文档文本内容
三⻆函数——题型01～07
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
B
C
D
B
A
D
B
D
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
D
A
B
C
B
A
A
A
C
C
C
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
D
D
B
B
D
A
C
C
C
C
D
题号
34
35
36
答案
B
C
B
⼀．选择题（共36 ⼩题）
1．如图，在平⾯直⻆坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD 绕点O 逆时针旋转90°到△OAB 位置，则点B
坐标为（
）
A．（2，4）
B．（4，2）
C．（﹣4，﹣2）
D．（﹣2，4）
【解答】解：∵D（4，﹣2），
∴OC＝4，CD＝2，
将Rt△OCD 绕点O 逆时针旋转90°到△OAB 位置，
则有OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，
∴B（2，4）．
故选：A．
2．在平⾯直⻆坐标系中，给出下列命题：
①终边经过点（a，a）（a≠0）的⻆的集合是
；
②将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的⻆的弧度数是
；
③若α是第三象限⻆，则
是第⼆象限⻆；
④若M＝{x|x＝45°+k•90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°+k•45°，k∈Z}，则M⊆N．
其中假命题的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：终边经过点（a，a）（a≠0）的⻆的集合是
，故①正确；
将表的分针拨慢10 分钟，
则分针转过的⻆的弧度数是
，故②正确；
当α＝570°时，满⾜α是第三象限⻆，但
为第三象限⻆，故③错误；
M＝{x|x＝45°+k•90°，k∈Z}＝{x|x＝（2k+1）•45°，x∈Z}，N＝{y|y＝90°+k•45°，k∈Z}＝{y|（k+2）•45°，
k∈Z}，
则M⊆N，故④正确．
故选：A．
3．下列命题为真命题的是（
）
A．⼤于90°的⻆都是钝⻆
B．锐⻆⼀定是第⼀象限⻆
C．第⼆象限⻆⼤于第⼀象限⻆
D．若cosθ＜0，则θ是第⼆或第三象限的⻆
【解答】解：∵200°＞90°，但200° 不是钝⻆，∴A 是假命题；
∵锐⻆的范围是
，是第⼀象限⻆，B 是真命题；
150° 是第⼆象限⻆，390° 是第⼀象限⻆，150°＜390°，∴C 是假命题；
当θ＝π 时，cosθ＝﹣1，θ＝π不是第⼆或第三象限的⻆，∴D 是假命题．
故选：B．
4．下列各⻆中，与⻆﹣60°的终边相同的是（
）
A．210°
B．240°
C．300°
D．330°
【解答】解：因为与⻆﹣60°的终边相同的⻆α满⾜α＝﹣60°+k•360°，且k∈Z，
结合选项可得：只有选项C 符合要求．
故选：C．
5．⽤弧度制表示与2025°⻆的终边相同的⻆的集合为（
）
A．{α|
，k∈Z}
B．{α|
，k∈Z}
C．{α|
，k∈Z}
D．{α|
，k∈Z}
【解答】解：因为2025°＝1800°+225°＝5×
，
所以与2025°终边相同⻆为
＝
，
故ABC 错误，D 正确．
故选：D．
6．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，若⻆α的始边与x 轴的⾮负半轴重合，终边落在直线y＝x 上，则终边与⻆α
相同的⻆的集合为（
）
A．
或
B．
C．
D．
【解答】解：由题设
且k∈Z，
故终边与⻆α相同的⻆的集合为
．
故选：B．
7．与﹣2025°终边相同的最⼩正⻆是（
）
A．135°
B．125°
C．45°
D．35°
【解答】解：因为﹣2025°＝﹣360°×6+135°，
所以与﹣2025°终边相同的最⼩正⻆是135°．
故选：A．
8．以原点为圆⼼的单位圆上⼀点P 从（1，0）出发，沿逆时针⽅向运动
弧⻓到达点Q，则点Q 的坐
标为（
）
A．（﹣
）
B．（
）
C．（
）
D．（﹣
）
【解答】解：设Q（x，y），
由任意⻆的三⻆函数定义，可得x＝cos
＝﹣，y＝sin
．
∴点Q 的坐标为（
，
）．
故选：D．
9．与﹣468°⻆的终边相同的⻆的集合是（
）
A．{α|α＝k•360°+456°，k∈Z}
B．{α|α＝k•360°+252°，k∈Z}
C．{α|α＝k•360°+96°，k∈Z}
D．{α|α＝k•360°﹣252°，k∈Z}
【解答】解：因为﹣468°＝﹣2×360°+252°，
所以252°⻆与﹣468°⻆的终边相同，
则与﹣468°⻆的终边相同的⻆的集合是{α|α＝k•360°+252°，k∈Z}．
故选：B．
10．在半径为4 的圆中，弧⻓为3π的弧所对的圆⼼⻆为（
）
A．45°
B．90°
C．120°
D．135°
【解答】解：根据弧⻓公式可得：圆⼼⻆为
．
故选：D．
11．在单位圆中，200°的圆⼼⻆所对的弧⻓为（
）
A．
B．
C．9π
D．10π
【解答】解：l＝
＝
＝
，
故选：B．
12．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《⽅⽥》⼀章记录了弧⽥⾯积的计算问题．如图，某弧⽥由
弧AB 和其所对的弦AB 围成，若弦AB ⻓度为2，弧AB 所对的圆⼼⻆的弧度数为2，则该弧⽥的⾯积
为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，过O 作OC⊥AB，垂⾜为C，易知C 为AB 中点，∠AOC＝∠BOC＝1，
因为
，
，所以
，
，
所以弧AB 的⻓为
，
因为
，
，
所以弧⽥的⾯积为
．
故选：D．
13．“圆材埋壁”是《九章算术》中的⼀个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知⼤⼩，以锯锯之，学会⼀⼨，锯
道⻓⼀尺，问径⼏何？”其意为：今有⼀圆柱形⽊材，埋在墙壁中，不知道⼤⼩，⽤锯取锯它，锯⼝深⼀
⼨，锯道⻓⼀尺，问这块圆柱形⽊材的直径是多少？现有圆柱形⽊材⼀部分埋在墙壁中，截⾯如图所示，
已知弦AB＝1 尺，⼸形⾼CD＝1 ⼨，则阴影部分⾯积约为（
）（注：π≈3.14，sin22.5°≈
，1 尺＝
10 ⼨）
A．6.33 平⽅⼨
B．6.35 平⽅⼨
C．6.37 平⽅⼨
D．6.39 平⽅⼨
【解答】解：连接OC，设半径为r，AD＝5 ⼨，则OD＝r﹣1，
在直⻆三⻆形OAD 中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，
则sin∠AOC＝
，
所以∠AOC＝22.5°，
则∠AOB＝2×22.5°＝45°，
所以扇形OAB 的⾯积S1＝
＝
＝66.33，
三⻆形OAB 的⾯积S2＝
＝60，
所以阴影部分⾯积为S1﹣S2＝66.33﹣60＝6.33．
故选：A．
14．已知圆⼼⻆为72°的扇形的弧⻓为
，则该扇形的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，扇形的圆⼼⻆
，
设扇形的半径为r，
由扇形的弧⻓
，
所以r＝2，
所以该扇形的⾯积为
．
故选：B．
