函数性质的综合应用（培优课）
2.4
2.4 函数性质的综合应用（培优课）................................................1
一、分类题型................................................................1
题型一 函数的单调性与奇偶性..............................................2
题型二 函数的奇偶性与周期性..............................................9
题型三 函数的奇偶性与对称性.............................................14
题型四 函数的周期性与对称性.............................................22一、分类题型
题型一 函数的单调性与奇偶性
【例题精析1】 （2023·江西宜春·统考一模）已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当
时， ，则 在区间 上所有零点之和为__________.
【解答】由 是定义在R上的奇函数，所以 ，又 ，
所以 ，则 的周期是2，
且 得 是其中一条对称轴，
又 时 ，于是 图象如图所示，
又函数 零点，即为 与 的交点的横坐标，
由图知：交点关于 对称，每个周期都有2个交点，所以 、 各有 个周期，故各有 个交点，它们两两关于 对称，
所以零点之和为 .
故答案为：
【例题精析2】 （2023·上海松江·统考二模）已知函数 为 上的奇函数；且 ，当
时， ，则 ______．
【解答】因为 ， 为 上的奇函数，
所以 ，所以 为周期为2的周期函数，
因为当 时, ,
则 ，
令 ,得, ,又因为 为奇函数，则 ，
所以 ，则 ，则 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【例题精析3】 （2023·云南·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数 满足 ，当
时， ， ___．
【解答】因为 是偶函数，所以 ，
则 ，所以函数 的周期为 ，所以 .
故答案为：
【例题精析4】 （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足
，则 ______．
【解答】由 得 ，所以 的最小正周期为2，令 ，则
，故 ．
故答案为：0
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）设 是定义域为R的奇函数，且 ．若 ，
则 __________．
【解答】因为 是定义域为R的奇函数，
则 ，
所以 ，
所以 是周期为4的函数，则 .
故答案为：3.
【例题精析6】 （2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 _____________．
【解答】因为 为奇函数，则 ，
令 ，则 ，故 ，则 ，
令 ，则 ，又因为 为偶函数，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则
因为 ，即 ，所以 ，
联立 ，解得 ，所以当 时， .
又因为 ，即 ，
则 ，所以函数 是以4为周期的函数，
故 .故答案为： .
【例题精析7】 （2023·山东泰安·统考一模）设 是定义域为R的偶函数，且 .若
，则 的值是___________.
【解答】因为 是定义域为 的偶函数，所以 ；
又 ，所以 ，
所以 是周期为2的函数，则 .故答案为： .
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号
“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单
调区间上，进而利用其单调性比较大小．【对点精练1】 已知定义在R上的函数 满足 ， ，且，
则 （ ）
A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046
【解答】因为 ，所以 为奇函数，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，
因为 ，则 ，
故选：B.
【对点精练2】 （2023·河南郑州·统考一模）定义在R上的函数 满足，①对于互不相等的任意 ，
都有 ，且当 时， ，② 对任意 恒成立，
③ 的图象关于直线 对称，则 ､ ､ 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】因为 的图象关于直线 对称，则函数 关于 轴对称，
所以函数 为 上的偶函数，又因为 对任意 恒成立，则函数 的周期为4，
又因为对于互不相等的任意 ， 都有 ，
且当 时， ，所以对任意 ，则 ，
故有 ，所以函数 在 上单调递增，
则有 ， ， ，
因为函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，
故选：B.
【对点精练3】 已知定义在R上的函数 满足 ，且函数 是偶函数，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】因为函数 是偶函数，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的周期为4，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C.
【对点精练4】 （2023·安徽宣城·统考二模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
．若 为奇函数， 为偶函数，且 ， ，则（ ）
A．670 B．672 C．674 D．676
【解答】∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，即： ，
又∵ ，
∴ ，①
又∵ 为偶函数，
∴ ，②
∴将②中 换成 得： ，③
∴将③中 换成 得： ，④
由①④得： ，
∴ 的一个周期为3，
∴ ，
将 代入③得： ，
∴
又∵ ，
∴ .
故选：D.
