专题1.3 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k 法）
1.3.1 糖水不等式
知识点梳理
假如有一杯糖水，糖水质量为a，糖水中糖的质量为b，则此时糖水的浓度为：b
a
，此
时a>b>0，若向杯中加入m(m>0)克糖，此时糖水的质量为a+m，糖的质量为b+m，则此
时糖水的浓度为b+m
a+m
.由生活常识可知，糖水会变甜，即加入糖后，糖水的浓度变大了.由此
可得糖水不等式：b+m
a+m >b
a (a>b>0,m>0).
典型例题
例1.比较log32和log2
3
2的大小.
例2.已知a=e
0.2,b= log67,c = log56.则（ ）
A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a
例3.已知an=
2
3
n−1
，请证明：a1+a2+⋯+an< 3
2.
随堂演练
1.(多选题) 生活经验告诉我们：a克糖水中含有b克糖(a>0,b>0，且a>b)，若再添加m
克糖(m>0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：b
a < b+m
a+m
“
”
，现称之为糖水不等式.根
“
”
据糖水不等式判断下列命题一定正确的是( )
A.若a>b>0,m<0，则b
a < b+m
a+m
B.log32<log1510
C.若a,b,c为△ABC三条边长，则a
1+a +
b
1+b >
c
1+c
D.若a,b,c为△ABC三条边长，则1<
a
b+c +
b
c +a +
c
a+b <2
2.已知5
4<8
4,13
4<8
5.设a= log53,b= log85,c = log138,则( )
A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b
3.设a= 3
4 ,b= log55,c = log53,则( )
A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.c<a<b
4.已知a =log78,b=8
7 ,c=log89,则a,b,c的大小关系为( )
A. a>b>c B. c>b>a C. c>a>b D. b>a>c
5.已知a =log32,b=log44,c=log96,则( )
A. c>a>b B. c>b>a C. a>b>c D. a>c>b
6.设a =log52,b=log64,c=log13540,则a,b,c的大小关系为( )
A. c<b<a B. a<b<c C. b<a<c D. a<c<b
7.(多选题)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶
解后糖水更甜了，由此得糖水不等式b
a < b+m
a+m
.若 b+m
a+m = x , b+n
a+n = y(n>0)，则( )
A.若m>n，则x> y B.若m≤n，则x ≤y
C.b+m
a+m <1< a+n
b+n
D.当m>n时，b+m
a+m > a+n
b+n
8.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖( m >0) (假设全部溶解)，糖水变甜
了.
（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立;
（2）在锐角△ABC中，根据(1)中的结论，证明：A
B+C + B
C+ A +C
A+ B <2.
1.3.2 柯西不等式
知识点梳理
1.在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中，巧用柯西
不等式会比较方便快捷.
二维柯西不等式:(a
2+ b
2)(c
2+d
2)≥(ac+ bd)
2等号成立条件:
ad =bc(
a
b =c
d)(a,b,c ,d ∈R).
多
维
柯
西
不
等
式
:
(a1
2+a2
2+a3
2+
+
⋯an
2)(b1
2+ b2
2+ b3
2+
+
⋯bn
2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+
+
⋯anbn)
2. 等号成立条
件:a1:b1=a2:b2=
=
⋯an:bn.
2.二维形式的证明:
（
1
）
代
数
法
证
明
：
(a
2+b
2)(c
2+d
2)=a
2c
2+b
2d
2+a
2d
2+b
2c
2=a
2c
2+2abcd +b
2d
2+a
2d
2−2abcd +b
2c
2=(ac +bd )
2+(ad −bc
.当且仅当ad −bc =0,即ad =bc时成立.
