文档内容
考向 29 数列求和
1．（2021·浙江高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由
累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累乘法求得
，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】
因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题目条件可
知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到 ，
最后由裂项相消法求得 ．
2．（2011·全国高考真题（理））等比数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设b＝log a＋log a＋…＋log a，求数列 的前 项和 .
n 3 1 3 2 3 n
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由a＝ 化简b＝log a＋log a＋…＋log a，可得到bn的通项公式，求出 的通项公式，利用裂
n n 3 1 3 2 3 n
项相消法求和.
【详解】
（1）设数列{a}的公比为q,
n由 ＝9aa 得 ＝9 ,
2 6
所以q2＝ .由条件可知q＞0,故q＝ .
由2a＋3a＝1得2a＋3aq＝1,所以a＝ .
1 2 1 1 1
故数列{a}的通项公式为a＝ .
n n
（2）b＝log a＋log a＋…＋log a＝－（1＋2＋…＋n）＝－ .
n 3 1 3 2 3 n
故 .
所以数列 的前n项和为
1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来
完成；
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
2.解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的
是什么.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
S＝＝na＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式：
S＝
n
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n项和可用错
位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列
n
的前n项和即可用倒序相加法求解.
【知识拓展】
数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减
少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数
就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a 与a (或
n n＋1
者相邻三项等)之间的递推关系，或者S 与S (或者相邻三项等)之间的递推关系.
n n＋11．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列{a}的前n项和S 满足S=n2，记数列
n n n
的前n项和为T，n∈N*.则使得T 的值为（ ）
n 20
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列{a}的前n项和为S，且满足a＝2，S＝35，将a，
n n 1 7 3
a，a ，a 中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b}的前三项，则数列{ab}的前10项
7 11 15 n n n
的和T ＝（ ）
10
A．10 212 B．9 212 C．11 212 D．12 212
3．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知数列 满足 ， ，则
数列 的前 项的和等于_______．
4．（2022·全国高三专题练习）已知 表示不超过 的最大整数，例如： ， 在数列
中， ，记 为数列 的前 项和，则 ___________.
1．（2021·全国高三（文））已知数列 满足 ( )，且 中任何一项都不为 ，
设数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2．（2021·全国高三专题练习（文））我们把 叫“费马数”（费马是十七世纪法
国数学家）．设 ， ，设数列 的前 项和为 ，则使不等式
成立的正整数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国高三专题练习）设数列{a}满足 ，若 ，且数列{b}的前
n n
n项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏南京师大附中）已知 为虚数单位，则复数 的虚部为（
）
A． B． C．1010 D．1011
5．（2021·浙江高三开学考试）设 是定义在 上的奇函数，满足 ，数列 满足
，且 .则 （ ）
A．0 B． C．21 D．22
6．（2022·全国高三专题练习（文））已知等差数列 中， ，公差大于0，且 是 与
的等比中项，设 ，则数列 的前2020项和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高三）已知数列 满足 ， ， ，则下列表达式的值为____________．
8．（2022·全国高三专题练习）已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和 ，
.若 ，则 的最小值为_______________.
9．（2021·云南昆明市·高三（文））已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求 及 ；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
10．（2021·吉林长春市·高三（理））设数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
11．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知数列 和 满足 ， ，且
.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的值.
12．（2021·全国）已知数列 为等差数列， ， .
（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 ，求数列 的前 项和 .
1．（2012·四川高考真题（理））设函数 ， 是公差为 的等差数列，
，则
A． B． C． D．
2．（2012·上海高考真题（理））设 ， . 在 中，正数的个
数是（ ）
A．25. B．50. C．75. D．100.
3．（2011·安徽高考真题（文））若数列 的通项公式是 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2015·江苏高考真题）数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项
和为_______．
5．（2012·福建高考真题（理））数列{a }的通项公式 ，前n项和为S，则
n n
S =___________
2012
6．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对
折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它
们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
次，那么 ______ .
7．（2015·天津高考真题（理））已知数列 满足 ，且
成等差数列.
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
8．（2012·江西高考真题（理））已知数列{a }的前n项和 ,且S 的最大值为8.
n n
（1）确定常数k，求a；
n
（2）求数列 的前n项和T．
n
9．（2014·浙江高考真题（理））已知数列 和 满足 .若 为等比数列，
且
（1）求 与 ；
（2）设 ．记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
10．（2013·安徽高考真题（文））设数列 满足 ， ,且对任意 ，函数满足
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 .
