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◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎
1. 知识系统整合
2. 规律方法收藏
1.同一函数的判定方法
(1)定义域相同；
(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．
2.函数解析式的求法
(1)定义法；
(2)换元法；
(3)待定系数法；
(4)解方程(组)法；
(5)赋值法．
3.函数的定义域的求法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题
①若函数f(x)的定义域为[a，b]，函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①函数f(x)中的x与函数f[g(x)]中的g(x)地位相同．
②定义域所指永远是x的范围．
4.函数值域的求法
(1)配方法(二次或四次)；
(2)判别式法；
(3)换元法；
(4)函数的单调性法．
5.判断函数单调性的步骤
(1)设x ，x 是所研究区间内任意两个自变量的值，且x 0时，此时a＋1>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－ (舍去)；
②当1－a>1，即a<0时，此时a＋1<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a＝2(1＋a)
＋a，解得a＝－ ，符合题意．综上所述，a＝－ .
三、函数的单调性与奇偶性
单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关
系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、
证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．
奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，
常能使求解的问题避免复杂的讨论．
[典例3]（2020·邢台市第二中学高一开学考试）设函数 的定义域为R，并且满足
， ，当 时， .（1）求 的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果 ，求x的取值范围.
【解析】（1）令 ，则 ，∴ .
（2）令 ，得 ，
∴ ，故函数 是 上的奇函数.
（3）任取 且 ，则 .
∵
，
∴ .故 是 上的增函数.
∵ ，∴ ，
∴ .又由 是定义在 上的增函数，得 ，解得
四、函数图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握
函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于函数图象
正确地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、
易懂的优点．
[典例4] 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数的值域．
【解析】(1)证明：∵函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当0≤x≤3时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上单调递减，
在[－1,0)和[1,3]上单调递增．
(4)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)
的值域为[－2,2].
五、幂函数的图象问题
对于给定的幂函数图象，能从函数图象的分布、变化趋势、对称性等方面研究函数的
定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．注意图象与函数解析式中指数的关系，能够
根据图象比较指数的大小．
[典例5] 如图是幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图象，则a，b，
c，d的大小关系为( )
A.a
