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题型01：等差数列基本量计算
1．已知数列{an}满⾜an+1＝an+6，{an}的前n 项和为Sn，则
＝（
）
A．12
B．6
C．3
D．2
2．已知等差数列{an}满⾜：公差d≠0，13a7＝12a6，am＝0，则m＝（
）
A．17
B．18
C．19
D．20
3．已知等差数列{an}的前8 项和为68，a10＝25，则a100＝（
）
A．300
B．298
C．295
D．296
4．已知{an}为等差数列，a2＝﹣2，a1+a10＝a3+4，则a5＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型02：等差数列下标和性质
5．在等差数列{an}中，a2＝4，a6＝1，则a3+a5＝（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
6．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a10＝（
）
A．23
B．22
C．21
D．20
7．已知数列{an}是等差数列，且
，则a1+a6＝（
）
A．
B．
C．1
D．2
8．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝100，则a8的值为（
）
A．22
B．20
C．24
D．28
9．已知等差数列{an}满⾜a5+a6＝18，则其前10 项之和为（
）
A．90
B．180
C．99
D．81
10．在等差数列{an}中，a6＝3，则
＝（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则2a10﹣a12的值为（
）
A．6
B．12
C．24
D．60
12．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则2a10﹣a11+a7的值为（
）
A．20
B．22
C．24
D．48
题型03：等差数列和⽐求项⽐
13．设等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
题型04：等差数列Sn 下标差性质
15．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S5＝30，a8＝4，则S10＝（
）
A．50
B．63
C．72
D．135
16．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12＝（
）
A．144
B．120
C．108
D．96
17．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝
．
18．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若Sm＝7，
，则S2m＝
．
题型05：Sn ⼆次函数性质求最值
1．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a1＞0，S10＝4a4，则an+Sn 取最⼤值时n 的值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．10
2．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a2＝﹣15，a4＝﹣7，则当Sn 取得最⼩值时，n 的值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
题型06：Sn 增减性变号求最值
3．已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，a1＞0，且S13＝S19，则下列说法不正确的是（
）
A．公差d＜0
B．a16＞0
C．S32＝0
D．n＝17 时，Sn 最⼤
4．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，an+1﹣an＞0，则（
）
A．Sn 不可能为0
B．Sn 没有最⼩值
C．Sn 有最⼤值
D．Sn 有最⼩值
5．已知Sn 为等差数列{an}的前n 项和，公差为d．若a1＞0，S18＝0，则（
）
A．d＞0
B．S7＝S11
C．S20＞0
D．Sn 有最⼩值
6．若数列{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前n 项和，a4+a9＞0，S11＜0，则Sn 的最⼩值为（
）
A．S5
B．S6
C．S7
D．S8
（多选）7．已知公差为d 的等差数列{an}，其前n 项和为Sn，且S12＜0，S13＞0，则下列说法正确的为（
）
A．a7＜0
B．
为等差数列
C．当Sn 取得最⼩值时，n＝6
D．{an}为递减数列
（多选）8．已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，且S7＞S9＞S8，下列说法正确的是（
）
A．d＜0
B．数列{Sn}的最⼩项为S8
C．|a8|＞|a9|
D．能使Sn＜0 时n 的最⼤值为15
9．已知等差数列{an}的前n 项和是Sn，S8＞0，S9＜0，则数列
中最⼩的项为第
项．
题型07：等⽐数列基本量计算
1．已知数列{an}的各项均不为0，a1＝1，
，则a8＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．数列{an}满⾜
，
，若
，则项数n 为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知{an}是等⽐数列，若a1＝﹣2，a4＝128，则公⽐q 为（
