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第三章 复习
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）下列哪一组函数相等（ ）
x2
A.f (x)=x与g(x)= B.f (x)=x2与g(x)=(√x) 4
x
C.f (x)=|x|与g(x)=(√x) 2 D.f (x)=x2与g(x)=√3 x6
【答案】D
【解析】A选项：f (x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≠0} ∴两函数不相等
B选项：f (x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≥0} ∴两函数不相等
C选项：f (x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≥0} ∴两函数不相等
D选项：f (x)与g(x)定义域均为R，且g(x)=√3 x6=x2=f (x) ∴两函数相等
本题正确选项：D
2．（2019·全国高一课时练习）函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 得 或 .
所以函数的定义域为 .
故答案为：D
3．（2018·全国高一课时练习）设函数 ，则 的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，，
令 ，则 ，
，
，故选B.
4．（2012·全国高一课时练习）已知 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． 或 C． ， 或 D．
【答案】D
【解析】
该分段函数的三段各自的值域为 ，而
∴ ∴ ；
5．（2019·全国高一课时练习）下列函数中,是偶函数,且在区间 上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】选项B中，函数不具备奇偶性，选项C中，函数是奇函数，
选项A,D中的函数是偶函数，但函数 在区间 上单调递减，故选A.
6．（2019·全国高一课时练习）已知 ，若 ，则 等
于( )
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 ，所以 ，
所以 即 ，选D.
7．（2019·全国高一单元测试）关于函数 ，有下列结论
①函数是偶函数；
②函数在 上递减；
③函数在 上递增；
④函数在 上的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③ D．①③④
【答案】B
【解析】对于命题①，函数 的定义域为 ，关于原点对称，且
，该函数为偶函数，命题①正确；
对于命题②③④， ，
作出函数 的图象如下图所示：
可知函数 在区间 和 上单调递减，在区间 和 上单调递增，当
时， ，命题②④正确，命题③错误，故选：B.
8．（2019·全国高一单元测试）下列函数中，对任意 ，不满足 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项， ， ，等式 成立；
对于B选项， ， ，等式 成立；
对于C选项， ， ，等式 成立；
对于D选项， ， ，等式 不成立.
故选：D.
9．（2019·全国高一单元测试）2011年12月,某人的工资纳税额是 元，若不考虑其他因素,则他该月
工资收入为( )
级数 全月应纳税所得额 税率(%)
1 不超过 元 3
2 元 10
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去 (起征点)后的余额.
A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
【答案】A
【解析】设此人的工资为 元，纳税额为 ，则有 ，
当 时， ，故当 （元）时， ，
令 ，
则 （元），故选A.10．（2017·全国高一单元测试）若偶函数 在 上是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由偶函数 在 上是增函数，得 在 上是减函数， ，
，又因为 ，得 ，即 ，故选项为
D.
11．（2018·高平市建宁初级中学校高一单元测试）已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于
A.x2+2 B.x2-4x+4 C.x2-2 D.x2+4x+4
【答案】B
【解析】令 ，选B.
12．（2018·江西高一单元测试）已知函数 ,则f(1)－f(3)＝( )
A.－2 B.7
C.27 D.－7
【答案】B
【解析】
则
故选 。
二、填空题13．（2017·全国高一单元测试）已知 ，若 ，则 _______.
【答案】 或2
【解析】
因为 ，且 ，根据幂函数的性质可得 在 上是减函数，又
，所以 或 ，故答案为 或2.
14．（2019·全国高一单元测试）某汽车在同一时间内速度 (单位： )与耗油量 (单位： )之
间有近似的函数关系 ，则车速为_____ 时,汽车的耗油量最少.
【答案】35
【解析】因为 可化简
，故当 时，汽车的耗油量最少.
故填 .
15．（2017·全国高一单元测试）若函数 是奇函数，则a=______．
【答案】
【解析】
为奇函数，且定义域为 ，
则 ， 。
16．（2017·全国高一单元测试） 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且
f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
【答案】{x|－2<x<2}【解析】
因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0.
又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2,2)，
即f(x)<0的解集为{x|－2<x<2}．
三、解答题
17．（2017·全国高一单元测试）已知函数 ， .
（1）当 时，求 的最值；
（2）使 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）最小值 ，最大值35；（2） .
【解析】（1）当 时， ，
由于 ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值是 ，
又 ， ，故 的最大值是35.
（2）由于函数 的图象开口向上，对称轴是 ，
所以要使 在 上是单调函数，应有 或 ，
即 或 .故 的取值范围是 .
18．（2018·江西高一单元测试）已知函数 .
(1)求f(2)，f(x)；
(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数；
(3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．【答案】（1）f(2)＝1； .
（2）见解析.
（3）当x＝1时，f(x)有最小值 ；当x＝17时，f(x)有最大值 .
【解析】(1)令x＝1，则f(2)＝f(1＋1)＝1.
令t＝x＋1，则x＝t－1，
所以f(t)＝ ，即f(x)＝ .
(2)证明：任取1≤x≤x≤17，
1 2
因为f(x)－f(x)＝ －
1 2
＝ .
又1≤x＜x，所以x－x＜0，(x＋1)(x＋1)＞0，
1 2 1 2 1 2
所以 ＜0，即f(x)＜f(x)，
1 2
所以函数f(x)在[1，17]上为增函数．
(3)由(2)可知函数f(x)在[1，17]上为增函数，
所以当x＝1时，f(x)有最小值 ；
当x＝17时，f(x)有最大值 .
19．（2018·全国高一单元测试）设函数 为定义在 上的奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义法证明 在 上的单调性.
【答案】(1) ；(2) 在 上是减函数，证明见解析.
【解析】（1） 是奇函数， ，， ， .
经检验 为所求.
（2） 的单调减区间为 与 ，没有单调增区间，
当 时，设 ，
则 ，
，
在 上是减函数.
20．（2017·全国高一单元测试）f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为4，最小值为－8．
【解析】(1) 的定义域为 ，
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
， ， 是奇函数.
(2)设 ，
，
， ， ，即 ，在 上为减函数.
(3) ，
为奇函数， ，
， 在 上为减函数，
.
21．（2017·全国高一单元测试）已知函数f(x)＝ 为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
【答案】(1) b＝0(2)见解析(3) (1， )
【解析】(1)∵函数 为定义在 上的奇函数，
(2)由(1)可得 ，下面证明函数 在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明设 ，
则有 ，
再根据 ，可得 ， ， ，
即函数 在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式
可得
f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，
再根据函数 在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且
求得 ，故不等式的解集为(1， )．
22．（2017·全国高一单元测试） 某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟
0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．
(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函
数图象；
(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小
于t的最小整数)．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)如下图所示．
(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．
当0<t≤3时，话费y为0.2元；
当t>3时，话费y应为(0.2＋[t－3]×0.1)元．
所以y＝
