文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 37 练 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精
练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.
【详解】由已知得 ，
故直线斜率
由于倾斜的范围是 ，
则倾斜角为 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】先由 ， 求斜率，再求倾斜角.
【详解】设直线 的斜率为k,则 .令直线 的倾斜角为 ，则 ， ，
.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，且 在 轴上的截距为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得；
【详解】解：因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ；
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 （A，B不同时为 ），则下列说法中错误的是
（ ）
A．当 时，直线l总与x轴相交
B．当 时，直线l经过坐标原点O
C．当 时，直线l是x轴所在直线
D．当 时，直线l不可能与两坐标轴同时相交
【答案】D
【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，直线 （A，B不同时为 ）.
A选项，当 时， ，直线方程可化为 ，
此时直线 总与 轴有交点，A选项正确.
B选项，当 时，直线方程为 ，
此时直线 经过原点 ，B选项正确.
C选项，当 时， ，直线方程可化为 ，
此时直线l是x轴所在直线，C选项正确.
D选项，当 时，如 ，直线 过点 ，即直线 与两坐标轴同时相交，D选项错误.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l： 的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．－1
【答案】A
【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.
【详解】因为直线l的倾斜角为 ，所以斜率 .
所以 ，解得： .
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）若一次函数 所表示直线的倾斜角为 ，则 的值为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，化简 代入计算．
【详解】 的斜率为 即
故选：D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是
60°，则k的值为（ ）
A． 或0 B． 或0
C． D．
【答案】A【分析】先求出 的倾斜角为120°，再求出直线 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.
【详解】直线 的斜率为 ，所以倾斜角为120°.
要使直线 与直线 的夹角是60°，
只需直线 的倾斜角为0°或60°，
所以k的值为0或 .
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）设直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】当 时，可得倾斜角为 ，当 时，由直线方程可得斜率 ，然后由
余弦函数和正切函数的性质求解即可
【详解】当 时，方程变为 ，其倾斜角为 ，
当 时，由直线方程可得斜率 ，
且 ，
，即 ，
又 ， ，
由上知，倾斜角的范围是 ．故选：C．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，点 ， ，若直线 与线段AB有公共
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】若直线 与线段 有公共点，由 、 在直线 的两侧（也可以点在直线上），得
（ ）可得结论．
【详解】若直线 与线段 有公共点，则 、 在直线 的两侧（也可以点在直线上）.
令 ，则有 ， ， ，即 .
解得 ，
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角的范围是 ，则此直线的斜率k的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答.
【详解】当直线的倾斜角 时，直线的斜率 ，因 ，
则当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以直线的斜率k的取值范围是 .
故选：D11．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动
直线 交于点 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：易得 .设 ，则消去 得： ，所以点P在以AB为
直径的圆上， ，所以 ，令 ，则
.因为 ，所以 .所以
， .选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以 ，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ,则下列命题正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．无论 如何变化,直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
【答案】BD
【分析】根据直线方程考虑 的值，当取 时，显然选项A错误；将原点代入直线方程；可知选项B
正确，当 时选项C错误；求出直线和两坐标轴的交点，求出面积范围即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知,直线 ，
若 ，则直线为 ，
倾斜角为 ,与选项A不符,故选项A错误，将原点 代入直线方程可得 不符，故选项B正确，
若 ,则直线为 ,斜率不存在,故选项C错误，
当直线和两坐标轴都相交时，交点为 ，
它和坐标轴围成的三角形的面积为 ，
，
故选项D正确，
故选:BD
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角可能为
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】CD
【分析】对 分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.
【详解】当 时，则直线的斜率为 ，所以直线的倾斜角可能为 ，
当 时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为 ，
当 时，则直线的斜率为 ，所以直线的倾斜角范围为 ，不可能为0和 .
故选：CD.
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）若某直线经过A（ ， ），B（1， ）两点，则此直线的倾斜角
为 .
【答案】120°
【分析】利用斜率公式求得斜率，进而得到倾斜角.【详解】直线的斜率 ,
故倾斜角 ，
故答案为：120°.