）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
4．已知数列{an}为等⽐数列，若a3＝3，a9＝24，则a7＝（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
题型08：等⽐数列联⽴解⽅程
5．已知各项不相等的等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，若S5﹣S3＝4，a5a6a7＝8，则a1＝（
）
A．
B．
C．﹣64
D．64
6．设等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，且2a10＝a14，则
＝（
）
A．17
B．18
C．5
D．6
题型09：等⽐数列下标和性质
7．正项等⽐数列{an}中，a4＝1，a5a11＝81，则a6＝（
）
A．
B．3
C．6
D．9
8．已知等⽐数列{an}满⾜a1+a3＝4，a4+a6＝32，则其公⽐q＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．等⽐数列{an}的各项均为正数，若a1+a2+a3＝7，a4＝a3+2a2，则a7+a8+a9＝（
）
A．588
B．448
C．896
D．548
10．已知数列{an}是等⽐数列，且a2+a5＝7，a4+a7＝21，则a8+a11＝（
）
A．28
B．63
C．189
D．289
11．已知在等⽐数列{an}中，a4•a8＝16，则a6的值是（
）
A．4
B．﹣4
C．±4
D．16
12．已知数列{an}等⽐数列，且a1＝1，a2a3a4＝64，则log2a5的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．{an}为正项等⽐数列，且a4a9+a5a8＝16，则log2a1+log2a2+⋯+log2a12＝（
）
A．18
B．16
C．14+log23
D．12+2log23
题型10：等⽐数列下标差性质
14．记等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，若
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，S3＝1，S6＝9，则S12＝
．
16．已知正项等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，且S8﹣2S4＝5，则a9+a10+a11+a12的最⼩值为
．
17．已知Sn 是正项等⽐数列{an}的前n 项和，S2＝2，则S6﹣5S4+4S2的最⼩值为
．
18．已知在等⽐数列{an}中，an＞0 且a3+a4＝a1+a2+3，记数列{an}的前n 项和为Sn，则S6﹣S4 的最⼩值
为
．
题型11：等差等⽐中项综合
1．已知△ABC 的三个内⻆A，B，C 成等差数列，则2A+B+2C 的值为（
）
A．
B．
C．
D．2π
2．记等差数列{an}的公差为d（d≥0），若
是
与
﹣2 的等差中项，则d 的值为（
）
A．0
B．
C．1
D．2
3．若2a+1 是a﹣1 与4a﹣2 的等差中项，则实数a 的值为（
）
A．
B．
C．
D．5
4．等差数列{an}的通项为an＝2n﹣1，其前n 项和为Sn，若Sm 是am，am+1的等差中项，则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
5．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，am﹣1与am+1的等差中项的3 倍等于am2，S2m﹣1＝57，其中m≥2，且
m∈N*，则m＝（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
6．若a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是1，且
，
，则α+β的最⼩值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．设公差d≠0 的等差数列{an}中，a3，a5，a8成等⽐数列，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
8．在等⽐数列{an}中，各项均为正数，且a1＝，q＝2，则a4与a6的等⽐中项是（
）
A．2
B．±4
C．1
D．﹣1
9．设a＞0，b＞0．若
是3a 与3b 的等⽐中项，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．8
10．各项为正的等⽐数列{an}满⾜
，则a7与a9的等⽐中项为（
）
A．±3
B．3
C．
D．
11．已知ab＞0，若2 是2a 与4b 等⽐中项，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．3
题型12：等差等⽐⼩题综合
12．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（
）
A．120
B．60
C．160
D．80
13．已知{an}是公差为d 的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S3＝3a1+3，则d＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
14．已知数列{an}的前n 项和为Sn．若数列{Sn}是⾸项为1，公⽐为2 的等⽐数列，则a2020＝（
）
A．2019
B．2020
C．22018
D．22019
