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专题 13 数列的性质必刷小题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知 为等差数列 的前n项和，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由等差数列的基本量法求出首项 和公差 ，然后再求得
【详解】
设公差为 ，则 ，解得 ，故 ．
故选：C．
2．已知 为等比数列， 是它的前n项和．若 ，且 与 的等差中项为 ，则 （
）
A．29 B．31 C．33 D．35
【答案】B
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由已知可得 和 ，代入等比数列的求和公式即可
【详解】
因为 ，
，
，
所以 ，，
故选：B.
3．已知数列 的通项公式是 ，则 （ ）
A． B． C．3027 D．3028
【答案】A
【分析】
根据数列 的通项公式， ，利用并项求和
法即可得出答案.
【详解】
解：由 ，
得
.
故选：A.
4．在等比数列 中，已知 ， ，则 （
）
A．63 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由于 ，然后利用等比数列的性质结合已知条件可得结果
【详解】
解：由等比数列性质 及 得故选：A
5．记 为正项等比数列 的前 项和，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知求 的公比 ，再由 即可得结果.
【详解】
设公比为 ，则 ，得 ，解得 （ 舍去），
∴ .
故选：A.
6．等差数列{a }的首项为1，公差不为0.若a，a，a 成等比数列，则{a }前6项的和为（ ）
n 2 3 6 n
A．－24 B．－3
C．3 D．8
【答案】A
【分析】
由等差数列的通项公式与求和公式求解即可
【详解】
根据题意得
，即(a＋2d)2＝(a＋d)(a＋5d)，
1 1 1
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{a}的前6项和为 .
n
故选：A7．已知数列 的前 项和为 ，且 满足 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】B
【分析】
确定数列为等差数列，然后由基本量法求得公差和首项的可得结论．
【详解】
因为 ，所以数列 是等差数列，
则 ， ，
， ，
所以 ．
故选：B．
8．若 为数列 的前 项和，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用 求得 .
【详解】
时， .
时， ，
，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .
故选：B
9．在公差大于0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的
前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
【答案】B
【分析】
根据等差数列的通项公式，由 ，求得 ，再由 ， ， 成等比数列，求得 ，
得到 ，结合并项求和，即可求解.
【详解】
由题意，公差 大于0的等差数列 中， ，
可得 ，即 ，
由 ， ， 成等比数列，可得 ，
即为 ，解得 或 （舍去），
所以数列 的通项公式 ，
所以数列 的前21项和为：
.
故选：B.
10．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
【答案】D【分析】
利用等差数列通项公式列出方程，求出 ， ，再由等差数列前 项和公式能求出结果．
【详解】
解：在等差数列 中，
， ，
，
解得 ， ，
．
故选： ．
11．记等比数列 的前 项和为 ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等比数列的性质即可求解.
【详解】
由等比数列的性质可得 ，即 ，解得 .
故选:C
12．已知 为等比数列 的前n项和， ， ，则 （ ）．
A．30 B． C． D．30或
【答案】A
【分析】
利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.
【详解】
由 得 ，则等比数列 的公比 ，则 得 ，令 ，则 即 ，
解得 或 （舍去）， ，则 ．
故选：A．
13．已知数列 为等差数列，其前n项和为 ， ，则 （ ）
A．110 B．55 C．50 D．45
【答案】B
【分析】
根据给定条件结合等差数列的性质计算出 ，再利用前n项和公式结合等差数列的性质计算即得.
【详解】
在等差数列 中， ，于是得 ，
所以 ．
故选：B.
14．数列 中的前n项和 ，数列 的前n项和为 ，则 （ ）.
A．190 B．192 C．180 D．182
【答案】B
【分析】
根据公式 计算通项公式得到 ，故 ，求和得到答案.
【详解】
当 时， ；
当 时， ，经检验 不满足上式，所以 ，
，则 ， .
故选：B.
15．已知数列 的前n项积为 ，且满足 ，若 ，则 为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由数列 是周期为4的数列，根据周期性即可求解.
【详解】
解：因为 ， ，所以 ， ， ， ，…，
所以数列 是周期为4的数列，
因为 ，
所以 ，
故选：D.
16．在等比数列 中，公比为 ，前6项的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等比数列和公式计算 ，再计算 得到答案.
【详解】，故 ，故 .
故选：B.
二、多选题
17．已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若点 在函数 为常数 的图象上，则 为等差数列
B．若 为等差数列，则 为等比数列
C．若 为等差数列， ， ，则当 时， 最大
D．若 ，则 为等比数列
【答案】AB
【分析】
结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
A，依题意 ，所以 为等差数列，A正确.
B，依题意 ， ，所以 为等比数列，B正确.
C， ，所以 或 ， 最大，C错误.
D， ，所以 不是等比数列.
故选：AB
18．已知等差数列 的前n项和为 ，若 且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意和等差数列前n项和公式可得 ，结合 和等差数列的性质依次判断选项即可.
【详解】
，
公差 ，A错，B正确．
对于C， ，C正确．
对于D， ，D错误，
故选：BC．
19．数列{a }的前n项和为S ， ，则有（ ）
n n
A．S ＝3n－1 B．{S }为等比数列
n n
C．a ＝2·3n－1 D．
n
【答案】ABD
【分析】
根据 求得 ，进而求得 以及判断出 是等比数列.
【详解】
依题意 ，
当 时， ，
当 时， ，
，所以 ，
所以 ，所以 .
