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清新区 2024-2025 学年高三上学期 12 月期末四校联考
数学试题
满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得集合 ，再根据交集定义得解.
【详解】∵ ，
，
∴ ，
故选：D.
2. 复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】令 则 ．由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
3. 在等比数列 中， ，则 （ ）
A. 4 B. C. 8 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由等比数列基本量的计算首先得公比，进一步得首项，由此即可得解.
【详解】由题意 ，所以 ，即等比数列公比为 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：A.
4. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把抛物线方程化为标准形式，结合准线方程的特点进行求解即可.
【详解】抛物线C的标准方程为 ，所以其准线方程为 ，
故选：B
5. 已知F，F 分别是双曲线C： 的左、右焦点，点P在双曲线上， ，
1 2
圆O： ，直线PF 与圆O相交于A，B两点，直线PF 与圆O相交于M，N两点．若四
1 2
边形AMBN的面积为 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ，有 ， ， ，由弦长公式可得
， ，四边形AMBN的面积为 ，解得
，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O： ，圆心为 ，半径为 ，
设 ， ，点P在双曲线上， ，则有 ， ，可得
，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为 的中点，则 ， ，
同理， ，由 ，
四边形AMBN的面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，化简得 ，则有
，则C的离心率 .
故选：D
6. 过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，
则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取圆 上任意一点P，过P作圆 的两条切线 ， ，根据题
中条件，求出 ，进而可求出结果.
【详解】取圆 上任意一点P，
过P作圆 的两条切线 ， ，
当 时， 且 ， ；
则 ，所以实数 .
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：C
【点睛】本题主要考查求由直线与圆相切求参数，属于基础题型.
7. 甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科
甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由排列组合知识结合概率公式即可得解.
【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，
所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，
当分配方案为2，2，1时，共有 种不同的选择方案；
当分配方案为3，1，1时，共有 种不同的选择方案；
所以满足要求的不同选择种数为 ；
所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为 .
故选：C.
8. 已知函数 在区间 上有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 得，则 ，
所以由题意可得， ，解得 .
故选：D
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每题至少两项是符合题目要求的．
全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 在正方体 中，M，N，P分别是面 ，面 ，面 的中心，则下列结论正确的
是（ ）
A. B. 平面
C. 平面 D. 与 所成的角是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．利用三角形中位线进行证明；B．通过线面平行的定理证明；C．通过线面垂直的性质进行判
断；D．通过平行的传递性找出 即为 与 所成的角，即可求出答案．
【详解】连接 ，则 是 的中位线，∴ ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司连接 ， ，则 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，即 平面 ，故B正确；
连接 ，则平面 即为平面 ，显然 不垂直平面 ，故C错误；
∵ ，∴ 或其补角为 与 所成的角， ，故D正确．
故选：ABD．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若 ，则 的最大值为2
D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
因为 的等号成立条件 不成立，所以B错误；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以D正确.
故选：AD
11. 已知圆 ，圆 分别是圆 与圆 上的点，则（
）
A. 若圆 与圆 无公共点，则
B. 当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C. 当 时，则 斜率的最大值为
D. 当 时，过 点作圆 两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，当两圆内含时即可判断错误；对于B，两圆方程相减即可验算；对于C，画出公切线通
过数形结合即可验算；对于D，画出圆 两条切线，通过数形结合即可验算.
【详解】对于选项A，当两圆内含时， 可以无穷大，所以A不正确；
当 时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为 ，所以B为正确选项；
对于选项B，当 时如图，
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学科网（北京）股份有限公司和 为两条内公切线，且 ，
由平面几何知识可知 ，
所以可得 ，
即 斜率的最大值为 ，C选项正确；
对于D选项，如图，
点P在 位置时 ，
点 在 位置时 ，
所以中间必然有位置使得 ，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：判断CD两选项的关键是准确画出图形，通过数形结合即可顺利得解.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 ， ，其中 且 ．若函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 有且只有一个零点
B. 当 时， 有两个零点
C. 当 时，曲线 与曲线 有且只有两条公切线
D. 若 为单调函数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A. 通过举特例说明该选项错误；B. 考虑 ，
求出函数的单调性，分析图象得到 有两个零点；C．求出两曲线的切线方程，再建立方程组，转化为
零点个数问题分析得解；D. 分 单调递增和单调递减讨论，从而求出 得解.
