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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通
用）
素养拓展 05 嵌套函数的零点问题（精讲
+精练）
一、知识点梳理
1.嵌套函数形式：形如f (g(x))
2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 ，则函数 的零点
个数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
分析：令 → →作函数 与 图象→两个交
点的横坐标为 → 、 判断 的零点个数.
【解析】令 ，则 ，
作出 的图象和直线 ，由图象可得有两个交点，设横坐标为 ，
∴ .当 时，有 ，即有一解；当 时，有三个解∴综上， 共有4个解，即有4个零点，故选A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数 ，则函
数 零点个数最多是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】画出 的图像，设 ，首先讨论 的根的情况，再分析
根的情况即可分析出 根的情况，即可得出答案．
【详解】画出 的图像，如图所示，
由 ，令 ，得 ，
设 ，由图像可知 ，则 ，
得 的图像，如图所示，
由图像可知， ，
①当 时，即 ，没有根；
②当 时，即 ，此时有3个根 ， ， ，
当 时，即 ，有3个根，当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
故 时， 有11个根；
③当 时， ，此时有三个根， ，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
故 时， 有12个根；
综上所述， 最多有12个根，
故选：B．
2．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】令 ，结合题意得到 的两根为 ， ，然后根据函数
的单调性和最值进而求解.
【详解】令 ，则 ，当 时，由 可得 或 （舍去）；
当 时，由 可得 ，所以 的两根为 ， ，
则 或 ，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，若 ，易知方程无解，
若 ，当 时，由 ，得 或 （舍去），
此时方程有唯一的解；
当 时，由 ，得 ，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数 的零点个数为 个，
故选：A.
3．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数 ，则方程
的实数解的个数至多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B【分析】根据复合方程问题，换元 ，作函数图象分别看内外层分别讨论方程
根的个数情况，即可得答案.
【详解】设 ，则 化为 ，
又 ，所以 ， ，
如图为函数 的大致图象：
由图可得，当 时， 有两个根 ，即 或 ，此
时方程 最多有5个根；
当 时， 有三个根 ，即 或
或 ，此时方程 最多有6个根；
当 时， 有两个根 ，即 或 ，此时方程
有4个根；
当 时， 有一个根 ，即 ，此时方程 有2个根；
综上，方程 的实数解的个数至多是6个.
故选：B.
4．（2023·全国·高三期末）已知函数 ，若方程
的所有实根之和为4，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题对 取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.【详解】令 ，
当 时，方程为 ，即 ，
作出函数 及 的图象，
由图象可知方程的根为 或 ，即 或 ，
作出函数 的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当 时，方程为 ，即 ，
由图象可知方程的根 ，即 ，
结合函数 的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A
错误.
故选：C.5．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数 ，则函
数 的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定函数 的值域，利用换元法令 ，则 ，
则将函数 的零点问题转化为函数 的图象的交
点问题，作函数 图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合 的图
象，即可确定 的零点个数.
【详解】已知 ，当 时， ，
当 时， ，
作出其图象如图示：
可知 值域为 ，设 ，则 ，
则函数 的零点问题即为函数 的图象的交点问
题，
而 ，作出函数 的图象如图示：可知： 的图象有两个交点，横坐标分别在 之间，
不妨设交点横坐标为 ，
当 时，由 图象和直线 可知，二者有两个交点，
即此时 有两个零点；
当 时，由 图象和直线 可知，二者有3个交点，
即此时 有3个零点，
故函数 的零点个数是5，故选：B.
【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以
及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点
问题转化为函数图象的交点问题.
6．（2023春·江西吉安·高三吉安一中校考阶段练习）已知函数 ，若函
数 恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，进而考虑 与 的交点，分 ， ， ，
， 五种情况讨论求解即可.
【详解】设 ，则 ，令 ，得 ，
我们先来考虑 与 的交点，令 ，
当 时， 与 只有1个交点，交点横坐标 ，此时 有1
个零点；
当 时， 与 只有2个交点，交点横坐标 ，此时 有
3个零点.
当 时， 与 只有3个交点，交点横坐标 ，
此时 有5个零点.
若 与 相切时，设切点 ，
所以，切线斜率 ，解得 ，
故当 时， 与 没有交点， 没有零点.
当 时， 与 有2个交点，交点横坐标 ，此时 有
2个零点.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元 ，将问题转化为直线
与 的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.
7．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知函数 ，若函数
有两个零点，则函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 的图象，根据题意利用图象分析可得 ，令 并将问
题转化为 与 交点横坐标t对应x值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.【详解】当 时，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时，则 在 上单调递增.
作出函数 的图象如图所示，
令 ，则 ，
若函数 有两个零点，则函数 的图象与直线 有两个交点，
所以 ，解得 ，
故 ，
令 ，即 ，
令 ，则 或 ，
解得 或 ，
即 或 ，则 或 ，
由图象可得 有 个实数根， 有 个实数根，
故 的零点个数为 ，
故选：B．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数），则
函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C【分析】作出函数 的图象，可设 ，可得 ，判断
与 交点个数，进而将 的零点个数问题转化为
函数 的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】设 ，令 可得： ,
对于 ， ，故 在 处切线的斜率值为 ，
设 与 相切于点 ，
切线斜率 ，则切线方程为： ，
即 ，解得： ；
由于 ，故作出 与 图象如下图所示，
与 有四个不同交点，
即 与 有四个不同交点，
设三个交点为 ，由图象可知： ，
作出函数 的图象如图，
由此可知 与 无交点，与 有三个不同交点，与 各有两个不同交点，的零点个数为7个，
故选：C
【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转
化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数
恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可先做出函数 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m
的取值范围.
