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5.4 三角函数的图象和性质
1. 用“五点法”作三角函数的图象；2. 利用图象变换作三角函数的图象；3. 利用正、余弦函数的图象
解三角不等式；4. 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数；5. 求三角函数的周期；6. 三角函
数奇偶性的判断；7. 三角函数奇偶性与周期性的综合运用；8. 求三角函数的单调区间；9. 三角函数对
称轴、对称中心；10. 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题；11. 求定义域；12.三角函数
的图像和性质的综合应用.
一、单选题
π
1．（浙北四校2021届高三12月模拟）若函数f (x)=cos ( +2x ) ，x∈R，则f (x)是（ ）
2
A． 最小正周期为π为奇函数 B． 最小正周期为π为偶函数
π π
C． 最小正周期为 为奇函数 D． 最小正周期为 为偶函数
2 2
【答案】A
【解析】
π
∵cos ( +2x ) =-sin2x，
2
∴f（x）=-sin2x，
2π
可得f（x）是奇函数，最小正周期T= =π
2
故选：A．
2．（2021·永州市第四中学高一月考）函数 ， 的大致图像是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
.结合正弦函数的图像可知B正确.
故选B.
3．（2021·全国高三课时练习（理））已知函数，则 在 上的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
由下图可得 在 上的零点的个数为 ，故选C.
4．（2021·河南濮阳·高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对于A,函数关于 对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；
对于C, ，则函数 是偶函数，满足条件，故C正确；
对于D,由 得 得 ，函数的定义为 ，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，
故D错误.
故选：C.
5．（2021·河南信阳·高一期末）估计 的大小属于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
因为 在 上递减，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
故选：B
6．（2021·辽宁大连·高一期末）函数 的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
函数
令 ，
则 ，
当 时， ，
故选B.
7．（2021·海南枫叶国际学校高一期中）函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递
减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ，令，解得 ＜ ＜ ， ，故单调减区间为（ ，
）， ，故选D.
8．（2021·河南林州一中高一月考）函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
故 则 是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
9．（2021·山东聊城·高一期末）用五点法作函数 的图象时，
得到如下表格：
0
0 4 0 -4 0则 ， ， 的值分别为（ ）
A．4，2， B．4， ， C．4，2， D．4， ，
【答案】A
【解析】
由表中的最大值为4，最小值为 ，可得 ，
由 ，则 ， ，
，图象过 ， ，
， ， ，解得 ，
， 当 时， ．
故选： ．
10．（2021·镇原中学高一期末）若点 是函数 的图
象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的值域为
C． 的初相 D． 在 上单调递增
【答案】D
【解析】
由题意得 ，且函数的最小正周期为 ，故 .代入 ，得 ，
又 ，所以 .
所以 .
故函数 的值域为 ，初相为 .故A，B，C不正确，
当 时， ，而 在 上单调递增，所以 在
上单调递增，故 正确.
故选：D.
二、多选题
11．（2021·陕西渭滨·高一期末）函数 的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
因为 ； ；
；当 时， .
所以 、 是函数 的对称中心.
故选：AD
12.（2021·浙江高三专题练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）．A． B． ，
C． ， D．
【答案】ACD
【解析】
对A，由 ，定义域为 ，
且 ，
故函数 为奇函数，故A正确
对B，由函数的定义域为 ，故该函数为非奇非偶函数，故B错
对C， ，定义域关于原点对称，
且 ，故C正确
对D， 的定义域为 ，
且 ，
故该函数为奇函数，故D正确
故选：ACD
13．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）下图是函数 （其中 ， ，
）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A．函数 的图象关于顶点对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．方程 在区间 上的所有实根之和为
【答案】ABD
【解析】
由已知， ， ，因此 ，
∴ ，
所以 ，过点 ，
因此 ， ，又 ，
所以 ，∴ ，
对A， 图象关于原点对称，故A正确；
对B，当 时， ，故B正确；
对C，由 ，有 ， 故C不正确；对D，当 时， ，所以 与函数 有4个交点令横坐标为 ，
， ， ， ，故D正确.
故选：ABD.
