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清新区 2024-2025 学年高三上学期 12 月期末四校联考
数学试题
满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中， ，则 （ ）
A. 4 B. C. 8 D. 5
4. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知F，F 分别是双曲线C： 的左、右焦点，点P在双曲线上， ，
1 2
圆O： ，直线PF 与圆O相交于A，B两点，直线PF 与圆O相交于M，N两点．若四
1 2
边形AMBN的面积为 ，则C的离心率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，
则实数 （ ）
A. B. C. D.
7. 甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科
甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加 的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 在区间 上有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每题至少两项是符合题目要求的．
全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 在正方体 中，M，N，P分别是面 ，面 ，面 的中心，则下列结论正确的
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 平面
的
C. 平面 D. 与 所成 角是
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若 ，则 的最大值为2
D. 若 ，则
11. 已知圆 ，圆 分别是圆 与圆 上的点，则（
）
.
A 若圆 与圆 无公共点，则
B. 当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C. 当 时，则 斜率的最大值为
D. 当 时，过 点作圆 两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
12. 已知函数 ， ，其中 且 ．若函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 有且只有一个零点
B. 当 时， 有两个零点
C. 当 时，曲线 与曲线 有且只有两条公切线
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学科网（北京）股份有限公司D. 若 为单调函数，则
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区
共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为 ，记 为该区代表中被抽到发言的
人数，则 ______.
14. 函数 是奇函数，则 __________.
15. 已知向量 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是
______________．
16. 如图，在四棱柱 中，底面ABCD为正方形， ， ， ，
且二面角 的正切值为 ．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱
内运动， ，则 的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最小值.
18. 设 是等比数列且公比 大于0，其前 项和为 是等差数列，已知 ，
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（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求满足 的最大整数 的值．
19. 在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ， ，
（1）求四棱锥 的体积；
的
（2）求直线 与平面 夹角 正弦值．
20. 甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立．
（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
（2）赛事主办方需要预支球队费用 万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场
收入200万元．主办方该如何确定 的值，才能使其获利（获利=总收入 预支球队费用）的期望高于 万
元？
21. 抛物线 ： ，双曲线 ： 且离心率 ，过曲线 下支上的一点
作 的切线，其斜率为 .
（1）求 的标准方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）直线 与 交于不同的两点 ， ，以PQ为直径的圆过点 ，过点N作直线 的垂线，垂足
为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说
明理由.
22. 已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线 与曲线 交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为常数？
若存在，求出点 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
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