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高一上册数学期中模拟卷02
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，分别求出集合 和集合 ，进而求出 .
【详解】
集合 ， ，
又 ， ，
.
故选：A.
2．已知函数 若 ，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式求出 ，结合 即可求出 ，进而得出结果.
【详解】
由题意知，
，
又 ，所以 ，所以 ，
解得 .
故选：C
3．二次不等式 的解集是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2,3为方程 的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.
【详解】
因为二次不等式，所以 ，
因为不等式 的解集是 ，
所以2,3为方程 的两个根，
所以 ，即
所以 .
故选：B
4．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】
由题可得函数 定义域为 ，且 ，故函数为奇函数，故排除BD，
由 ， ，故C错误，
故选：A.
5．已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由充分、必要条件定义即可得出答案.
【详解】
因为 ,所以“ ” “ ”，但“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得 的取值范围.
【详解】
函数 的对称轴为 ，
由于 在 上是减函数，所以 .
故选：B
7．已知正实数a、b满足 ，若 的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 = ，当 ，即 时等号成立，所以有 ，
将 化为 ，再利用基本不等式可求得 的范围.
【详解】
解：因为 为正实数，
= ，
当 ，即 时等号成立，
此时有 ，
又因为 ，
所以 ，
由基本不等式可知 （ 时等号成立），所以 .
故选：B.
8．已如图所示，函数 的图象由两条射线和三条线段组成.
若 ，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数 、 的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答.
【详解】
由图象知， ， ，
显然函数 是奇函数，则 ，
因此，函数 的图象与 的图象没有公共点，而 的图象是 的图象向右
平移2个单位而得，
于是得 ，当且仅当 ，解得 ，而 ，即有 ，
所以正实数 的取值范围为 .故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列选项中能表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． ， D． ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据两个函数相等，则其对应关系相同且定义域也相同，分别从对应关系和定义域两个方面分析判断．
【详解】
对于A： 的定义域为 ， 的定义域为 ，A不正确；
对于B、C：显然定义域均为 ，虽然解析式书写形式不一样，但对应关系相同，B、C正确；
对于D：显然定义域均为 ， ，则 ， ，D正确；
故选：BCD．
10．下列存在量词命题中，为真命题的是（ ）
A．有些自然数是偶数 B．至少有一个x∈ ，使x能同时被2和3整除
C． ，|x|<0 D． ，x2-2x+3=0
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用存在量词命题真假判断方法，逐项分析判断作答.
【详解】
对于A，2，4都是自然数，也都是偶数，A正确；
对于B，6是整数，6能同时被2和3整除，B正确；
对于C，因 是真命题，则 ，|x|<0是假命题，C不正确；
对于D，因 ， 成立，则 ， 是假命题，D不正确.故选：AB
11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．
若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据 列不等式判断AD，再根据基本不等式判断BC即可
【详解】
∴ .∴ ，解得 ，
同理 ，则A不正确.D正确：
∵ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，则B正确：
∵ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，则C正确.
故选：BCD.
12．已知 是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a， 都满足 ，则下述正
确的是（ ）
A． B． C． 是奇函数 D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 取特殊值代入已知表达式即可求解
【详解】
令 ，则 ，故A正确；
令 ，则 ，则 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ，
又令 ，则 ，
所以 是奇函数，故C正确；
令 ，则 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 ， ，则 的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求解．
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为：
14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听
了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲
座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．
【答案】172
【解析】【分析】
画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人 ．
故答案为：172
15．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在 上是减函数，实数 满足
，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质求出 的值，根据幂函数的单调性得到关于 的不等式解出即可.
【详解】
幂函数 在 上是减函数，
，解得 ，
， 或 ．
当 时， 为偶函数满足条件，
当 时， 为奇函数不满足条件，
则不等式等价为 ，即 ，在R上为增函数，
，解得： .
故答案为： .