1．【答案】C
【分析】
根据 联系到通项与前n项和公式的关系 ，求出
，根据式子特点，求前n项和用裂项相消法，即可求出T
20。
【详解】
由 可得，当 时， ； 当 时， ，
作差可得 ，即 ，
而 ，符合 ，那么 .
，
，
所以 .故选：C
2．【答案】A
【分析】
先设等差数列的公差 ，根据公式求 和 ，判断 是等比数列{b}的前三项，再求得公比和 ，代
n
入计算 ，最后利用错位相减法求 即可.
【详解】
设等差数列{a}的公差为 ，则 ，解得 .
n
故 ，即 ，
由题意知， 是等比数列{b}的前三项，即 ，公比 ，故 .
n
故 ， ，
，两式作差得，
，所以 .
故选：A.
3．【答案】
【分析】
推导出数列 是每项均为 的常数列，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，然后利用分组求
和法可求得数列 的前 项的和.
【详解】
， ，所以，当 时，有 ；
当 时，有 ，
所以，数列 是每项均为 的常数列，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
设数列 的前 项和为 ，
则 ，
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相
消法求和.
4．【答案】4956
【分析】
首先分别计算当 ， 时， ， 时 的数值，再求 即可.
【详解】
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
.
故答案为：
1． 【答案】D
【分析】
由 得 ，从而 ，再由
即可求出 .
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 .
故选：D.
2． 【答案】B
【分析】
求得 ，利用等比数列的求和公式可求得 ，利用分组求和法可求得 ，由已知条件可得出关于 的不等式，即可得解.
【详解】
，则 ，故数列 是公比为 的等比数列，
则 ，
所以， ，
由 可得 ，
，所以 ，即 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相
消法求和.
3． 【答案】D
【分析】
由已知可求得 ，再利用裂项相消法可求得.
【详解】
由 可得 ，
， ，则可得数列 为常数列0，即 ， ，
，
.
故选：D.
4．【答案】B
【分析】
用错位相减法求得复数 后可得虚部．
【详解】
因为 ，
所以 ，
相减得 ，
所以 ，虚部为 ．
故选：B．
5．【答案】A
【分析】
根据题意变形可得 ，根据累加法求出 ， 是定义在 上的奇函数，满足
，所以 ，所以周期 ，
所以 即可得解.
【详解】
由可得 ，
通过累加法可得：
所以 ，所以 20，
是定义在 上的奇函数，满足 ，
所以 ，
所以周期 ，
由 是定义在 上的奇函数，所以 ，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用累加法求数列通项，考查了裂项相消法，同时考查了利用函数对称性求周期，有一定的计
算量，属于中档题.
本题的关键点有：
（1）累加法求通项；
（2）裂项相消法求和；
（3）函数利用对称性求周期.
6． 【答案】D
【分析】
利用等比中项求出通项 ，再利用裂项相消法得解
【详解】
等差数列 中， ，公差大于0,设公差为 ，
因为 是 与 的等比中项
；
解得 或 （舍去）设数列 的前2020项和为
故选：D
【点睛】
正确运用裂项相消法求和是解题关键. 用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，
后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第
几项，后边就剩倒数第几.
7．【答案】
【分析】
依次求得 ，由此求得所求表达式的值.
【详解】
， ，
，
，
，
，
，
，．
故答案为：
8．【答案】1
【分析】
由题意，可得 ，转化 为 ，可得
，结合 的范围即得解.
【详解】
由 ，可得 ，由 ，可得 ，故 .
因为 ，所以 ，
所以 .
由题意可知 ，则 ，故 为递增数列.
因为 ，所以 ，故 ，所以 的最小值为1.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式以及裂项求和法，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中
档题
9．【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）由已知可得 ，解方程组求出 ，从而可求出 及 ；
（2）由（1）可得 ，然后利用分组求和与裂项相消法求
【详解】
解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ，整理得 ，解得 ，
∴ ， ．
（2） ，
∴
．
10．【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）推导出 ，利用等差数列的定义可证得结论成立；
（2）求得 ，利用错位相减法可求得 .
【详解】（1） ， ，则 ，所以 ，
有 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）由（1）知 ，故 ， ，①
① ，得 ，②
① ②得， ，
所以 .