当 时， ；当 时， 符合上式，所以 .
，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
20．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
先由 ，以及等差数列的性质可得 ， ，然后根据等差数列通项公式，求和公式
依次判断即可.
【详解】
由 ，得 ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
，
由 ，得 ，
故选：ACD.
21．已知S 为等差数列{a }的前n项和，a＋S＝－18，a＝－a，则（ ）
n n 3 5 6 3A．a ＝2n－9 B．a ＝2n－7
n n
C．S ＝n2－8n D．S ＝n2－6n
n n
【答案】AC
【分析】
利用等差数列的前n项和公式以及通项公式求出首项与公差进而可以求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ．又 ，所以 ， ，则 ， ．
故选：AC.
22．设等比数列 的各项都为正数，其前n项和为 ，已知 ，且存在两项 ，使得
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由已知， ，从而可求出 ，然后利用等比数的通
项公式和求和公式分析判断即可
【详解】
设等比数列 的公比为 ，由已知， ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ．
因为 ，则 ，即 ，所以 ，
故选：ABC．
23．设 是数列 的前 项和， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．数列 的前 项和为B．数列 为递增数列
C．数列 的通项公式为
D．数列 的最大项为
【答案】ABD
【分析】
由已知数列递推式可得 ，结合 ，得数列 为以1为首项，以1为公差的等差数列，
求出其通项公式，可得 ，结合 求数列 的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：由 ，得 ，
，即 ，
又 ， 数列 为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，可得 ，故 正确；
当 时， ，
， 数列 的最大项为 ，故 错误， 正确．
故选： ．
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知等比数列 满足 ，则 _________．【答案】84
【分析】
设公比为q，求出 ，再由通项公式代入可得结论．
【详解】
设公比为q，则 ，解得
所以 ．
故答案为：84．
25．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ，则满足 的最大的正
整数 等于_________．
【答案】25．
【分析】
由 ，化简整理得到 ，求得 ，进而求得 时， ，
根据 ，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意数列 的各项均为正数，且满足 ，
当 时，可得 ，
整理得 ，
又由 ，所以数列 表示首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
因为数列 的各项均为正数，可得 ，
所以当 时， ，
当 时， ，由 ，即 ，即 ，
又由 ，所以 ，所以满足 的最大的正整数 等于 .
故答案为： .
26．已知数列 的首项 ，满足 ，则 __________.
【答案】
【分析】
利用累加法来求得 .
【详解】
依题意 ， ，
所以
.
故答案为：
27．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中
国的末代皇帝溥仪 也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有
个圆环，用 表示按照某种规则解下 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列 满足
， ， ，则 _______．【答案】
【分析】
利用累加法可求得 的值.
【详解】
当 且 时， ，
所以， .
故答案为： .
28．已知 为数列 的前 项和，数列 是等差数列，若 ， ，则 ___________.
【答案】
【分析】
先求得 的通项公式，由此求得 ，利用 来求得 .
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，所以 ，
所以 ，由 ，可得 .
故答案为：
29．正项等差数列 的前 和为 ，已知 ，则 =__________.
【答案】45
【分析】
根据题意可得 ，再根据 ，求得 ，再利用等差数列前n项和的公式即可得解.【详解】
解：由等差数列 可得 ，
又 ，则 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：45.
30．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ________________．
【答案】
【分析】
根据题意列出方程组，求得 的值，求得数列的通项公式 ，得到 ，进而求得
的值.
【详解】
由题意，等差数列 的前 项和为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
可得 3，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： ．任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．设数列 满足 ，则数列 的前n项和 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题得 （1）， ,（2），两式相减求
出 即得解.
【详解】
由题得 （1），又 （2），
（2）-（1）得 适合 .
所以 ，所以数列 是以 为首项，以 的等比数列，
所以 .
故选：C
2．已知等差数列 且 ，则数列 的前13项之和为（ ）
A．26 B．39 C．104 D．52
【答案】A
【分析】
根据等差数列的性质化简已知条件可得 的值，再由等差数列前 项和及等差数列的性质即可求解.
【详解】
由等差数列的性质可得： ， ，
所以由 可得： ，
解得： ，
所以数列 的前13项之和为
，
故选：A
3．已知公比不等于 的等比数列 的前 项乘积为 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得到 ，再根据公比不等于 ，得到 ， ，再逐项判断.
【详解】
由 ，
得 ，
因为 的公比不等于 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
，
所以 ，
故选：C.
4．设数列 和 的前 项和分别为 ， ，已知数列 的等差数列，且 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设等差数列 的公差为 ，进而根据等差数列的通项公式计算得 ，故 ， ，再根据
等差数列前 项和公式求解即可。
【详解】
解：由 ，得 ，设等差数列 的公差为 ，所以 得 解得
所以 ．则 ，
所以 ．所以数列 的前 项和 ，
数列 的前 项和 ，
则 ．
故选：D
5．数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A．数列 是公比为2的等比数列 B．
C． 既无最大值也无最小值 D．
【答案】D
【分析】
根据 间的关系求出 ，进而判断A,B；然后求出 ，根据数列的增减性判断C；最后通过等比
数列求和公式求出 ，进而判断D.
【详解】
由题意， 时， ，又 ，解得： ，
时， ，则 ，又 ，
所以数列 从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；易得， ，则 ，B错误；
时， ， 时， ，而 是递减数列，所以 时，
.
