文档文本内容
专题03 均值不等式及其应用
考点01 基本不等式的概念理解
考点02 基本不等式求最值
考点03 利用基本不等式求参数
考点04 利用基本不等式比较大小
考点01 基本不等式的概念理解
1.(2021·广东深圳市)(多选)下列结论不正确的是( )
A．当
时，
B．当
时，
的最小值是2
C．当
时，
的最小值是
D．设
，
，且
，则
的最小值是
【解析】A. 当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，A 正
确；
B. 当
时，
，当且仅当
时等号成立，但
无实解，故最小值2 取不到，B 错；
C. 当
时，
，最小值显然不是正值
，C 错；
D. 设
，
，且
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，D 正确． 故选：BC
2.(2021·江苏南通市)(多选)当
，
时，下列不等式中恒成立的有( )
A．
B．
C．
D．
【解析】对于A，
当且仅当
时取等号，正确.
对于B，
，当且仅当
时取等号，正确.
对于C，
，当且仅当
时取等号，错误.
对于D，
，当且仅当
时取等号，正确.
故选：ABD
3．(2021·淮安市阳光学校)(多选)下列判断正确的有( )
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】选项A 中，
时，
，
时，
，故错误；
选项B 中，
时，
，故
，故正确；
选项C 中，
时
，则
，当且仅当
时，即
时取等号，
故错误；
选项D 中，
时
，则
，当且仅当
时取等号，故
知等号取不到，但
是正确的.
故选：BD.
4.(2021·江苏常州市)(多选)设正实数
、
满足
，则( )
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最小值
D．
有最大值
【答案】ACD
【解析】设正实数
、
满足
.
对于A 选项，由基本不等式可得
，当且仅当
时，等号成立，A 选项正确；
对于B 选项，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，B 选项错误；
对于C 选项，
，
当且仅当
时，等号成立，C 选项正确；
对于D 选项，
，则
，
当且仅当
时，等号成立，D 选项正确.
故选：ACD.
5.(2021·全国高一课时练习)(多选)已知
、
均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，
，当且仅当
时等号同时成立；对于
B，
，当且仅当
时取等号；
对于C，
，当且仅当
时取等号；
对于D，当
，
时，
，
，
，
所以
.
故选AD.
6.(2020·江苏镇江市·高一月考)(多选)已知
、
、
．若
，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A 选项，
，
，
，A 选项正确；
对于B 选项，
，
，
，即
，B 选项错误；
对于C 选项，因为
，由基本不等式可得
，
，C 选项正确；
对于D 选项，
，
，可得
，D 选项错误.
故选：AC.
7.(2021·辽宁大连市)(多选)已知正数
，
，则下列不等式中恒成立的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对A，
，
，当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对B，
，
，当且仅当
时等号成立，故B
正确；
对C，
，即
，故C 错误；
对D，
，
，
，即
，当且仅当
时等号
成立，故D 错误.故选：AB.
8.(2021·山东高一期中)(多选)若
，则下列不等式中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由基本不等式
可知
，当且仅当
时等号成立，选项A 成立；
取
，则
，此时
，选项B 错误；
由基本不等式可知：
，当且仅当
时等号成立，选项C 成立；
，当且仅当
时等号成立，选项D 成立；
故选：ACD.
考点02 基本不等式求最值
9.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数f (x)=3−x−2
x ，则当x<0时，f (x)有（ ）
A．最大值3+2❑√2
B．最小值3+2❑√2
C．最大值3−2❑√2
D．最小值3−2❑√2
【分析】由基本不等式即可求解.
【解析】由题意当x<0时，f (x)=3+[(−x)+(−2
x)]≥3+2❑√2，等号成立当且仅当x =−❑√2.
故选：B.
10.（2023·北京东城·一模）已知x>0，则x−4+ 4
x 的最小值为（ ）
A．－2
B．0
C．1
D．2❑√2
【分析】由基本不等式求得最小值．
【解析】∵x>0，∴x + 4
x −4≥2❑√x× 4
x −4 =0，当且仅当x = 4
x 即x =2时等号成立．
故选：B．
11.（22-23 高三下·江西·阶段练习）(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)的最小值为（ ）
A．9 ❑√3
B．7+ 4 ❑√2
C．8 ❑√3
D．7+ 4 ❑√3
【分析】依题意可得(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)=7+ 1
x
2 +12 x
2，再利用基本不等式计算可得.
【解析】(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)=7+ 1
x
2 +12 x
2≥7+2❑√
1
x
2 ⋅12 x
2=7+ 4 ❑√3，
当且仅当1
x
2 =12 x
2，即x
4= 1
12时，等号成立，
故(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)的最小值为7+ 4 ❑√3.
故选：D.
