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函数性质的综合应用（培优课）
2.4
2.4 函数性质的综合应用（培优课）................................................1
一、分类题型................................................................1
题型一 函数的单调性与奇偶性..............................................2
题型二 函数的奇偶性与周期性..............................................9
题型三 函数的奇偶性与对称性.............................................14
题型四 函数的周期性与对称性.............................................22一、分类题型
题型一 函数的单调性与奇偶性
【例题精析1】 （2023·江西宜春·统考一模）已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当
时， ，则 在区间 上所有零点之和为__________.
【例题精析2】 （2023·上海松江·统考二模）已知函数 为 上的奇函数；且 ，当
时， ，则 ______．
【例题精析3】 （2023·云南·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数 满足 ，当
时， ， ___．
【例题精析4】 （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足
，则 ______．
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）设 是定义域为R的奇函数，且 ．若 ，
则 __________．
【例题精析6】 （2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 _____________．
【例题精析7】 （2023·山东泰安·统考一模）设 是定义域为R的偶函数，且 .若
，则 的值是___________.
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号
“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单
调区间上，进而利用其单调性比较大小．
【对点精练1】 已知定义在R上的函数 满足 ， ，且，
则 （ ）
A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046
【对点精练2】 （2023·河南郑州·统考一模）定义在R上的函数 满足，①对于互不相等的任意 ，
都有 ，且当 时， ，② 对任意 恒成立，
③ 的图象关于直线 对称，则 ､ ､ 的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【对点精练3】 已知定义在R上的函数 满足 ，且函数 是偶函数，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点精练4】 （2023·安徽宣城·统考二模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
．若 为奇函数， 为偶函数，且 ， ，则
（ ）
A．670 B．672 C．674 D．676
【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）定义在R上的不恒为零的偶函数 满足 ，
且 ．则 （ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【对点精练6】 （2021·陕西渭南·统考三模）已知符号函数 偶函数 满足
,当 时, ,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．【对点精练7】 （2023·浙江杭州·统考二模）已知函数 （ ）是奇函数， 且
， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4C． 是偶函数 D．
【对点精练8】 （2023·河南郑州·统考二模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，
，若 ，则不等式 的解集为______.
题型二 函数的奇偶性与周期性
【例题精析1】 （2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 ，则使不等式
成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析2】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 且 为偶函数，则
（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对于任意的 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析4】 （2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当
时， ，则当 时， ___________；若对 都有
，则实数 的取值范围为___________.
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数
值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【对点精练1】 （2023·山东聊城·统考模拟预测）已知 是 上的偶函数，且当 时，
．若 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练2】 （2023·广东广州·统考二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【对点精练3】 （2023·广西玉林·统考三模）函数 对任意x， 总有 ，当
时， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
【对点精练4】 （2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 函数的奇偶性与对称性
【例题精析1】 （2023·浙江宁波·统考二模）已知函数 与 及其导函数 与 的定义域均为 ，
是偶函数， 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析2】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的零
点分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．【例题精析3】 （2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的奇函数，当 时，
，若函数 是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于 对称
B．
C．
D． 有100个零点
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的最大
值与最小值分别为 和 ，则函数 的图象的对称中心是______.
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【对点精练1】 （2023·西藏拉萨·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点
成中心对称.当 时， ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
【对点精练2】 （2023·陕西商洛·统考二模）古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”
“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对
称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个
非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么
称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有（ ）①函数 可以是某个正方形的“优美函数”；
②函数 只能是边长不超过 的正方形的“优美函数”；
③函数 可以是无数个正方形的“优美函数”；
④若函数 是“优美函数”，则 的图象一定是中心对称图形．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【对点精练3】 （2023·浙江嘉兴·统考二模）设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若
，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 是奇函数，函数 的图象与
的图象有4个公共点 ，且 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【对点精练5】 （2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均R，若
为偶函数，且满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
题型四 函数的周期性与对称性【例题精析1】 （2023·河北邯郸·统考二模）已知 是定义在 上的函数， ，且满足
为奇函数，当 时， ，下列结论正确的是（ ）
A． B． 的周期为2
C． 的图象关于点 中心对称 D．
【例题精析2】 （2023·湖南·校联考二模）已知函数 满足：① 为偶函数；②
， ． 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 关于 对称 B． 的一个周期为
C． 不关于 对称 D． 关于 对称
【例题精析3】 （2023·江西吉安·统考一模）已知函数 的定义域为 ,其导函数为 ,若函数
为偶函数,函数 为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.
①函数 关于 轴对称;
②函数 关于 中心对称;
③若 ,则 ;
④若当 时, ,则当 时, .
【例题精析4】 （2023·安徽黄山·统考二模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现
并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数 满足
，且函数 的图象关于直线 对称， ，当 时，
，则 ___________.
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减，
为偶函数，若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则
___________.
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一
起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，
即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【对点精练1】 （2023·湖北·统考二模）已知函数 及其导函数 定义域均为R，满足
，记 ，其导函数为 且 的图象关于原点对称，则
（ ）
A．0 B．3 C．4 D．1
【对点精练2】 （2023·贵州黔西·校考一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于
对称．若 ，则 （ ）A．3 B．2 C．0 D．50
【对点精练3】 （2023·山西太原·统考一模）已知 分别为定义在 上的函数 和 的导函
数，且 ， ，若 是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．
D．
【对点精练4】 （2022·全国·模拟预测）已知函数 为定义在R上的偶函数，函数
为奇函数，且当 时， ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练5】 （2023·河南新乡·统考二模）定义在 上的函数 满足 ，且 为
偶函数，当 时， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【对点精练6】 （2023·河北唐山·统考二模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ．
， ，当 时， ， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 为偶函数C．
D．不等式 的解集为