综上： 有最大值1.C错误；
时， ，满足题意； 时， ，于是，
.D正确.
故选：D.
6．已知数列 满足： ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合已知条件，对 取倒数，然后构造等比数列即可求解.
【详解】
由题意， ，即 ，故 ，又因为 ，所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而 ，解得 .
故选：C.
7．已知数列 满足 ， （ 且 ），数列 的前n项和为
S ，则（ ）
n
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由递推关系可得 ，由此可化简求出.
【详解】
因为 （ 且 ），同除以 ，得 ，
所以 ，
，所以 ，即
.
故选：A.
8．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【分析】
应用等差数列片段和性质： 成等差数列，求 即可.【详解】
由等差数列片段和的性质： 成等差数列，
∴ ，可得 ，同理可得 ，
∴ ，可得 .
故选：D
9．已知数列 满足 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意求出 ，判断出数列 递减，且 ，再对 两边取倒数，然后平方整理得
，再利用单调性进行放缩，可得出当 时， ，结合不
等式的性质即可得解.
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，即数列 递减，则 ，∵ ，
∴两边取倒数得 ，即 ，则 ，
∵数列 递减，
∴当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ， ， ，
，
∴根据不等式的性质可得 ，即 ，
∴ .
故选：B.
10．已知数列 满足 ， ，设 ，若数列 是单调递
减数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将递推关系式整理为 ，可知数列 为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得
，从而得到 的通项公式；根据数列 的单调性可采用分离变量法得到 ，结合导数的知识可求得 ，由此可得结果.
【详解】
由 得： ．
，即 ，
是公差为 的等差数列． ， ，
， ．
是递减数列， ， ，即 ，
即 ． 只需 ，
令 ，
，
在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， ， 当 时， ，
即 ， ，即实数 的取值范围是 ．
故选：B．
11．在数列 中， ，则 （ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
【答案】B【分析】
令 ，故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，进而得当 时，
是单调递减数列，当 时， 是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.
【详解】
解：令函数 ，
由对勾函数的性质得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 是单调递减数列，当 时， 是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
12．已知数列 满足 ，若 ，则 =（ ）
A．-1 B．
C．1 D．2
【答案】B
【分析】
利用递推公式，可验证出数列 为周期为 的周期数列，从而可得 .
【详解】
由题可知， ，且 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
数列 为周期为 的周期数列，
.
故选：B.
13．记首项为1的数列 的前 项和为 ，且 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
当 时，结合 化简已知条件，由等差数列的定义可得 为等差数列，求出 即可得 ，
将 代入即可求解.
【详解】
当 时， ，
则 ，即 ，
可得 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ， ，
所以 ，
故选：D.
14．设 为数列 的前 项和， ，且 .记 为数列 的前 项和，
若对任意 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
由已知得 .再求得 ，从而有数列 是以 为首项， 为公比的等比数
列，由等比数列的通项公式求得 ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得 ，从而求得
得答案.
【详解】
解：由 ，得 ，∴ .
又由 ，得 ，又 ，∴ .所以 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ .
∴ .
∵对任意 ， ，∴ 的最小值为 .
故选：B.
15．设等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ， ，且 ， ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先利用条件 求出公比 的值，然后利用等比数列求和公式以及 可求出正整数 的
值.
【详解】
因为 ，
所以 ，得到 ，
因为 ，所以 .
由 ，得 ，又 ，
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，解得 ，
故选：B
16．设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A．510 B．511 C．512 D．514
【答案】A
【分析】
通过给 赋值，分奇数和偶数找出数列之间的关系，再求前60项的和即可
【详解】
当 时， ，当 时， ；
当 时， ，当 时， ；
当 时， ，当 时， ；
由上述递推式可得： ，
， ， ，即 ， ，
故 ， ，
，故 ，
故选：A
17．设等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 和为 ，已知 ，若
，则正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设等差数列 的公差为d，根据 求得公差d，即可求得数列 的通项，从而求得数列
的通项，再根据裂项相消法求得数列 的前 和为 ，从而可得出答案.【详解】
解：设等差数列 的公差为d，
，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
18．已知数列 满足 ， ，若 前n项之和为 ，则满足不等式
的最小整数n是（ ）
A．60 B．62 C．63 D．65
【答案】C
【分析】
由已知得 ，由此有数列 是首项为4，公比为 的等比数列，运用分组求和法
求得 ，建立不等式，解之可得选项.
【详解】
解：根据题意，数列 ， 中满足 ，即 +1，所以
，又由 ，则数列 是首项为4，公比为 的等比数列，则 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 单调递增, <2021, >2021，故满足不等式 的最小整数
为63．
故选：C．
19．已知函数 的图像过点 ，且 ， ．记数列 的前 项和为（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
代入点坐标可得 ，即 ，裂项相消法求和即可得
【详解】
由 ，可得 ，
解得 ，则 ，
∴ ，
∴
．
故选：D
20．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，数列 的通项 ，则使得 恒成立的最小的k值最接近（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
由数列的递推式可得 ，求得 ，再由等差数列的求和公式和定义，
即可得到 ，再利用放缩法，结合数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得解．
【详解】
解：因为 ， ，
可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
，
则 ，
所以 ，
可得 ，
又 ， 恒成立．
故选：B.
二、多选题
21．已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下列选项正
确的是( )
A． B．C． 有最大值 D．当 时， 的最大值为21
【答案】BC
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式，列出关于 和 方程组，化简求值即可.
