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直线的方程
10-1
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
10-1 直线的方程......................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：直线的方向向量.......................................................................................................................2
考点2：直线的倾斜角............................................................................................................................2
考点3：直线的斜率................................................................................................................................2
考点4：直线方程的五种形式..............................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 直线的倾斜角与斜率...............................................................................................................3
题型二 求直线的方程.............................................................................................................................4
题型三 直线方程的综合应用...............................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
考点2：直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直
线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
考点3：直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即 k＝
tanα(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
考点4：直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x≠x，y≠y) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论总结】
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应
注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
二、分类题型题型一 直线的倾斜角与斜率
【例题精析1】 已知直线经过 ， 两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【例题精析2】 已知直线 过 ， 两点且倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【例题精析3】 若直线 与连接 的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析4】 直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析5】 已知点 ， ，过点 的直线 与线段 相交，则 的斜率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【例题精析6】 直线 与 夹角的大小为 .
【例题精析7】 已知直线 过点 ，则直线 的斜率为 .
分类标准的选择直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角
的范围时，要分 与 两种情况讨论．
→ π π
【对点精练1】 已知直线l的一个方向向量为p=(sin ，cos )，则直线l的倾斜角为（ ）
3 3
π π 2π 4π
A． B． C． D．
6 3 3 3
【对点精练2】 已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，则
直线l的斜率k的取值范围为（ ）
3 3 1
A．k≥2或 k≤ B．k≥ 或 k≤−
4 4 4
3 3
C．−4≤k≤ D． ≤k≤2
4 4
【对点精练3】 已知直线l的方程为xsinα+❑√3 y−1=0， R，则直线l的倾斜角范围是（ ）
π 2 α∈π 5π
A．(0， ]∪[ π，π) B．[0， ]∪[ ，π)
3 3 6 6
π 5π π 2π
C．[ ， ] D．[ ， ]
6 6 3 3
【对点精练4】 直线经过 A（2，1），B（1，m2）两点（m R），那么直线 l 的倾斜角的取值范围是
（ ） ∈
π π
A．[0， ） B．[0， ]∪（ ， ）
4 2
π π
π π π π
C．[0， ] D．[ ， ）∪（ ， ）
4 4 2 2
π
【对点精练5】 （多选）5．在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为
（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率
可以是（ ）
3 3 1
A．2 B． C． D．
2 4 4题型二 求直线的方程
【例题精析8】 过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析9】 直线l过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析10】 若直线 ： 在 轴和 轴上的截距相等，则直线 的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【例题精析11】 在 轴、 轴上的截距分别是 、3的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析12】 写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点 ，斜率为3；
(2)经过点 ，倾斜角是 ；
(3)经过点 ，倾斜角是 ．
【例题精析13】 已知 的顶点坐标分别是 .
(1)求直线 的方程（答案用一般式方程表示）；
(2)求 边上的高线的长.求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件
求出待定系数．
x
【对点精练6】 已知a＞0，b＞0，直线 +y=b在x轴上的截距为1，则a+9b的最小值为（ ）
a
A．3 B．6 C．9 D．10
【对点精练7】 若kxy﹣x+6y﹣3＝0表示两条直线，则实数k的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【对点精练8】 过点（3，﹣2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ．
【对点精练9】 若a，b为正实数，直线2x+（2a﹣4）y+1＝0与直线2bx+y﹣2＝0互相垂直，则ab的最大值
为 ．
题型三 直线方程的综合应用
【例题精析14】 已知： ， ， ， ， ，一束光线从F点出发射到BC上的
D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【例题精析15】 已知等腰直角三角形 的斜边 所在直线方程为 ，直角顶点为 ，求
两条直角边所在直线的方程.
【例题精析16】 已知直线 的方程为 ，若直线 在 轴上的截距为 ，且 ．
(1)求直线 和 的交点坐标；
(2)已知直线 经过 与 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，求直线 的方程．
【例题精析17】 已知 的顶点 ，高CD所在直线方程为 ，角 的平分线BE所在直线
方程为 ．求：
(1) 点的坐标；
(2)BC边所在直线方程．
【例题精析18】 已知直线
(1)若直线的倾斜角 ，求实数m的取值范围；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求 面积的最小值及此时直线l
的方程．
【例题精析19】 直线 过点 且与 轴、 轴正半轴分别交于 、 两点.
(1)若直线 与 法向量平行，写出直线 的方程；
(2)求 面积的最小值；
(3)如图，若点 分向量 所成的比的值为2，过点 作平行于 轴的直线交 轴于点 ，动点 、 分别在线段 和 上，若直线 平分直角梯形 的面积，求证：直线 必过一定点，并求出该定
点坐标.
【例题精析20】 已知 的顶点 的坐标为 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，
的角平分线 所在的直线方程为 ．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
【例题精析21】 过点 作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.
(1)求 的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求 的最小值，及此时直线l的截距式方程.
【例题精析22】 已知直线 .
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求 面积的最小值；
（3）已知 ，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
【例题精析23】 在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为
．
（1）若 ，求直线BC的方程；
（2）若 ，求直线BC的横截距．
【例题精析24】 在平面直角坐标系 中，若动点 到两直线 和 的距离之和为 ，
则 的最大值为 .
【例题精析25】 莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、
垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知 的三个顶点坐标分别是 ，
， ，则 的垂心坐标为 ， 的欧拉线方程为 ．利用两个计数原理解题时的三个注意点
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中 x，y的关系，将问题转化
为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
【对点精练10】 设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点
，则 的取值范围是
A． ，2 B． ，4 C． ，4 D． ，2
【对点精练11】 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 定 义 ， ， ， 两 点 间 的 折 线 距 离
，该距离也称曼哈顿距离．已知点 ， ，若 ，则
的最小值与最大值之和为
A．0 B． C． D．
【对点精练12】 设 ，若函数 图象上任意一点 ， 满足 ，则
A． B． C．2 D．4
【对点精练13】 若直线 与直线 的交点在直线 上，则实数
A．4 B．2 C． D．
【对点精练14】 点 在单位圆上运动，则 点到直线 为任意实数）的距离的最大值为
A． B．6 C． D．5
【对点精练15】 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不
垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴
和 轴上的截距 ， 分别作为点 的 坐标和 坐标，记 ．若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方
向的夹角为 ，则该坐标系中 和 两点间的距离为
A．2 B．1 C． D．
【对点精练16】 平面直角坐标系中， ， ，动点 满足 ，则使 为等腰三角
形的点 个数为
A．0 B．2 C．3 D．4
【对点精练17】 在平面直角坐标系内，已知 ， ，动点 满足 ，则
的最小值是
A． B．2 C．4 D．16
【对点精练18】 已知 ， ，若直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【对点精练19】 已知点 在直线 上的射影为点 ，则点 到点
距离的最大值为
A． B．5 C． D．
【对点精练20】 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．点 到直线 距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
2．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．当 、 变化时， 的最大
值为A．1 B．2 C．3 D．4
3．若关于 ， 的方程组 有无穷多解，则实数 的值为 ．
4．直线 与直线 的夹角为 ．
5．已知直线 ， ，若 ，则 与 的距离为 ．
6．坐标原点关于直线 的对称点的坐标为 ．
7．已知平行直线 ， ，则 ， 的距离 ．
8．直线 与直线 的夹角为 ．
9．设 ， ．若关于 ， 的方程组 无解，则 的取值范围是 ．
10．设，，若关于，的方程组无解，则的取值范围为 ．