15．设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a5＝3a3，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知正项等⽐数列{an}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（
）
A．729
B．332
C．181
D．96
17．等差数列{an}前n 项和为Sn，已知a4＝6，S3＝6，则（
）
A．an＝4n﹣10
B．an＝3n﹣6
C．Sn＝n2﹣n
D．Sn＝2n2﹣4n
18．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17+a18+a19+a20的值为（
）
A．9
B．12
C．16
D．17
19．在等差数列{an}中，若a1+a4+a7＝39，a2+a5+a8＝33，则a3+a6+a9的值为（
）
A．30
B．27
C．24
D．21
20．各项都是正数的等⽐数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
或
21．已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn，且a1、a2、a5成等⽐数列，则S6＝（
）
A．36
B．18
C．72
D．9
22．在各项均为正数的等⽐数列{bn}中，若b1•b14＝3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
23．在等差数列{an}中a4+a6+a8+a10+a12＝120，则2a9﹣a10＝（
）
A．20
B．22
C．24
D．28
24．等差数列{an}中，已知前15 项的和S15＝90，则a8等于（
）
A．
B．12
C．6
D．
25．设等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝6，则a11的为（
）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣5
D．﹣7
26．已知等⽐数列{an}中，a5a11＝9a8，数列{bn}是等差数列，且b8＝a8，则b3+b13＝（
）
A．18
B．9
C．16
D．81
27．已知数列{an}为等⽐数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4依次成等差数列，则log2（a1a2⋯a10）＝（
）
A．35
B．45
C．55
D．65
28．数列{an}满⾜：a1＝2，（1﹣an）an+1＝1，Sn 是{an}的前n 项和，则S2021＝（
）
A．4042
B．2021
C．
D．
29．已知数列{an}中，a2＝4，am+n＝am+an，a11+a12+a13+…+a19＝（
）
A．95
B．145
C．270
D．520
30．已知等差数列{an}满⾜a4+a6＝22，a1•a9＝57，则该等差数列的公差为（
）
A．1 或﹣1
B．2
C．﹣2
D．2 或﹣2
31．设等差数列{an}的前n 项和为Sn.若S5＝2a3﹣3，a9＝2，则S8＝（
）
A．
B．
C．﹣4
D．﹣2
32．已知数列{an}为等⽐数列，
，公⽐q＝2，若Tn 是数列{an}的前n 项积，则Tn 取最⼩值时n 为
（
）
A．8
B．9
C．8 或9
D．9 或10
33．已知正项等差数列{an}满⾜
，则
＝（
）
A．2
B．1012
C．2024
D．4048
34．已知数列
是以1 为⾸项，4 为公⽐的等⽐数列，则
＝（
）
A．
B．
C．433﹣1
D．432+1
题型13：数列恒成⽴与最值及参数范围综合
35．已知{an}为各项均为正数的等⽐数列，Tn 为其前n 项积，
，当Tn 取得最⼤值时，n
为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
36．已知Sn 为数列{an}的前n 项和，且Sn＝2an﹣2，若λan≥2log2an+3 对任意正整数n 恒成⽴，则实数λ的
取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
37．已知数列{an}满⾜
，若数列{bn}为单调递增
数列，则λ的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
38．数列{an}满⾜a1＝4，an+1＝2an﹣2，对于任意的n∈N*，λ（an﹣2）＜an﹣6 恒成⽴，则实数λ的取值范
围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，2）
D．（1，2）
39．设正项等差数列{an}满⾜a1＝1，其前n 项和为Sn，若数列
为等差数列，则
的最⼩值是（
）
A．14
B．15
C．16
D．17
40．已知等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，数列{Sn﹣an+1}为等⽐数列，若am≤2024，则正整数m 的最
⼤值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
41．已知数列{bn}的通项公式为
，则当bn 取得最⼩值时，n＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
42．已知数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，若{an}是递增数列，则实数k 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣2]
B．[﹣2，+∞）
C．（﹣3，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）
