文档内容
3.2.2 奇偶性
【本节明细表】
知识点、方法 题号
奇偶函数的图象特征 1,5
奇偶性的概念与判定 2,8
利用奇偶性求参数 3,6
利用奇偶性求函数值 4,7
利用奇偶性求解析式 9
奇偶性与单调性的综合应用 10,11,12
基础巩固
1.下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是( )
(A)y=|x| (B)y=1-x
(C)y= (D)y=-x2+4
【答案】A
【解析】选项B中,函数不具备奇偶性;选项C中,函数是奇函数;选项A,D中的函数是偶函数,但函数y=-
x2+4在区间(0,1)上单调递减.故选A.
2.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )
(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)
(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)
【答案】B
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.
对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.
对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,
对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.
3.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1, 2a]上的偶函数,那么a+b等于( )
1 1
(A)0 (B) (C) (D)-1
2 3
【答案】C
{a-1+2a=0 { 1
a= 1
【解析】依题意有 b ,解得 3所以a+b= .故选C.
- =0 3
2a b=04.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 018)=k,则f(-2 018)等于( )
(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k
【答案】D
【解析】设g(x)=ax3+bx,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为f (2 018)=k,则g(2 018)=f(2 018)-
1=k-1,所以g(-2 018)=-g(2 018)= 1-k.所以f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选D.
5.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( )
(A)-2 (B)2
(C)1 (D)0
【答案】A
1 3
【解析】由图知f(1)= ,f(2)= ,
2 2
3 1
又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=- - =-2.
2 2
故选A.
6.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,则k等于 .
【答案】1
【解析】由于函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,因此k-1=0,k=1.
7.若函数f(x)= 为奇函数,则f(g(-1))= .
【答案】-15
【解析】根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,
g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,
则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.
8、判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；（3） ；
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数
【解析】（1） 有意义，则 ，即 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
因此，函数 是非奇非偶函数；
（2）解法一：定义法
当 时， ，
， ；
当 时， ，
， .
所以，函数 为奇函数；
解法二：图象法
作出函数 的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数 为奇函数；
（3）由题意可得 ，所以 且 ，
所以，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以，函数 为偶函数；能力提升
9.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时函数 f(x) 是减函数,则f(-3),f(π),f(-3.14)的大小关系
为( )
(A)f(π)=f(-3.14)>f(-3)
(B)f(π)f(-3.14)>f(-3)
(D)f(π)f(|-3.14|)>f(π),
所以f(π)0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2).
11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数
f(x)的增区间;
(2)写出函数f(x)的值域.
【答案】见解析
【解析】(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图:所以f(x)的递增区间是(-1,0),(1,+∞).
(2)由函数图象可知,f(x) =f(-1)=-1,
min
故f(x)的值域为[-1,+∞).
素养达成
12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x,y∈R,当x+y≠0时,都有 >0.
(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)因为a>b,所以a-b>0,
由题意得 >0,
所以f(a)+f(-b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-b)=-f(b),
所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,
因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,
所以f(1+m)≥-f(3-2m),
即f(1+m)≥f(2m-3),
所以1+m≥2m-3,
所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(-∞,4].