15．《九章算术》在卷⼀《⽅⽥》题[三五]中提到弧⽥⾯积的计算问题．弧⽥是由圆弧和弦所围成的⼸形部
分（如图阴影部分所示）．有⼀弧⽥的弧⻓为10，且所在的扇形圆⼼⻆为2，则该弧⽥的⾯积约为（
）
（参考数据：sin1≈0.8）
A．10
B．12.5
C．13
D．26
【解答】解：由题意，
，
所以
，
⼜扇形的半径
，⾯积为
，
则三⻆形的⾯积为
，
所以弧⽥的⾯积约为25﹣12＝13．
故选：C．
16．在古代的《扇艺奇谭》⼀书中有这样的描述：“有⼀扇⾯，其外弧和内弧所对圆⼼⻆依周天星⾠之轨，
为
，外弧⻓为16π厘⽶，内弧⻓为8π厘⽶．”则此扇⾯的⾯积为（
）
A．72πcm2
B．144πcm2
C．
D．180πcm2
【解答】解：扇⾯的圆⼼⻆为
，外弧⻓为16π厘⽶，内弧⻓为8π厘⽶，
则外弧半径为r＝
＝24，内弧半径为r′＝
＝12，
所以扇⾯的⾯积为S＝×（16π+8π）×（24﹣12）＝144πcm2．
故选：B．
17．中国扇⼦历史悠久，源远流⻓，在⻓达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的⽂化内涵和鲜明的
⺠族特⾊．⾃古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之⼤品种之多，皆居世界⾸位．如图，现从⼀圆⾯中
剪下⼀个扇形制作⼀把扇形扇⼦，为了使扇⼦形状更为美观，要求剪下的扇形和圆⾯剩余部分的⾯积⽐
值为⻩⾦分割⽐
，则扇⼦的圆⼼⻆应为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设扇形的圆⼼⻆为α，半径为r，
则扇形的⾯积为S＝
，圆⾯剩余⾯积为Y＝
，
则
，解得α＝（3﹣
）π．
故选：A．
18．如图，单位圆O 内接⼀个圆⼼⻆为
的扇形ABC，则扇形ABC 的⾯积为（
）
A．
B．
C．π
D．
【解答】解：连接OA，OC，由题意圆的半径为1，
则∠OAC＝
，OA＝OC＝1，
所以AC＝2rcos
＝2×1×
＝
，
所以扇形ABC 的⾯积为S＝
（
）2×
＝
．
故选：A．
19．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇⾯上题字绘画，某扇⾯为如图所示的扇环，记
的⻓为l，
的⻓为
m，若l：m：AD＝9：3：2，则扇环的圆⼼⻆的弧度数为（
）
A．3
B．2
C．
D．
【解答】解：因为
的⻓为l，
的⻓为m，且l：m：AD＝9：3：2，
如图，设扇环所在圆的圆⼼为O，圆⼼⻆为α，则
，
所以OA＝3OD＝3（OA﹣AD），得
，⼜
，所以
．
故选：A．
20．在周⻓为定值P 的扇形中，⾯积最⼤时扇形的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由于周⻓为定值P 的扇形，故2R+L＝P，
所以
＝
＝
，
当且仅当2R＝L 时，即R＝时，等号成⽴．
故选：C．
21．已知⼀扇形的周⻓为28，则该扇形⾯积的最⼤值为（
）
A．36
B．42
C．49
D．56
【解答】解：因为扇形的周⻓为28，
所以l+2R＝28，其中l 为扇形的弧⻓，R 为扇形的半径，
所以扇形的⾯积S＝lR＝l•2R≤
•
＝49，当且仅当l＝2R＝14 时，等号成⽴，
所以扇形⾯积的最⼤值为49．
故选：C．
22．《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧⻓的近似计算公式：
．如图，
公式中“弦”是指扇形中
所对弦AB 的⻓，“⽮”是指
所在圆O 的半径与圆⼼O 到弦的距离之差，“径”
是指扇形所在圆O 的直径．若扇形的⾯积为
，扇形的半径为4，利⽤上⾯公式，求得该扇形的弧⻓
的近似值为（
）
A．6
B．
C．
D．
【解答】解：设该扇形的圆⼼⻆为α，
扇形的⾯积为
，扇形的半径为4，
则
，所以
，
取
的中点C，连接OC，交AB 于点D，则OC⊥AB，
则
，
，
，
所以扇形的弧⻓的近似值为
．
故选：C．
23．已知⻆α的终边经过点
，则cosα＝（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【解答】解：因为⻆α的终边经过点
，
所以
，
故选：D．
24．已知⻆α的顶点在坐标原点O，始边与x 轴的⾮负半轴重合．若⻆α的终边绕着原点按顺时针⽅向旋转
后经过点P（3，﹣4），则tanα＝（
）
A．7
B．
C．﹣7
D．
【解答】解：设旋转后的⻆为β，则
，
因为旋转后⻆β终边上⼀点P（3，﹣4），所以
，
所以
．
故选：D．
25．已知
，且⻆α，β的终边关于y 轴对称，则cosβ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为⻆α，β的终边关于y 轴对称，所以α+β＝π+2kπ，k∈Z，
即β＝﹣α+π+2kπ，
．
故选：B．
26．已知⻆α的顶点在原点，始边与x 轴⾮负半轴重合，终边经过点
，则⻆α
的⼀个可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为α的终边经过点
，
所以
，
所以⻆α的⼀个可能值为
．
故选：B．
27．已知sinα＞sinβ，那么下列命题成⽴的是（
）
A．若α、β是第⼀象限⻆，则cosα＞cosβ
B．若α、β是第⼆象限⻆，则tanα＞tanβ
C．若α、β是第三象限⻆，则cosα＞cosβ
D．若α、β是第四象限⻆，则tanα＞tanβ
【解答】解：若α、β同属于第⼀象限，则
，cosα＜cosβ；故A 错．
第⼆象限，则
，tanα＜tanβ；故B 错．
第三象限，则
，cosα＜cosβ；故C 错．
第四象限，则
，
tanα＞tanβ．（均假定0≤α，β≤2π．）故D 正确．
故选：D．
28．以下区间中，使关于x 的不等式sinx＞cosx 成⽴的是（
）
A．
B．
C．
D．（π，2π）
【解答】解：①当x∈[0，
）时，由于y＝sinx 在（0，
）上为增函数，
y＝cosx 在（0，
）上为减函数，且sin
＝cos
＝
，
所以当x∈（0，
）时，sinx＜cosx 成⽴；当x∈（
，
）时，sinx＞cosx 成⽴．
②当x∈（
，π]时，sinx≥0 且cosx＜0，
结合sin
＝1＞cos
＝0，可知x∈[
，π]时，sinx＞cosx 恒成⽴．
③当x∈（π，
）时，y＝sinx 在（π，
）上为减函数，
y＝cosx 在（π，
）上为增函数，且sin
＝cos
＝﹣
，
所以当x∈（π，
）时，sinx＞cosx 成⽴；x∈（
，
）时，sinx＜cosx 成⽴．
④当x∈[
，2π）时，由于sinx＜0 且cosx≥0，所以sinx＜cosx 恒成⽴．
综上所述，使关于x 的不等式sinx＞cosx 成⽴的区间为（
，
）．
故选：A．
29．已知sin
＝，cos
＝﹣，则⻆α的终边所在的象限是（
）
A．第⼀象限
B．第⼆象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解∵sin
＝＞0，cos
＝﹣＜0，且|sin
|＞|cos
|，
∴
＜
＜
，k∈Z．
则π+4kπ＜α＜
，k∈Z．
∴⻆α的终边所在的象限是第三象限．
故选：C．
30．如果θ是第⼀象限⻆，则（
）
A．sin2θ＞0 且tan2θ＞0
B．
且tan2θ＞0
C．sin2θ＞0 且
D．
且
【解答】解：因为θ是第⼀象限⻆，则
，k∈Z，
所以
，k∈Z，
所以
是第⼀或第三象限⻆，则
或
，
，故排除B、D；
