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1.3 等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法{
a−b>0⇔a>b,
a−b=0⇔a=b,
a−b<0⇔a<b.
(2)作商法{
a
b >1(a∈R ,b>0)⇔a>b(a∈R ,
b>0),
a
b =1⇔a=b(a,b≠0),
a
b <1(a∈R ,b>0)⇔a<b(a∈R ,
b>0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方性:a>b>0⇒
n√a>
n√b(n∈N,n≥2).
常用的结论
1.真分数的性质
若a>b>0,m>0,则b
a<b+m
a+m;
b
a>b−m
a−m(b-m>0).
2.倒数性质
(1)ab>0,a>b⇔1
a<1
b;
(2)a>b>0,d>c>0⇒a
c >b
d .
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
考点二 不等式的基本性质
考点三 不等式的性质证明不等式
考点四 利用不等式求值或取值范围
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）设
，
，且
，则
和
的大小关系是_________．
【答案】
【分析】由
，
，且
，得到
，再分
和
讨论求解.
【详解】因为
，
，且
，所以
，
当
时，由
，
，可得
，所以
．
当
时，由
，
，可得
，所以
．
综上可得，
．
故答案为：
．
2．（25-26 高三上·广东·期中）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小关系无法确定
【答案】B
【分析】用作差法计算比较
的大小关系．
【详解】
，故B 正确．
故选：B．
3．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
且
，则
【答案】BCD
【详解】对于A，
，若
，则
，故A 为假命题；
对于B，
，
，又
，
，故B 为真命题；
对于C，
，则
，
，故C 为真命题；
对于D，
且
，则
，
，故D 为真命题．
4．（25-26 高三上·广东深圳·月考）（多选）已知
，则下列不等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】作商法、作差法分别判断选项AB；借助函数
的单调性判断C；由于无法确定
与1 的大小，所
以无法判定D.
【详解】因为
，则
，且
，
，所以
，A 正确；
，由于
，
所以
，则
，B 正确；
，函数
在
上单调递减，则
，C 错误；
函数
在
上单调递减，但无法确定
与1 的大小，
所以D 选项无法确定.
故选：AB
5．（2026·青海西宁·二模）已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质以及特殊值求解.
【详解】选项A： 因为
，
，所以
，错误.
选项B：
.
，取
，则
，错误.
选项C：
.
因为
，
，故
，即
，C 正确.
选项D：取
，满足
，则左边
，右边
，
，D 错误.
考点二 不等式的基本性质
6．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由
可判断选项正误；对于C，通过举
特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误.
【详解】对于A，因
，由不等式同向可加性可得
，故A 正确；
对于B，因
，则
，故B 正确；
对于C，当
，
时，
，故C 错误；
对于D，
，
因
，则
，
从而
，故D 正确.
故选：ABD
7．（25-26 高三上·吉林长春·期中）（多选）已知
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据对数函数的单调性，可判断A 的正误；利用作差法，可判断B 的正误；根据不等式的性质，可判断
C 的正误，构造函数
，利用导数求得
单调性，分析可判断D 的正误.
【详解】选项A：因为
在
上单调递减，且
，则
，
所以
，故A 正确；
选项B：
，
因为
，所以
，则
，故B 错误；
选项C：因为
，所以
，
所以
，即
，故C 正确；
选项D：令
，则
，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，即
，所以
，
当
时，
，即
，所以
，此时不成立，故D 错误.
故选：AC
8．（2026·江西·二模）（多选）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A：由
得
，又
，所以
，故A 正确；
对于B：
，又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，故B 错误；
对于C：由
，所以
，故C 错误；
对于D：
，
由
，所以
，所以
，
当
，即
时，等号成立，
所以
，故D 正确.
9．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】选项A 和C，取反例求解即可；选项B，约掉
即可；选项D，用作差法即可判断.
【详解】对于A：取
，则
，故A 错误；
对于B：由
，可知
，所以
，同除
，得到
，故B 正确；
对于C：取
，
，此时
，故C 错误；
对于D：
，
因为
，所以
；又
，
，
即
，故
，故D 正确.