11．【答案】（1） ， ；（2） 或 .
【分析】
（1）推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得 的通项公式，即可得出
的通项公式，利用裂项求和法可求得 的通项公式；
（2）利用错位相减法结合分组求和法可求得 ，根据已知条件可得出关于 的二次不等式，结合 可
得出 的取值.
【详解】
（1）对任意的 ， ，则 ，且 ，
所以，数列 是等比数列，且首项和公比均为 ，
故 ， ，
因为 ，所以，
；
（2）设数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以， ，
上式 下式，得 ，
所以， ，
，
则 ，
由 可得 ，
整理可得 ，解得 ，
因为 ，故 或 .
12．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用等差数列基本量的关系即可求解 的通项公式；
（2）利用分组求和､等比数列求和､裂项相消法求和即可求解.
【详解】
（1）由 得 .设数列 的公差为 ，
则 ，∴ ，
故 .
（2）由（1）得 ，
∴
.
1．【答案】D
【详解】
∵数列{a }是公差为 的等差数列，且
n
∴
∴ 即得
∴
[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识
系统、网络化学习. 另外， 隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.
2．【答案】D
【详解】
由于f（n）=sin 的周期T=50
由正弦函数性质可知，a，a，…，a ＞0，a =0，a ，a ，…，a ＜0，a =0
1 2 24 25 26 27 49 50
且sin ，sin …但是f（n）= 单调递减
a …a 都为负数，但是|a |＜a，|a |＜a，…，|a |＜a
26 50 25 1 26 2 49 24
∴ S，S，…，S 中都为正，而s ，s ，…，s 都为正
1 2 25 26 27 50
同理S，S，…，s 都为正，S，S，…，s ，…，s 都为正，
1 2 75 1 2 75 100
故选D
3．【答案】A
【分析】
根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和.
【详解】
由于 ，故
.故选A.
【点睛】
本小题主要考查数列求和，考查运算求解能力，属于基础题.
4．【答案】
【解析】
试题分析：：∵数列 满足 ，且 （ ），∴当n≥2时， ．
当n=1时，上式也成立，∴ ．∴ ．
∴数列 的前n项的和
∴数列 的前10项的和为
考点：数列求通项公式求和
5．【答案】3018
【解析】
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和，考查数列求和能力.此类问题关键是并项求和
6．【答案】5
【分析】
（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】
（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着三次的结
果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相
消法求和.
7．【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） .
【详解】（Ⅰ） 由已知，有 ，即 ，
所以 ，又因为 ，故 ，由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 ，设数列 的前 项和为 ，则
，
两式相减得
，
整理得
所以数列 的前 项和为 .
考点：等差数列定义、等比数列及前 项和公式、错位相减法求和.
8．【答案】（1）
（2）T
n
【详解】
试题分析：（1）当 时， 取最大值，即 ，故 ，从而
，又 ，所以（1） 因为 ，
所以
考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和．
点评：典型题，本题首先由 的关系，确定数列的通项公式是关键．不求和过程中应用了“错位相减
法”．在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到．
9．【答案】（1） ， ；（2）（i） ；（ii）
．
【解析】
试题分析：（1）求 与 得通项公式，由已知 得 ，再由已知
得， ，又因为数列 为等比数列，即可写出数列 的通
项公式为 ，由数列 的通项公式及 ，可得数列 的通项公
式为， ；（2）（i）求数列 的前 项和 ，首先求数列 的通项公式，由
，将 ， 代入整理得 ，利用等比数列求和公式，
即可得数列 的前 项和 ；（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ，即求数列 的
最大项，即求数列 得正数项，由数列 的通项公式，可判断出 ，当 时，
，从而可得对任意 恒有 ，即 ．
（1）由题意， ， ，知 ，又有 ，得公比 （舍去），所以数列 的通项公式为 ，所以 ，故数列
的通项公式为， ；
（2）（i）由（1）知， ，所以 ；
（ii）因为 ；当 时， ，而
，得 ，所以当 时， ，综上对任意
恒有 ，故 ．
点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考
查运算求解能力．
10．【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）
【解析】
由
所以，
是等差数列.
而
（2）第（1）题，通过求导以及 ，能够判断出 是等差数列是等差数列，由第（1）题的结论能够写
出 的通项公式，根据 的特征，选择求和的方法，利用分组求和的方法即可求出.
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推
理能力和运算能力.
