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专题03 正弦（型）函数的性质与图像十三大题型
题型一：五点作图法
题型二：正弦（型）函数图像与其他函数交点个数问题
题型三：解三角函数不等式
题型四：求单调区间
题型五：利用三角函数性质比大小
题型六：求三角函数的值域与最值
题型七：已知值域求参数
题型八：求周期，奇偶性，对称性
题型九、已知周期，奇偶性，对称性求参数
题型十：利用函数图像求正弦（型）函数的解析式
题型十一：三角函数的图象变换
题型十二：与零点有关的问题
题型十三：求参数w
题型一：五点作图法
1．利用五点法作函数
，
的简图时，第三个点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
按五个关键点列表：
0
0
1
0
0
0
3
0
1
0
故第三个点的坐标是
，
故选：C.
2．已知函数
．请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图像.
【答案】
图像为：
【详解】
的周期为
，
列表
0
0
2
0
0
描点、连线得到
在
内的图像.
3．已知函数
，
(1)用五点作图法画出函数
在一个周期
上的简图；
(2)若
，求
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
或
【分析】
【详解】（1）由“五点作图法”列表如下：
x
0
0
3
0
0
图象如下：
（2）由
，得
，
所以
或
，
即
或
，
又因为
，所以k 取0，得
或
.
4．已知函数
.
(1)用“五点法”画出函数
在一个周期内的简图；
(2)若关于
的方程
在区间
上有唯一解，求的取值范围.
【答案】(1)简图见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）解：由函数
列表：
函数
的图象，如图所示，
（2）解：由
，可得
，
当
时，即
时，可得
；
当
时，即
时，可得
；
当
时，即
时，可得
，
要使得关于
的方程
在区间
上有唯一解，
即函数
和
的图象只有一个交点,
结合图象，可得
或
，即的取值范围
.
题型二：正弦（型）函数图像与其他函数交点个数问题
5．当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，
在坐标系中，由五点法作图画出两函数在
上的图象，如图：
观测图象知，函数
与
在
上的图象有8 个交点.
故选：D
6．当
时，函数
与
的图象有4 个交点，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】对于A，当
时，函数
的周期为
，
函数
与
在
内的图象如图，
它们有2 个交点，A 错误；
对于B，当
时，函数
的周期为
，
函数
与
在
内的图象如图，
它们有4 个交点，B 正确；
对于C，当
时，函数
的周期为
，
函数
与
在
内的图象如图，
它们有6 个交点，C 错误；
对于D，当
时，函数
的周期为
，
函数
与
在
内的图象如图，
它们有8 个交点，D 错误.
故选：B
7．函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【详解】函数
定义域为
，最小正周期为
，
，当
时，
，
函数
在定义域
上是增函数，当
时，
，当
时，
，
因此函数
与函数
的图象交点横坐标只能在区间
上，
在同一坐标系内作出函数
的部分图象，如图：
观察图象知，函数
与函数
的图象交点个数为5.
故选：B
8．当
时，曲线
与
的交点个数为 ．
【答案】6
【详解】因为函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点．
故答案为：6.
9．若函数
在
的图象与直线
有两个交点，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【详解】依题意，
，
画出函数
的图象，如图：
由图象知，当
，即
时，函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
题型三：解三角函数不等式
10．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，得
，即
成立；
反之，由
，得
，则
不一定成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
11．满足
的x 的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【详解】
，故
，
，
解得：
，
，
所以满足
的x 的集合是
.
故选：A
12．求函数
的定义域
【答案】
【详解】∵函数
有意义，
,
∴函数
的定义域为
.
故答案为：
13．设函数
．
(1)用“五点法”画出函数
在区间
上的图象（要求要有列表的过程）；
(2)当
时，求x 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析．
(2)
【分析】
【详解】（1）
时，
，
列表如下：
0
0
－1
0
1
0
描点连线：
（2）由（1）图象可知，在
上，
时，
或
，
或
，
得
，函数周期最小正周期是
，
所以
的解集是
．
14．已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
是定义在
上的偶函数，
其图象关于
轴对称，
结合图象可知：当
时，
；当
时，
；
由
得：
或
，
或
或
，
的解集为
.
故选：A.
题型四：求单调区间
15．（多选）在下列区间中，函数
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】令
，则
在
，
上单调递减；
对于A，
在
上单调递增，
在
上单调递减，A 错误；
对于B，
在
上单调递减，
在
上单调递增，B 正确；
对于C，
在
上单调递减，
在
上单调递增，C 正确；
对于D，
在
上单调递增，
在
上单调递减，D 错误.
故选：BC.
16．下列区间中，函数
是单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，可得
，所以
；
当
时，可得
，所以
；
当
时，可得
，所以
，
画出函数
的部分图像，如图所示，
结合图像，可得函数
在区间
上单调递增.
