所以A 正确；
对于B 中，由
，可得
，
即
，所以B 不正确；
对于C 中，由
，可得
，
令
，可得
，解得
，
又由
，可得
，所以
是周期为4 的周期函数，
可得
，所以C 正确；
对于D 中，由
，则由
，
，
则有
，即
，
所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】对于A：令
后计算即可判断；对于B：令
后计算即可判断；对于C：令
和
，后计算即可判断；对于D：令
，
，用
替换为
，化简后得
，可判断.
【详解】对于A：令
，则
，
又
，所以
，故A 正确；
对于B：令
，则
，
即
，所以
，故B 错误；
对于C：令
，则
，
令
，则
，
所以
，则
为偶函数，C 正确；
对于D：令
，则
，
即
，
将上式中的
替换为
，得
，
上述两式消去
，得
，
即
，D 正确.
故选：ACD
10．（25-26 高三上·上海徐汇·期末）已知函数
满足
对任意
实数
均成立．若
，
，则
______．
【答案】1
【分析】根据给定条件，推理确定函数
的周期，再由此求出目标值.
【详解】由
，
得
，
两式相减得
，
若
，则
，
当
时可得
，与
矛盾，等式不成立，
因此
，即
，函数
是周期为3 的周期函数，
所以
.
故答案为：1
11．（25-26 高三上·安徽芜湖·期中）已知
是定义在
上的奇函数，满足
，且
时，
，则
______.
【答案】
【分析】根据条件先判断出
的周期性，然后化简可得
，由此可计算出结果.
【详解】因为
，所以
，
因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
是周期为的周期函数，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
故答案为：
.
12．（25-26 高三上·河南洛阳·期末）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，若
，则
_________.
【答案】1
【分析】由题意可得函数的周期为8，根据题意结合周期性可得答案.
【详解】由
可得：
，
所以函数
周期为8，则
，
由
，则
，解得
.
故答案为：1.
13．（24-25 高二下·广东深圳·期末）定义在
上的奇函数
满足
，且
，则
________．
【答案】1
【分析】由已知得出
周期为4，
，再由
即可求解．
【详解】因为
，所以
周期为4，
又
是定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，
故答案为：1．
14．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期中）函数
是
上的增函数，对任意的
都有
．
(1)证明
为奇函数；
(2)解不等式：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
或
.
【分析】（1）取
，解得
， 取
，得到
，故
为奇函数.
（2）由
为奇函数，将
转化为
，将
中的
换
，
， 得到
，代入
，得到
，利用
得到
，由
是
上的增函数，得到
，解此不等式即可.
【详解】（1）
，
取
，则
，解得
，
取
，则
，
，
故
为奇函数.
（2）
，
为奇函数，
，
，将
换
，取
，
，
，将
代入
，
得到
，
，
转化为
，
是
上的增函数，
，解得
或
.
不等式
的解集为
或
.
16．（25-26 高三上·河北·期中）已知
是定义在
上的函数，且满足
，又当
时，
．
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：
在区间
上单调递减；
(3)若
，解不等式
．
【答案】(1)
为奇函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求得
，再令
，得到
，即可证得
为奇函数；
（2）由（1）得到
，令
且
，根据题意，证得
，即可得证；
（3）由（2）求得
，根据题意，把不等式转化为
，得到不等式
，求解即得.
【详解】（1）函数
为奇函数，理由如下：
因函数
的定义域为
，关于原点对称，
令
，则
，可得
．
令
，则
，即
，
用
代换
，可得
，所以
为奇函数．
（2）由（1）知
，则
，即
，
令
，且
，则
且
，
可得
，
因为当
时，
，所以
，即
，
所以函数
在
上单调递减，所以函数
在区间
上单调递减．
（3）由（2）知
，可得
，
由题设
，可得
，又
，故原不等式可化为
，
由（2）函数
在
上单调递减，可得
，解得
，
故不等式
的解集为
．