16．已知函数 的定义域为 ，则当 ___________时， 取得最小值，且最小值为
___________.
【答案】 9
【解析】
【分析】
利用基本不等式即得.
【详解】
∵函数 的定义域为 ，
∴ ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，
此时 取得最小值，且最小值为9.
故答案为： ；9.
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
17．已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ， 恒成立，求：实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)-4<a≤0
【解析】
【分析】
（1）直接将 代入解析式，解方程即可得到答案；
（2）对 进行分类讨论，若 恒成立；若 则可得抛物线开口向下，且与 无交点；
(1)因为 ，
所以 ；
(2)当 时， 恒成立，
当 ，
综上所述：-4<a≤0时， 恒成立.
18．设集合 ，集合 ．
(1)若 ，求 ， ；
(2)设命题 ，命题 ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入 ，得集合B，利用交集与并集的定义求解；
（2）由题意判断出B A，因为 ，故根据集合端点满足的条件列式求解即可.
⊑
(1)因为 ，所以 ，所以 ， ；
(2)因为 是 成立的必要不充分条件，所以B A.又 ，故 不为空集，故 ，得
⊑
，所以实数 的取值范围 .
19．已知函数 ， ．
(1)当 时，写出函数 的单调区间和值域（不用写过程）；
(2)求 的最小值 的表达式．
【答案】(1)函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，函数 的值域为： ．
(2)
【解析】
(1)
当 时， 的对称轴为
∵
∴函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
则 ，
∴函数 的值域为： ．
(2)函数 的对称轴为 ，开口向上，
∵ ，则有：
①当 即a≤-4时，函数 在 上单调递增，
∴ ，
②当 即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，
③当 即a≥-8时，函数 在 上单调递减，
∴ ，
综上所述：
20．已知函数 .
(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由配凑法得 ，再结合 ，即可求出 的解析式；
（2）先求出 ，将题设转化为 在 上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值
即可求解.
(1) ，则 ，又 ，则
；
(2) ，又存在 使 成立，即在 上有解，
令 ，设 ，易得 在 单减，则 ，
即 ，故实数 的取值范围为 .
21．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有
力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降
对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该
产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4− . 已知生产该产品的固
定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为 万元 / 万件 (产品年平
均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)
(2)3万元
【解析】
【分析】
（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；
（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
(1)
由题意知，每万件产品的销售价格为 （万元），x= 4−
则2022年的利润 ．
(2)
∵当 时， ，
∴ ，（当且仅当 时等号成立）∴ ，当且仅当 万元时， （万元）．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
22．函数 的定义域为R，若存在常数 ，使得 对一切实数x均成立，则称
为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数 ， 是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
(2)若 是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；
(3)问实数k､b满足什么条件， 是“圆锥托底型”函数.
【答案】(1) 是， 不是，理由见解析
(2)2
(3) ，
【解析】
【分析】
（1）根据“圆锥托底型”函数的定义，分别代入 ， 判断即可；
（2）代入可得 对一切实数x均成立，当 时显然成立，再根据基本不等式求解 时的
情况即可；
（3）分 和 两种情况，结合“圆锥托底型”函数的定义分析即可
(1)
由题意，当 时， 恒成立，故 是“圆锥托底型”函数；对 ，考虑
时， 恒成立，即 恒成立，因为 ，故不存在常数 使得 对一切
实数x均成立，故 不是“圆锥托底型”函数
(2)
由题意， 对一切实数x均成立.当 时显然成立，当 时， 恒成立，又 ，当且仅当 时取等号.故M的最大值为2
(3)
若 是“圆锥托底型”函数则：
①当 时， 恒成立，即 即可，故当 时， 即可满足条件；
②当 时，若 ，则 为常数，不满足 恒成立.
若 时，令 ，解得 ，此时 无解，故当 时， 不
是“圆锥托底型”函数
综上，当 ， 时， 是“圆锥托底型”函数