故选：A.
17．若函数
的单调递减区间是 .
【答案】
.
【详解】因为函数
，令
，
要求
的单调递减区间，则是求
的单调递增区间.
那么有
，解得
.
所以函数
的单调递减区间是
.
故答案为：
.
18．函数
的图象与
的图象关于直线
对称，则函数
的递增区间是
．
【答案】
【详解】因为函数
的图象与
的图象关于直线
对称，
所以
，所以
，因为
在
上为减函数，
所以
的递增区间为内层函数
在定义域
内的递减区间，
即
，故函数
的递增区间是
．
故答案为：
．
19．已知函数
.
(1)求
的最小正周期及取得最小值时，自变量
的取值范围；
(2)求函数
的单调递增区间.
【答案】(1)函数
的最小正周期为
，
取得最小值时，自变量
的取值范围为
(2)
【分析】
【详解】（1）函数
的最小正周期为
.
当
时，函数
有最小值，
解得
，
所以函数
的最小正周期为
，
函数
取得最小值时，自变量
的取值范围为
.
（2）当
时，
解得
，
所以函数
单调递增的区间为
.
题型五：利用三角函数性质比大小
20．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
.
，
，
所以
．
故选：C.
21．已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
是增函数，所以
；
因为函数
是增函数，所以
，即
；
因为
，所以
.
因此
.
故选：B.
22．已知
，则a、b、c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
所以
.
故选：D
23．已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由指数函数性质得
，
由对数函数性质得
，
由正弦函数性质得
，则
，故D 正确.
故选：D
题型六：求三角函数的值域与最值
24．已知
，当
时，
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数
，当
时，
，
因此
，则
，
所以
的取值范围
.
故答案为：
25．若
，则函数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以当
，即
，
时，
取得最小值，最小值为
.
故答案为：
.
26．函数
的最小值为 ，最大值为 .
【答案】
【详解】由已知
，
设
，即
，
所以当
，即
，
时，
取最小值为
；
当
，即
，
时，
取最大值为
；
故答案为：
，
.
27．函数
的值域是 .
【答案】
【详解】由函数的解析式可知：
，
，
当
时，即
时，显然
不成立，
当
时，
，
因为
，且
，
所以有
或
，
所以该函数的值域为
，
故答案为：
28．已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)记函数
，当
时，求函数
的最大值和最小值，并求出取最值时
的值.
【答案】(1)
，
；
(2)
时，最大值2，
时，最小值
.
【分析】
【详解】（1）因为
，
由正弦函数的单调性得
，
，解得
，
，
因此，函数
的单调递减区间为
，
；
（2）由（1）知，
，
所以
，
当
时，
，
当
时，即
时，函数
取最大值
，
当
时，即
时，函数
取最小值
.
29．已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数
在区间
的值域．
【答案】(1)最小正周期为
；单调递减区间为
(2)
【分析】
【详解】（1）因为函数
所以函数
的最小正周期为
，
令
，
解得：
，
所以函数
的单调递减区间为
（2）令
，
解得：
，
函数
的单调递增区间为
所以当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
由于
，
，
，
所以函数
在区间
的值域为
题型七：已知值域求参数
30．已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
的值域为
，所以
.
又
，所以
，
根据正弦函数的图象可知
，解得
，
又
，所以
，所以
的取值范围是
.
故选：A
31．若
是函数
两个相邻的最值点，则
等于（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
【详解】由题，函数
的两个相邻最值点之间隔了半个周期，则
，所
以
.
故选：A.
【点睛】
32．已知函数
在
上恰有5 个不同的x 值使其取到最值，则正实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，
又
在
上恰有5 个不同的x 值，使其取到最值；
所以
，所以
，则正实数
的取值范围是
.
故选：A.
33．已知函数
在区间
上既有最大值，也有最小值，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】如图：
当
时，函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值为1，最小值为
.
综上可知：实数
的取值范围为
．
故答案为：
34．已知函数
．
(1)求
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上的值域为
，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
令
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
．
（2）因为
，所以
，
又
， 所以
，
解得
，所以的取值范围为
．
题型八：求周期，奇偶性，对称性
35．求函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
．
故选：B．
36．关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
最小值为0
B．函数
为奇函数
C．函数
是周期为
周期函数
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】D
【详解】由题意，函数
，
当
时，可得
，所以
，
当
时，可得
，所以
，
所以函数
的最小值为
，所以A 不正确；
又由
，所以函数
为偶函数，所以B 不正确；
因为
，
，所以
，
所以
不是
的周期，所以C 不正确；
当
时，
，
，
当
时，
，即函数
在区间
上单调递减，
又因为
，所以函数
在区间
上单调递减，
所以D 正确.
故选：D.