【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）定义在R上的不恒为零的偶函数 满足 ，
且 ．则 （ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【解答】当 ， 时， 可化为 ，令 ，则 ， ，
所以 ，则 ，，
，则 ，
，则 ，
，则 ，
因为 ，
当 时, ,即
所以 ，则 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
【对点精练6】 （2021·陕西渭南·统考三模）已知符号函数 偶函数 满足
,当 时, ,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】根据题意得函数 是周期为2的函数,作出函数 的大致图象,如下图所示.数形结合易知 ,则 或 ,故 错误;
,故 错误;
,则 ,故 正确;
,所以 ,
所以 ,故 错误.故选: .
【对点精练7】 （2023·浙江杭州·统考二模）已知函数 （ ）是奇函数， 且
， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4C． 是偶函数 D．
【解答】因为函数 是奇函数， ，
所以 ，
所以 ，即： ，故 的周期为4，
所以 ，故 的一个周期为4，故B项正确；
，故A项错误；
因为函数 是奇函数，所以 ，
所以 ，即： ，所以 为偶函数，故C项正确；因为 ，所以 ，
令 ，可得 ，解得： ，故D项错误.故选：BC.
【对点精练8】 （2023·河南郑州·统考二模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，
，若 ，则不等式 的解集为______.
【解答】由 为偶函数知： ，又 ，
所以 ，即 ，故 为周期为4的偶函数，
所以 ，由 可化为 ，
令 ，则 ，故 在R上递减，又即 ，
所以 ，可得解集为 .故答案为：
题型二 函数的奇偶性与周期性
【例题精析1】 （2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 ，则使不等式
成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由题意可知： 的定义域为 或 ，关于原点对称，由 得 ，故 为偶函数，
当 时， ，由于函数 ， 均为 单调递增函数，
在 单调递增，因此 为 上的单调递增函数，所以不等式 等价于
，解得 ,
故选：C
【例题精析2】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 且 为偶函数，则
（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【解答】因为函数 且 为偶函数，所以 ，
即 ，则 ，所以 .
当 时， 在 上是增函数，
且 ，所以 ；
当 1时， 在 上是减函数，且 ，
所以 .
故选：A.
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解答】易知 是奇函数且单调递增，
故原不等式等价于
即
所以 ，
所以 在任意的 上恒成立，故 .
故选：D
【例题精析4】 （2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当
时， ，则当 时， ___________；若对 都有
，则实数 的取值范围为___________.
【解答】因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，解得 ；
当 时， ， ，
因为 为奇函数，所以 ，所以 ；
当 时， 为增函数，所以 时， 为增函数；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称；
令 ，得 ，根据对称性可知 时， 可得 .
因为 ，所以 ，即 的周期为4，
所以 的解集为 .设 ，因为 ，所以 ， ；
其图象的对称轴为 ，且开口向下；
当 时， 在 上单调递增， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减， ，无解；
综上可得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： ；
【点睛】易错点点睛：本题易错点有三个方面：一是忽略奇函数的特点，没有求出 的值；二是对二次函
数区间最值求解时讨论分类不全面；三是不讨论直接利用 得出错误结论.
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数
值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【对点精练1】 （2023·山东聊城·统考模拟预测）已知 是 上的偶函数，且当 时，
．若 ， 则（ ）
A． B．
C． D．【解答】由 是 上的偶函数，得 ，
即 ，所以 的图象关于直线 对称．
当 时， ，由 ，仅在 时取等号，得 在区
间 上为减函数，则在区间 上为增函数，
根据 图象的对称性，由 得 ，
则C正确、D错误．当 异号时，则 或 ，即 或 ，
即选项A，B的结果不能确定，故选：C．
【对点精练2】 （2023·广东广州·统考二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】因为 为偶函数，则 ，等式两边求导可得 ，①
因为函数 为偶函数，则 ，②
联立①②可得 ，
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，即函数 在 上为增函数，
故当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
所以， ，整理可得 ，解得 .故选：B.【对点精练3】 （2023·广西玉林·统考三模）函数 对任意x， 总有 ，当
时， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
【解答】解：取 ， ，则 ，解得 ， ，
则 ．即 ，函数 是奇函数，所以选项A错误；
令 ， ，且 ，则 ，因为当 时， ，所以 ．
则 ．即 ，
函数 是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数 是R上的增函数，所以函数 在 上的最小值为 ，
， ， ．
故 ， 在 的最小值为-2，所以选项C正确；
，即 ，
因为函数 是R上的增函数，所以 ，所以 ，
所以实数x的取值范围为 ，所以选项D不正确．
故选：C．
【对点精练4】 （2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．【解答】对于A，函数 为奇函数，但在定义域 上函数不单调，故A不符合；
对于B， 的定义域为 ， ，则 为偶函数，故B不符合；
对于C， 的定义域为 ， ，则 为奇函数，又函数
在 上均为增函数，故 在 上为增函数，故C不符合；
对于D， 的定义域为 ， ，则 为奇函数，
又函数 在 上为减函数， 在 上为增函数，故 在 上为减函数，故D符合.