【详解】对A， 令 ，
令 或 都成立， 有两个零点，故A错误；
对B， 令
，（ ）.考虑
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
.
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学科网（北京）股份有限公司考虑
所以函数 在 单调递增，在 单调递减， 当 时，
,所以当 时，有两个零点.
此时 ，故B正确；
对C，设 ， .
设切点
所以 .
①
②
,
,
设 ，
所以 ，
所以函数 在 单调递减，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
所以 有两解，所以当 时，曲线 与曲线 有且只有两条公切线，所以该选
项正确；
对D，若 单调递增，则 .
.考虑 不满足.
若 单调递减，则 .
所以 考虑 不满足.
当 时， 不满足.
当 时，
，∴ .故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题主要有四个关键，其一，是逻辑思维，证明命题是错误的，只要举出反例即可；
其二，要熟练掌握利用导数讨论函数的零点个数；其三，是理解掌握曲线公切线的研究方法；其四，要会
根据函数的单调性求参数的范围.
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区
共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为 ，记 为该区代表中被抽到发言的
人数，则 ______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意可知随机变量为 ，利用方差公式 从而可求解.
【详解】由题意知随机变量为 ，
所以 ，
故答案 ：为.
14. 函数 是奇函数，则 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解 ，再代入函数解析式求值.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 是奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
则 .
故答案为：1
15. 已知向量 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是
______________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为 的一个充分不必要条件进而求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以使 成立的一个充分不必要条件是 .
故答案为： （答案不唯一）
16. 如图，在四棱柱 中，底面ABCD为正方形， ， ， ，
且二面角 的正切值为 ．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱
内运动， ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得 到平面 的距离，然后利用对称法以及三点共线等知识求得 的最小值.
【详解】连接 ，交 于 ，设 是 的中点，连接 .
由于 ， 是 的中点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由于 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ， ，
由于 分别是 的中点，所以 ，
由于 ，所以 ，由于 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以三角形 是等腰直角三角形，所以 ，
由于 平面 ，
所以 平面 ，且 .
由于 ，所以 点的轨迹是以 为球心，
半径为 的球面在四棱柱 内的部分，
关于平面 的对称点为 ，
连接 ，交平面 于 ，
所以 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】求解二面角有关问题，关键是找到二面角的平面角，二面角的平面
角的定义是：在二面角的交线上任取一点，然后在两个半平面内作交线的垂线，所得角也即是二面角的平
面角.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得 ，进而可求解，
（2）根据面积公式以及余弦定理，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得：
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ， ，
，
；
【小问2详解】
， ，
由余弦定理得： ，
当且仅当 时等号成立，
，即 的最小值为 .
18. 设 是等比数列且公比 大于0，其前 项和为 是等差数列，已知 ，
．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求满足 的最大整数 的值．
【答案】（1） ， ；
（2）9.
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；
（2）先拆项分母得 ，再利用裂项相消法求和，进而解不等式求满足 的最
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学科网（北京）股份有限公司大整数 的值.
【小问1详解】
设 的公比为 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，
设 的公差为 ，
为
因 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ．
故 ， .
【小问2详解】
，
即 .
所以
.
，化简得 ，又 ，解得 .
所以满足 的最大整数 .
19. 在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司（1）求四棱锥 的体积；
的
（2）求直线 与平面 夹角 正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，可证 平面 ，则 为四棱锥
的高，利用锥体体积公式求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量和平面 的法向量，线面角的正弦值即为直线的方
向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值，求解即可.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
在正方形 中， ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以四棱锥 的体积为 ；
【小问2详解】
过 作 交 于 ，则 ，
结合（1）中 平面 ，故可建如图空间直角坐标系：
则 ， ， ，D(0,1,0)，
故 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，取 ，则 ， ，所以 ，
设直线 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 夹角的正弦值为 .