43．已知数列{an}满⾜a1＝2，
，则a20的最⼤值为（
）
A．420
B．380
C．342
D．6
44．定义
．若数列{an}的前n 项和为
，
数列{bn}满⾜
，令cn＝max{an，bn}，且cn≥c3 恒成⽴，则实数λ的
取值范围是（
）
A．[﹣4，﹣3]
B．[﹣3，﹣2]
C．
D．
45．数列
是等差数列，且
，数列{bn}的前n 项和为Sn，若bn＝anan+1，则使不等式
成⽴的n 的最⼩值为（
）
A．14
B．15
C．16
D．17
46．已知正项数列{an}的前n 项积为Tn，满⾜（an﹣1）Tn＝2an，则
时的n 的最⼩值为（
）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
47．已知数列{an}的前n 项和Sn＝2n+1﹣2，bn＝
，若数列{bn}的前n 项和Tn，满⾜Tn
＜2a﹣1（n∈N*）恒成⽴，则a 的取值范围为（
）
A．[1，+∞）
B．（1，+∞）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）
题型14：等差等⽐基础解答题综合
49．等⽐数列{an}中，a1＝1，a9＝4a7．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn 为{an}的前n 项和，若Sm＝127，求m．
50．已知数列{an}中an+1＝an﹣4，且a1＝13，
（1）求an；
（2）求数列{an}的前n 项和Sn 的最⼤值
51．Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a7＝1，S4＝﹣32．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求Sn，并求Sn 的最⼩值．
52．已知数列{an}为等⽐数列，其前n 项和为Sn，且a1+a2＝6，a2+a3＝12．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求使Sn≤14 成⽴的正整数n 的最⼤值．
53．已知单调递增的等差数列{an}满⾜a2+a6＝a1a2＝2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n 项和Sn，并求Sn 的最⼩值及此时n 的值；
（3）求使Sn＞an 成⽴的n 的最⼩值．
54．设等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a3＝24，S11＝33．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n 项和Sn；
（3）当n 为何值时，Sn 最⼤？并求Sn 的最⼤值．
题型15：数列通项——累乘法
1．已知⾸项为1 的数列{an}，且（n+2）an+1＝2nan 对任意正整数n 恒成⽴，则数列
的前n 项和Sn
为（
）
A．
B．
C．
D．
2．数列{an}满⾜nan+1＝3（n+1）an，a1＝3，数列{an}的前n 项和Sn 为（
）
A．
B．n•3n
C．1+（14n﹣8）3n﹣2
D．
题型16：数列通项——累加法
3．在数列{an}中，a1＝3，
，则a10等于（
）
A．4
B．3+10lg3
C．13
D．12+2lg3
4．在数列{an}中，a1＝2，
，则an＝（
）
A．2+lnn
B．2+（n﹣1）lnn
C．2+nlnn
D．1+n+lnn
5．在数列{an}中，a1＝1，
，则an 等于（
）
A．
B．
C．
D．
6 ．已知数列{an} 中a1 ＝1 ，an+1 ﹣an ＝
，则数列通项公式an
＝
．
题型17：数列通项-待定系数常数型
1．设等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1＝2，Sn+1＝3Sn+2，n∈N*，则S4＝（
）
A．80
B．160
C．121
D．242
2．已知数列{an}的⾸项a1＝3，且满⾜an+1＝2an﹣1，则下列是这个数列中的项的是（
）
A．191
B．193
C．1023
D．1025
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＝3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an 为（
）
A．3n﹣1
B．3n+1﹣8
C．3n﹣2
D．3n
题型18：数列通项-待定系数指数型
4．已知数列{an}的前n 项和为Sn，满⾜
，且S1＝2，则a2025＝（
）
A．2025×22025
B．2025×22026
C．2026×22024
D．2026×22025
5．已知数列{an}满⾜a1＝2，
，n∈N*．则数列{an}的通项公式为
．
题型19：数列通项-待定系数⼀次型
6．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+3n+1，则a9＝
．
题型20：数列通项-倒数变化法
1．已知数列{an}，a1＝，an+1＝2an﹣anan+1，若数列
的前n 项和为Sn，则S2023＝（
）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
2．已知数列{an}满⾜a1＝，
，若a1+a1a2+…+a1a2…an≤
成⽴，则n 的最⼤值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
题型21：数列通项-公倍项同除
3．已知数列{an}满⾜