⼜4kπ＜2θ＜π+4kπ，k∈Z，
所以2θ的终边在第⼀、第⼆象限或在y 轴正半轴，则sin2θ＞0，
当2θ的终边在y 轴正半轴时tan2θ⽆意义，故排除A．
故选：C．
31．已知sinθ•tanθ＜0，且cosθ•sinθ＜0，则
为（
）
A．第⼀或⼆象限⻆
B．第⼆或三象限⻆
C．第⼀或三象限⻆
D．第⼆或四象限⻆
【解答】解：sinθ•tanθ＜0，即
＜0，θ在⼆三象限，
cosθ•sinθ＜0，θ在⼆四象限，
因此θ在第⼆象限，即2kπ+
＜θ＜2kπ+π，k∈Z，
则kπ+
＜
＜kπ+
，k∈Z，即
在第⼀或三象限．
故选：C．
32．设⻆θ满⾜条件
，则θ所在的象限是（
）
A．⼀、⼆
B．⼆、三
C．⼆、四
D．不能确定
【解答】解：因为
，
，且sin2θ+cos2θ＝1，
所以
，解得k＝0 或k＝8，
若k＝0，则
，
，此时θ所在象限是第四象限；
若k＝8，则
，
，此时θ所在象限是第⼆象限，
所以θ为第⼆象限或第四象限⻆．
故选：C．
33．cos（﹣15°）的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：cos（﹣15°）＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°
＝
+
＝
，
故选：D．
34．已知P（1，3）为⻆α终边上⼀点，则
＝（
）
A．
B．1
C．2
D．3
【解答】解：因为P（1，3）为⻆α终边上⼀点，
所以tanα＝3，
则
＝
＝
＝
＝1．
故选：B．
35．化简
的结果为（
）
A．﹣1
B．1
C．tan2α
D．﹣tan2α
【解答】解：
＝
＝tan2α．
故选：C．
36．sin（﹣120°）tan210°的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵sin（﹣120°）tan210°
＝﹣sin120°tan210°
＝﹣sin60°tan30°
＝﹣
×
＝﹣．
故选：B．
⼆．解答题（共3 ⼩题）
37 ．在单位圆中锐⻆α 的终边与单位圆交于点
，已知
．
（1）求f（α）的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）由于点
在单位圆上，
可得
，⼜α是锐⻆，可得
，
∴
，
则
＝
；
（2）
．
38．已知
．
（1）求
；
（2）若⻆α为第⼆象限⻆，且
，求f（α）的值．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣cotα，
所以
＝﹣cot
＝﹣
；
（2）若⻆α为第⼆象限⻆，且
，
则cosα＝﹣
＝﹣
，
所以f（α）＝﹣
＝2
．
39．已知
，且α是第⼆象限⻆．
（1）求cosα和tanα的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）∵
，且α是第⼆象限⻆，
∴
，
∴
；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
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三⻆函数篇——题型08～15
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
C
C
A
B
B
A
D
A
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
B
A
A
C
B
B
A
C
B
B
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
A
B
C
C
D
B
A
B
A
A
B
题号
34
答案
A
⼀．选择题（共34 ⼩题）
1．已知3sin（
+α）＝﹣5cos（
+α），则tan（α﹣
）＝（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【解答】解：由诱导公式可知已知3sin（
+α）＝﹣5cos（
+α），即3sin（
+α）＝﹣5cos
（
+α），
即﹣3sin（
+α）＝﹣5cos（
+α），∴tan（
+α）＝，
故有
，
故选：B．
2．若
，求：
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：sin2（α﹣
）＝sin2（
﹣α）＝1﹣cos2（
﹣α）＝1﹣＝，
cos[π﹣（
﹣α）]＝﹣cos（
﹣α）＝﹣
，
则
）＝﹣
﹣＝﹣
．
故选：A．
3．已知
，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知
，且
，
则
，
则
＝
，
则
＝sin[
（
）]＝
＝
．
故选：C．
4．已知⻆α，β满⾜tanα＝﹣2，tan（α+β）＝1，则tanβ＝（
）
A．﹣
B．1
C．﹣3
D．3
【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝1，
则tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝
＝
＝﹣3．
故选：C．
5．已知A 为三⻆形的⼀个内⻆，sin（A+
）＝，则cosA＝（
）
A．﹣
B．﹣
C．
或﹣
D．
或﹣
【解答】解：∵A 为三⻆形的内⻆，且sin（A+
）＝，
∴sinA+cosA＝
，
两边平⽅得：1+2sinAcosA＝
，即2sinAcosA＝﹣
＜0，
∴sinA＞0，cosA＜0，
∴
＜A＜π，即
＜A+
＜
，
∴cos（A+
）＝﹣
＝﹣，
则cosA＝cos[（A+
）﹣
]＝cos（A+
）cos
+sin（A+
）sin
＝﹣×
+
×
＝﹣
．
故选：A．
6．已知
，
，则cosα＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，则
，
所以
，
所以cosα＝cos[（
）﹣
]＝
[cos（
）+sin（
）]＝
（
）＝．
故选：B．
7．若
，
，
，
，则sinβ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
，
，
，∴sinα＝
＝
．
∵
，∴α+β为锐⻆，cos（α+β）＝
＝
，
则sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×
﹣
×
＝﹣
，
故选：B．
8．已知
，则cosα的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
故
，
＝
．
故选：A．
9．已知
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知
，
则cos（
）＝
＝
，
则
＝﹣sin[
]＝
＝
．
故选：D．
10．已知
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
，即
，
∴
，
⼜
＝
＝
＝
，
故选：A．
11．已知
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意，
，
所以
．
故选：D．
12．已知sin（
）＝
，则cos（
）＝（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