14．（2021·江苏海安高级中学高二期末）关于函数 ，如下结论中正确的
是（ ）．
A．函数 的周期是
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上递增
【答案】ACD
【解析】
A．∵ ，
∴ ，
∴ 是周期为 的周期函数，A正确，
B．当 时， ，此时 ，，∴
，又 的周期是 ，∴ 时， 值域是 ，B错；C．∵ ，
∴函数 的图象关于直线 对称，C正确；
D．由B知 时， ，当 时， ， 单调递增，而
是周期为 的周期函数，因此 在 上的图象可以看作是在 上的图象向右平移
单位得到的，因此仍然递增．D正确．
故选：ACD．
三、填空题
15．（2021·山东高一期末）函数 的定义域为_____．
【答案】
【解析】
解不等式 ，可得 ，
因此，函数 的定义域为 .
故答案为： .
16．（2021·河南林州一中高一月考）函数 的值域________．
【答案】
【解析】，
，
，
故 ，
故答案为：
17．（2021·全国高考题）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
18．（2021·上海高一课时练习）函数 ，当 _________时有最小值，最小值是
___________.
【答案】
【解析】
当 时，即 ，
可得 ，此时 取得最小值；
此时，最小值为 ；
故答案为： ； .
19．（2021·浙江高一课时练习）设函数 ，当 时， 的最大值是 ，最小值是 ，则 _____， _____.
【答案】
【解析】
根据题意，得 ，解得 .
故答案为：
20．（2021·上海高一课时练习）函数 的最大值是________，最小值是________.
【答案】
【解析】
，
，
，
函数 的最大值是 ；最小值是 .
故答案为： ; .
21．（2021·上海高一课时练习）若函数 的最大值为0，最小值为 ，
则实数 _________， ________.
【答案】【解析】
，
令 ，则 ，
函数的对称轴为 ，
当 ，即 时，
当 ，即 时， 且 ，
此时方程组无解；
故答案为： .
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）要使函数有意义，必须使 .
由正弦的定义知， 就是角 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.
∴角 的终边应在 轴或其上方区域，
∴ .∴函数 的定义域为 .
（2）要使函数有意义，必须使 有意义，且 .
∴
∴ .
∴函数 的定义域为 .
23.（2021·涡阳县第九中学高一月考）已知函数 最小正周期为
，图象过点 .
（1）求函数 解析式
（2）求函数 的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）由已知得 ，解得 .
将点 代入解析式， ，可知 ，
由 可知 ，于是 .（2）令
解得 ，
于是函数 的单调递增区间为 .
24．（2021·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的
闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由 的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数 图象的对称轴方程.
【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) .
【解析】
（1）先列表,后描点并画图
0x
y 0 1 0 -1 0
；
（2）把 的图象上所有的点向左平移 个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变）,得到 的图象，即 的图象；
（3）由 ，
所以函数的对称轴方程是 .
25．（2021·全国高一课时练习）求函数 的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.
【答案】定义域为 ，值域为R，非奇非偶函数，递增区间为
【解析】
的定义域为 ，
单调增区间为 .又 看成 的复合函数，
由 得 ，
所以所求函数的定义域为 ，值域为 ；
函数 的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；
令 ，解得 ，
即函数 的单调递增区间为 .
26．（2021·陕西省汉中中学（理））已知函数 的周期是 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的最值及其对应的 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， ；当 时，
.
【解析】
（1）解：∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ ,∴ ,∵ , ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ 的单调递增区间为
（2）解：∵ ,∴ ,∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
当 时, ,
当 ,即 时,
27．（2021·镇原中学高一期末）已知函数 ，在一周期内，
当 时， 取得最大值3，当 时， 取得最小值 ，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数 的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当 时，求函数 的值域.
【答案】（1） ；（2）增区间为 ，对称轴方程为
， ，对称中心为 （ ）；（3） .
【解析】
(1)由题设知， ，
周期 ， ，由 得 .
所以 .
又因为 时， 取得最大值3，
即 ， ，解得 ，又 ，
所以 ，所以 .
(2)由 ，得 .
所以函数 的单调递增区间为 .
由 ， ，得 ， .
对称轴方程为 ， ..由 ，得 （ ）.
所以，该函数的对称中心为 （ ）.
(3)因为 ，所以 ，则 ，
所以 .所以值域为： .
所以函数 的值域为 .