故选：D.
题型三 函数的奇偶性与对称性
【例题精析1】 （2023·浙江宁波·统考二模）已知函数 与 及其导函数 与 的定义域均为 ，
是偶函数， 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】定理1：若函数 连续且可导，则 图象关于直线 对称 导函数 图象关于点
对称．
定理2：若函数 连续且可导，则 图象关于点 对称 导函数 图象关于直线 对
称．以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数 图象关于直线 对称，则 ，
则 ，所以导函数 图象关于点 对称．
若导函数 图象关于点 对称，则 ，
令 ，则 ，则 (c为常数)，
又 ，所以 ，
则 ，所以 图象关于直线 对称．
若函数 图象关于点 对称，则 ，
则 ，所以 图象关于直线 对称．
若导函数 图象关于直线 对称，则 ，
令 ，则 ，则 (c为常数)，
又 ，所以 ，
则 ，所以 图象关于点 对称．
故下面可以直接引用以上定理．
由 是偶函数， 的图象关于点 对称，则有 ， ，
由定理1，则 图象关于点 对称，所以 ，
和定理2，则 的图象关于 ，所以 ，
对于A，令 ，则 ，所以 ，故A正确；对于B，令 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C，令 ，则 ，所以 ，故C正确；
对于D，令 ，则 ，所以 ，故D错误．
故选：ABC．
【例题精析2】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的零
点分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为函数 与 的图象关于直线 对称， 图象也关于直线 对称，
设 与 图象的交点为A，
与 图象的交点为 ，
则 与 关于直线 对称，则 ， ．
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
因为 的图象与直线 的交点为 ，
所以 ， ， ，则 ．
故选：ABD.
【例题精析3】 （2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的奇函数，当 时，
，若函数 是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于 对称B．
C．
D． 有100个零点
【解答】因为函数 是偶函数，则 ，即 ，所以函数 关于
直线 对称，故选项 正确；
又函数 为 上的奇函数，所以 ，则 ，即函数 是周期为4的奇
函数，由 ，即 .
所以 ，故选项 正确；
， ，
所以 ，故选项 错误；
综上： ，作出 与 的函数部分图象如下图所示：
当 时，函数 过点 ，
故 时，函数 与 无交点；
由图可知：当 时，函数 与 有一个交点；
当 时，函数 的每个周期内与 有两个交点，共 个交点，而 且
，
即 时，函数 与 无交点；当 时， 过点 ，
故当 时，函数 与 无交点；
由图可知：当 时，函数 与 有3个交点；
当 时，函数 的每个周期内与 有两个交点，共 个交点，而
且 ，
即 时，函数 与 无交点；
综上，函数 共有 个零点，故选项 正确，
故选： .
【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解
题关键.
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的最大
值与最小值分别为 和 ，则函数 的图象的对称中心是______.
【解答】
，
即 ，所以 ，令 ， ，
则 为 上奇函数，
在 上的最大值为最小值的和为0，
∴ ， ，
是奇函数，图象的对称中心是 ，
向左平移 个单位得到 ，对称中心为 ，
再横坐标缩小为原来的一半得到 ，对称中心为 ，
再向下平移 个单位得到 ，对称中心为 ，
所以 的对称中心是 .
故答案为：
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【对点精练1】 （2023·西藏拉萨·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点
成中心对称.当 时， ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．【解答】因为将 的图象向右平移1个单位长度后
得到函数 的图象且 的图象关于点 成中心对称，
所以 的图象关于原点成中心对称，则 在 上是奇函数，
所以 .故选：C.