【详解】
设 ，则 ，即 ，又 是 与 的等比中项，
所以 ，即 ，化简得 .因为 ，所以 .联立
，解得 ， .
所以 ，故A错；
又 ，故B对；
由等差数列的前 项和公式可得 ，所以当 或 时 有最大值，故C
对；
又 ，所以当 时， ，故 的最大值为20，故D错.
故选：BC.
22．等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 最小
C．
D．
【答案】AD【分析】
首先根据已知条件 得到 ， ，再利用等差数列的性质依次判断选
项即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，即 .
对选项A，若 ，因为 ， ，
则 ， ， ，
所以 ，故A正确；
对选项B，若 ， ，则 ， ，
所以 最小，故B错误.
对选项C，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故C错误.
对选项D，因为 ，所以 ，
，即 .
，
所以D正确.
故选：AD
23．已知数列{a }满足a＝1，na ﹣（n+1）a ＝1，n∈N*，其前n项和为S ，则下列选项中正确的是（
n 1 n+1 n n
）
A．数列{a }是公差为2的等差数列
n
B．满足S ＜100的n的最大值是9
nC．S 除以4的余数只能为0或1
n
D．2S ＝na
n n
【答案】ABC
【分析】
令 ，由题干条件可得 ，可得 ，可求得 ， ，依次分析即
可判断
【详解】
由题意，na ﹣（n+1）a＝1，故
n+1 n
令 ，则
则
即
故 ，数列{a}是公差为2的等差数列，A正确；
n
，满足S＜100的n的最大值是9，B正确；
n
当 时， 除以4余1；当 时， 除以4余0；当 时，
除以4余1；当 时， 除以4余0，C正确；
，D错误.
故选：ABC
24．等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 ，则（ ）
A． B．当 时，C． D． ，
【答案】AB
【分析】
由题设关系式，应用等差数列前n项和公式有 、 ，即可判断A、C的正误；利用
等差数列通项公式 与前n项和 的关系即可判断B的正误；令 即可否定D的结论.
【详解】
由 ，知： ，即 ，故A正确.
同理可得： ，故C错误.
当 ，有 ，则 ，易得 ，故B正确.
当 ，有 ，则 ，则不存在 ，使 ，故D错误.
故选：AB
25．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足
，数列 的前n项和为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．
C．数列 的通项公式为D． 的取值范围是
【答案】BD
【分析】
根据可得求出等比数列 的公比和首项，进而可以求得 和 ；利用裂项相消法可得
和 ，讨论数列 的单调性，即可得出 的范围.
【详解】
A：由 可得 ，所以等比数列 的公比 ，所以 .
由 是 与 的等差中项，可得 ，即 ，解得 ，所以
，所以A不正确；
B： ，所以B正确；
C： ，所以C不正确；
D： 所以
数列 是递增数列，得 ，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
26．已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递增数列C． 的最小值是 D．使得 取得最小正数的
【答案】AC
【分析】
根据题意，结合等差数列的性质以及前 项和的公式与性质，一一判断即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，可得公差 ， 的最小值是 ，故AC正确；
因为 ， 单调递减， ， 单调递增，所以B项错误；
因为 ，所以 ，
同理 ，所以 取得最小正数的 ，D项错误.
故选AC项．
27．已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则（ ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当 时
【答案】ABC
【分析】
根据题意，结合等差数列前 项和 的公式和性质，一一判断即可.
【详解】
由 ，得 ，即 .
因 ，所以 ，且 ，故选项AB正确；
因 ，且 ，故 时， 最大，即 ，故选
项C正确；
由 ，得 ，即 ，故D错.故选：ABC.
28．已知数列 满足 ， ，对于任意 ， ， ，不等式 恒成
立，则 的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】BD
【分析】
根据 ，可得 ，由此可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得
的范围，再根据不等式恒成立即可求得答案.
【详解】
解：根据题意， ，
两边同时取倒数可得， ，
即得 ，
由此可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，
，
，
又因为 在 ， 上恒成立，
所以 ， ， .
故选：BD.
29．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ， ， ，则（ ）A．数列 的最小项为第 项 B．
C． D． 时， 的最大值为
【答案】ABC
【分析】
利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求
出 的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断CD选项的
正误.
【详解】
对于C选项，由 且 ，可知 ，C对；
对于B选项，由 ，可得 ，B对；
对于D选项，因为 ， ，
所以，满足 的 的最大值为 ，D错；
对于A选项，由上述分析可知，当 且 时， ；
当 且 时， ，
所以，当 且 时， ，
当 且 时， ，
当 且 时， .
当 且 时， 单调递减，即 ，
单调递减，即有 ，所以， ，
由不等式的性质可得 ，
从而可得 ，
因此，数列 的最小项为第 项，A对.
故选：ABC.
30．已知 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据 可得 ，在结合 ，从而可计算出 、 、 的值，猜想
，再利用数学归纳法加以证明即可对选项逐一判断．
【详解】
由 ，得 ，
又 ，得 ； ； ，所以选项 错误．
猜想 ，
证明：当 时， ，等式成立，假设当 时， 成立，
则当 时，
有 ，
即当 时等式也成立，所以选项 正确．由题意知 ，所以选项 错误；
由 ，所以选项 正确．
故选： ．
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】
利用等差数列前 项和公式可设 ， ，再结合等差数列的性质即得.