（2）多维柯西不等式向量法证明：令⃗m=(a1,a2,a3,⋯,an),⃗n=(b1,b2,b3,⋯,bn)
则⃗m⋅⃗n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=|⃗m||⃗n|cos⟨⃗m，⃗n ⟩
=❑√a1
2+a2
2+a3
2+⋯+an
2 ❑√b1
2+b2
2+b3
2+⋯+bn
2cos⟨⃗m，⃗n ⟩
∴cos⟨⃗m，⃗n ⟩≤1，
∴a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn≤
❑√a1
2+a2
2+a3
2+⋯+an
2 ❑√b1
2+b2
2+b3
2+⋯+bn
2.
则(a1
2+a2
2+a3
2+
+
⋯an
2)(b1
2+ b2
2+ b3
2+
+
⋯bn
2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+
+
⋯anbn)
2.等号成立条
件：a1:b1=
a2:b2=⋯=an:bn.
典型例题
例1.设a,b∈R，且a
2+2b
2=6，则a+b的最小值是 ( )
A. −2❑√2 B. −5 ❑√3
3
C. −3 D. −7
2
例2.设x , y , z均为实数，则
2 x + y −z
❑√x
2+2 y
2+ z
2
的最大值是 .
例3.已知实数x>0,y>0,x+y=3，则❑√x
2+1+2
❑√y
2+4的最小值是 .
例4.若x , y , z为实数，且x +2 y +2 z =6，求x
2+ y
2+ z
2的最小值为 .
随堂演练
1.设x , y ∈R，则( x
2+ 1
y
2 )( 1
x
2 + 4 y
2)的最小值为 .
2.已知实数a>0,b>0, 1
a + 2
b =1，则4 a
a−1 + 3b
b−2
的最小值是 .
3.设a,b,c为正数，且a
2+ b
2+c
2=1，则a(a+ b+c)的最大值为 ( )
A.
❑√3+1
2
B.
❑√2+1
2
C.
❑√3
2
D.
❑√2
2
4.已知x>0, y ∈R，且x
2+ xy −x +5 y =30，则❑√2−x + ❑√30−3 y的最大值为 ( )
A.❑√3 B.❑√6 C.2❑√6 D.3❑√2
5.已知a,b,c>0，且a+b+c =1，则❑√3a+1+ ❑√3b+1+ ❑√3c +1的最大值为 ( )
A.3 B.3 ❑√2 C.18 D.9
6.已知a+ b+c=1，且a,b,c>0，则2
a+ b +2
b+c +2
a+c
的最小值为 ( )
A.1 B.3 C.6 D.9
7.若sinx+cosy+sin(x+y)=2，则sinx的最小值是 ( )
A. 0 B. 2−❑√3 C. 3−❑√7 D. 1
2
8.若实数a,b,c ,d满足ab+bc+cd +da=1，则a
2+2b
2+3c
2+ 4 d
2的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上答案都不对
9. 已知a,b,c均为非负数，且a+ 4 b+9c = 4，则
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c +1
的最小值为
.
10.已知实数x , y满足(2 x −y )
2+ 4 y
2=1，则2 x + y的最大值为 .
1.3.3 权方和不等式
知识点梳理
柯西不等式:对于任意的a,b,c ,d ∈R恒有不等式(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2.
对柯西不等式变形, 易得(
a
2
x + b
2
y)( x + y)≥(a+b)
2.
在a,b, x , y >0时,我们就有:a
2
x + b
2
y ≥(a+b)
2
x + y
,当且仅当a
x = b
y 时,等号成立.这就是权方
和不等式.权方和不等式拓展形式:
①若ai>0,bi>0,则：a1
2
b1
+a2
2
b2
+
+
⋯an
2
bn
≥(a1+a2+
+
⋯an)
2
b1+ b2+
+
⋯bn
成立,当且仅当ai= λbi
时,等
号成立.
②对于ai>0,bi>0,m >0 ,a1
m +1
b1
m
+a2
m +1
b2
m
+
+
⋯an
m +1
bn
m
≥(a1+a2+
+
⋯an)
m +1
(b1+ b2+
+
⋯bn)
m
，当且仅当
ai=λbi时,等号成立.
观察上式特征, m成为该不等式的权,它的特点是:分子的幂指数比分母的幂指数高1次.