【解答】解：cos（
﹣α）＝cos[
﹣（α+
）]＝sin（α+
）＝
，
则cos（
）＝2cos2（
﹣α）﹣1＝2×（
）2﹣1＝﹣，
故选：A．
13．已知tanα＝2，则
的值为（
）
A．﹣4
B．
C．
D．
【解答】解：∵tanα＝2，
∴
．
故选：B．
14．已知θ是三⻆形的⼀个内⻆，且满⾜
，则tanθ＝（
）
A．2
B．1
C．3
D．
【解答】解：因为sinθ﹣cosθ＝
，
两边平⽅，可得
，可得2sinθcosθ＝，
可得（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ＝，
若sinθ+cosθ＝
，解得
，与θ是三⻆形的⼀个内⻆⽭盾，
所以sinθ+cosθ＝
，此时解得sinθ＝
，cosθ＝
，可得tanθ＝2．
故选：A．
15．已知tanα＝2，则
＝（
）
A．
B．
C．2
D．4
【解答】解：因为tanα＝2，
所以
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
16．已知
，则sin2α+sin2α＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以﹣sinα＝5cosα，
可得tanα＝
＝﹣5，
所以原式＝
＝
＝
＝
＝
．
故选：C．
17．若tan（α﹣β）＝2，tanβ＝4，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
则
．
故选：B．
18．已知θ∈（﹣π，0），且
，则sinθ+cosθ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为θ∈（﹣π，0），且
＞0，
所以sinθ＜0，cosθ＜0，
则sinθ+cosθ＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
．
故选：B．
19．已知
，则tanα＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，
，
∴cosα＞0，sinα＜0，
，
解得：
，
∴
，
∴解得：
，
∴
，
故选：A．
20．已知
，且α∈（0，π），则sinα﹣cosα的值为（
）
A．
B．
C．
D．
或
【解答】解：把
，两边平⽅得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣
＜0，
∵0＜α＜π，
∴
＜α＜π，即sinα＞0，cosα＜0，
∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝
，即sinα﹣cosα＝
．
故选：C．
21．已知0＜α＜π，且
，则sinα﹣cosα＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以两边平⽅，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+2sinαcosα＝，
可得2sinαcosα＝﹣，
⼜0＜α＜π，
所以sinα＞0，cosα＜0，
则sinα﹣cosα＞0，
所以sinα﹣cosα＝
＝
＝
＝
．
故选：B．
22．已知x∈（﹣
，0），sin4x+cos4x＝，则sinx﹣cosx＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为sin4x+cos4x＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝1﹣2sin2xcos2x＝，
所以sin2xcos2x＝，
⼜x∈（﹣
，0），sinx＜0，cosx＞0，sinx﹣cosx＜0，
所以sinxcosx＝﹣，
则sinx﹣cosx＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
．
故选：B．
23．已知θ是第三象限⻆，且sin4θ+cos4θ＝，则sinθcosθ的值为（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【解答】解：由sin4θ+cos4θ＝，
可得（sin2θ+cos2θ）2﹣2sin2θcos2θ＝，
所以1﹣2sin2θcos2θ＝，
所以sin2θcos2θ＝，
因为θ是第三象限⻆，
所以sinθ＜0，cosθ＜0，
所以sinθcosθ＞0，
所以sinθcosθ＝
．
故选：A．
24．
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝
．
故选：B．
25．
＝（
）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：
＝tan（12°+18°）＝tan30°＝
．
故选：C．
26．已知α，
，且tanα＝3，tanβ＝2，则α+β＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为tanα＝3，tanβ＝2，
所以
，
因为α，
，
所以0＜α+β＜π，
所以
．
故选：C．
27．已知α，β均为锐⻆，sinα＝3sinβcos（α+β），则tanα取得最⼤值时，tan（α+β）的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：已知α，β均为锐⻆，sinα＝3sinβcos（α+β），
则sin[（α+β）﹣β]＝3sinβcos（α+β），
即sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝3sinβcos（α+β），
即sin（α+β）cosβ＝4sinβcos（α+β），
即tan（α+β）＝4tanβ＞0，
则
＝
＝
＝，
当且仅当
，即tan（α+β）＝2 时取等号，
则tanα取得最⼤值时，tan（α+β）的值为2．
故选：D．
28．已知sin（α+2β）＝3sinα，则tanα的最⼤值是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为sin（α+2β）＝3sinα，
所以sin（α+β+β）＝3sin（α+β﹣β），
所以sin（α+β）cosβ+sinβcos（α+β）＝3sin（α+β）cosβ﹣3sinβcos（α+β），
即sin（α+β）cosβ＝2sinβcos（α+β），
所以tan（α+β）＝2tanβ，
则tanα＝tan（α+β﹣β）＝
＝
，
若tanα取得最⼤值，则tanβ＞0，
所以
＝
＝
，当且仅当tanβ＝
时取等号．
故选：B．
29．已知α∈（0，π），
，则sinα的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知α∈（0，π），
，
则
，
即
，
则sinα＝
．
故选：A．
30．已知
，则cos（α+β）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知
，
⼜cos（α﹣β）﹣cos（α+β）＝2sinαsinβ，
则cos（α+β）＝
＝．
故选：B．
31．
＝（
）
A．
B．
C．
D．2
【
解
答
】
解
：
原
式
＝
＝
＝
＝
＝
．
故选：A．