20. 甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前
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学科网（北京）股份有限公司期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立．
（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
（2）赛事主办方需要预支球队费用 万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场
收入200万元．主办方该如何确定 的值，才能使其获利（获利=总收入 预支球队费用）的期望高于 万
元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；
（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定 的值.
【小问1详解】
记事件 为“比赛进行4场结束”；事件 为“甲最终获胜”，
事件 表示“第 场甲获胜” ，
事件 为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件 为“比赛进行4场结束乙获胜”．
则 ，
因为各场比赛结果相互独立，
所以
，
，
因为 互斥，所以 ．
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以由条件概率计算公式得 .
【小问2详解】
设主办方本次比赛总收入为 万元，
由题意： 的可能取值为： ．
，
，
，
则随机变量 的分布列为：
300 500 700
0.3
0.26 0.37
7
所以 ．
设主办方本次比赛获利为 万元，则 ，
所以 ，
由题意： ，
所以预支球队的费用应小于261万元．
21. 抛物线 ： ，双曲线 ： 且离心率 ，过曲线 下支上的一点
作 的切线，其斜率为 .
（1）求 的标准方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）直线 与 交于不同的两点 ， ，以PQ为直径的圆过点 ，过点N作直线 的垂线，垂足
为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说
明理由.
【答案】（1） ；
（2）存在， ，定点 .
【解析】
【分析】（1）写出切线方程并与抛物线方程联立求出点M坐标，再结合离心率求出双曲线方程作答.
（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设出直线方程并与 的方程联立，借助韦达定理及向量数量积求出直
线PQ过定点E，直线PQ垂直于y轴，验证也过定点E，取线段EN中点即可作答.
【小问1详解】
切线方程为 ，即 ，由 消去y并整理得：
，则 ，解得 ，即 ，
由 离 心 率 得 ， 即 ， 双 曲 线 ， 则
，
所以双曲线 的标准方程为： .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司当直线PQ不垂直于y轴时，设直线 方程为 ， ， ，
由 消去x并整理得： ，
有 ， ， ，
， ，因以 为直径的圆过点 ，则当P，Q与N都不重合时，
有 ，
，当P，Q之一与N重合时， 成立，于是得 ，
则有
，即 ，
整理得 ，即 ，
因此 ，解得 或 ，均满足 ，
当 时，直线 ： 恒过 ，不符合题意，
当 时，直线 ： ，即 恒过 ，符合题意，
当直线PQ垂直于y轴时，设直线 ，由 解得 ，
因以 为直径的圆过点 ，则由对称性得 ，解得 ，直线 过点
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学科网（北京）股份有限公司，
于是得直线 过定点 ，取EN中点 ，因 于H，从而 ，
所以存在定点D，使得 为定值 ，点 .
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，
借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
22. 已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线 与曲线 交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为常数？
若存在，求出点 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知可求出 ， ，即可求出双曲线的方程；
（2）设 ， ， .设出直线方程，与双曲线方程联立得到
，根据韦达定理求出 ，用点的坐标表示出 ，整理得
到 ，因为该式为常数，所以有 ，求出 ，代入即可求出常
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学科网（北京）股份有限公司数.
【小问1详解】
由已知可得，双曲线的渐近线方程为 ，双曲线焦点 ， .
则 到渐近线 ，即 的距离为 ，所以 ，
又渐近线的斜率为2，即 ，所以 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
由已知可得，直线 的斜率存在，设斜率为 ，则 .
联立直线 的方程与双曲线的方程 可得， ，
设 ， ， .
当 ，即 时，此时直线 与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以 ， .
，解得 ，且 .
由韦达定理可得， ，且 ， .
又 ， ，
则 ，
因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
要使 为常数，则 应与 无关，
即应有 ，解得 ，此时 是个常数，这样的点 存在.
所以，在 轴上存在定点 的坐标为 ，使得 为常数.
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学科网（北京）股份有限公司