10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】首先根据条件判断
，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小.
【详解】由条件可知，
，则
，故A 正确；
，故B 正确；
，
，所以
，故C 错误；
设
，为增函数
减函数=增函数，所以
为增函数，
因为
，所以
，即
，即
，故D 正确.
考点三 不等式的性质证明不等式
11．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）设
，
为实数，比较
与
的值的大小．
（2）已知
，
，
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用不等式的性质比较大小.
【详解】（1）因为
，
所以
.
（2）证明：因为
，
，所以
，
所以
，又
，所以
.
12．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知
，
.
(1)求证：
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【详解】（1）由
，则
，故
，
由
，则
，故
，
所以
，得证.
（2）由
，而
，
所以
，即
，得证.
13．（25-26 高三上·吉林长春·月考）已知
.
(1)求
的最小值；
(2)证明：
.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式即可求解；
（2）利用换元法将表达式化简，并结合指数函数值域以及不等式性质可得出证明.
【详解】（1）由
可得
，即
；
所以
，
因为
，当且仅当
时，等号成立；
所以
，
即
的最小值为2.
（2）令
（其中为实数），
因此可得
;
;
又因为
，所以
，
因此
，
即
14．（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）已知
（
）克糖水中含有
（
）克糖，向杯中再添加
（
）
克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”.
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
(2)已知
，
，是三角形的三边，求证：
.
【答案】(1)
，证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得；
（2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证.
【详解】（1）“糖水不等式”为：实数
，则
，
由
，得
，
所以
.
（2）由（1）及
，
，是三角形的三边，得
，则
，
同理
，
所以
.
15．（2026 高三·全国·专题练习）若
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】利用不等式的基本性质和作差比较法即可证明.
【详解】因
，则由
，
（当且仅当
时等号成立）；
又因
，
则
；同理可证
，
故可得
（当且仅当
时等号成立）.
故原不等式得证．
考点四 利用不等式求值或取值范围
16．（25-26 高三上·河南商丘·月考）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意可知
，
由
可得
，又
，
所以
，即
的取值范围是
.
17．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解.
【详解】原式的分子和分母同时除以
，得
，
由条件得
，
，所以
，即
，
所以
，
所以
，则则
的取值范围是
.
故选：D.
18．（25-26 高三上·陕西渭南·月考）已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
用
和
表示出来，再根据已知不等式利用性质求出
的取值范围.
【详解】设
，则
，
所以
，解得
，
即
，
，
则
，
因此
.
故选：D.
19．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，求
的取值范围．
【答案】
【分析】令
，
，用含
和的表达式表示出
和
，并将其代入
中，即可得解．
【详解】令
，
，则
.
解方程组
可得
所以
.
因为
，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
．
故答案为：
20．（25-26 高三上·广东汕头·期末）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据b 的范围，可得
的范围，根据a 的范围，可得
的范围，将所求变形，即可得答案.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，则
.
故选：C
1．（2026·湖南长沙·二模）已知
，且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在
的条件下，各选项中的不等式
是否一定成立.
【详解】选项A：当取
，
，此时
，但
，
，
不成立，故A 错误；
选项B：当取
，
，此时
，但
，
，
不成立，故B 错误；
选项C：因为函数
在
上是单调递增函数，因此当
时，必有
，该不等式恒成立，故C
正确；
选项D：当
时，
，不等式不成立，故D 错误.
2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d 满足：
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案．
【详解】对于A，由
，两式相加得
，故A 正确；
对于B，令
，满足
，
此时
，
，故B 错误；
对于C，令
，满足
，
此时
，
，故C 错误；
对于D，令
，满足
，
此时
，
，故D 错误.
3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数
，
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
因为
，所以
，
所以由
，因此选项A 错误，选项D 正确；
若
，显然
，
，此时
，
若
，显然
，
，此时
，
所以选项BC 都不恒成立，所以选项BC 都不正确.
4．（25-26 高三上·陕西·阶段检测）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解计算即可.
【详解】
，
，
，
，
.
故选：C.
5．（25-26 高三上·全国·期末）已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意设
求得
的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得.