【详解】
因为等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：
32．已知 是数列 的前 项和， ， ， ，求数列 的通项公式
___________.
【答案】
【分析】
根据已知条件构造 ，可得 是公比为 的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因此 ，
因为 ， ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
所以当 时，
， ， ， ， ，
以上各式累加可得：
，
因为 ，
所以 ；
又 符合上式，所以 .
故答案为： .
33．已知数列 满足： ， （ ， ），则 ___________.
【答案】
【分析】由题设可得 ，结合题设易知 是首项、公差均为 的等差数列，进而写出 的通项公式.
【详解】
由题设， ，即 ，而 ，
∴ 是首项、公差均为 的等差数列，即 ，
∴ .
故答案为：
34．数列 的前 项和 ， .设 ，则数列 的前 项和 ___________.
【答案】
【分析】
项和转换可得 ，故 ，按照奇数项、偶数项分组求和，即得解
【详解】
由题意，
故答案为：
35．数列 满足 ，则 _______.
【答案】 .
【分析】首先证得数列 是常数列，设 ，由数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，可
得 ，结合 ，即可求出 ，从而得到数列 的通项公式，进而求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以数列 是常数列，
令 ，则 ，且 ，所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，则
，所以 ，又因为 ，则 ，所以 ，因此
，所以 ，
故答案为： .
36．已知数列 ， 均为等比数列，前 项和分别为 ， ，若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】
设数列 ， 的公比分别为 ， ，在已知式中令 得 ，再令 得 的关系，然后令
可求得数列的公比，由公比计算 检验是否符号题意，从而确定结论后得出 ．
【详解】
设数列 ， 的公比分别为 ， ，则当 时， ，所以 ；当 时， ，
所以 ；当 时， ，
所以 ；
联立方程解得 或
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不合题意，
所以 .
故答案为： ．
37．已知数列 为等差数列，公差 ，且满足 ，则
___________.
【答案】
【分析】
利用等差数列的基本量法化简得出 ，进而可求得 的值.
【详解】
，所以， ，因此， .
故答案为： .
38．设数列 满足 ， ， ，数列前n项和为 ，且 （ 且 ），
若 表示不超过x的最大整数， 数列 的前n项和为 ，则 _____________．
【答案】2021
【分析】
先求得 ，结合累加法求得 ，进而求得 ，结合 的意义求得 .
【详解】
（ 且 ）,
即 ，
整理得 ，
所以 从第二项起是等差数列，且公差为 ， ，
所以 时， ，
也符合上式，所以 .
当 时， ，
所以
，也符合上式，所以 .
所以 .
所以当 时， ；当 时， .
所以 ，
所以 .
故答案为：
39．已知数列 满足 ，设 ， 为数列 的前n项和．若
对任意 恒成立，则实数 的最小值为________
【答案】
【分析】
当 时， ，当 ，可得 ，与已知条件两式相减可得 ，进而
可得 的通项，由此可得 的通项，再利用裂项相消法可求 ，结合不等式的性质可求 的最大值，
即可得实数 的最小值.
【详解】
当 时， ，
因为 ，
所以 时， ，
两式相减得到 ，故 ，经检验 不适合此式，所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
所以 ，所以 的最小值 ，
故答案为： ．
40．设 为数列 的前 项和， ，则数列 的前7项和为________.
【答案】
【分析】
由数列的递推式： 时，求得 ， 时， ，讨论 为偶数或奇数，求得 ，进而求得 ，
即可求解
【详解】
∵ ，
∴ 时， ，即 ， ，
由已知 ，
当 时， (*)，
(*)式中 为偶数时， ， ，此时 为奇数，
∴ 为奇数时即 时， ；
(*)式中 为奇数时， ， ，即 ，此时 为偶数，
∴ 为偶数即 时， ，
∴ ，
由 ，
得 为奇数时， ，
为偶数时， ，
∴数列 的前7项和为
．
故答案为： ．
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．数列 满足 ， ， ，若数列 为单调递增数列，则 的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件求出数列 通项，再由数列 为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.
【详解】
数列 中， ， ，则有 ，而 ，
因此，数列 是公比为2的等比数列， ，即 ，
则 ，因数列 为单调递增数列，即 ， ，
则 ， ，
令 ，则 ， ，当 时， ，当 时， ，
于是得 是数列 的最大值的项，即当n=3时， 取得最大值 ，从而得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
2．已知正项数列 中， ， ， ， ，则使不等式 成立的
最小整数n为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
由已知得 ，有数列 为等差数列，根据等差数列的通项公式求得 ，代入不等
式中可求得答案.
【详解】解：∵正项数列 中， ， ，∴ ，
所以数列 为等差数列，其中 ，首项 ，所以 ，
所以不等式 为 ， ，得到最小整数 ，
故答案：D.
3．已知数列 满足 ，记数列 前 项和为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 可得 ，利用累加法可求得 ，求得
的范围，从而可得 的范围，从而可得出答案.
【详解】
解：由 可得 ，
化简得 ，
累加求和得 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，
即 ， ．，
，
所以 ，
即 ．
故选：B.
4．已知数列 满足 ， ．记 为数列 的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由递推关系得数列 从第2项起是递增数列，得出不等关系 ，
， ，对 从 后开始用上式放缩，证得 ，只要对
前面几项求和可证 ．
【详解】
解析： 的前几项依次为1，1，2，3，5，8，13…，易知数列 从第二项起为递增数列，
从而 ，即得 ，
由 ，得 ，
从而 ，
所以又 ，
因此， ．
故选：B.