【详解】当 时， ．由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的大致图象如图所示．
设 ，则 ，由图可知当 时， 有且只有1个实根，
则 最多有3个不同的实根，不符合题意．
当 时， 的解是 ， ． 有2个不同的实根， 有2个
不同的实根，
则 有4个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有3个不同的实根 ， ， ，且 ， ，
．
有2个不同的实根， 有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有7个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ．有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有5个不同的实根，符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ，
有2个不同的实根， ，有2个不同的实根，则 有4个不同的实根，
不符合题意．
当 时， 有且只有1个实根，则 最多有3个不同的实根，不符合题
意，
综上，m的取值范围是 ．
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与
分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有 ， ， ，
， 这几种情况,也是解题关键.
二、填空题
10．（2023秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数 ，则函数
的所有零点之和为___________．
【答案】
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 的所有零点，从而得解．
【详解】设 ，则 ，
①当 时， ，得 ；
②当 时， ，得 ；
综上所述：若 ，则 或 .
故 或 ，则有：
①由 ，可得 或 ，解得 或 ；
②由 ，可得 或 ，解得 或 ；
综上所述：函数 的所有零点为 ， ， ，4.
故所有零点的和为 ．故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据题意分 和 两种情况讨论，运算求解,
11．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）已知函数 则函数
的零点个数为___________．
【答案】5
【分析】方法一：令 ，将问题转化为 ，根据图象分析得
有两个零点为 ， ，从而考虑 与 根的个数即可求解；方
法二：利用导函数以及零点的存在性定理讨论 的根分别为 ．
，从而用数形结合的方法确定 与 根的个数即可求解.
【详解】方法一： 大致图象如下
令
所以 式方程的一个根 ，
再由图可知 式方程的另一个根 ，
当 时， 与 的图象有2个交点，所以 有2个实根，
当 时， 与 的图象有3个交点，所以 有3个实根，
共有5个零点.
方法二：
令 时，
，当 时， ，
所以 在 单调递减，
所以 在 有且仅有一个零点 ，
其中 ，则 有且仅有一个零点 ，其中 ．
时， 时，
在 单调递增，
，
在 有且仅有一个零点 ， ，
时，结合函数图象可知 无解， 有两个根
因为 ，所以由图象可得 与 的图象有2个交点，
所以 有2个实根，
当 时， 与 的图象有3个交点，
所以 有3个实根，
共有5个零点.
故答案为:5.
12．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知 ，
为三次函数，其图象如图所示.若 有9个零点，则 的取值范围是
___________.【答案】
【分析】根据 的图象判断与 在不同m取值范围下的交点个数，并确定交点横坐
标的范围，结合 解析式求横坐标关于m的表达式，结合题图及 有9个
零点，列不等式组求m范围.
【详解】由题设 ，其图象如下，
当 ， 与 只有一个交点且 ；
当 ， 与 有两个交点且 或 ；
当 ， 与 有三个交点且 ；
当 ， 与 有两个交点且 ；
由题图，要使 ， 有9个零点，则 ， ，且
有 ，
根据 解析式： ，综上， ， 可得 ，故 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据 、 的图象及 零点个数，确定 时
函数 对应零点的范围，进而求各零点关于m的表达式，列不等式求参数范围.
13．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数 ，若关于 的方程
恰有三个实数解，则实数 的取值集合为______.
【答案】
【分析】当 时，易知 无解；当 时，设 ，采用数形结合的方式
可知 ，可知 无解；当 时，设 ，采用数形结合的方
式可知 ，通过讨论 的范围可确定 或 的取值，由此可构造方程求得 的
值.
【详解】 ；
当 时， ，此时 无解，不合题意；
当 时，设 ，则 与 的大致图象如下图所示，
则 对应的两根为 ，
此时 与 无解，即方程 无解，不合题意；
当 时，设 ，则 与 的大致图象如下图所示，则 对应的两根为 ，
若 恰有三个实数解，则 和 与 共有 个不同的交点，
①当 时， 与 有两个不同交点，如图所示，
与 有且仅有一个交点，则 ， ，解得： ；
②当 时， 与 有两个不同交点，
与 有且仅有一个交点，则 ，与 矛盾，不合题意；
③当 时， 与 有两个不同交点，如图所示，
与 有且仅有一个交点，则 ， ，解得： ；
综上所述：实数 的取值集合为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．（2023·浙江·二模）已知函数 ，则 至多有______个实数解.
【答案】7
【分析】分类讨论 的大小关系脱掉绝对值符号，求导，判断函数单调性，进而作出函
数的大致图象，设 ，则 即 ，从而将 的解的个数问
题转化函数图象的交点个数问题，数形结合，即可求得答案.
【详解】由 可得 ，由 知 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， ， 在 单调递增，
则可作出函数 的大致图像如图：
三个图分别对应 时的情况，
设 ，则 即 ，
则 的解的个数问题即为 的交点个数问题，
结合 的图象可知 的交点个数最多是3个，
即为图2个和图3所示情况，
不妨设交点横坐标为 ，当如图2所示时， ，
此时 无解， 有1个解， 最多有3个解，
故此时最多有4个解；
当如第3个图所示时， ，
此时 有一个解， 最多有3个解， 最多有3个解，
故此时最多有7个解；
故答案为：7
【点睛】方法点睛：解答此类复合函数的解的个数问题，一般采用换元法，将方程解的个数转化为函数图象的交点个数问题，数形结合，解决问题.