37．（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于直线
对称
C．
的最大值为3
D．
在
上有3 个零点
【答案】AD
【详解】对于A，因为
，
所以
是
的一个周期，故A 正确；
对于B，
，
，
因为
，所以
的图象不关于直线
对称，故B 错误；
对于C，当
时，函数
有最大值为
，
当
时，函数
有最大值为，
因为函数
与函数
在一个周期内不可能同时取到最大值，
所以
的最大值不可能为，故C 错误；
对于D，
，
令
，则
，即
或
，
当
时，
解得
或
或
，
解得
或
，
所以
在
上有3 个零点，故D 正确.
故选：AD
38．（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
对称
C．
是
图象的一条对称轴
D．
在
上单调
【答案】AB
【详解】对于A 选项，函数
的最小正周期为
，A 对；
对于B 选项，因为
，
所以函数
的图象关于点
对称，B 对；
对于C 选项，
，
所以直线
不是
图象的一条对称轴，C 错；
对于D 选项，当
时，
，故函数
在
上不单调，D 错.
故选：AB.
39．（多选）下面关于
叙述中正确的是（ ）
A．关于点
对称
B．关于直线
对称
C．在区间
上单调递增
D．函数
是奇函数
【答案】ACD
【详解】
，
对于AB：因为
，不为最值，
的图象关于点
对称，且
不为对称轴，故A 正确，B 错误；
对于C：当
时，
，且正弦函数在
内单调递增，
在区间
上单调递增，C 正确；
对于D：又
为奇函数，D 正确.
故选：ACD.
40．（多选）已知函数
，则
（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于
对称
C．最大值为
D．在区间
上单调递增
【答案】AB
【详解】函数
，
对于A，函数
的最小正周期为
，A 正确；
对于B，由
，得
图象关于
对称，B 正确；
对于C，函数
的最大值为2，C 错误；
对于D，当
时，
，则当
，即
时，
函数
取到最大值2，D 错误.
故选：AB
题型九、已知周期，奇偶性，对称性求参数
41．已知函数
的最小正周期为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2025
【答案】A
【详解】依题意得
，则
，
所以
．
故选：A．
42．已知函数
是偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
是偶函数，则
，
所以
，又因为
，故
，
故选：D.
43．已知函数
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】先确定函数定义域：由
得
，定义域
关于原点对称.
令
，则
，故
是奇函数.
因
为奇函数，故
需为偶函数.
偶函数满足
，即
， 利用正弦函数性质，
得
， 解得
.
由
，当
时，
取最小值
.
故选：D
44．已知函数
的图象关于点
对称，则
的值为 .
【答案】
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
.
故答案为：
.
45．若函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象关于
轴对称，则实数
可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】因为函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象关于
轴对称，
可知函数
关于直线
对称，
若
，则函数
关于直线
对称，符合题意；
若
，设
，
则函数
的对称轴
所对应的值（
）必为函数
的对称轴，
又因为函数
的对称轴为
轴，
则
，解得
；
综上所述：
或
.
结合选项可知：A 正确，BCD 错误.
故选：A.
题型十：利用函数图像求正弦（型）函数的解析式
46．（多选）已知函数
在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．
为
的最小正周期
B．
C．
D．
的对称轴为
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，由图象可知，函数
的最小正周期为
，A 对；
对于B 选项，由图可知
，
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，则
，解得
，
所以
，B 错；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，由
解得
，
所以
的对称轴为
，D 对.
故选：ACD.
47．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．直线
是
图象的一条对称轴
D．
图象的对称中心为
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，由图可知
，函数
的最小正周期为
，
所以
，所以
，
因为
，可得
，
所以
，则
，因为
，所以
，
所以
，A 对；
对于B 选项，
，B 对；
对于C 选项，因为
，
所以直线
不是
图象的一条对称轴，C 错；
对于D 选项，由
可得
，
所以
图象的对称中心为
，D 对.
故选：ABD.
48．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为函数
，
所以
，即得
，A 选项错误，B 选项正确；
又因为
，所以
，C 选项正确；
又因为函数过
，所以
，即得
又因为
，所以
，所以
，即
，D 选项错误；
故选：BC.
49．（多选）函数
的部分图象如图所示，则下列说法中正确的
是（ ）
A．
B．
的表达式可以写成
C．
的图象关于
对称
D．
在
上单调递减
【答案】BC
【详解】由图可知，函数
经过
，
则
，即
，
又
，所以
，故A 错误；
由图可知，函数
经过
，
则
，解得
，
因为
，所以
，故
，
，故B 正确；
令
，解得
，
当
时，
，
所以
的图象关于
对称，故C 正确；
当
时，
，
令
，解得
，
所以函数
在
上单调递减，
令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，故D 错误.
故选：BC.
50．已知函数
的部分图像如图所示，其中M，N 是直线
与曲线
的两个相邻交点.若
，则
，
.
