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专题 21 不等式选讲
1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
1 1
(2)若b=2c，则 + ≥3．
a c
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c) 2，利用柯西不等式即可得证；
1 1
（2）由（1）结合已知可得00，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，
1 1
即00，b>0，c>0，则 a2>0 ， b2>0 ， c2>0 ，
3 3 3
a2+b2+c2 √3 3 3 3
所以
≥
a2⋅b2⋅c2，
3
1 1 1 3 3 3 √1
即(abc)2≤
3
，所以abc≤
9
，当且仅当 a2=b2=c2，即a=b=c=3
9
时取等号．
(2)
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，
3 3 3
a a a2 b b b2 c c c2
所以 ≤ = ， ≤ = ， ≤ =
b+c 2√bc 2√abc a+c 2√ac 2√abc a+b 2√ab 2√abc
3 3 3 3 3 3
a b c a2 b2 c2 a2+b2+c2 1
+ + ≤ + + = =
b+c a+c a+b 2√abc 2√abc 2√abc 2√abc 2√abc
当且仅当a=b=c时取等号．
3．【2021年甲卷文科】已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过
时 的值可求.
【详解】
（1）可得 ，画出图像如下：，画出函数图像如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】
关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求
解.
4．【2021年乙卷文科】已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围.
【详解】
（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或
，
所以 的解集为 .
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当 时， ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ．
综上， 的解集为 ．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号，
,
故 ，
所以 或 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由 是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得 ，
故 ，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当 时，
则 ，此时 ，无解．
当 时，
则 ，此时，由 得， ．
综上，a的取值范围为 ．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得 后，构造两个函数 和 ，
即 和 ，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点 ，
由图易知 ，则 ．【整体点评】
（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 ，利用不等式恒成立的意义得
到关于 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 的最小值，最有简洁快速，为最
优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 最小值，要注意函数
中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数 的最小值后，构造关于 的函数，利用数形结合
思想求解关于 的不等式.
5．【2020年新课标1卷理科】已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．【答案】（1）详解解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；
（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
【详解】
（1）因为 ，作出图象，如图所示：
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示：由 ，解得 ．
所以不等式 的解集为 ．
【点睛】
本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，
属于基础题．
6．【2020年新课标2卷理科】已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）当 时， .当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当
时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
7．【2020年新课标3卷理科】设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法一：由 结合不等式的性质，即可得出
证明；
（2）方法一：不妨设 ，因为 ，所以
，则 ．故原不等式成立．
【详解】
（1）［方法一］【最优解】：通性通法，
.
均不为 ，则 ， ．
［方法二］：消元法
由 得 ，则
，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知 ，又
，故结论得证．
方式2：因为 ，
所以
．
即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ．
［方法四］：
因为 ，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设 则 .
［方法五］：利用函数的性质
方式1： ，令 ，二次函数对应的图像开口向下，又 ，所以 ，
判别式 ，无根，
所以 ，即 ．
方式2：设 ，
则 有a，b，c三个零点，若 ，
则 为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以 ．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设 ，因为 ，所以
，
则 ．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设 ，因为 ，所以 ，且
则关于x的方程 有两根，其判别式 ，即 ．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设 ，则 ，关于
c的方程有解，判别式 ，则 ．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设 ，不妨令 ，则 ，又，矛盾，故假设不成立．即 ，命题
得证．
【整体点评】
（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本
题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；
方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利
用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用
消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可
证出．
8．【2019年新课标1卷理科】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用 将所证不等式可变为证明： ，利用基本不等式可
证得 ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得
，再次利用基本不等式可将式转化为
，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】
（1）当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
【点睛】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用
能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
9．【2019年新课标2卷理科】已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ，将原不等式化为 ，分别讨论 ， ，
三种情况，即可求出结果；
（2）分别讨论 和 两种情况，即可得出结果.
【详解】
（1）当 时，原不等式可化为 ；
当 时，原不等式可化为 ，即 ，显然成立，此时解集为 ；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时解集为空集；
当 时，原不等式可化为 ，即 ，显然不成立；此时
解集为空集；
综上，原不等式的解集为 ；
（2）当 时，因为 ，所以由 可得 ，
即 ，显然恒成立；所以 满足题意；
当 时， ，因为 时， 显然不能成立，所以
不满足题意；
综上， 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.
10．【2019年新课标3卷理科】设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .
【答案】(1) ；(2)见详解.
【解析】
【分析】
(1)根据条件 ，和柯西不等式得到 ，再讨论 是
否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 代入原不
等式，便可得到参数 的取值范围.【详解】
(1) 故
等号成立当且仅当 而又因 ，解得
时等号成立
所以 的最小值为 .
(2)
因为 ，所以 .
根据柯西不等式等号成立条件，当 ，即 时有
成立.
所以 成立，所以有 或 .
【点睛】
两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
11．【2018年新课标1卷理科】已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2）
【解析】
【详解】
分析：(1)将 代入函数解析式，求得 ，利用零点分段将解析式化为
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 的解集为
；
(2)根据题中所给的 ，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 可以化为
时 ，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒
成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，
从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
12．【2018年新课标2卷理科】设函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【详解】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，
（2）先化简不等式为 ，再根据绝对值三角不等式得 最小
值，最后解不等式 得 的取值范围．
详解：（1）当 时，
可得 的解集为 ．
（2） 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对
值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等
式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法
的灵活应用，这是命题的新动向．13．【2018年新课标3卷理科】设函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）当 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
【详解】
分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．
（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值
详解：（1） 的图像如图所示．（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最
大值为 ，故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值
为 ．
点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．
