2005年内蒙古高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_内蒙古

2005 年内蒙古高考文科数学真题及答案 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3 至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 4 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k V  R3 3 次的概率P (k) CkPk(1P)nk 其中R表示球的半径 n n 一、选择题： Y 1．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 C （ ）   Y A． B． C．π D．2π 4 2 2．正方体ABCD—ABCD 中，P、Q、R分别是AB、AD、BC 的中点. 那么，正方体的过P、 1 1 1 1 1 1 Q、R的截面图形是 （ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．函数y  x2 1(x 0)的反函数是 （ ） A．y  x1(x  1) B．y   x1(x  1) C．y  x1(x 0) D．y   x1(x 0) 第1页 | 共8页  4．已知函数y  tanx在( , )内是减函数，则 （ ） 2 2 A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 5．抛物线x2  4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 x2 y2 6．双曲线  1的渐近线方程是 （ ） 4 9 2 4 3 9 A．y   x B．y   x C．y   x D．y   x 3 9 2 4 7．如果数列{a }是等差数列，则 （ ） n A．a a  a a B．a a  a a 1 8 4 5 1 8 4 5 C．a a  a a D．a a  a a 1 8 4 5 1 8 4 5 8．(x 2y)10的展开式中x6y4项的系数是 （ ） A．840 B．－840 C．210 D．－210 9．已知点A（ 3，1），B（0，0）C（ 3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E， 那么有BC CE,其中等于 （ ） 1 1 A．2 B． C．－3 D．－ 2 3 10．已知集合M {x|4 x 7|},N {x| x2 x60},则M N为 （ ） A．{x|4 x  2或3 x 7} B．{x|4 x  2或3 x 7} C．{x| x  x2或x 3} D．{x| x  x2或x 3} 11．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v (4,3)即点P的运动方向与v相同，且每秒移动 的距离为|v|个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 （ ） A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10） 12．△ABC的顶点B在平面内，A、C在的同一侧，AB、BC与所成的角分别是 30°和45°.若AB=3，BC=4 2 ，AC=5，则AC与所成的角为 （ ） A．60° B．45° C．30° D．15° 注意事项： 第2页 | 共8页1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 3．本卷共10小题，共90分． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.） Y 8 27 C 13．在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 . 3 2 Y 14．圆心为（1，2）且与直线5x12y7 0相切的圆的方程为 . 15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共 有 个. 16．下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 3 5 已知为第二象限的角，sin ,为第一象限的角，cos ,求tan(2)的值. 5 13 18．（本小题满分12分） 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本 场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求 （Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率； （Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001） 19．（本小题满分12分） 乙知{a}是各项为不同的正数的等差数列，lga、lga、lga 成等差数列，又 n 1 2 4 1 b  ，n=1，2，3…. n a 2n （Ⅰ）证明{b}为等比数列； n 7 （Ⅱ）如果数列{b}前3项的和等于 ，求数列{a}的首项a和公差d. n n 1 24 第3页 | 共8页20．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、 PB的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB； （Ⅱ）设AB= 2 BC，求AC与平面AEF所成的角的大小. 21．（本小题满分12分） 设a为实数，函数 f(x)  x3 x2 xa. （Ⅰ）求 f(x)的极值； （Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y  f(x)与x轴仅有一个交点. y2 22．P、Q、M、N四点都在椭圆x2  1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知PF与PQ 2 共线，MF与FN 共线，PFMF 0. 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 参考答案 1-6: CDBBDC 7-12: BACACC 13. 216; 14. (x1)2 (y2)2 4. 15. 192； 16. ①，④ 17.