32．计算：sin20°sin80°+cos20°sin170°＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：sin20°sin80°+cos20°sin170°
＝sin20°sin80°+cos20°cos80°
＝
．
故选：A．
33．计算sin215°+cos245°+sin15°cos45°的值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：设M＝sin215°+cos245°+sin15°cos45°，
N＝cos215°+sin245°+cos15°sin45°，
则M+N＝1+1+sin（15°+45°）＝2+
①，
N﹣M＝（cos215°﹣sin215°）﹣（cos245°﹣sin245°）+（cos15°sin45°﹣sin15°cos45°）
＝cos30°﹣cos90°+sin（45°﹣15°）＝
+
②，
①﹣②得2M＝，则M＝．
故选：B．
34．若
，则tanθ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
＝0，
∴
，
∴
＝
＝
．
故选：A．
⼆．多选题（共2 ⼩题）
（多选）35．已知
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以α+β∈（0，π），α﹣β∈（﹣
，
），
⼜
＞0，
＞0，
所以α+β∈（0，
），α﹣β∈（0，
），
所以sin（α+β）＝
＝
＝
，故A 正确；
cos（α﹣β）＝
＝
＝，故B 错误；
sin2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）
＝
×
+
×
＝
，故C 正确；
因为sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝
，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝，
两式联⽴可得sinαcosβ＝
，
cosαsinβ＝
，
所以
＝
＝
＝
，故D 正确．
故选：ACD．
（多选）36．下列等式成⽴的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝
，A 项正确；
，B 项
正确；
，C 项错误；
，D 项正确．
故选：ABD．
三．填空题（共1 ⼩题）
37．计算：
＝
．
【解答】解：
＝
＝
＝
．
故答案为：
．
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三⻆函数篇——题型16～24
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
D
A
D
D
D
C
A
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
A
B
C
A
A
B
B
D
B
D
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
A
A
A
A
A
B
B
B
B
A
C
题号
34
35
36
37
38
答案
C
D
A
A
C
⼀．选择题（共38 ⼩题）
1．已知⻆α的始边为x 轴的⾮负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点P（1，﹣2），则sin2α+cos2α
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵⻆α的始边为x 轴的⾮负半轴，顶点为坐标原点，它的终边经过点P（1，﹣2），
∴r＝|OP|＝
，sinα＝
＝﹣
，cosα＝
＝
，
则sin2α＝2sinαcosα＝2×（﹣
）×
＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（
）2﹣1＝﹣，
∴sin2α+cos2α＝﹣+（﹣）＝﹣．
故选：C．
2．已知α为锐⻆，若
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：α为锐⻆，若
，
，
，
则
＝
．
故选：A．
3．已知0＜A＜
，且cos 2A＝，那么cos A 等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵0＜A＜
，
∴cosA＞0，
∵cos2A＝＝2cos2A﹣1，整理可得：cos2A＝，
∴cosA＝
．
故选：D．
4．若
，则sinθ﹣cosθ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
，
∴sinθ＞cosθ，⼜
，
∴
．
故选：D．
5．若锐⻆θ满⾜
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，
即
sinθ）﹣1]（cosθ+sinθ）＝0，
解得
或cosθ+sinθ＝0，
⼜θ为锐⻆，
所以
，
则
，
即
，
解得sin2θ＝，
所以
．
故选：A．
6．已知
，270°＜α＜360°，那么
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵270°＜α＜360°，
∴
，
．
故
，
＝
，
＝
．
故选：D．
7．设5π＜θ＜6π，cos
＝a，则sin
等于（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【解答】解：因为5π＜θ＜6π，
所以
，
所以sin
＜0，
因为cos
＝a＝1﹣2sin2
，
所以sin
＝﹣
．
故选：D．
8．已知α为锐⻆，cosα＝
，则sin
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：cosα＝
，
则cosα＝
，
故
＝1﹣cosα＝
，即
＝
＝
，
∵α为锐⻆，
∴
，
∴sin
＝
．
故选：D．
9．若
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：若
，
则cosα＝﹣
＝﹣，
因为
，
＝﹣
＝﹣
＝﹣
．
故选：C．
10．已知
，
，则tan（α﹣β）的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
＝2cos
，
＝
2cos
sin
，
所以tan
＝﹣，
则tan（α﹣β）＝
＝
＝
．
故选：A．
11．下列式⼦中正确的是（
）
A．
B．
C．tanα+tanβ＝tan（α+β）+tanαtanβtan（α+β）
D．
【解答】解：对于A，
＝
＝﹣cosαsinβ，
则
，故A 错误；
对于B，
＝
＝
＝
＝
＝sinθ﹣sinφ，
则
不成⽴，故B 错误；
对于C，若
，则
，
，
∵
，此时tanα+tanβ≠tan（α+β）+tanαtanβtan（α+β），故C 错误；
对于D，
＝
＝
＝
＝
＝
，故D 正确．
故选：D．
12．已知α，β为锐⻆，且
，则sinαsinβ的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，⼜
，
所以
＝
．
∵α，β为锐⻆，且
，∴
，即
，
∴
，
∴
，∴
，
∴sinαsinβ的取值范围为
．
故选：A．
13．对任意的实数α、β，下列等式恒成⽴的是（