【对点精练2】 （2023·陕西商洛·统考二模）古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”
“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对
称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个
非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么
称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有（ ）
①函数 可以是某个正方形的“优美函数”；
②函数 只能是边长不超过 的正方形的“优美函数”；
③函数 可以是无数个正方形的“优美函数”；
④若函数 是“优美函数”，则 的图象一定是中心对称图形．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解答】对于①， 满足 ，故为奇函数，则 图象原
点对称，且连续， 所以 可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确．对于②，
令 ，得 ，
所以 图象的对称中心为 ，故以 为中心的正方形
都能被函数 的图象平分，
即 可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误．对于③，令 ， ,
则 ，故 为奇函数．
又因为 的图象是由 的图象向下平移一个单位长度得到的，
所以 图象的对称中心为 ，故以 为中心的正方形都能被 的图象
平分，故③正确．
对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数 是“优美函数”，
但其图象不是中心对称图形，
可知④错误，故选：B
【对点精练3】 （2023·浙江嘉兴·统考二模）设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若
，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】A：
令 ，得 ，则函数 图象关于点 对称.
若 ，则函数 图象关于点 对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知 ，等式两边同时求导，得 ，即 ①，
又 ， 为偶函数，所以 ②，
由①②得 ，所以函数 的周期为2.
所以 ，即 ，故B正确；
C：由选项B的分析知 ，则函数 图象关于直线 对称.
令 ，若 ，
则函数 图象关于直线 对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数 的周期为2，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：C.
【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 是奇函数，函数 的图象与
的图象有4个公共点 ，且 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】由函数 是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 的图
象，所以 的图象关于点 对称，由 ，可得 的图象是由奇函数 的图
象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以 的图象关于点 对称，所以 与 都
关于点 对称，所以 ，所以.故选：D.
【对点精练5】 （2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均R，若
为偶函数，且满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【解答】由 为偶函数，则 ，即 关于原点对称，为奇函数，
由 ，则 ，故 关于 对称，所以 ，则有
.故选：C
题型四 函数的周期性与对称性
【例题精析1】 （2023·河北邯郸·统考二模）已知 是定义在 上的函数， ，且满足
为奇函数，当 时， ，下列结论正确的是（ ）
A． B． 的周期为2
C． 的图象关于点 中心对称 D．
【解答】因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，
所以 ，A正确；因为当 时， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故 ，
所以2不是 的周期，
故B错误；
因为 为奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，
所以 的图象关于点 中心对称，C正确；
由 ， ，
可得 ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为 ，
所以 ，
又当 时， ，
所以 ，D正确；
故选：ACD.
【例题精析2】 （2023·湖南·校联考二模）已知函数 满足：① 为偶函数；②， ． 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 关于 对称 B． 的一个周期为
C． 不关于 对称 D． 关于 对称
【解答】A选项，由 两边求导得 ，即 关于 对称，
故A正确；
B选项，由 为偶函数，知 .
又 ，
则
，即 的一个周期为 ，则 的一个周期为 ，故B正确；
C选项，注意到当 时， .
则 ，即此时
关于 ，即 对称，故C错误；
D选项，由 为偶函数，知 关于 对称，即 ，则
，即 关于 对称，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛： 为偶函数 ；
若 以 为对称轴，且以 为一个对称中心， ，则 为周期函数，且其一个周期为
.【例题精析3】 （2023·江西吉安·统考一模）已知函数 的定义域为 ,其导函数为 ,若函数
为偶函数,函数 为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.
①函数 关于 轴对称;
②函数 关于 中心对称;
③若 ,则 ;
④若当 时, ,则当 时, .
【解答】由于函数 为偶函数,则② ,则函数 关于 轴对称,①正确;
进而函数 关于点 中心对称,
由于函数 为偶函数,则 ,则函数 关于 轴对称,
进而函数 关于 中心对称, ②错误;
由题可得函数 的周期为 ，
的周期为 ，
故 ，
由中心对称性 ，
所以 ，
所以 ,故 ,③正确;
当 时, ，
,④正确.