15．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈ ，则k的取值
范围是 ．
【答案】 .
【解析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出k的取值范围.
【详解】当 ≤α< 时， ≤tan α<1，即 ≤k<1；
当 ≤α<π时， ≤tan α<0，即 ≤k＜0.
∴k∈ .
故答案为： .
【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，解决本题的关键是直线倾斜角的正切值为直线的斜率.
16．（2023·全国·高三专题练习）一条直线经过点 ，并且它的倾斜角等于直线 的倾斜角
的2倍，则这条直线的一般式方程是 .
【答案】
【解析】设直线 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为 ，求出求直线的斜率为 ，利用点
斜式求出直线方程，化为一般式即可.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为 ，由 ，且 ，所以 ，
即所求直线的斜率为 ，
又该直线经过点 ，
故所求直线方程为： ，即 .
故答案为： .
17．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）若直线 的倾斜角为α，则sin2α的值为 .
【答案】
【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解.
【详解】由题可知， ，
则 .
故答案为： .
18．（2023·高三课时练习）直线 和直线 的夹角大小是
【答案】
【分析】由题意分别求出两条直线的倾斜角，即可得答案．
【详解】 直线 的倾斜角为 ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
∴直线 和直线 的夹角大小为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题.19．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与连接 的线段总有公共点，则 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段 总有公共点，需满足 或 ，从而可求得
答案
【详解】得直线 的斜率为 ，且过定点 ，
则由图可得，要使直线与线段 总有公共点，需满足 或 ，
， 或 ，
或 .
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有
一个公共点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论．
【详解】函数 过定点 ，
如图：结合图象可得： ，
即 ，
故答案为： ， ．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为直线 的倾斜角的一半，则
直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.
【详解】由直线 的斜率为 ，设其倾斜角为 ，则 ，
由直线 的倾斜角为直线 的倾斜角的一半，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
， ，解得 或 ，由倾斜角的取
值范围为 ，则 ，故直线 的斜率为 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）直线 的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据 的范围求出 的范围，进而求出 范
围即可求解.
【详解】当 时，直线 的斜率为 ，
因为 ，所以 时， 或 ，
由 得 ，
当 即 时，直线 的斜率为 .
因为 ，所以 或 ，即 或 .
所以直线 的斜率的取值范围为 .
综上所述，直线 的斜率的取值范围为 .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线 在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之
和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， ，求出直线 与两坐标轴的交点 ， ，再由均
值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.【详解】直线 可变为 ，所以过定点 ，又因为直线 在
两坐标轴上的截距都是正值，可知 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等，所以此时直线为： .
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范
围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【答案】A
【详解】∵过点 和 的直线的倾斜角为钝角
∴直线的斜率小于0，即 .
∴
∴
故选A.
5．（2023·全国·高三专题练习）若过点 的直线与以点 为端点的线段相交，则直线
的倾斜角取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先在直角坐标系中作出 三点，再求出 的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可
知直线的倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，设 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角的取值范围为 ，
易得 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为 .
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则经过两点 ， 的直线的倾斜角为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用两点的坐标求出直线的斜率，再利用诱导公式验证各选项.
【详解】由题意，得该直线的斜率为 ，且 ，
且 ，
，
，所以该直线的倾斜角为 .
故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
相交于点 不重合），则 面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点 与定点 ，进而
可得 ，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线 过定点 ，
直线 可变为 ，所以该直线过定点 ，
所以 ，
又 ，
所以直线 与直线 互相垂直，
所以 ，
所以 即 ，
当且仅当 时取等号,
所以， ，即 面积的最大值是 .
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 三个数成等差数列，直线 恒过定点 ，且
在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先由等差数列求得 ，再由 求出定点 坐标，代入直线 得
，由 结合基本不等式即可求解.
【详解】易知 ，则 ，整理得 ，由 解得 ，
则 ，则 ，即 ，又 ，则 ，
则 ，
当且仅当 即 时取等，故 的最小值为 .
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与直线 交于点 ，则 到坐标原点
距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两直线均过定点且垂直，则交点P在以两定点为直径的圆上，由数形结合可求最值.