）
A．2sinα•cosβ＝sin（α+β）+sin（α﹣β）
B．2cosα•sinβ＝sin（α+β）+cos（α﹣β）
C．
D．
【解答】解：sin（α+β）+sin（α﹣β）＝sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαsinβ＝2sinαcosβ，
故选：A．
14．设当x＝θ时，函数f（x）＝3sinx﹣cosx 取得最⼤值，则cosθ＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．
【解答】解：f（x）＝3sinx﹣cosx＝
（sinx•
﹣cosx•
）＝
sin（x﹣φ），
其中cosφ＝
，sinφ＝
，）
∴当x﹣φ＝2kπ+
，即x＝2kπ+
+φ，k∈Z 时，f（x）取得最⼤值．
此时θ＝2kπ+
+φ，所以cosθ＝cos（2kπ+
+φ）＝cos（
+φ）＝﹣sinφ＝﹣
．
故选：B．
15．已知函数f（x）＝3sinx+4cosx．设x＝θ时，f（x）取得最⼤值，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）＝3sinx+4cosx＝5sin（x+φ），其中tanφ＝，sinφ＝，cosφ＝，
∵当x＝θ时，f（x）取得最⼤值，
∴θ+φ＝
+2kπ，k∈Z，即θ＝
+2kπ﹣φ，
∴
＝cos（
+2kπ﹣φ+
）＝cos（
﹣φ）＝cos
cosφ+sin
sinφ＝﹣
×
+
×
＝
．
故选：C．
16．已知函数
，当x＝β时，f（x）取得最⼤值，则cosβ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
故
（
，
），
因为x＝β时，f（x）取得最⼤值，
所以
，
所以
，
．
故选：A．
17．已知函数
，当x＝β时，f（x）取得最⼤值，则cosβ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，（其中
，
），
当x＝β时，f（x）取得最⼤值，此时
，
得到
，
．
故选：A．
18．已知函数f（x）＝|sinx|+cosx，则下列说法正确的个数为（
）
①f（x）是⾮奇⾮偶函数
②π是f（x）的⼀个周期
③f（x）在区间[0，
]上单调递增
④f（x）的最⼩值是﹣1
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：∵函数f（x）＝|sinx|+cosx 的定义域为R，且f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+cos（﹣x）＝|sinx|+cosx
＝f（x），
∴f（x）是偶函数，①错误；
∵f（x+π）＝|sin（x+π）|+cos（x+π）＝|sinx|﹣cosx≠f（x），
∴π不是f（x）的⼀个周期，②错误；
当0≤x≤π时，f（x）＝sinx+cosx＝
sin（x+
），
当x∈[0，
]时，x+
∈[
，
]，
∴f（x）在区间[0，
]上不单调，③错误；
∵f（x+2π）＝|sin（x+2π）|+cos（x+2π）＝|sinx|+cosx＝f（x），
∴f（x）是以2π为周期的偶函数，
⼜当0≤x≤π时，x+
∈[
，
]，
此时f（x）＝sinx+cosx＝
sin（x+
）∈[﹣1，
]，
∴f（x）的最⼩值是﹣1，④正确．
故选：B．
19．已知函数f（x）＝|sinx|+cosx﹣sin2x，则下列命题正确的是（
）
A．f（x）是以π为周期的函数
B．当x∈[0，π]时，函数f（x）的最⼤值为
，最⼩值为﹣1
C．直线
是曲线y＝f（x）图象的⼀条对称轴
D．函数f（x）在[0，π]上没有零点
【解答】解：A 项．函数f（x）＝|sinx|+cosx﹣sin2x，
因为f（x+π）＝|sinx|﹣cosx﹣sin2x 与f（x）不恒相等，
所以π不是f（x）的周期，故A 项错误；
B 项．当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx+cosx﹣sin2x，
令
，则
，f（x）转化为u（t）＝﹣t2+t+1，
易知u（t）在区间
上的最⼤值为
，最⼩值为u（﹣1）＝﹣1，
此时函数f（x）的最⼤值为
，最⼩值为﹣1，故B 项正确；
C 项．⼜f（π﹣x）＝|sinx|﹣cosx+sin2x 与f（x）不恒相等，故C 项错误；
D 项．因为f（0）＝1，f（π）＝﹣1，f（0）•f（π）＜0，所以函数f（x）在[0，π]上有零点，故D 项错
误，
故选：B．
20．已知函数f（x）＝cos2x+sin2x，则下列说法中，正确的是（
）
A．f（x）的最⼩值为﹣1
B．f（x）在区间
上单调递增
C．f（x）的图象关于点
对称
D．f（x）的图象可由
的图象向右平移
个单位得到
【解答】解：函数f（x）＝cos2x+sin2x＝
sin（2x+
），
对于A：当sin（2x+
）＝﹣1 时，函数的最⼩值为﹣
，故A 错误；
对于B：由于x∈[﹣
，
]，所以2x+
∈[﹣
，
]，故函数f（x）在该区间上不单调，故B 错
误；
对于C：由于f（
）＝
sin（2×
）＝
，故C 错误；
对于D：f（x）的图象可由g（x）＝
cos2x 的图象向右平移
个单位得到f（x）＝
sin（2x+
），
故D 正确．
故选：D．
21．关于函数
，下列结论正确的为（
）
A．f（x）的最⼩正周期为π
B．
是f（x）的对称中⼼
C．当
时，f（x）的最⼩值为0
D．
时，f（x）单调递增
【解答】解：A 项，f（x）的最⼩正周期为
，错误；
B 项，f（
）＝tan
，⽆意义，则（
，0）是f（x）的对称中⼼，正确；
C 项，当
时，
，此时f（x）没有最⼩值，C 错误；
D 项，
时，
，
令
＝
，x＝
，
则f（x）在（
，
），（
，
）上单调递增，D 项错误．
故选：B．
22．设函数
，则下列叙述正确的是（
）
A．f（x）的最⼩正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线
对称
C．f（x）在
上的最⼩值为
D．f（x）的图象关于点
对称
【解答】解：对于A，f（x）的最⼩正周期T＝
，故A 错误；
对于B，∵
，∴直线
不是f（x）的图象的对称轴，故B 错误；
对于C，
时，
，
∴
，∴
，
∴f（x）在
上的最⼩值为
，故C 错误；
对于D，∵sin（2×
﹣
）＝0，2sin（2×
﹣
）+
＝，
∴f（x）的图象关于点
对称，故D 正确．
故选：D．
23．已知函数
的部分图象如图所示，其中
，
，现有如下说法：
①函数f（x）在
上单调递减；
②将函数f（x）的图象向右平移
个单位⻓度后关于原点对称；
③当
时，
，
则正确命题的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：∵
，∴
，∴
，
∴f（x）＝2sin（4x+φ），将
代⼊f（x）中，得
，
则
，即
，
⼜
，所以
，∴
；
∵
，∴
，∴函数f（x）在
上先减后增，
故①错误；
将函数f（x）的图象向右平移
个单位⻓度后，得到
，
其图象关于y 轴对称，故②错误；
∵
，∴
，则
，∴
，故③错误．
故选：A．
24．将函数
的图象向右平移
个单位⻓度后得到函数g（x）的图像，
且函数g（x）是偶函数，则ω的最⼩值是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意
