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《函数的奇偶性》
《函数的奇偶性》选自人教版高中数学必修一
师：同学们大家好，现在开始上课。那么在正式上课之前呢，请大家拿出准备好的纸，在上
面画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形。然后以y轴为折痕将
纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，怎么样，大家完成了吗？
很好，然后我们将纸展开，观察坐标系中的图形，思考：将第一象限和第二象限的图形看成
一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊
的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？有没有同学有想法的？
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师：同学回答得很好，可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上
横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。
师：接着继续请同学们以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即
第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形，思考：将第
一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若
能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？有
同学愿意分享吗？
生：略
师：很好，可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；且若点（x，f(x)）
在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相
反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。
师：象上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点
对称的函数即是奇函数。我们今天学习函数的奇偶性。
生：略
师：所谓偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那
么f(x)就叫做偶函数。好，那大家能不能仿照偶函数的定义给出奇函数的定义呢？
生：略
师：很好，一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)
就叫做奇函数。这里需要注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇
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偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，
对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对
称）。那从刚才的操作过程中，同学们觉得具有奇偶性函数的图像有什么样的特征呢？
生：略
师：没错，偶函数的图象关于y轴对称；而奇函数的图象关于原点对称。接下来我们来看教
材P36例3，判断一下函数的奇偶性。
生：略
师：老师来总结一下，我们如何判断函数的奇偶性呢？可以利用定义判断函数奇偶性的格式，
步骤为：1、首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2、 确定f(－x)
与f(x)的关系；3、作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶
函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。函数具有奇偶性的一
个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是
否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数。那同学们能举几个简单的奇函数和
偶函数的例子，并画出其图象吗？我请两位同学上台。
生：略
师：从中可以看出他们的单调性具有什么特征？
生：略
师：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一
致。
师：很好，看来大家已经具有初步的归纳总结能力了。那接下来我们完成课堂练习，来检验
一下大家的学习成果。我请两位同学来黑板上做。
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师：我再请两位同学做小老师，你认为他们做的对吗，上来批改一下？
生：略
师：很好，看来大家掌握得不错。现在已经临近下课时分，那同学们，我们今天学习了什么
呢?你又有什么收获？
生：略
师：我们今天学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，
用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性
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与奇偶性的综合应用是今天的一个难点，大家回去之后好好消化。好，那今天的课就上到这
里，课后作业是书本P46页习题1.3。
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