【详解】两直线满足 ，所以两直线垂直，
由 得 ，过定点 ，
由 得 ，过定点 ，故交点P在以AB为直径的圆C上，其中 ，如图所示，
则线段OP的最大值为 .
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点 ，且分别交两直线 于x轴上方的
两点，O点为坐标原点，则 面积的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．20
【答案】A
【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为 ，求出 两点的横坐标，表示出三角形的
面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为 ，
分别与 联立可得 两点的横坐标： ，
故 ， 两点都在x轴的上方，
故 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 面积的最小值为8，
故选：A．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ： 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且直线
在 轴上的截距为3，则直线 的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.
【详解】解：∵直线 ： 的倾斜角为 ，斜率为 ，∴ ，
∵直线 的倾斜角为 ，∴斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 .
故选：B．
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点 且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点， ，，则k可以取（ ）
A．－8 B．－5 C．3 D．4
【答案】AD
【分析】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知 ，再利用斜率公式求解 ， 即可.
【详解】解：由于直线l过点 且斜率为k，与连接两点 ， 的线段有公共点，则
， ，由图可知，
时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
13．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 方程可
能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【详解】当直线经过原点时，斜率为 ，所求的直线方程为y=2x，即 ；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为 ，或 ；综上知，所求的直线方程为 、 ，或 ．
故选：ABC．
【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，则下列表述正确的是（ ）
A．当 时，直线的倾斜角为
B．当实数 变化时，直线 恒过点
C．当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为1
D．直线 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；
B选项，将直线方程整理为 ，由此可得直线所过定点；
C选项，由题可得 ，后由平行直线距离公式可判断选项；
D选项，分别令 ，可得直线与 轴，x轴交点为 ， .
则围成三角形面积为 ，后由基本不等式可判断选项.
【详解】A选项，当 时，直线方程为 ，可得直线斜率为1，则倾斜角为 ，故A正确；
B选项，由题可得 ，则直线过定点 ，故B正确；
C选项，因直线 与直线 平行，则 ，则直线方程为： ，
即 .则 与直线 之间的距离为，故C错误；
D选项，分别令 ，可得直线与 轴，x轴交点为 ， .
又交点在两坐标轴正半轴，则 .故围成三角形面积为
，当且仅当
，即 时取等号.即面积最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过点 和 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l在两坐标轴上的截距相等
B．直线l的斜率为1
C．原点到直线l的距离为
D．直线l的一个方向向量为
【答案】BC
【分析】由直线l经过的两点坐标，可以求出直线的斜率、直线的方程，利用直线的方程判断选项的正误.
【详解】直线l经过点 和 ，所以直线的斜率 ，故B正确；
易得直线的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，即纵截距为1，令 ，得 ，即横截距为 ，故A错误；原点到直线l的距离 ，故C正确；
因为 ，所以 不是直线l的一个方向向量，故D错误；
故选：BC.
16．（2023·全国·高三专题练习）直线 的方程为： ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．直线 斜率必定存在
C． 时直线 的倾斜角为
D． 时直线 与两坐标轴围成的三角形面积为
【答案】AD
【分析】利用直线系方程可判断A，判断直线的斜率可判断B，求直线的倾斜角可判断C，求解三角形的
面积可判断D.
【详解】对于A，由直线方程知：恒过定点 ，故正确；
对于B，当 时 ，直线斜率不存在，故错误；
对于C， 时有 ，设倾斜角为 ，即 ，则倾斜角为 ，故错误；
对于D， 时，直线 ，则x、y轴交点分别为 ，所以直线 与两坐标轴围成的三
角形面积为 ，故正确； 故选：AD.
17．（2023·全国·高三专题练习）设直线l的方程为 ．下列说法正确的是
（ ）
A．当 时，l不经过第二象限B．直线恒过定点
C．不论a为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是90°
【答案】ACD
【分析】将直线l变形为斜截式，由l不经过第二象限，列出关于a的不等关系，求解即可判断选项A，将
点代入方程即可判断选项B，由直线恒过定点 ，即可判断选项C，由斜率与倾斜角的关系，即可判断
选项D.