12.（23-24 高二下·山东潍坊·阶段练习）函数y =3−4
x −x（x>0）的最大值为（ ）
A．−1
B．1
C．−5
D．5
【分析】根据均值不等式即可求得函数最大值.
【解析】因为y =3−4
x −x =3−( x + 4
x )且x>0，
故可得y =3−(x + 4
x)≤3−2❑√x× 4
x =−1.
当且仅当x = 4
x ，即x =2时取得最大值.
故选：A.
13.(1)(2021·湖南邵阳市)若正实数x，y 满足2x+y=1.则xy 的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】(1)B(2)D
【解析】
当且仅当
时取等号，
即xy 的最大值为
故选：B
14.(2021·六安市裕安区新安中学)已知
，则
的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，整理得
，即
.
所以
的最大值为
.故选：D.
15.(2021·北京高一其他模拟)若
，则函数
的最小值为______．
【解析】因为
，则函数
，当且仅当
，即
时取等号，
此时
取得最小值5．故答案为：5.
16.已知
，函数
的最小值为( )
A．4
B．7
C．2
D．8
【解析】因为
，所以
，
当且仅当
即
时取等号，所以
的最小值为7.故选：B
17.函数
(
)的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以函数
(
)的最小值为
，故选：B
18.(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy( )
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
【答案】C
【解析】
，
，且
，
(1)
，
当且仅当
，即
，
时，取等号，故
的最大值是：
，故选：
．
19.已知
，
，且
，则ab 的最大值为( )
A．
B．4
C．
D．2
【答案】D
【解析】
，
(当且仅当
时取等号)
，解得：
，即
的最大值为
故选
20.若
，则
( )
A．有最小值，且最小值为
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为
D．有最大值，且最大值为
【答案】D
【解析】
,当且仅当
取“=”所以
故选：D
21.当
时，
取得最小值时x 的值为( )
A．0
B．
C．3
D．2
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
取得最小值时x 的值为2.故选：D.
22.函数
的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为
.故选：A．
23.已知
，
，则
的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，且
，
所以
，
当且仅当
即
，
时，
有最小值
.故选：B.
24.正实数
，
满足：
，则当
取最小值时，
____.
【答案】
【解析】
，
，当且仅当
，即
时，等号成立．故答案为：
．
25.若正数x，y 满足
，则
的最小值是__________．
【答案】5
【解析】由条件
，两边同时除以
，得到
，
那么
等号成立的条件是
，即
，即
.
所以
的最小值是5，
故答案为： 5 ．
26.函数
的最小值是___________.
【答案】4
【解析】令
，则
，当且仅当
，即
时，
.
所以函数
的最小值是4.故答案为：4
27.已知
，则
的最大值是
【答案】-1
【解析】
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
28.函数
的最小值是
【答案】
【解析】因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立.所以函数
的最小值是
.选：
D.
考点03 利用基本不等式求参数
29.若对任意的
都有
，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
，则
，当且仅当
，即x=1 时等号成立，所以
，
故选：A
30.
，
，且
，不等式
恒成立，则
的范围为_______.
【解析】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号，
因为不等式
恒成立，所以
小于等于
最小值，所以
，
故答案为：
31.已知
，若不等式
恒成立，则
的最大值为( )
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
恒成立，只需
因为
，
所以
，
当且仅当
时，即
时取等号.所以
.即
的最大值为16.故选：D
32.当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
当
时，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
.故选：D.
33.已知
，且
，若
恒成立，则正实数
的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【解析】因为
，
恒成立，即
所以
，即
，
又
，所以
所以
，所以
，
所以正实数
的最小值为2．故选：A．
34.当
时，不等式
恒成立，则实数
的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式
恒成立化为
恒成立，
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
，所以
的最大值为
.
故选：C
考点04 利用基本不等式比较大小
35.已知
都是正数，且
.
求证：(1)
；(2)
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)
，
，
，由于当且仅当
，即
时取
等号，但
，因此不能取等号，
；
(2)
，
，
，当且仅当
时取等号，但
，因此不
能取等号，
.
36.设
，求证：
.
【答案】证明见解析；
【解析】证明：因为
，所以
，
所以
.
当且仅当
，即
时，等号成立.
故不等式得证.
37.已知：
、
是正实数，求证：
.
【答案】见解析.
【解析】由基本不等式得出
，
，
上述两个不等式当且仅当
时，等号成立，
由同向不等式的可加性得
，即
.
38.已知
，
，
，求证：
(1)
；(2)
.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：(1)因为
且
，
(当且仅当
时取等号)，即
，所以
，
又
，
所以
；
(2)因为
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立， 所以
.
39.已知
，
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立；
(2)由条件有
，且
，
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时由
得
，
，即证．