【详解】设
，
则
，解得
，所以
；
又
，
，
所以
，
所以
.
故选：B.
6．（2026·山东东营·二模）（多选）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
【答案】AC
【分析】选项A 利用函数
的单调性判断；选项B 余弦函数不单调，举反例；选项C 根据不等式的性质确定；
选项D 利用函数
的单调性判断.
【详解】函数
在区间
上单调递增，
因为
，所以
，选项A 正确；
，
时，
，选项B 错误；
若
，
，则
，选项C 正确；
函数
在
上单调递减，所以
，选项D 错误.
7．（2026·山西吕梁·二模）（多选）若
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于A，取
，此时
，但
，故A 错误；
对于B，因为
，故
，故B 正确；
对于C，因为
，故
，而
，故
，故C 正确；
对于D，
，
若
，则
，
故
即
，故D 错误.
8．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知实数x，y 满足
，则下列说法正确的有
（ ）
A．x 的取值范围为
B．y 的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
【答案】AD
【分析】对于AB，根据不等式的同向可加性求解即可；对于C，由A 知x 的取值范围，结合对勾函数的性质可得
的取值范围；对于D，根据指数幂的运算性质将
展开，根据指数函数的单调性及不等式的同向可
加性可得所求范围.
【详解】对于A，因为
，则由
，可知
，即
，故A 正
确；
对于B，因为
，则由
，可知
，即
，故B 错
误；
对于C，由A 知
，根据对勾函数的性质知
在
上单调递减，所以
的取值范围为
，
故C 错误；
对于D，因为
，又
，
所以
，所以
，
所以
的取值范围为
，故D 正确．
故选：AD.
9．（25-26 高三·全国·一轮复习）设
，则
的取值范围是________；
的取值范围是
________；
的取值范围是________；
的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质逐一求解目标式的范围即可.
【详解】①由
，得
.
又
，所以
.
所以
的取值范围是
.
②由
，
，知
.
所以
的取值范围是
.
③由
，得
；
由
，得
.
所以
.
所以
的取值范围是
.
④由
，得
.
又
，所以
.
所以
的取值范围是
.
故答案为：
；
；
；
.
10．（2026 高三·全国·专题练习）对于实数
，给出下列命题：
①若
，则
；②若
，则
；
③若
，则
；④若
，则
其中正确命题的序号是________．
【答案】②④
【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断.
【详解】对于①∵
，∴只有
时才成立，∴①不正确；
对于②，
；
，∴②正确；
对于③，若
，如
，但
，∴③不正确；
对于④，
，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，∴④正确．
故答案为：②④.
11．（25-26 高三上·四川南充·月考）（1）已知
，求
的取值范围；
（2）若
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求
的取值范围；
（2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论.
【详解】（1）设
，
所以
，解得
，
，
即
的取值范围是
.
（2）证明：
，
，
.
12．（25-26 高三·贵州贵阳·月考）已知实数
，
，满足
.
(1)若
，求证：
；
(2)若
，
，
，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）由条件得
且
，代入
，利用基本不等式求解.
【详解】（1）由
，且
，得
，
，
故
，所以
，所以
，即
.
（2）由
且
，
，
，得
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以的最小值为
.
13．（25-26 高三上·河北保定·月考）实数
满足
．
(1)求
的取值范围：
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）将
表示为
，再利用不等式的性质求出范围.
（2）用
表示出
，再利用不等式的性质求出
的范围.
【详解】（1）设
，则
且
，解得
，
因此
，而
，
因此
，即
，
所以
的取值范围是
.
（2）由
，
得
，
由
，得
，
因此
，即
，
所以
的取值范围是
.
14．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知实数
满足
．
(1)求
和
的取值范围；
(2)证明：
．
【答案】(1)
；
．
(2)证明见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可求解；
（2）通过作差法即可求证.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
， 所以
；
（2）
．
因为
，所以
．
所以
；
所以
．
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
，
，求
的取值范围.
【答案】
【分析】计算出
，从而得到
，得到答案.
【详解】设
，
∴
，
∴
，解得
，
故
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
即
，
故
的取值范围为
.
