文档文本内容
专题03 函数的奇偶性
题型一：函数奇偶性的定义与判断
题型二：由奇偶性求解析式
题型三：由奇偶性求参数
题型四：由奇偶性求值
题型五：由奇偶性解不等式
题型六：抽象函数的奇偶性
题型七：函数奇偶性的应用
题型八：奇偶函数对称性的应用
题型一：函数奇偶性的定义与判断
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数
【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数
的奇偶性.
【详解】（1）
的定义域为
.
因为
，所以
为奇函数.
（2）
的定义域为
，因为
，所以
为偶函数.
（3）
的定义域为
，因为
，且
，
所以
为非奇非偶函数.
2．判断下列各函数是否具有奇偶性．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
，
；
(5)
；
(6)
．
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)非奇非偶函数
(6)非奇非偶函数
【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断.
【详解】（1）定义域：
∵对于任意
且
∴
为奇函数.
（2）定义域：
∵对于任意
且
∴
为偶函数.
（3）定义域：
，即
，∴
为非奇非偶函数.
（4）定义域：
∴
为非奇非偶函数.
（5）定义域：
，解得
，∴
为非奇非偶函数.
（6）定义域：
，即
，∴
为非奇非偶函数.
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
(3)
；
(4)
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)非奇非偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
【分析】先求函数的定义域，然后由函数的奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）函数的定义域为
，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．
（2）函数的定义域为
，但是，由于
，
，即
，且
，
所以此函数为非奇非偶函数．
（3）函数的定义域为
，又
，所以此函数为奇函数．
（4）函数
的定义域为
，关于原点对称．
∵当
时，
，则
；
当
时，
，则
．
综上可知：对于定义域内的任意x，总有
成立，
∴函数
为奇函数．
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
(3)非奇非偶函数
(4)奇函数．
【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数.
【详解】（1）函数
的定义域为R，关于原点对称，
又
，
∴
为偶函数．
（2）函数
的定义域为
，关于原点对称，且
，
又
，
，
∴
既是奇函数又是偶函数．
（3）函数
的定义域为
，不关于原点对称，
∴
是非奇非偶函数．
（4）函数
的定义域为
，
∵
，都有
，
且
，
∴
是奇函数．
题型二：由奇偶性求解析式
5．若函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
【答案】
【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可.
【详解】当
时，则
，得
，
因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
故当
时，
.
故答案为:
6．已知函数
是奇函数，当
时，
，则
．
【答案】
【分析】由奇函数定义计算即可.
【详解】由函数
是
上的奇函数，得
，
而当
时，
，所以有
．
综上所述，
故答案为：
7．已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则当
时，
.
【答案】
【分析】先根据奇函数性质求出
，然后结合奇函数定义可求
时的函数解析式．
【详解】解：
是定义域为
的奇函数，
当
时，
，
,
即
时，
，
设
，则
，
，
是定义域为
的奇函数，
.
故答案为：
.
8．已知函数
对一切实数
都满足
，且当
时，
，则
．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式．
【详解】函数
对一切实数
都满足
，
所以
，
设
，则
，
，
又因为
，即
，
所以
所以
.
故答案为：
．
9．设
是定义在
上的奇函数，且
时，
，则
；当
时，
．
【答案】 2
【分析】根据函数的奇偶性求出
以及当
时
的解析式即可．
【详解】
是定义在
上的奇函数，则
，
则
，
令
，则
，
故
，
故当
时，
，又
，故
时也成立，
所以当
时，
.
故答案为：2；
．
10．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，那么当
时，
.
【答案】
【分析】设
，则
，代入解析式得
；再由
是定义在
上的奇函数
，即可求得答案.
【详解】设
，则：
，
所以：
，
又因为：
是定义在
上的奇函数，
所以：
，
所以：
.
故答案为：
.
题型三：由奇偶性求参数
11．已知实数a，b 满足方程组
则
．
【答案】2
【分析】构造函数
，由其单调性及奇偶性即可求解.