5．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，
若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如果函数 ，数列 为牛顿
数列，设 且 ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由题设得到： ，从而得到 ，即可说明数列 是以-1为首项，2
为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和求和公式得到结果.
【详解】
解：由题知两边取对数得：
令 即 ，所以数列 是以-1为首项，2为公比的等比数列，
故选：B
6．在数列{a }中．a＝4，a＝6，且当 时， ，若T 是数列{b }的前n项和，b ＝
n 1 2 n n n
，则当 为整数时，λn＝（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【答案】D
【分析】
首先根据条件 通过配凑系数求出数列 的通项公式；然后再根据数列 的通项公式求出
数列 的通项公式，从而可求出T，代入可求出 ，从而可判断选项.
n
【详解】
当 时，由 ，得 ，又因为 ，
所以 从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列，
所以 时， ，所以 .
当 时， ；当 时， ，
所以 ，
所以 ，
要使 为整数，需 是15的因数，所以 ，此时 .
故选：D.
7．已知等比数列 的公比为3，前 项和为 ，若关于 的不等式 有且仅有两个不
同的整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据等比数列的求和公式得 ，原不等式等价于 ，讨论 ， 的情况，
当 时，原不等式等价于 ，令 ，求 的符号，得出
在 时单调性，由此可得答案.
【详解】
解：因为等比数列 的公比 ，所以 ，
不等式 等价于 ①，
当 时，显然是不等式①的解；
当 时， ，则 等价于 ，因为关于 的不等式 有且仅有两个不同的整数解，所以当 时有且仅有一个解，
令 ，则
，故 在 时单调递减，
所以 ，
又因为 （2） ，所以 ，解得 的取值范围为 ， ， .
故选：A.
8．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
不妨设 ，由题得 或 注意到 或 时， 大小关系一样.所以只需讨论
的情况.求出 再比较得到 ， ， ，即得解.
【详解】
不妨设 ，则有
（2）-（1）得 ，
由（1）得 或
注意到 或 时， 大小关系一样.
所以只需讨论 的情况.当 时，因为 ，故 .
把 代入（1）式，可得
把 代入（3）式，可得关于 的方程
设 根据韦达定理，则上面方程两根可设为 ，
且 .
由 得 ，
同理把 代入（3）式，可得关于 的方程
设 则上述方程的两根可以设为 ，
且
同理
由于 ，
因为 ，
因为 ，
即 ，
所以 .
故选：C
9．已知无穷递减实数列 满足 ，则下列可作为 递推公式 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，求导利用单调性可判断A、B；求出 的前3项可判断C、D．
【详解】
对于A， ，设 ， ，
， 在 上为减函数，
， ，
， ，即 ，所以A正确；
对于B， ，设 ， ，
， 在 上为减函数，
， 在 不恒成立，所以B错误；
对于C， ， ， ， 不是递减数列，所以C错误；
对于D， ， ， 无意义， 不是递减数列，所以D错误．
故选：A．
10．已知 ，若数列 的前 项和是 ，设 ，设
，当且仅当 时，不等式 成立，则实数 的范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
先由 求出 ，从而可得 ，然后利用裂项相消求和法求出
，再由已知可得 ，解不等式组可得答案
【详解】
解：当 时， ，
当 时， ，当 时， 不满足，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以，
因为 是递增的，当 时，不等式 成立，
所以 ，所以 ，解得 ，
故选：D
11．已知数列 的各项均不为零， ，它的前n项和为 ．且 ， ， （ ）成等比数
列，记 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】
结合等比性质处理得 ，再分 和 分类讨论， 时较为简单，结合裂项法直接求解，
当 时，放缩后再采用裂项即可求解.
【详解】
由 ， ， 成等比数列可得， ①，也即 ②，②-①得
，因为 ，所以， ，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，
当 时， ，即 ，对A、B，当 时， ，此时数列为等差数列，前 项和为 ，
，
故 ，
当 时， ，故A、B错误；
对C、D，当 时， ，
,当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ，
所以 , ,
此时
，故C正确，D错误.
故选：C
12．已知数列{a }满足3a＝1，n2a ﹣a 2＝n2a （n∈N*），则下列选项正确的是（ ）
n 1 n+1 n n
A．{a }是递减数列
n
B．{a }是递增数列，且存在n∈N*使得a ＞1
n n
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意可得 ，即a ＞a，即数列{a}为单调递增数列；在等式 的两边同时除
n+1 n n
以aa ，可知 ，再通过放缩累加可判断选项BCD，由此得出答案．
n n+1
【详解】
解：由于3a＝1，则 ，
1
又 ，则 ，可得出 ，
且对任意n∈N•，a＞0，则 ，即a ＞a，
n n+1 n
∴数列{a}为单调递增数列，故选项A错误；
n
在等式 的两边同时除以aa ，可得
n n+1
，其中n≥2，n∈N•，
∴ ，
累加得， ，
∴ ，则 ，故选项C正确，选项B错误；
对于 ，
∴ ， ，
累加得， ，可得 ，则 ，∴ ，故选项D错误．
故选：C．
13．已知数列 满足 ， ，且 ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分析得出 ，可判断出CD选项的正误；分析得出 ，利用累加法可判断出A选项
的正误；当 时，分析得出 ，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】
由已知，数列 满足 ， ，且 ， ，
即 ，
故 ，
由 ， ，有 ， ，故 与 同号，
因为 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，则 ，所以， ，D错；
，C对；
因为 ，则 ， ， ， ，累加得 ，所以， ，可得 ，A对；
当 时， ，
故 ，B对.
