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2.5 抽象函数题型汇总
一、周期函数的定义
1、周期函数：对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
3、函数的周期性的常用结论（
是不为0 的常数）
（1）若
，则
；
（2）若
，则
；
（3）若
，则
；
（4）若
，则
；
（5）若
，则
；
（6）若
，则
（
）；
二、函数的对称性
1、函数对称性的常用结论
（1）若
，则函数图象关于
对称；
（2）若
，则函数图象关于
对称；
（3）若
，则函数图象关于
对称；
（4）若
，则函数图象关于
对称；
2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数
满足
，则其函数图象关于直线
对称，
当
时可以得出
，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数
满足
，则其函数图象关于点
对称，
当
，
时可以得出
，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
三、函数对称性与周期性的关系
1、若函数
关于直线
与直线
对称，那么函数的周期是
；
2、若函数
关于点
对称，又关于点
对称，那么函数的周期是
；
3、若函数
关于直线
，又关于点
对称，那么函数的周期是
.
四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
1、①函数
是偶函数；②函数图象关于直线
对称；③函数的周期为
.
2、①函数
是奇函数；②函数图象关于点
对称；③函数的周期为
.
3、①函数
是奇函数；②函数图象关于直线
对称；③函数的周期为
.
4、①函数
是偶函数；②函数图象关于点
对称；③函数的周期为
.
其中
，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
五、类周期函数
1、类周期函数的定义
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函数值扩大
倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
x
y
k2y0
ky0
y0
-m
m
3m
2m
O
x
y
m3
m2
1
m
y0
ky0
k2y0
O
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
若函数
满足
或
，则
横坐标每扩大
倍，则函数值扩大
倍．此函
数称为倍增函数．
注意当
时，构成一系列平行的分段函数，
．
考点一 抽象函数定义域与值域
考点二 抽象函数单调性与奇偶性
考点三 抽象函数求值
考点四 抽象函数周期性
考点五 抽象函数对称性
考点六 类周期函数
考点七 抽象函数综合
考点一 抽象函数定义域与值域
1．（25-26 高三上·江西吉安·阶段检测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
_________．
3．（24-25 高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数
的值域为
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·广东·月考）已知函数
的定义域和值域均为
，则函数
的定义域和值
域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
考点二 抽象函数单调性与奇偶性
5．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）定义在
上的函数
，对任意
都有
，且
当
时，
.
(1)求证：
为奇函数；
(2)求证：
为
上的增函数；
6．（25-26 高三上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数
，
满足：
，且当
时
.
(1)求
及
的值；
(2)判断
的奇偶性并证明；
(3)解不等式：
.
7．（25-26 高三上·湖南衡阳·期中）定义在
上的函数
是单调函数，满足
，且
，（
，
）．
(1)求
，
；
(2)判断
的奇偶性；
(3)若对于任意
，都有
成立，求实数
的取值范围
8．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知
满足对任意
，都有
，且
，当
时，
．
(1)计算
，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(2)判断并证明
在
上的单调性；
(3)求不等式
的解集．
考点三 抽象函数求值
9．（25-26 高三下·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且对于任意实数
，
均有
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
恒成立
D．
在
上单调递减
10．（25-26 高三下·浙江宁波·月考）（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
11．（湖北武汉市2026 届高三年级五月供题数学试题）（多选）已知
为奇函数，
为偶函数，
且
均为非零函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
12．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，对任意的
，恒有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
13．（25-26 高三上·云南·月考）若
的定义域为
，且
，
，则
（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4
14．（25-26 高三上·浙江温州·月考）已知函数
的定义域为
为偶函数，且
，则
（ ）
A．47
B．
C．1
D．2
考点四 抽象函数周期性
15．（25-26 高三上·云南·期中）（多选）已知函数
的定义域为
，满足
，
且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
16．（25-26 高三下·河北衡水·月考）已知定义域为R 的函数
满足
，且
为奇函数，
则一定有（ ）
A．6 为
的一个周期
B．
C．
D．
17．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
18．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知非常值函数
的定义域为R，且
，均有
，若
，则
_______．
19．（25-26 高三上·广东深圳·期末）已知函数
满足
，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
考点五 抽象函数对称性
20．（25-26 高三上·安徽·期末）已知定义在
上的奇函数
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
关于
对称
B．
关于点
对称
C．
的一个周期为4
D．
为奇函数
21．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在
上的函数
满足
为偶函数，且
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于
成中心对称
D．
22．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知
是定义在
上的函数，且
，
，
则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
是
的周期
23．（2026·山西晋中·三模）已知函数
的定义域为
是偶函数，
，则
__________.
24．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数
______.
①定义域为
；
②
；
③
.
25．（25-26 高二下·山西长治·期中）（多选）已知函数
的定义域均为
，
，
，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
考点六 类周期函数
26．（25-26 高三上·山西忻州·期末）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，若
在
上恒成立，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（25-26 高三上·湖南·期中）（多选）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值，无最小值
B．存在负数
，使得
C．当
时，
D．当
时，
28．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）设函数
的定义域为R，满足
，且当
时，
，若对任意
，都有
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（25-26 高三上·湖北荆州·期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
30．（25-26 高三上·宁夏石嘴山·月考）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
若对任意
，都有
，则
的取值范围是__________．
考点七 抽象函数综合
31．（25-26 高三上·江苏苏州·月考）已知函数
的定义域为
，
，
，
，
且
，
在区间
上单调递减.
(1)求证：
；
(2)求
的值；
(3)求不等式
的解集.
32．（24-25 高三上·湖北武汉·月考）已知定义在R 上的函数
满足：对任意实数m，n 均有
，若
，且
时，
，则关于x 的不等式
的解集
为__________.
33．（25-26 高三上·湖北武汉·期末）（多选）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
，则有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
34．（25-26 高三上·重庆·期末）（多选）已知函数
、
的定义域均为
，
，
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
的周期为
D．
35．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数
是定义在
上的非常值函数，
的图象关
于原点对称，且
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
36．（2026·吉林·三模）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
的最小正周期为4
D．
在
上单调递增
1．（2026·江西·二模）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（25-26 高三下·安徽淮北·阶段检测）已知函数
的定义域为
，
，
为奇函数，
，则
（ ）
A．
B．2025
C．1
D．
3．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
（ ）
A．
B．
C．[1，3]
D．(1，3]
4．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知函数
的定义域和值域均为
，则函数
的定义域和值
域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
5．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·月考）偶函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
6．（25-26 高三上·湖北咸宁·期末）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
7．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）（多选）已知函数
定义域为
，其导函数为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
一个对称中心为
B．
的一个周期为2
C．
的图象关于
对称
D．
8．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）（多选）已知奇函数
的定义域为
，其导函数为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
10．（25-26 高三上·上海徐汇·期末）已知函数
满足
对任意
实数
均成立．若
，
，则
______．
11．（25-26 高三上·安徽芜湖·期中）已知
是定义在
上的奇函数，满足
，且
时，
，则
______.
12．（25-26 高三上·河南洛阳·期末）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，若
，则
_________.
13．（24-25 高二下·广东深圳·期末）定义在
上的奇函数
满足
，且
，则
________．
14．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期中）函数
是
上的增函数，对任意的
都有
．
(1)证明
为奇函数；
(2)解不等式：
．
16．（25-26 高三上·河北·期中）已知
是定义在
上的函数，且满足
，又当
时，
．
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：
在区间
上单调递减；
(3)若
，解不等式
．