，且an﹣1an+an+1an﹣2an﹣1an+1＝0（n＞2）则a15等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知数列{an}满⾜a1＝1，an﹣an+1＝2anan+1，则数列{anan+1}的前8 项和为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知正项数列{an}满⾜an﹣an+1＝anan+1，
，则a1的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知数列{an}满⾜
，an﹣an+1＝anan+1（n∈N*），则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．16
D．18
题型22：数列通项-an 与Sn-“⼀级”化掉Sn
7．已知数列{an}的前n 项和为Sn，若
，则数列{an}的通项公式为（
）
A．
B．
C．
D．
8．若数列{an}的前n 项的和Sn＝3n﹣2，那么这个数列的通项公式为（
）
A．an＝（）n﹣1
B．an＝an＝3×（）n﹣1
C．an＝3n﹣2
D．an＝
题型23：数列通项-an 与Sn-“⼆级”化掉an
9．已知数列{an}的前n 项和为Sn，满⾜an+3Sn•Sn﹣1＝0（n≥2，n∈N*），a1＝
，则数列{an}的通项公式an
＝
．
题型24：数列通项-和式作差
1．已知正项等差数列{an}满⾜
，则
＝（
）
A．2
B．1012
C．2024
D．4048
2．已知正项数列{an}，满⾜a1＝1，a1a2+a2a3+…+anan+1+（n+1）a
＝1，则a2024＝（
）
A．2
B．
C．2024
D．
3．数列{an}满⾜：
，若bn＝a2n﹣1•a2n+1，则数列{bn}的前10 项的和为
（
）
A．
B．
C．
D．
题型25：数列通项-对数法
4．已知正项数列{an}中，a1＝3，
，则该数列的通项公式是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若数列{an}中，a1＝3 且an+1＝an2（n 是正整数），则它的通项公式是
．
6．已知数列{an}满⾜a1＝3，
．
（1）证明数列{ln（an﹣1）}是等⽐数列，并求数列{an}的通项公式；
题型26：数列周期求特定项
1．在数列{an}中，a1＝2，an+1an＝an﹣1，a2022＝（
）
A．2
B．1
C．﹣1
D．
2．数列{an}满⾜
，则a2023＝（
）
A．
B．3
C．﹣2
D．
3．若数列{an}满⾜
，且a1＝2，则a2022＝（
）
A．﹣1
B．2
C．
D．
4．已知数列{an}满⾜an+1＝
，若a1＝，则a2005＝（
）
A．
B．
C．
D．
题型27：数列周期求和求积
5．已知数列{an}满⾜a1＝2，
，则数列{an}前2025 项的积为（
）
A．2
B．3
C．
D．6
6．已知数列{an}满⾜：
，设数列{an}的前n 项和为Sn，则S2017＝（
）
A．1007
B．1008
C．1009.5
D．1010
7．已知数列{an}的通项公式为
，设Sn 是数列{an}的前n 项的和，则S2012的值为（
）
A．0
B．
C．
D．
题型28：奇偶数列求通项与求和
8．任取⼀个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进⾏上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进⼊循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（⼜称“⻆⾕猜
想”）．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成
1（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满⾜：a1＝m（m 为正整数），
，当m＝5 时，a1+a2+a3+⋯+a30＝（
）
A．92
B．106
C．113
D．120
9．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且
，则S10的值为（
）
A．107
B．169
C．1389
D．1409
10．若数列{an}的前n 项和为Sn，且an+1+an＝2n，则S8＝（
）
A．84
B．86
C．170
D．172
11．任取⼀个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进⾏上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进⼊循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（⼜称“⻆⾕猜
想”等）．已知数列{an}满⾜：a1＝20，an+1＝
，则a2025＝（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
12．记数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1＝1，anan+1＝2n，4（S11+3）＝ak，则k＝（
）
A．17
B．19
C．17 或18
D．18 或19
13．已知数列{an}满⾜：a1＝2，
，则an 所有可能的取值的集合为（
）
A．{2}
B．{12}
C．{1，2，4}
D．{1，2，4，8}
14．已知数列{an}，a1＝2，a2＝0，且
，则数列{an}的前2024 项之和为（
）
A．1012
B．2022
C．2024
D．4048
（多选）15．已知数列{an}满⾜a1＝1，
，则下列结论中正确的是（
）
A．a4＝5
B．{an}为等⽐数列
C．
D．
（多选）16．已知
记数列{an}的前n 项和为Sn，且S3＝6，则下列说法正确的是
（
）
A．a1＝1
B．a19＝2047
C．
D．S20＝6108