故答案为：①③④
【点睛】结论点睛：若 是可导的奇函数,则 是偶函数；若 是可导的偶函数,则 是奇函数.
【例题精析4】 （2023·安徽黄山·统考二模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 上，其解析式如下：
，定义在实数集上的函数 满足
，且函数 的图象关于直线 对称， ，当 时，
，则 ___________.
【解答】因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以 为偶函数，
由 得 ，代入 得
，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 是以4为周期的函数，
由 得 ，所以 ，即 ，
由 得 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
，故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题难点在于对条件 的灵活应用，一是对
进行赋值，赋值一定要合适，根据需要进行合理的赋值才能达到想要的结果；二是对 与 关系的
转化，要找 的性质进行赋值后消去 得到只有 的关系式从而得到 的性质.
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减，
为偶函数，若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则
___________.
【解答】由 为偶函数，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故 ，即有 ，
综上， 的周期为8，且关于 对称的奇函数，
由 在 上单调递减，结合上述分析知：在 上递增， 上递减， 上递增，
所以 在 的大致草图如下：
要使 在 上恰好有4个不同的实数根，即 与 有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于 对称，则 .
故答案为：24函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一
起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，
即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【对点精练1】 （2023·湖北·统考二模）已知函数 及其导函数 定义域均为R，满足
，记 ，其导函数为 且 的图象关于原点对称，则
（ ）
A．0 B．3 C．4 D．1
【解答】由 关于原点对称，则 关于 轴对称，且 ，
所以 关于 对称， 关于 对称，且 ，
又 ，即 ，则 关于 对称，
综上， ， ，则 ，
所以 ，而 ，故 ，
又 ，则 关于 对称，即 ，
所以 ，则 ，
所以 .故选：D
【对点精练2】 （2023·贵州黔西·校考一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于
对称．若 ，则 （ ）A．3 B．2 C．0 D．50
【解答】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，且 ，
又 的图象关于 对称，则 ，
即 ①，则 ， ，
在①中，令 ，得 ，
则 ，所以函数 的周期为 ，即 ，
则有 ，
所以
，故选：C.
【对点精练3】 （2023·山西太原·统考一模）已知 分别为定义在 上的函数 和 的导函
数，且 ， ，若 是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．
D．
【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数，
所以函数 的图象关于点 对称，
所以 关于 对称，
又 ，
所以函数 的图象关于点 对称，A正确；
因为函数 的图象关于点 对称，
所以 的图象关于原点对称，
所以 ，
所以 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，B正确；
因为 是奇函数，所以 ，
所以 ，即
又 ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为4，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故 ，D正确；
设 ，则 ， ，
满足所给条件，但 ，所以C错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶
性，再结合奇函数和偶函数的性质判断相关结论.
【对点精练4】 （2022·全国·模拟预测）已知函数 为定义在R上的偶函数，函数
为奇函数，且当 时， ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题意可知， ，且 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数， 的图象关于点 对称，所以 ，
且
则 ，即 ，得 ，
所以函数 是周期为4的函数，
因为 时， ，
所以 ，即 ，所以 时， ，且 的周期 ，
又 ， ， ，
所以 ， ，
所以 的取值集合为 ．
故选：B
【对点精练5】 （2023·河南新乡·统考二模）定义在 上的函数 满足 ，且 为
偶函数，当 时， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【解答】因为 ，所以 的周期为4．
又 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
则 ．
故选：A.
【对点精练6】 （2023·河北唐山·统考二模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ．
， ，当 时， ， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 为偶函数
C．
D．不等式 的解集为【解答】由 可得 ，故可知 的图象关于 对称，故A错误，
由 得 ，由 得 ，故 为偶函数，故B正
确，
由 可得 ，所以 ，又 为偶函数，所以
，即 ，故C正确，
由 为偶函数且 可得 ，所以 是周期函
数，且周期为8，
又当 时， ，可知 在 单调递减
故结合 的性质可画出符合条件的 的大致图象：
由性质结合图可知：当 时， ，
由 得 ，故 ，
当 且 时， 此时无解，
当 时， ，解得 ，
当 且 时，由 得
综上可得 的解集为 ，故D正确，
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利
用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
