专题1.3 不等式与基本不等式
1.3.1 不等式的基本性质的运用
知识点梳理
1.不等式的性质
2.比较数（式）的大小
典型例题
例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则1
a > 1
b
C．若a<b<0，则b
a > a
b
D．若a>b，1
a > 1
b ，则a>0，b<0
别名
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
不可逆
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，c<0⇒ac<bc
c 的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
关系
方法
做差法与0 比较
做商法与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a,b>0)或
a
b <1(a,b<0)
a=b
a−b=0
a
b =1(b≠0)
a<b
a−b<0
a
b <1(a,b>0)或a
b >1(a,b<0
例2.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．
例3.已知1<
−
x+y<4且2<x−y<3,则z=2x
3
−y的取值范围是 .
随堂演练
1.若a>b,则( )
A. ln(a−b)>0 B. 3
a<3
b C. a
3−b
3>0 D. |a|>|b|
2.已知实数a,b,c,d满足:a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是( )
A.a+d>b+c B.ad>bc C.a+c>b+d D.ac>bd
3.(多选)下列不等式中，推理正确的是( )
A.若x>y>z,则|xy|>|yz| B.若1
a <1
b <0,则ab>b
2
C.若a
2x>a
2y, 则x>y D.若a>b>0,c>0,则a−c>b−c
4.P=a
2+a+1,Q=1
a
2−a+1
,(a∈R),则P,Q的大小关系为 .
5. 已知a>0且a≠1,P=loga(a
3+1),Q=loga(a
2+1),
则P与Q的大小关系为
.
6.设实数x,y满足3≤xy
2≤8,4≤x
2
y ≤9,则x
3
y
4 的最大值是 .
7.已知:a>b>c>0,A =ab+ bc,B=ac+ b
2,C=a
2+ b
2,则A,B,C大小关系是 .
8.若0<x<1,则x,1
x ,❑√x,x
2中最小的是 .
9.已知－<β<α<，求2α－β 的取值范围．
10.已知a,b为正实数.求证:a
2
b + b
2
a >a+ b.
1.3.2 基本不等式
知识点梳理
1.基本不等式
（1）a
2+b
2≥2ab (a，b∈R，当且仅当a=b时等号成立)；
a
2+b
2≥−2ab (a，b∈R，当且仅当a=−b时等号成立)；
拓
展
：
a
2+b
2≥2|ab |⇔−a
2+b
2
2
≤ab≤a
2+b
2
2
(a，b∈R，当且仅当a=b时等号成立)
.
（2）a+b≥2❑√ab (a,b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立)；
❑√ab≤a+b
2
(a,b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立)；
ab≤(
a+b
2 )
2
(a,b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立).
口诀：“一正二定三相等”.
（3）均值不等式：两个正数a,b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均
数之间的关系:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
则
2
1
a + 1
b
= 2ab
a+b ≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a，b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立).
（4）a
2+b
2+c
2≥ab+bc +ac (a，b∈R，当且仅当a=b=c 时等号成立)；
（
5
）
a
3+b
3+c
3≥3abc ⇒a+b+c≥3
3√abc(a≥0,b≥0,c≥0，当且仅当a=b= c 时等号成立)
.
典型例题
例1.若实数x,y满足xy =1,则x
2+2y
2的最小值 .
例2.已知t>0,则3t+3
2t+1 +t的最小值为 .
例3.设x,y为实数,若4x
2+y
2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
例4.若x,y满足x
2+y
2−xy=1,则（ ）
A.x
2+y
2≥2
3
B.x
2+y
2≤2 C.x+y≥2
− D.x+y≤1
例5.已知不等式(x+y)(
1
x +a
y )≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（
）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
随堂演练
1.若实数a,b满足a+ b=2，则3
a+3
b的最小值是 ( )
A. 18 B. 6 C. 2❑√3 D. 2❑√3
2.设a,b∈R,且a
2+2b
2=6,则a+ b的最小值是 ( )
A.
2
−
❑√2 B. −5❑√3
3
C.
3
− D. −7
2
3.若a,b,c均为正实数,则ab+ bc
a
2+2b
2+c
2 的最大值为 ( )
A. 1
2
B. 1
4
C.
❑√2
2
D.