17．已知数列{an}的前n 项和为Sn，若Sn＝an+1﹣1，a1＝2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满⾜
，求数列{bn}的前10 项和T10．
18．已知数列{an}的前n 项和为
，且a1＝1，S5＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
，求数列{bn}的前2n 项和T2n．
19．设数列{an}满⾜：
是a1，a3的等⽐中项．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的前20 项的和．
20．在数列{an}中，a1＝2，a2＝8，且对任意的n∈N*，都有an+2＝4an+1﹣4an．
（1）证明：{an+1﹣2an}是等⽐数列，并求出{an}的通项公式；
（2）若
，且数列{bn}的前n 项积为Tn，求T15和T20．
21．已知等差数列{an}的公差d＞0，且满⾜a1＝1，a1，a2，a4成等⽐数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满⾜
，求数列{bn}的前2n 项的和T2n．
22．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn}满⾜a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝（n﹣
1）•3n+1+3．
（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满⾜cn＝
，求{cn}前2n 项和T2n．
23．已知等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，且4Sn，3Sn+1，2Sn+2（n∈N*）成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满⾜bn＝
，求{bn}的前2n 项和T2n．
题型29：错位相减法求和
24．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a3+a7＝10，S10＝55．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
25．已知数列{an}是⾸项为正数的等差数列，
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
26．已知数列{an}是⼀个⾸项为3，公⽐为q（q≠1）的等⽐数列，且3a1，2a2，a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的前n 项和
，求数列{an•bn}的前n 项和Tn．
27．已知各项均不为零的数列{an}满⾜
，且
．
（1）证明：
为等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）令
为数列{cn}的前n 项和，求Tn．
28．已知数列{an}满⾜
，且a1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满⾜
，求数列{bn}的前n 项和Sn．
题型30：裂项相消求和
29．已知数列{an}是⾸项为2 的等⽐数列，公⽐q＞0，且a4是6a2和a3的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满⾜
，求{bn}的前2023 项和T2023．
30．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S5＝45，S6＝60．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和Tn．
31．设等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2+a4＝30，S4＝45．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
，求{bn}的前n 项和Tn．
32．已知{an}是公⽐不为﹣1 的等⽐数列，
，且a1＝2a2+3a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设
，
，证明：
．
33．在等差数列{an}与等⽐数列{bn}中，已知a1＝1，b1＝2，且a2+a3+a4＝9，b1b3＝4b2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列{cn}的前n 项和Sn．
34．已知等⽐数列{an}的前n 项和为Sn，且满⾜a6﹣a3＝56，S6﹣S3＝112．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
35．已知数列{an}满⾜a1＝4，且对于任意m，n∈N*，都有aman＝am+n．
（1）证明{an}为等⽐数列，并求{an}的通项公式；
（2）若
，求数列{bnbn+1}的前n 项和Sn．
36．已知数列{an}的⾸项a1＝4，且满⾜an+1＝3an﹣2（n∈N*）．
（1）求证：数列{an﹣1}为等⽐数列；
（2）记bn＝
，求数列{bn}的前n 项和Sn，证明：Sn＜．
37．已知等差数列{an}满⾜an，an+1是关于x 的⽅程x2﹣4nx+bn＝0 的两个根．
（1）求a1；
（2）求数列
的前n 项和Sn．
38．已知等差数列{an}的⾸项a1＝1，公差为d（d≠0），其前n 项和为Sn，bn＝anan+1﹣2Sn．
（1）求证：数列{bn+1﹣bn}是等差数列；
（2）若{bn}也是等差数列，求数列
的前n 项和Tn．