【详解】设
，
易知函数
在R 上单调递增，且都是奇函数，
所以
为奇函数且在R 上单调递增，
由题意可知：
，
因此
，
．
故答案为：2
12．已知函数
的图象关于点
对称，则
．
【答案】
【分析】由已知可得
为奇函数，结合奇函数性质列方程求
，由此可得结论.
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
对称，
所以函数
为奇函数，故
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
13．已知函数
是定义在
上的奇函数，则常数
的值分别为 ．
【答案】0，0
【分析】由
求出
，利用奇函数的定义即可求出
的值.
【详解】由题意知
，故
．
由
是奇函数知
，
即
，
∴
，∴
.
故答案为：0，0.
14．已知函数
满足
为奇函数，则
，
.
【答案】
【分析】设
，由奇函数的定义可得出
，化简可得出
，即可得出关于实数
、
的方程组，解之即可.
【详解】设函数
.
因为
为奇函数，
，
所以由
，可得
，
所以
，
所以
，
整理得
，
所以
，解得
.
故答案为：
；
.
15．设
是定义在
上的偶函数，则
的值是 ；
．
【答案】
【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，
所以
，即
，得到
，
又
，得到
，所以
，
得到
，
，
故答案为：
．
题型四：由奇偶性求值
16．已知函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值.
【详解】依题意，
.
故答案为：
17．已知函数
的定义域为
，
为奇函数，当
时，
，则
.
【答案】
【分析】由题意可得
，进而可得
，计算可求
.
【详解】由题意可得
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
.
故答案为：
.
18．已知定义在
上的偶函数
，当
时，
，则
.
【答案】2
【分析】根据偶函数的性质，
求解即可.
【详解】因为
定义在
上的偶函数，所以
，所以
.
故答案为：2.
19．已知函数
且
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】构造函数
，根据
的奇偶性计算出
的值.
【详解】令
，定义域为
且关于原点对称，
因为
，所以
为奇函数，
所以
，所以
，
代入
，可得
，
故答案为：
.
20．已知
，且
，则
．
【答案】
【分析】设
，证明函数
为奇函数，结合奇函数性质可得
，由此可求
结论.
【详解】设
，又
，
所以
，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
因为
，
所以函数
为奇函数，故
，
所以
，又
，
所以
.
故答案为：
.
题型五：由奇偶性解不等式
21．已知函数
是定义在
上的偶函数，若函数
在
上单调递增，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】不等式变形为
，即
，根据偶函数特征结合单调性
求解即可
【详解】
，
不等式可变形为
，即
，
函数
是定义在
上的偶函数，
，
所以
为偶函数，若函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，
故答案为：
．
22．已知定义在R 上的偶函数
在
上是增函数，不等式
对任意
恒成
立，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在
上
恒成立，即可得.
【详解】由偶函数的对称性，且
在
上是增函数，则
在
上单调递减，
所以在
上
恒成立，可得
，则
，
而
，故
.
故答案为：
23．已知函数
是偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．（用区间表
示）
【答案】
【分析】先利用一元二次不等式解法求得当
时，不等式
的解集，再利用偶函数性质求得当
时不等式
的解集，进而求得不等式
的解集.
【详解】当
时，
，
则不等式
可化为
或
，
解之得
或
，即
，
又函数
是偶函数，则当
时，
由不等式
可得，
.
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
24．已知定义在R 上的奇函数
在
上单调递增，且
，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】由奇偶性单调性得到
，求解即可.
【详解】由题意
，
等价于
，
又奇函数
在
上单调递增，
可知
在R 单调递增，
所以可得：
，
解得：
，
所以实数
的取值范围是
，
故答案为：
25．已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】分析函数
的单调性及零点，可得出
或
，数形结合可得出原不等
式的解集.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，
则函数
在
上也为减函数，且
，
作出函数
的草图如下图所示：
由
可知，
当
时，则
，则
或
，
解得
或
，此时，
；
当
时，则
，则
或
，
解得
或
，此时
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
题型六：抽象函数的奇偶性
26．定义在
上的函数
是单调函数，满足
，且
，
.