故选：D.
14．已知数列 满足 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数列 的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出 ，
，利用放缩法可判断BCD选项的正误.
【详解】
由 ， 可得出 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，所以， ，即 ，
所以，数列 为单调递增数列，故 ，A错；
在等式 的两边同时除以 可得，其中 且 ，
所以， ， ， ， ，
累加得 ，所以， ，则 ，故 .
故D错误；
对于 ，
所以， ， ， ， ，
累加得 ，可得 ，则 ，
所以， ，故 ， .
故选：B.
15．已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由
累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累乘法求得
，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
16．已知数列 与 满足 ， ， ，且 ，下列正确的
是（ ）
A． B．
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【答案】D
【分析】
令 、 可判断A B；由已知得 和 ，l两式相减可判断D；利用 得 的通项公式，结合 可得 的通项公式可判断C.
【详解】
因为数列 与 满足 ，
令 ， ，由 ，所以 ，
令 ， ，由 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
令 ， ，由 ，所以 ，
所以 ，故B错误；
由已知得 ，即 ，
，即 ，
两式相减得 ， ，
所以 是以6为首项，9为公比的等比数列，故D正确；
由 得
，
由 ，得 ，
所以 ，
不是常数，
不是等差数列，故C错误.故选：D.
二、多选题
17．设 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列，
k是 的间隔数.则下列说法正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知 ，则 是间隔递增数列
C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】BCD
【分析】
根据间隔递增数列的定义，结合数列的增减性，进而求得答案.
【详解】
.
对A，设 公比为 ，则 ，因为 ，所以 ，若
，则 ，不是间隔递增数列.A错误；
对B， ，易得 是递增数列，则 ，
所以k>3时， 一定是间隔递增数列.B正确；
对C， ，
为奇数时， ，显然 时， ，
为偶数时， ，显然 时， .C正确；对D， 对 恒成立，则
恒成立，因为最小间隔是3，所以 即 对于 恒成立，且 时，
，于是 .D正确.
故选：BCD.
18．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，
该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就
是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，
每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高 （ 称
为“中央C”）.将每个“八度”（ 如 与 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键
的音阶.当钢琴的 键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴
发出的音（ ）
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
A．110 B．233 C．505 D．1244
【答案】ABD
【分析】
A.由 可得答案；对于BCD，通过 求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.
【详解】
∵A4 = 440， ，故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音，A正确.
设相邻音阶的公比为 ，则 ，∴ .
而A3 = 220，A4 = 440，A5 = 880， ，B正确；（n∈N*），C不正确；
，D正确.
故选：ABD.
19．在数列 中，其前 的和是 ，下面正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】ABC
【分析】
A：应用等差数列前n项和公式求 ；B：应用错位相减法求 ；C：应用分组求和及等差、等比前n和公
式求 ；D：根据 的关系及已知条件，构造数列 即可求 .
【详解】
A：由题设， 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，正确；
B：由题设， ，则 ，可得
，即 ，正确；
C：由题设， ，则 ，正确；
D： 时有 ，整理得 ，而 ，故 为常数列且
，可得 ，错误；故选：ABC
20．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，
它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于
螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形 中，作它的内接正方形 ，且使得
；再作正方形 的内接正方形 ，且使得 ；类似地，依次进行下去，就
形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为 (其中第1个正方形 的边长为 ，
第2个正方形 的边长为 ，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为 (其中第1个直角三
角形 的面积为 ，第2个直角三角形 的面积为 ，…)，则（ ）
A．数列 是公比为 的等比数列 B．
C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 的前n项和
【答案】BD
【分析】
先得到 ，即 可判断A，再求出 ，可判断B与C，最后求出
，可判断D.
【详解】如图：
由图知 ，
对于A： ，数列 是公比为 的等比数列，故A不正确；
对于BC：因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确，C不正确；
对于D：因为 ，故D正确，
故选：BD.
21．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波
那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方
形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，
又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为 ， ， ，边长为斐波那契数
的正方形所对应扇形面积记为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再
次应用累加法及递推公式判断选项D.
【详解】
由递推公式 ，可得 ， ，
所以 ，A选项正确；
又由递推公式可得 ， ， ，类似的有 ，
累加得 ，
故 错误，B选项错误；
由题可知扇形面积 ，
故 ，
故 错误，C选项错误；
由 ，
，，
，
类似的有 ，
累加得 ，
又 ，所以 ，
所以 正确，D选项正确；
故选：AD.
22．已知数列 满足： ， 是数列 的前 项和， ，下列命题正确的是（ ）
A． B．数列 是递增数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】
选项A. 设 ,求出其导函数得出其单调性，可得， ，设
，求出其导函数，得出其单调性，可得 ，从而可判断A；选项
B. 设 ,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断; 选项
C. 由 可判断；选项：由选项B数列 是递增数列，所以 ，由选项A中得到的结论 可得 ，从而可判断.
【详解】
由题意 ，则
设 ，则
所以 在 上的单调递减，所以 ，即
当 时，可得 ，即
设 ，
所以 在 上的单调递增，所以
取 ，可得 ，即
所以 ，所以选项A正确.