本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力， 满分12分 3 解：因为为第二象限的角，sin ，所以 5 4 3 24 cos 1sin2 ，tan ，tan2 5 4 7 5 12 12 为第一象限的角，cos ，sin ,tan  13 13 5 第4页 | 共8页24 12   tan2tan 7 5 204 所以tan(2)  ＝ 1tan2tan 24 12 253 1( ) 7 5 18.本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4 （Ⅰ）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则 P（A）＝0.63 0.216，P（B）＝C20.620.40.432 3 所以前三局比赛甲队领先的概率为P（A）＋P（B）＝0.648 （Ⅱ）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，所以所 求事件的概率为C20.420.620.40.138 5 19.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。 （Ⅰ）证明： lga 、lga 、lga 成等差数列，2lga lga lga ，即a 2 aa  1 2 4 2 1 4 2 1 4 又设等差数列a 的公差为d ，则(a d)2 a (a 3d)，即d2 ad n 1 1 1 1 1 1 1 d 0,d a 0，a a (2n 1)d 2nd，b     1 2n 1 n a d 2n 2n 1 1 这时b 是首项b  ，公比为 的等比数列。 n 1 2d 2 1 1 1 7 （Ⅱ）解： b b b  (1  ) ,d 3，  1 2 3 2d 2 4 24 a d 3 1 20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想 象能力。满分12分。 证明：（Ⅰ）证明：连结EP， PD底面ABCD，DE在平面ABCD内，PD DE。  又 CE ＝ ED ， PD ＝ AD ＝ BC ， RtBCE  RtPDE,PE  BE. F 为 PB 中点，∴ EF  PB.由三垂线定理得  PA AB，∴在RtPAB中，PF＝AF。 又PE＝BE＝EA， 第5页 | 共8页RtEFP RtEFA,EF  FA. PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF平面PAB。  （Ⅱ）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝ 2 ，PA＝ 2 ，AC＝ 3 ∴PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AFPB。 PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB平面AEF。  连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH平面AEF，GAH为AC与平面AEF所成 的角。 1 1 2 2 3 由EGC∽BGA可知EG＝ GB,EG  EB,AG  AC  ， 2 3 3 3 1 1 由ECH∽EBF可知GH  BF  ， 3 3 GH 3 ∴sinGAH   . AG 6 3 ∴AC与平面AEF 所成的角为arcsin . 6 21．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。 满分12分。 解：（I） f(x)3x22x1 1 若 f (x) 0，则x ,1. 3 当x变化时， f (x), f(x)的变化情况如下表：  1 1 1 x  ,   （－ ，1） 1 1,  3 3 3 f (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 1 5 所以 f(x)的极大值是 f( ) a，极小值是 f(1)a1。 3 27 （II）函数 f(x) x3 x2 xa (x1)2(x1)a1，由此可知x取足够大的正数 第6页 | 共8页时，有 f(x)0，x取足够小的负数时，有 f(x)0，所以曲线y  f(x)与x轴至少有一 个交点。结合 f(x)的单调性可知： 5  5  当 f(x)的极大值 a0，即a  , 时，它的极小值也小于0，因此曲线 27  27 y  f(x)与x轴仅有一个交点，它在1,上；当 f(x)的极小值a10，即a 1,  1 时，它的极大值也大于0，因此曲线y  f(x)与x轴仅有一个交点，它在 , 上。  3  5  所以当a  ,   1,时，曲线y  f(x)与x轴仅有一个交点。  27 22.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等 式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQMN，直线 PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为 k。 又PQ过点F（0,1），故PQ方程为y kx1，将 此式代入椭圆方程得 (2k2)x2 2kx10 设P、Q两点的坐标分别为x ,y 、x ,y ， 1 1 2 2 则 k 2k2 2 k 2k2 2 x  ，x  1 2k2 2 2k2 8(1k2)2 2 2(1k2) 从而|PQ|2(x x )2 (y  y )2  ，|PQ| 1 2 1 2 (2k2)2 2k2 1 2 2(1( )2) 1 k （1）当k 0时，MN的斜率为－ ，同上可推得|MN | k 1 2( )2 k 第7页 | 共8页1 1 4(1k2)(1 ) 4(2k2  ) 1 k2 k2 故四边形的面积S  |PQ||MN |  2 1 2 (2k2)(2 ) 52k2  k2 k2 1 4(2u) 1 令u k2  ，得S  2(1 ) k2 52u 52u 1 因为u k2  2， k2 16 当k 1时，u 2,S  ，且S是以u为自变量的增函数， 9 16 所以 S 2. 9 （2）当k 0时，MN为椭圆长轴，|MN |2 2,|PQ| 2 ， 1 S  |PQ||MN |2 2 16 综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 . 9 第8页 | 共8页