【详解】对于A，将l的方程化为 ，欲使l不经过第二象限，
当且仅当 或 成立，所以 ，故A正确；
对于B，点 代入直线方程不成立，B不正确；
对于C，因为直线恒过第四象限内的点 ，所以不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；
对于D，直线的斜率始终存在，为 ，所以倾斜角不可能等于90°，D正确．
故选：ACD
三、填空题
18．（2023·全国·高三专题练习）若直线 不经过第二象限，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据直线的斜率和在 轴上的截距建立不等式组求解即可.
【详解】由直线不过第二象限需满足 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知 两点， 为坐标原点，则
的平分线所在直线的方程为 .
【答案】
【分析】设 的平分线的倾斜角为 ，根据斜率公式结合 可得 ，由 的范围即可求
解.
【详解】由题意，可设 的平分线的倾斜角为 ，如图，
则 ，即 .
则 或 ，又 ，故 ，
故 ，
故 的平分线所在直线的方程为 ，
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）过点 作直线 分别交 轴、 轴的正半轴于 、 两点，则使
的值最小时直线 的方程为 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求得 关于 的表示，再利用倍角公式与正弦函数的性质即可得解.
【详解】如图所示：设 ， ，
， ，∴ ，
∴ ，即 时， 取最小值，
此时，直线的倾斜角为 ，斜率为 ，
∴直线的方程为 ，即 ．
故答案为： .
21．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与直线 关于点 对称，则直线 恒过定点 ．
【答案】
【分析】根据直线 恒过定点，求其关于点 的对称点，即可求解.
【详解】因为 过定点 ，
而 关于点 的对称点为 ，
又直线 与直线 关于点 对称，
所以直线 恒过定点 .
【点睛】本题主要考查了直线系过定点，直线关于点对称，点关于点对称问题，属于中档题.
22．（2023·全国·高三专题练习）直线 过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A，B两
点，O为坐标原点，当 最小时， 的方程为 .
【答案】
【分析】由题意知直线斜率存在，设直线 的方程为 求出与坐标轴交点计算 ，由均
值不等式求最值.
【详解】经检验直线 的斜率存在，且斜率为负，设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
令y=0得 ，令x=0得 ，
则 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值.
此时 的方程为 .
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）直线 的倾斜角 的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别讨论 的取值，得到斜率不存在时 ，以及斜率存在时 的范围，再利用倾斜角
与斜率的关系，即可求解.
【详解】若 ，则直线方程为 ，即倾斜角 ；
若 ，则直线方程为 ，即 ，
∵ ，∴ 或 ，
即 或 ，解得
综上可得 .
故答案为：
24．（2023·全国·高三专题练习）已知点A（2，-1），B（3，m），若 ，则直线AB的
倾斜角的取值范围为__________．
【答案】
【分析】设直线AB的倾斜角为α，由点A，B的坐标求出直线AB的斜率k，结合m的范围可得k的斜率，
即tanα的范围，再利用正切函数的性质即可求出α的取值范围．
【详解】设直线AB的倾斜角为α，
∵点A（2，-1），B（3，m），∴直线AB的斜率 ，
又∵ ，
∴ ，
即k的取值范围为 ，
即 ，
又∵α∈[0，π），
∴ ，
故答案为： ．
25．（2023·全国·高三专题练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 的最大值 .
【答案】
【分析】根据两直线的方程可求得定点 、 的坐标，以及两直线垂直，进而可得 ，再
结合 即可求解.
【详解】由 可知 ，所以该直线过定点 ，
由 可得 ，所以该直线过定点 ，
因为直线 与 垂直，
所以 ，因为 ，
即 ，解得： ，
所以 的最大值为 ，
故答案为： .
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成 和 角，过点 作直
线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线 上时，则直线AB的方程是
.
【答案】
【分析】由题意求出直线 的方程，设 得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点
共线求出 ，得到直线 的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案.