❑√3
2
4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 9
2
D. 11
2
5.设a,b∈R，若4a
2+ b
2+2ab=6，则3a
2+2b
2的最小值为 ( )
A. 6 B. 3❑√3 C. 2❑√6 D. 4
6.已知x,y∈R
+,且满足x
3 +y
4 =1,则xy的最大值为 .
7.已知实数x,y满足4x
2+y
2+xy=1，则2x+y的最大值为 .
8.已知x>0,y>0,且满足4x
2+9y
2+6xy
3=0
−
,则2x+3y的最大值为 .
9.x,y,z为正整数,求10x
2+10y
2+z
2
xy+yz+xz
的最小值为 .
10.设x> 1,
−
y> 2
−,且x+y=4,则x
2
x+1 +y
2
y+2
的最小值是 .
11. 已知非负实数x,y满足2x
2+4xy+2y
2+x
2y
2=9, 则2❑√2(x+y)+xy的最大值为
.
12.已知sin
2α+sin
2β+sin
2γ=1(α,β,γ 均为锐角), 那么cosαcosβcosγ的
最大值等于 .
13.已知x>0,y>0且x
2+3y
2+4xy=8,则3x+5y的最小值为 .
1.3.3 解一元二次不等式及不等式恒成立问题
知识点梳理
1.二次函数与一元二次方程、不等式解对应关系：
2.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）：
a x
2+bx +c>0恒成立
⇔{
a>0
∆<0
；a x
2+bx +c<0恒成立⇔{
a<0
∆<0
；
a x
2+bx +c≥0恒成立
⇔{
a>0
∆≤0
；a x
2+bx +c≤0
恒成立⇔{
a<0
∆≤0
.
3.不等式恒成立、存在成立问题
a<f ( x)恒成立⇔a<f ( x)min；a<f ( x)有解⇔a<f ( x)max；
a>f ( x)恒成立⇔a>f ( x)max；a>f ( x)有解⇔a>f ( x)min；
a≤f ( x)恒成立⇔a≤f ( x)min；a≤f ( x)有解⇔a≤f ( x)max；
a≥f ( x)恒成立⇔a≥f ( x)max；a≥f ( x)有解⇔a≥f ( x)min.
典型例题
例1.已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2．
（1）y＜3
2
﹣x 对任意x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）求不等式y≥0 的解集．
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实
数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数
根x1＝x2＝−b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠−b
2a}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
例2.已知2x+5y＝8．
（1）当x＞0，y＞0 时，求xy 的最大值；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2 时，若不等式10
x +1 +
1
y +2 ≥m
2+ 4 m恒成立，求实数m 的取值
范围．
例3.若关于x 的不等式（1﹣a）x2
4
﹣x+6＞0 的解集是{x|
3
﹣＜x＜1}．
（1）解关于x 的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；
（2）若关于x 的不等式bx2+abx+3＞0 的解集为R，求实数b 的取值范围．
随堂演练
1.已知不等式x2
2
﹣x
3
﹣＜0 的解集为A，不等式ax2+ax
6
﹣＜0 的解集为B．
（1）若a＝1，不等式x2+mx+n＜0 的解集为A∩B，求不等式mx2+x+n＜0 的解集；
（2）∀x∈R，ax2+ax
6
﹣＜0，求a 的取值范围．
2.已知不等式ax2
3
﹣x+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}．
（1）求a，b 的值；
（2）若不等式mx2+mx+3a≥0 对于x∈R 均成立，求实数m 取值范围．
3.已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m
1
﹣（m∈R）．
（1）当m＞﹣2 时，解关于x 的不等式f（x）≥m；
（2）若不等式f（x）≥0 对于任意x∈[
2
﹣，1]恒成立，求m 的取值范围．
4.已知关于x 的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0 的解集为{x|x＜1 或x＞4}．
（1）求实数m、n 的值；
（2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且5
a + 1
b ≥3k
2−4 k恒成立，求实数k 的取值范围．
5.设二次函数y＝x2+mx．
（1）若对任意实数m∈[0，1]，y＞0 恒成立，求实数x 的取值范围；
（2）若存在x0∈[﹣4，0），使得函数值y0≤﹣4 成立，求实数m 的取值范围．
6.已知命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0 成立．
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0 有解，如果p 是假命题，q 是真命题，
求实数a 的取值范围．
7.（1）若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a 的取值范围；
（2）若∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，求实数x 的取值范围．