是偶函数，
所以
，
解得
，
⼜ω＞0，
所以当且仅当k＝﹣1 时，
．
故选：A．
25．将函数
图象上的点
向左平移s（s＞0）个单位⻓度得到点P′，若P′位于
函数y＝cos2x 的图象上，则（
）
A．
，s 的最⼩值为
B．
，s 的最⼩值为
C．
，s 的最⼩值为
D．
，s 的最⼩值为
【解答】解：由函数图像过点
，
得t＝sin（2×
﹣
）＝
，故BD 错误，
所以P（
，
），
⼜因为P 向左平移s 个单位⻓度得到点P′（
﹣s，
），
代⼊得
＝cos（
﹣2s）＝sin2s，s＝
+kπ或s＝
+kπ，k∈Z，
因为s＞0，
所以s 的最⼩值为
，故A 正确，C 错误．
故选：A．
26．把函数y＝f（x）的图象上各点向右平移
个单位，再把横坐标伸⻓到原来的2 倍，再把纵坐标缩短
到原来的
倍，所得图象的解析式是
，则f（x）的解析式是（
）
A．f（x）＝3cosx
B．f（x）＝3sinx
C．f（x）＝3cosx+3
D．f（x）＝sinx
【解答】解：将
上所有点的纵坐标伸⻓到原来的
倍，得到
，
再将
上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
，
将
上
所
有
点
向
左
平
移
个
单
位
，
得
到
．
故选：A．
27．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图象关于原点对称，且f（
）＝﹣1，将f（x）
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g（x），则（
）
A．g（x）＝sinx
B．g（x）＝2sinx
C．g（x）＝sin（x﹣
）
D．g（x）＝2sin（2x﹣
）
【解答】解：根据f（x）的图象关于原点对称，可知f（x）为奇函数，
所以φ＝kπ，k∈Z，结合|φ|＜π可得φ＝0，f（x）＝Asin2x，
由f（
）＝﹣1，可得Asin
＝﹣1，解得A＝1，所以f（x）＝sin2x，
将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，
得到的图象对应的解析式为f（）＝sinx，即g（x）＝sinx，A 项符合题意．
故选：A．
28．将函数
图象上的所有点的横坐标伸⻓到原来的4 倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位⻓度，得到函数g（x）的图象，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．1
【解答】解：f（x）＝cos（2x﹣
）图象上的所有点的横坐标伸⻓到原来的4 倍（纵坐标不变）得到y
＝cos（x﹣
）的图象，
则g（x）＝cos[
（x﹣
）﹣
]＝cos（x﹣
）＝sin
，则
＝sin（
）＝
．
故选：B．
29．已知函数
的部分图象如图所示，把函
数f（x）图象上所有点的横坐标伸⻓为原来的
倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是
（
）
A．
为偶函数
B．g（x）的最⼩正周期是π
C．g（x）的图象关于直线
对称
D．g（x）在区间
上单调递减
【解答】解：由题意，根据函数
的部分
图象，可得A＝2，f（0）＝﹣1，
可得2sinφ＝﹣1，即
，
因为
，
可得
，
⼜因为函数f（x）的周期T 满⾜：
，即
，解得
，
⼜
，即有
，
⽽ω＞0，
所以
，
可得
，
可得
，
由题意
，
可得
，
可得函数
为⾮奇⾮偶函数，故A 错误；
的最⼩正周期
，故B 正确；
因为
，
所以g（x）的图象不关于直线
对称，故C 错误；
当
时，
，
⽽正弦函数y＝sinx 在
上单调递增，在
上单调递减，
则g（x）的图象不单调，故D 错误．
故选：B．
30．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣
＜φ＜
）的部分图象如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得
T＝
﹣
，
即T＝
＝2π，可得ω＝1，
所以f（x）＝2sin（x+φ），
⼜f（
+
T）＝f（
）＝2sin（
+φ）＝﹣2，
所以
+φ＝2kπ+
，k∈Z，可得φ＝2kπ+
，k∈Z，
⼜﹣
＜φ＜
，
故φ＝
．
故选：B．
31．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则其解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意A＝2，且T＝
﹣（﹣
）＝π，
⽽T＝
，ω＞0，
可得ω＝2，
由五点法作图可得2×（﹣
）+φ＝0，
可得φ＝
，
所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+
）．
故选：B．
32．如图，直线y＝1 与函数
的图象的三个相邻
的交点为A，B，C，且|AB|＝π，|BC|＝2π，则f（x）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为|AB|＝π，|BC|＝2π，
所以相邻两对称轴间的距离
，即周期T＝3π，
所以
，
排除BD，
当x＝0 时，代⼊
，可得
，满⾜题意，
代⼊
，可得
，不符合题意，
故A 正确，C 错误．
故选：A．
33．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B，C 是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象⾃左
⾄右的某三个相邻交点，若
，则ω+m＝（
）
A．
B．
C．3
D．
【解答】解：如图所示，
函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的周期为
T＝|AB|+|BC|＝
+
＝π，
所以ω＝
＝2；
设f（x0）＝2sin（2x0+φ）＝2，
则2x0+φ＝
+2kπ，k∈Z，
所以m＝f（x0﹣
）＝2sin（2x0﹣
+φ）＝2sin（
+2kπ）＝1，
所以ω+m＝3．
故选：C．
34．设函数
在[﹣π，π]的图象⼤致如图，则f（x）的最⼩正周期为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据
在[﹣π，π]的图象，
∵图象过点（
，0），
∴ω×（
）﹣
＝kπ（k∈Z），
解得ω＝
（k∈Z），
设函数的最⼩正周期为T，
由函数的图象得
T＞
﹣（﹣π）＝
，T＜π﹣（
）＝
，
即
＜T＜
，∴
＜
＜
，
∴
＜ω＜，当且仅当k＝﹣1 时，符合题意，此时ω＝，
故f（x）的最⼩正周期为
＝
．
故选：C．
35．函数
的最⼩正周期记为T．若
＜T＜π，且f（x）的图象关于点
中⼼对称，则
＝（
）
A．1
B．
C．0
D．﹣1
【解答】解：因为f（x）的图象关于点
中⼼对称，
所以f（
）＝sin（
+
）＝0，解得
+
＝kπ，k∈Z，即ω＝
+
，k∈Z．
⼜
＜T＜π，所以
，解得2＜ω＜3．
因为ω＝
+
，k∈Z．易知当k＝4 时符合题意，此时ω＝．
所以f（x）＝sin（
+
），则f（
）＝sin（
）＝sin
＝﹣1．
故选：D．
36．已知曲线y＝Asinωx 与
相邻的三个交点分别为P，M，N，若△