【详解】由题意可得 ，
，
所以直线 ，
设 ，
所以AB的中点C .由点C在直线 上，且A，P，B三点共线得
解得 ，所以 ,
又 ，所以 ＝ ，
所以 ，
即直线AB的方程为 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与直线 相交，且交点在第一象限，则直线
的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得
，即 是锐角，故 ，选C.
2．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，
当 、 变化时， 的最大值为
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，则根据几何意义得 的最大值为 .
【详解】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，
所以 的最大值为 ，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求
相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
3．（2023·全国·高三专题练习）曲线 与过原点的直线 没有交点，则 的倾斜角 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出曲线 的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线 在绕着原点旋转时，直
线 与曲线 没有交点时，直线 的倾斜角 的变化，由此得出 的取值范围.
【详解】当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 ；
当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 ；
当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 ；
当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 .作出曲线 的图象如下图所示：
由图象可知，要使得过原点的直线 与曲线 没有交点，
则直线 的倾斜角 的取值范围是 ，故选A.
【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合
思想进行求解，属于中等题.
4．（2023春·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知函数 ，直线 ，若有且仅有一
个整数 ，使得点 在直线l上方，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由定义域得 为正整数，由导数法研究 的图象，直线l过定点 ，由数形结合可
判断 的值，进而列不等式组确定参数范围.【详解】点 在直线l上方，即 ，因为 ，所以 有且仅有一
个正整数解.
设 ，则 单调递增； 单调递减，
所以 .
又 ，故可得 图象如下图，
直线 过定点 ，
当 ， 有无数个正整数解，不合题意，故 ，
又 有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研
究 的图象，由数形结合列式求解.
5．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直线直线 过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，
由此可利用 的几何意义求得答案,
【详解】直线 ，即 ，
令 ，解得 ，
即直线 过定点 ,
由过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，
可知： 落在以OA为直径的圆上，
而以OA为直径的圆为 ，如图示：
故 可看作是圆上的点 到原点距离的平方，
而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为 ，
但将原点坐标代入直线 中， 不成立，
即直线l不过原点，所以 不可能和原点重合，
故 ，
故选：D二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别
为 ，则正方形ABCD四边所在直线中过点 的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ABD
【分析】假设 所在的直线过点 ，分类讨论 所在的直线所过的点，结合图象分析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设 所在的直线过点 ，
设直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，
①若 所在的直线过点 ，如图，可得 ，
因为 ，即 ，则 ；
②若 所在的直线过点 ，如图，可得 ，
因为 ，即 ，则 ；③若 所在的直线过点 ，如图，可得 ，
因为 ，即 ，则 ；
综上所述： 的可能值为 .
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设 所在的直线过点 ，分类讨论 所在的直线所过的点，数形结合处理问
题.
三、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的 底线宽
码，球门宽 码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点
，使得 最大，这时候点 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点 处（ ，
）时，根据场上形势判断，有 、 两条进攻线路可供选择.若选择线路 ，则甲带球
码时， 到达最佳射门位置；若选择线路 ，则甲带球 码时，到达最佳射门位置.
【答案】【分析】若选择线路 ，设 ，利用两角差的正切公式可得出 关于 的表达式，利用基本
不等式可求得 的值及 的长；若选择线路 ，若选择线路 ，以线段 的中点 为坐标原
点， 、 的方向分别为 、 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以
及基本不等式可求得结果.
【详解】若选择线路 ，设 ，其中 ， ， ，
则 ， ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，此时 ，
所以，若选择线路 ，则甲带球 码时， 到达最佳射门位置；
若选择线路 ，以线段 的中点 为坐标原点， 、 的方向分别为 、 轴的正方向建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ， ，
直线 的方程为 ，设点 ，其中 ，
， ，所以，
，
令 ，则 ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 ，即当 时，等号成立，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，
此时， ，
所以，若选择线路 ，则甲带球 码时，到达最佳射门位置.
故答案为： ； .
8．（2023·全国·高三专题练习）若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－
5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x，y），AB的中点M为 ，
0 0
根据 解得答案.
【详解】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x，y），AB的中点M为 ，
0 0
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x－y－1＝0，
0 0
B在直线x－2y－5＝0上，得x－2y－5＝0，
0 0
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