【答案】 2
【详解】已知
，
是直线
与曲线
的两个相邻交点，且
.
设
则
，且
，
则
，则
，同理
，
因此
，解得
，
因为函数
的图象过点
，可得
，
所以
，
，则
，
，
由于
，则
，那么
，
将
代入
可得：
.
故答案为：2；
.
51．已知函数
的部分图象如图所示，其中
，
，则
．
【答案】
【详解】由图象可知：
，解得
，
所以
，解得
.
将
代入
得
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
．
故答案为：
．
题型十一：三角函数的图象变换
52．为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】C
【详解】因为
，
所以把函数
图象上的所有点向左平移
个单位长度即可得到函数
的图象．
故选：C.
53．将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．2
【答案】A
【详解】由题意可得
，
则
.
故选：A.
54．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到
的
图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
得
，即
.
故选：D.
55．若函数
的图象向右平移
个单位后为一个奇函数的图象，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】平移后得到函数
的图象，则
，
解得
，而
因此
最小可取
.
故选：D.
56．要得到函数
的图象，只需要将函数
的图象上所有的点（ ）
A．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），再向左平移
个单位
B．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），再向右平移
个单位
C．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），再向右平移
个单位
D．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），再向左平移
个单位
【答案】D
【详解】解：
，
所以只需将
的图象所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），再向左平移
个单位.
故选：D.
57．（多选）将函数
图象上每个点的横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函
数
的图象，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ACD
【详解】依题意可得
，
因为
，故A 正确；
，故B 错误；
由
，可知点
为对称中心，由
，可知在
处取最小值，故C，D 均正确.
故选：ACD
题型十二：与零点有关的问题
58．已知函数
，
且
，则
的所有零点之和为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，由
，得
，
函数
与
的图象都关于直线
对称，
且
与
的图象在
和
上各有2 个交点，如下图所示：
所以
在
和
上的所有零点之和为
.
故选：B
59．已知函数
在区间
上有4 个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【详解】∵
，令
，
，令
，如下图所示：
要使得函数
在
上有
个零点，则函数
在
上有
个不同的零点，显然
，
所以，
，解得
．
故选：C．
60．如图，
是函数
的3 个相邻的零点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
的零点即为
的解，
令
，则
为
的解，
也就是
与
的某相邻三个交点的横坐标，
由
得
，故
，
由正弦函数的性质可得
，
，故
.
又
，故
.
由
，得
，故
故选：C.
61．函数
的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，
，则方程
的
零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】由题，
，故
时，
，与
没有交点，
当
时，
，与
没有交点，
当
时，
，与
有一个交点，
当
时，
，与
有1 个交点，
当
时，
，与
没有交点，
故共有2 个交点，
故选：C.
62．已知函数
，则函数
在
上恰有1 个零点，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【详解】因
，则
，
若函数
在
上恰有1 个零点，则
故答案为：
题型十三：求参数w
63．已知
，若在区间
上存在两个不相等的实数a，b，满足
，则
的取值范围 .
【答案】
【详解】因为
，所以
，
又
在区间
上存在两个不相等的实数a，b，满足
，且
；
所以函数
在区间
上至少存在两个最大值点.
所以
，解得
.
故答案为：
.
64．已知函数
的图象经过点
，若
在区间
上具有单调性，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由条件
，因为
，则
，
又
在
上单调递增，于是
，
则
，解得
.
故选：A.
65．已知函数
在区间
上单调，
，且在区间
上恰有4 个零点，则
，
的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数
在区间
上单调，
且满足
，
，
所以
的一个对称中心为
，故
，
因为
，函数
在区间
上单调，
所以函数
在区间
上单调，
设函数的最小正周期为
，则
，即
，
因为在区间
上恰有4 个零点，
恰好为第一个零点，
所以
，即
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
故答案为：
；
66．已知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
67．已知函数
，若
，
，使得
，则
的取值范围
为 ．
【答案】
.
【详解】设
，
，
，
若
，
，使得
，
即
，
，使得
，
即
的值域是
值域的子集，
①若
，即
，
，
均大于
不符合题意；
②若
，即
时，
，
的值域均为
，符合题意；
③若
，即
，
的值域为
，
，
只需
，即
，解得
，
此时
，
④若
，即
，此时
的值域为
，
的值域为
，
，
，
，
，
，
由
在
上单调递增，
结合图象可知
，所以，此时满足题意；
⑤若
，即
，此时
的值域为
，满足题意；
⑥若
，即
，
的值域为
，
要使
的值域为
，则
，解得
，即
，
综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
.
68．已知函数
的图象在
上恰有四个对称中心，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，可得
，且
，
由
，而
时
，
时
，
又在
上恰有四个对称中心，则该区间内
取值为
，
所以
，可得
，则
.
故选：B