(1)求
，
；
(2)判断
的奇偶性，并证明；
【答案】(1)
，
；
(2)奇函数，证明见解析；
【分析】（1）利用赋值法即求；
（2）由题可得
，即证；
【详解】（1）取
，得
，即
，
所以
，因为
，
又
，得
，可得
；
（2）因为函数
是定义在
上的函数，定义域关于原点对称，
取
，得
，移项得
，
所以函数
是奇函数.
27．已知定义在
上的函数
，对于
，恒有
.
(1)求证：
是奇函数；
(2)若
是增函数，解关于x 的不等式
.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用赋值法求出
，再令
结合奇函数的定义即可判断；
（2）利用单调性，将不等式转化为
，然后对
进行分类讨论，分别利用一元二次不等式的解
法求解即可．
【详解】（1）取
，则
，解得
，
取
，则
，
所以
，
故
为奇函数；
（2）不等式
，即
，
又
为
上的单调递增函数，
则
，即
，
当
时，不等式的解集为
；
当
时，解得
，不等式的解集为
．
当
时，解得
，不等式的解集为
．
28．已知函数
的定义域为R，且对任意
，都有
，且当
时，
恒成立．
(1)判定并证明函数
在R 上的单调性；
(2)讨论函数
的奇偶性；
(3)若
，求x 的取值范围．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)奇函数，理由见解析
(3)
或
【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性；
（2）赋值法得到
，进而赋值得到
，得到答案；
（3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案.
【详解】（1）
在R 上单调递减，理由如下：
任取
，且
，
因为
，所以
，
令
，
则
，
因为当
时，
恒成立，
又
，所以
，
所以
，
，
所以
在R 上单调递减；
（2）令
，则
，解得
，
令
，因为
，
故
，所以
，
所以
是奇函数；
（3）因为
，
所以
，
因为
是奇函数，所以
，
因为
是R 上的减函数，所以
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
或
.
29．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)证明
为奇函数；
(3)猜想函数
的单调性并求
的解集.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）结合奇函数的定义证明即可；
（3）利用函数单调性的定义证明单调性，即可由单调性求解；
【详解】（1）令
，则有
，解得
．
（2）证明：令
，则有
，
所以
，故函数
为奇函数；
（3）
是R 上的减函数．证明如下：
设
，所以
，
由
，
因为当
时，
，所以
，
即
，所以
是R 上的减函数；
，则
，故
，
故不等式的解为
30．定义在
上的函数
满足
．
(1)求
的值；
(2)判断函数
的奇偶性并证明.
【答案】(1)
；
(2)
是偶函数；证明见解析.
【分析】（1）分别令
和
，
即可得结果；
（2）令
结合偶函数的定义即可得结果.
【详解】（1）令
，则
．
再令
，
可得
，
∴
．
（2）
是偶函数；
证明：令
可得
，
∴
是偶函数．
题型七：函数奇偶性的应用
31．已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于
的不等式，求出
的取值范围.
【详解】因为奇函数
在
上有定义，所以
，
所以
所以
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故选：D.
32．（多选）已知函数
对任意的
都有
，函数
的图象关于直线
对
称，且对任意的
，
，都有
．则下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
D．
的图象关于点
对称
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项逐一进行分析，即可得出正确答案.