设 ，则
由上 在 上恒成立，则
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
所以数列 是递增数列，故选项B正确.
由 ，所以 ，所以选项C不正确.
由数列 是递增数列，所以由上 ，则 ，所以
所以 ，故选项D正确.
故选： ABD
23．已知数列 满足： ， .下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得 为常数数列 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
令 时，数列 为常数数列，故选项A正确； ，由函数的单调性结合 的范围即可判
断选项B正确；结合B的结论和 的单调性可知， ，所以选项C错误；先证明
，再证明左边 ，故D正确．
【详解】
A：令 时， ，数列 为常数数列，故选项A正确；
B ，令 ，则 ，
由题意可知 且由基本不等式可以得到 ，
又 在 时单调递减， （1） ，故选项B正确；
C： 即 ，
令 ，由B分析可知， ，
结合B的结论和 的单调性可知， ，所以选项C错误；
D：由题意可知 ，由通项公式可知，选项左边括号内部分等于 ，
故左边
，故D正确．
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知数列 满足： ， ，若取整函数 表示不小于 的最小整数(例
如： ， )，设 ，数列 的前 项和为 ，则 ___________.
【答案】
【分析】
由已知递推关系式可得 ，由裂项相消法求得 ；根据数列单调性定
义可判断出 为递增数列，进而验证出当 时， ，由此可确定 的范围，根据上取整运算可
得结果.
【详解】
由 得： ， ，
，
， ；
， 数列 为递增数列，由 得： ， ， ，则当 时， ，
， ， .
故答案为： .
25．已知数列 中， ， ， ，若对任意的正整数 ，存在 ，使不等
式 成立，则整数 的最大值为______.
【答案】1
【分析】
已知式变形为 ，从而可用累加法求得 ，确定数列 单调递增，求出其最
小值，得 的不等式，然后再分离参数转化为求函数的最大值．
【详解】
由 得 ，
于是 ，
则 ， ，对 适用， ，数列 单调递增，所以
， ，所以整数 的最大值为1.
故答案为：1
26．若数列 满足 ，则称数列 为“差半递增”数列.若数列
为“差半递增”数列，且其通项 与前 项和 满足 ，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据 ,利用递推公式求得数列 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实
数 的取值范围.
【详解】
因为
所以当 时,
两式相减可得 ,即 ,所以数列 是以公比 的等比数列
当 时,
所以
则
由“差半递增”数列的定义可知
化简可得
解不等式可得
即实数 的取值范围为
故答案为:
27．设数列 满足 ，且 ，若 表示不超过x的最大
整数，则 ____________．【答案】2018
【分析】
数列{a}满足a＝2，a＝6，且（a ﹣a ）﹣（a ﹣a）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a ﹣a＝
n 1 2 n+2 n+1 n+1 n n+1 n
2n+2．再利用累加求和方法可得a＝n（n+1）．利用裂项求和方法即可得出．
n
【详解】
∵ ，
∴数列{a ﹣a}为等差数列，首项为4，公差为2．
n+1 n
∴a ﹣a＝4+2（n﹣1）＝2n+2．
n+1 n
∴a＝（a﹣a ）+（a ﹣a ）+…+（a﹣a）+a
n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 2 1 1
＝2n+2（n﹣1）+…+2×2+2
n（n+1）．
∴ ．
∴ ＝2018．
故答案为2018．
28．已知数列 满足： ， ，若前2010项中恰好含有666项为0，则
的值为___________.
【答案】8或9/9或8
【分析】
先利用x=1，2，3，4，5分析出在前2010项中含有0的项的个数的规律即可计算得解.
【详解】
因数列 满足： ， ，则：
当 时，数列 各项为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中恰好含有
项为0，当 时，数列 各项为：1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中， 由
知，恰好含有669项为0，
当 时，数列 各项为：1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，…，在前2010项中， 由
知，恰好含有669项为0，
当 时，数列 各项为：1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…，在前2010项中， 由
知，恰好含有668项为0，
当 时，数列 各项为：1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，…，在前2010项中， 由
知，恰好含有668项为0，
由上述可得当 或 时，在前2010项中恰好含有667项为0，当 或 时，在前2010项中恰
好含有666项为0，
所以 的值为8或9.
故答案为：8或9
29．已知数列 和 满足 ， ， ， .则 ＝_______.
【答案】
【分析】
求出 ，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出 ，进一步
推导出数列 为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得 的通项公式，进一步求出
和 ，由此可求得结果.
【详解】， ，且 ， ，则 ，
由 可得 ，代入 可得 ，
，且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
在等式 两边同时除以 可得 ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以， ， ，
则 ，
因此， .
故答案为： .
30．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，设 数列
的前 项和为 ，则使得 成立的最小的 的值为________.
【答案】3
【分析】
由 ，得 ，两式相减可得
，结合 ，可求出 ，又 ，从而可
求出 的通项公式 ，用错位相减法可求出 ，进而可求使得 成立的最小的 的
值.
【详解】解：由 ，得 ，
两式相减得 ，
整理得， ， ，
两式相减得 . 数列 的各项为正数， ，
当 时， ，即 ，解得 或 （舍）或 （舍），
又 ，解得： 或 （舍），
则 ， 数列 是公差为1的等差数列， ，
， ，则 ，
相减得 ，
， 满足不等式的 的最小正整数为3.
故答案为:3.