39．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且{Sn+n2}也是等差数列．
（1）求数列{an}的公差；
（2）若a1＝﹣1，求数列
的前n 项和Tn．
40．已知正项数列{an}的⾸项为1，其前n 项和为Sn，满⾜an＝
（n≥2）．
（1）求证：数列{
}为等差数列，并求出Sn；
（2）求an；
（3）设bn＝an﹣10，求数列{|bn|}的前n 项和Tn．
题型31：含绝对值求和
41．设等差数列{an}的前n 项和为Sn，a5＝3，S5＝35．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{|an|}的前n 项和为Tn，求T10．
42．若数列{an}的⾸项a1＝﹣2023，且满⾜an+1＝2an+2024．
（1）求数列{an}的通项．
（2）求数列{|an|}的前n 项和Tn．
43．已知数列{an}的前n 项和为Sn，若
为等差数列，且满⾜
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝|a1|+|a2|+⋯+|an|，求Tn．
44．已知数列{an}中a1＝8，a4＝2，且满⾜an+2+an＝2an+1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn 是数列{|an|}的前n 项和，求Sn．
题型32：倒序相加法求和
1．已知函数f（x）＝
（x∈R），若等⽐数列{an}满⾜a1a2020＝1，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2020）
等于（
）
A．1010
B．2020
C．2
D．
2．设f（x）＝
，利⽤课本中推导等差数列前n 项和公式的⽅法，可求得f（﹣11）+f（﹣10）+…
+f（0）+…+f（11）+f（12）的值是（
）
A．
B．4
C．
D．12
3．已知函数f（x）＝
，则f（1°）+f（2°）+…+f（59°）＝（
）
A．
B．
C．59
D．﹣59
题型33：含摆动数列与奇偶求和
4．数列{an}的通项公式是
，则该数列的前100 项之和为（
）
A．﹣200
B．﹣100
C．200
D．100
5．数列{an}的通项公式为an＝（﹣1）n﹣1•（4n﹣3），则它的前100 项之和S100等于（
）
A．200
B．﹣200
C．400
D．﹣400
6．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an+2﹣an＝1+（﹣1）n，n∈N*，则S60的值为（
）
A．990
B．1000
C．1100
D．99
7．数列{an}满⾜an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则{an}的前60 项和为（
）
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
8．已知数列{an}的前n 项和为Sn，满⾜2Sn＝n2+n（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝
．设bn＝
（﹣1）n
，则数列{bn}的前n 项和Tn＝
．
9．已知数列{an}的前n 项和Sn＝（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（an+1﹣p）（an﹣p）＜0 恒成⽴，则实数P
的取值范围是
．
10．在数列{an}中，已知a1＝1，an+1+（﹣1）nan＝cos（n+1）π，记Sn 为数列{an}的前n 项和，则S2015
＝
．
题型34：双数列问题
1．若数列{an}和{bn}满⾜a1＝2，b1＝0，2an+1＝3an+bn+2，2bn+1＝an+3bn﹣2，则a2024+b2023＝（
）
A．2•32023+1
B．3•22022+1
C．3•22023+1
D．3•22022﹣1
2．已知数列{an}和{bn}满⾜a1＝2，b1＝1，an+bn＝bn+1，an+1+bn+1＝4an，则
＝
．
3．已知数列{an}和{bn}满⾜a1＝2，b1＝0，2an+bn+1＝3n+1，an+1+2bn＝3n+1，则an﹣bn＝
，an+bn
＝
．
4．已知数列{an}中a1＝1，数列{bn}中b1＝0 当n≥2 时，
，
，求an 与
bn．
题型35：兔⼦数列-裴波那契数列
（多选）1．意⼤利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔⼦繁殖问题时，发现有
这样⼀列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每
⼀个数都等于它的前⾯两个数的和，⼈们把这样的⼀列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n 趋于⽆穷
⼤，其前⼀项与后⼀项的⽐值越来越逼近⻩⾦分割
，因此⼜称“⻩⾦分割数列”，记斐波
那契数列为{an}，则下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
2．意⼤利著名数学家斐波那契在研究兔⼦繁殖问题时，发现有这样⼀列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其
中从第三项起，每⼀个数都等于它前⾯两个数的和，⼈们把这样的⼀列数组成的数列{an}称为“斐波那
契数列”．那么
是斐波那契数列中的第
项．
3．意⼤利著名数学家斐波那契在研究兔⼦繁殖问题时，发现有这样⼀个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，
其中从第三个数起，每⼀个数都等于它前⾯两个数的和，⼈们把这样的⼀列数所组成的数列称为“斐波