典型例题
例1.若直线x
a +y
b =1(a>0,b>0)过点(1,2)，则2a+ b的最小值为 .
例2.已知x>0,y>0，且1
2x+y +1
y+1 =1，则x+2y的最小值为 .
例3.若x,y∈R
+,且x+2y=1,则x
2
x+1 +2y
2
y+2
的最小值为 .
例4.求f(x)=
❑√x
2
3
−x+2+
❑√2+3x−x
2的最大值为 .
随堂演练
1.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表
达式如下：设正数a,b,x,y，满足a
2
x + b
2
y ≥(a+ b)
2
x+y
，当且仅当a
x =b
y
时，等号成立.则
函数f(x)=3
x +16
1 3
−x(0<x<1
3)的最小值为( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
2.若正数x,y满足x+3y=5xy，则4y+3x的最小值是( )
A.24
5
B.28
5
C.5 D.6
3.“
”
权方和不等式是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的. 其具体内容为:
设an>0,bn>0,n∈N
∗,m >0,则a1
m +1
b1
m
+a2
m +1
b2
m
+a3
m +1
b3
m
+
+
⋯an
m +1
bn
m
≥(a1+a2+a3+
+
⋯an)
m +1
(b1+ b2+ b3+
+
⋯bn)
m
,当
且仅当a1
b1
=a2
b2
=
=
⋯an
bn
时,等号成立.根据权方和不等式,若x∈(0,π
2 ),当3❑√3
sinx +1
cosx
取
得最小值时,x的值为( )
A.π
12
B.π
6
C.π
3
D.5π
12
4.已知a>0,b>0,a+b=1,则
1
a+3b +
1
2a+b
的最小值为 .
5.已知a>1,b>1，则a
2
b−1 + b
2
a−1
的最小值是 .
6.若正数a,b满足1
a + 1
b =1,则a
a−1 + 4 b
b−1
的最小值为 .
7.已知正数x , y满足3 x + 4
y = 4,则y(
1
xy +3 +
1
2 xy +1)
的最小值为 .
8.已知x , y是正实数且满足1
x + 4
y =3,则x
2+ y
2
2
最小值 .
9.已知正数x , y , z满足x +3 y +2 z =1,则x +2 y
2 y + 4 z +
4
x +2 y
的最小值为 .
10.已知x,y>0,1
x +2❑√2
y
=1,则❑√x
2+y
2的最小值是 .
11.已知实数x>0,y> 1
−,且x+y=1,
则x
2+3
x
+y
2
y+1
的最小值为 .
12.已知a>0,b>0,a
3+8b
3=2,则a+2b的最大值为 .
1.3.4 万能k 法
知识点梳理
对给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式
等于k, 然后用y表示x或x表示y,代入原式，得到一个关于x的一元二次方程,然后利用判别
式大于等于零,得到一个不等式,解出k的范围即可,此方法称之为万能k法.
典型例题
例1.若实数x , y满足x
2+ y
2+ xy =1,则x + y的最大值是 .
例2.若存在正实数y,使得xy
y −x =
1
5 x + 4 y
,则实数x的最大值为 .
随堂演练
1.已知实数x,y满足x
2+y
2
4
−x
2
−y
4=0
−
,则x−y的最大值是 .
2.设正实数x , y满足xy = x−4 y
x + y
,则实数y的取值范围是 .
3.若正实数m,n满足m+2n=3mn,则m+n的最小值为 .
4.已知正实数x,y满足4x−y
4x+3y =4xy,那么y的最大值为 .
5.已知实数a,b,c满足a+ b+c=0,a
2+ b
2+c
2=1,则a的最大值是 .
6.已知实数x,y满足x+2
x +3y+4
y =10,则xy的取值范围是 .
7.实数x,y满足4x
2
5
−xy+4y
2=5,设S=x
2+y
2,则1
Smax
+1
Smin
= .
8.设x,y为实数,若4x
2+y
2+xy=5,则2x+y的最大值是 .
