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◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎
1 1
1．（2020•梅州二模）若 ≥ ＞0，有下列四个不等式： a3＜b3； log 3＞log 3；
a+2 b+1
a b
① ② ③
❑√b-❑√a＜❑√b-a； a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（ ）
④
A． B． C． D．
①② ①③ ①④ ②③
【答案】B
1 1
【解析】根据 ≥ ＞0，不妨取a＝2，b＝3，则 不成立，故ACD不正确．故选：B．
a b
②④
2．（2020•辽宁三模）若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，﹣∞） C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞）
【答案】A
【解析】由基本不等式可得，若4x+4y＝1，有1＝4x+4y≥2 2 ，
❑√4x ⋅4y= ❑√4x+y
1
即4x+y≤ =4﹣1，根据指数函数y＝4x是单调递增函数可得，x+y≤﹣1，
4
故x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．
3．（2020•葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，
2 1
则 + 的最小值为（ ）
a b
A．4 B．4❑√2 C．9 D．9❑√2
【答案】C
【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线ax+by﹣1＝0，则2a+b＝1，
2 1 2 1 2b 2a
又因为a＞0，b＞0，所以 + =（ + ）（2a+b）＝5+ + ≥5+4＝9，
a b a b a b
2b 2a 1 1
当且仅当 = 且2a+b＝1即a= ，b= 时取等号，此时取得最小值9．故选：C．
a b 3 34．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后
世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现
证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且
OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
a+b
A． ≥❑√ab(a＞b＞0) B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0）
2
C．2ab D．a+b √a2+b2（a＞b＞0）
≤❑√ab(a＞b＞0) ≤❑
a+b
2 2
【答案】D
1 1 1 1
【解析】由图形可知：OF= AB= (a+b)，OC= (a+b)-b= (a-b)，
2 2 2 2
√ a+b a-b √1
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF=❑( ) 2+( ) 2=❑ (a2+b2 )，∵CF≥OF，
2 2 2
√1 1
∴❑ (a2+b2 )≥ (a+b)，（a，b＞0）．故选：D．
2 2
5．（2020•武汉模拟）若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（ ）
A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【答案】A
【解析】因为0＜a＜b＜1，故f（x）＝bx单调递减；故：y＝ba＞z＝bb，g（x）＝xb单调递增；
故x＝ab＜z＝bb，则x、y、z的大小关系为：x＜z＜y；故选：A．
6．（2020•河南模拟）已知区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，则
3a+2b的最小值是（ ）3+2❑√2 5
A． B．5+2❑√6 C． +❑√6 D．3
2 2
【答案】C
【解析】∵（a，b）是不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，
2 1
∴a，b是方程mx2﹣2x+1＝0的两个实数根且m＞0，∴a+b= ，ab= ，
m m
a+b 1 1
∴ = + =2；且a＞0，b＞0；
ab a b
1 1 1 1 2b 3a 1 √2b 3a 1
∴3a+2b= •（3a+2b）•（ + ）= •（5+ + ）≥ （5+2❑ ⋅ ）= （5+2❑√6），
2 a b 2 a b 2 a b 2
当且仅当❑√2b=❑√3a时“＝”成立；
1 5
∴3a+2b的最小值为 （5+2❑√6）= +❑√6．故选：C．
2 2
7．（2020•海南）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
1 1
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
2 2
C．log a+log b≥﹣2 D．❑√a+❑√b≤❑√2
2 2
【答案】ABD
1
【解析】 已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则a2+b2≥ ，故A正确．
2
①
1
利用分析法：要证2a-b＞ ，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b
2
②
＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．
a+b
log a+log b=log ab≤log ( ) 2=-2，故C错误．
2 2 2 2 2
③
由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
④
利用分析法：要证❑√a+❑√b≤❑√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2❑√ab≤2，即1 a+b 1
2❑√ab≤1，故❑√ab≤ = ，当且仅当a＝b= 时，等号成立．故D正确．
2 2 2
故选：ABD．
1 1 8
8．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则 + + 的最小值为 4 ．
2a 2b a+b
【答案】4
1 1 8 a+b 8 a+b 8
【 解 析 】 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， 且 ab ＝ 1 ， 则 + + = + = + ≥2
2a 2b a+b 2ab a+b 2 a+b
√a+b 8
❑ ⋅ =4，
2 a+b
a+b 8
当且仅当 = ，即a＝2+❑√3，b＝2-❑√3或a＝2-❑√3，b＝2+❑√3 取等号，
2 a+b
故答案为：4
4
9．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y R），则x2+y2的最小值是 ．
5
∈
4
【答案】
5
【解析】方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2 1- y4，
=
5 y2
由x2≥0，可得y2 （0，1]，
∈
则x2+y2 1- y4 y2 1+4 y4 1（4y2 1 ） 1•2√ 1 4，当且仅当y2 1，x2 3 ，
= + = = + ≥ ❑4 y2 ⋅ = = =
5 y2 5 y2 5 y2 5 y2 5 2 10
4
可得x2+y2的最小值为 ；
5
5x2+ y2+4 y2 25 4
方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（ ）2= （x2+y2）2，故x2+y2≥ ，
2 4 51 3 4
当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2= ，x2= 时取得等号，可得x2+y2的最小值为 ．
2 10 5
4
故答案为： ．
5
2
10．（2019•天津）设x R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为 （﹣ 1 ， ） ．
3
∈
2
【答案】（﹣1， ）
3
2
【解析】3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x- ）＜0；
3
2
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜ ；
3
2 2 2
即：{x|﹣1＜x＜ }；或（﹣1， ）；故答案为：（﹣1， ）；
3 3 3
(x+1)(2y+1) 9
11．（2019•天津）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则 的最小值为 ．
xy 2
9
【答案】
2
【解析】x＞0，y＞0，x+2y＝4，
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+5 5
则 = = =2+ ；
xy xy xy xy
x＞0，y＞0，x+2y＝4，
5 5
由基本不等式有：4＝x+2y≥2❑√2xy，∴0＜xy≤2， ≥ ，
xy 2
5 5 9
故：2+ ≥2+ = ；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），
xy 2 2
(x+1)(2y+1) 9 9
故 的最小值为 ；故答案为： ．
xy 2 2