那契数列”，记为{Fn}．利⽤下图所揭示的{Fn}的性质，则在等式F20222﹣（F12+F22+…+F20212）＝F2022•Fm
中，m＝
．
题型36：等差等⽐数列证明
4．数列{an}中，
．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
5．已知单调递增数列{an}满⾜
．
（1）证明：
是等差数列；
6．已知等差数列{an}的公差为2，记数列{bn}的前n 项和为Sn，b1＝0，b2＝2 且满⾜bn+1＝2Sn+an．
（1）证明：数列{bn+1}是等⽐数列；
7．已知数列满⾜a1＝1，an+1＝2an+3，（n∈N*）
（1）求证数列{an+3}是等⽐数列，并求{an}的通项公式．
8．已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n 项和为Sn，数列
的前n 项和为Tn，且
，n∈N*．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）证明数列{an}是等⽐数列，并求{an}的通项公式；
9．数列{an}满⾜a1＝
，an∈（﹣
，
），且tanan+1•cosan＝1（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{tan2an}是等差数列，并求数列{tan2an}的前n 项和；
10．已知数列{an}的⾸项a1＝a，且满⾜
．
（1）判断数列
是否为等⽐数列；
11．已知数列{an}的前n 项和为Sn，满⾜an＝2Sn﹣1+4（n≥2 且n∈N*），a1＝1．
（1）证明：数列{Sn+2}为等⽐数列；
12．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝n2+6n﹣2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断数列
是否为等⽐数列；
（3）证明：数列{a2n}为等差数列，并求该数列的前n 项和Tn．
题型37：数列求和与不等式证明
13．已知数列
为等差数列，且a1＝1，a2＝4．
（1）求an；
（2）若
，数列{bn}的前n 项和为Sn，证明：Sn＜2．
14．已知正项等⽐数列{an}满⾜
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满⾜
，设其前n 项和为Sn，求证：Sn＜5．
15．已知Sn 为公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，且
．
（1）求λ的值；
（2）若S4＝4S2，求证：
．
16．设等差数列{an}的公差为d，记Sn 是数列{an}的前n 项和，若S5＝a3+20，S15＝a2a3a8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若d＞0，bn＝
，数列{bn}的前n 项和为Tn，求证：Tn＜n+
．
题型85：数列恒成⽴问题
17．记数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝2，Sn+Sn+1＝3an+1﹣4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝anlog2an，记{bn}的前n 项和为Tn．若t（n﹣1）2+2≤Tn 对于n≥2 且n∈N*恒成⽴，求实数t
的取值范围．
18．公⽐为q 的等⽐数列{an}的前n 项和
．
（1）求a 与q 的值；
（2）若bn＝log2an，记数列{bn}的前n 项和为Tn，若
恒成⽴．求λ的最⼩值．
19．已知{an}是各项都为正数的等⽐数列，数列{bn}满⾜：bn＝2log2an+1，且b1＝1，b4＝7．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*都有2λan≥bn﹣2，求实数λ的取值范围．
20．已知数列{an}满⾜a1＝2，
，数列{bn}满⾜b1＝1，
．
（1）求证：
为等差数列，并求{an}通项公式；
（2）若
，记{cn}前n 项和为Sn，对任意的正⾃然数n，不等式Sn＜λ恒成⽴，求实数λ的范
围．
21．已知数列{an}，{bn}满⾜
．
（Ⅰ）求证：
为等差数列，并求{an}通项公式；
（Ⅱ）若
，记{cn}前n 项和为Tn，对任意的正⾃然数n，不等式Tn＜λ恒成⽴，求实数λ的范围．
22．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且a2＝3，2Sn＝n（an+2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若存在n∈N*，使得
成⽴，求实数λ的取值范围．
23．已知数列
的前n 项和为Sn，Sn＝n2+n+a+1（a∈R，n∈N*）．
（1）若a＝2，求数列
的通项公式；
（2）若数列
是等差数列，bn＝
，数列
的前n 项和为Tn，是否存在n∈N*，使得TnSn+1
＝3（an+1）？若存在，求出所有满⾜条件的n 的值；若不存在，请说明理由．
24．已知等差数列{an}的前n 项为Sn，满⾜a2＝3，S5＝25．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意n∈N*，不等式a1•（
+a2•（
+a3•（
+…+an•（
≤m 恒成⽴，求m 的
最⼩值．
25．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n 项和为Sn，现给出下列三个条件：①S1，S2，S4成等⽐数列；
②S4＝16；③S8＝4（a8+1），请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝an+1，其前n 项和为Tn，若
恒成⽴，求λ的最⼩值．