【详解】选项A，因为函数
对任意的
都有
，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数．
因为函数
的图象关于直线
对称，所以
的图象关于直线
对称，所以
是偶函
数，所以A 正确．
选项B，由
且
是以4 为周期的偶函数，以
替换
，
得
，则
，所以
，
所以
，所以B 正确．
选项C，因为对任意的
，都有
，
所以
在区间
上单调递增，又因为
，
且
，所以
，即
，所以C 错误．
选项D，由选项B 知
，所以
的图象关于点
对称，所以D 正确．
故选：ABD．
33．（多选）定义在
上的奇函数
满足
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
是
图象的一个对称中心
D．
为偶函数
【答案】BCD
【分析】由奇函数性质知
，根据递推式并代入
判断A；且
，应用周期性求函
数值判断B；根据
及对称中心
判断C；奇偶性定义判断D.
【详解】A：
是定义在
上的奇函数，所以
，
又
满足
，令
，所以
，错；
B：由
，可知
，
所以
，
所以
，对；
C：因为
，所以
是
图象的对称轴，
又
为
图象的一个对称中心，所以
是
图象的一个对称中心，对；
D：因为
，所以
，即
为偶函数，对.
故选：BCD
34．设函数
，对于任意正数
都有
，已知函数
的图象关于点
中心对称，若
，则
的解集为 ．
【答案】
【分析】变形后，令
，则
在
上单调递增，又
为奇函数，则
为偶函数，故
在
上单调递减．又
，则
，分
和
两
种情况，根据函数单调性，得到不等式的解集．
【详解】因为
，所以
，
令
，则
在
上单调递增．
函数
的图象关于点
中心对称，则
的图象关于原点对称，
即
为奇函数，则
为偶函数，故
在
上单调递减．
，则
．
当
时，
，即
，即
，则
；
当
时，
，即
，即
，则
．
综上所述，
．
故答案为：
35．设
，
为实数，且满足：
，则
．
【答案】2
【分析】根据题意，设
，易知
为奇函数且在
上为增函数，再根据函数奇偶性及单
调性求解方程即可.
【详解】构造函数
，所以
为奇函数，且在
上为单调递增函数．
又
，即
，
故
，
所以
，即
．
故答案为：2.
题型八：奇偶函数对称性的应用
36．已知函数
的定义域为
，
，
，将
的图象绕原点旋转
后所
得图象与原图象重合，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可知
的奇函数，推导出
是周期函数，
是
的一个周期，进而可知
也是周期函数，
是
的一个周期，求出
、
、
、
的值，结合
周期性可求得
的值.
【详解】根据题意，
图象上的任意一点
绕原点旋转
后得到的点
仍在
的
图象上，
联立
消去
得
，所以
是奇函数，
又因为函数
的定义域为
，故
，
又
，在该等式中，用
替代
可得
，
故
，因此
，所以
是周期函数，
是
的一个周期，
所以
，
所以
也是周期函数，
是
的一个周期．
又由
可得
，
，
于是
，
，
，
，
因为
，故
.
故选：B．
37．已知函数
定义域是R，且
是偶函数，对任意
，
，且
，都有
成立，且
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设可得函数
在
上单调递增，函数
关于直线
对称，进而作出函数
的大致图象，结合图象求解即可.
【详解】因为对任意
，
，且
，都有
成立，
所以函数
在
上单调递增，
又
是偶函数，则函数
关于直线
对称，
则函数
在
上单调递减，结合
，
画出函数
的大致图象：
由图象可知，
时，
；
时，
；
时，
，
所以
的解集是
.
故选：A.
38．（多选题）已知函数
是定义在
上的增函数，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性及单调性结合平移得出函数性质判断各个选项即可.
【详解】因为
是
上的偶函数，又因为函数
是定义在
上的增函数，则
是
上的增函数，
所以
图象是关于
对称的，且在
单调递增，
故选:BC．
39．已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
，
且
时，都有
成立，则
不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据已知 结合函数单调性定义得出单调性，再结合奇偶性及对称性列不等式计算求解.
【详解】当
，
且
时，都有
成立，则
在R 上单调递增．
又
是定义在R 上的奇函数，所以
的图象关于点
对称．
由不等式
，可得
，解得
，
故不等式
的解集为
．
故答案为：
．