PMN 是边⻓为6 的等边三⻆形，则Aω＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据诱导公式，可知y＝Asin（ωx+
）就是y＝Acosωx，
曲线y＝Asinωx 与y＝Asin（ωx+
）的交点的横坐标，就是⽅程Asinωx＝Acosωx 的解，
由Asinωx＝Acosωx，得sinωx＝cosωx，即tanωx＝1，可得ωx＝
+kπ（k∈Z），
即两条曲线的交点横坐标x 满⾜ωx＝
+kπ（k∈Z）．
设M、N、P 是与y 轴最近的三个交点，
取k＝0 得ωx＝
，即x＝
，可得M（
，
），
同理，分别取k＝﹣1、1，求得N（
，
），P（
，
）．
因为△PMN 是边⻓为6 的等边三⻆形，
所以|PN|＝|
﹣
|＝6，结合ω＞0，化简得
，可得ω＝
．
等边△PMN 的⾼等于yM﹣yN＝
，即
﹣（
）＝
，解得A＝
．
因此，Aω＝
×
＝
．
故选：A．
37．将曲线y＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）向左平移θ个单位⻓度后得到曲线y＝g（x），如图所示，图
中阴影部分的⾯积为π，则φ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由三⻆函数的对称性可得阴影部分的⾯积等于矩形ABCD 和矩形EFGH 的⾯积之和，
所以π＝2SABCD，
因为将曲线y＝2cos（ωx+φ）向左平移θ个单位⻓度得到曲线y＝g（x）的图象，所以AD＝θ，
则SABCD＝θ×2＝2θ，所以
，
由图象可得
，所以
，
⼜
，所以
，k∈Z，
⼜|φ|＜π，所以φ＝﹣
．
故选：A．
38．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的图象如图所示，图象与x 轴的交点为M（，
0）与y 轴的交点为N，最⾼点P（1，A），且满⾜NM⊥NP，则f（2）＝（
）
A．
B．0
C．
D．
【解答】解：由图知函数f（x）的周期T 满⾜
，解得T＝6，
所以
，由图象与x 轴的交点为M
，
得
，所以
（k∈Z），
即
，因为
，所以k＝1 时，
，函数
，
所以得到f（x）图象与y 轴的交点为N
.故
，
，
因为NM⊥NP，所以
，即
，
解得
，故函数
，
因此
，故C 选项正确．
故选：C．
⼆．多选题（共2 ⼩题）
（多选）39．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜
）的部分图象如图所示，A 为图象与x 轴
的⼀个交点，B，C 分别为图象的最⾼点与最低点，若
•
＝
2，则以下选项正确的有（
）
A．A＝
B．三⻆形ABC 的⾯积为2
C．ω＝2
D．x＝是f（x）的⼀条对称轴
【解答】解：对于A，由图象得函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜
）的最⼤值为
，
最⼩值为
，所以A＝
，故A 正确；
对于B，因为
，
所以
，即
，则∠BAC＝90°，
由对称性知AB＝BD＝CD，则AD＝BD＝AB，△ABD 为正三⻆形，
⼜函数最⾼点函数值为
，所以AD＝2，所以AB＝2，
，
所以三⻆形ABC 的⾯积为
，故B 正确；
对于C，由B 得函数周期为2×2＝4，所以
，故C 错误；
对于D，
，
将
代⼊得
，
由0＜φ＜
，得
＜
+φ＜
，
所以
+φ＝π，
解得
，故f（x）＝
sin（
x+
），
令
，得
，
则
是f（x）的⼀条对称轴，故D 正确．
故选：ABD．
（多选）40．已知函数
的部分图象如图所示，
若
，tan∠NCM＝2，则（
）
A．
B．f（x）的单调递增区间为
C．f（x）的图象关于点
对称
D．f（x）的图象关于直线
对称
【解答】解：根据已知函数f（x）的部分图象可得：A＝1，
因为|MN|＝1，tan∠NCM＝2，所以
，所以
，即ω＝π，
所以f（x）＝sin（πx+φ），
将
代⼊y＝f（x）解析式中得：
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，故A 正确；
令
，得
，故B 不正确；
因为
，所以f（x）的图象不关于点
对称，故C 不正确；
因为
，所以f（x）的图象关于直线
对称，故D 正确．
故选：AD．
三．填空题（共1 ⼩题）
41．如图，在函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图像中，若
，则点A 的纵坐标为
．
【解答】解：由题意及图得ωx+φ＝
，则x＝
，所以T（
，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为
，所以
，可得
，
因为y2＝f（x2），
所以2y1＝f（2x1﹣
+
）＝sin（2ωx1﹣
+2φ）＝cos（2ωx1+2φ）＝1﹣2sin2（ωx1+φ）＝1﹣2
，
整理得2
+2y1﹣1＝0，
结合图象y1＞0，解得y1＝
．
故答案为：
．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2025/2/1811:37:58；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
三⻆函数篇——题型25～32
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
B
A
A
C
B
B
D
D
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
C
C
D
D
B
C
A
D
C
D
⼀．选择题（共21 ⼩题）
1．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
），x＝﹣
是函数的⼀个零点，且x＝
是其
图象的⼀条对称轴．若f（x）在（
）上单调，则ω的最⼤值为（
）
A．18
B．17
C．15
D．13
【解答】解：由题意，得
（k∈Z），∴T＝
（k∈Z）．
⼜T＝
，∴ω＝2k+1（k∈Z）．
∵（
）是f（x）的⼀个单调区间，∴
T，即T
．
∵T＝
，∴2k+1≤18，即k≤8.5．
①当k＝8，即ω＝17 时，
φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝
，k∈Z，
∵|φ|＜
，∴φ＝
，此时f（x）＝Asin（17x+
）在（
）上不单调，∴ω＝17 不符合题意；
②当k＝7，即ω＝15 时，
φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝
，k∈Z，
∵|φ|＜
，∴φ＝
，此时f（x）＝Asin（15x﹣
）在（
）上不单调，∴ω＝15 不符合题
意；
③当k＝6，即ω＝13 时，
+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝
，k∈Z．
∵|φ|＜
，∴φ＝
，此时f（x）＝Asin（13x+
）在（
）上单调递增，∴ω＝13 符合题意．
故选：D．
2．已知函数
为f（x）的零点，
为y＝f（x）
图象的对称轴，且f（x）在（
，
）单调，则ω的最⼤值为（
）
A．11
B．9
C．7
D．5
【解答】解：由于
函数的零点的横坐标，
是函数的对称轴；
所以满⾜
，（k1，k2∈Z），
整理得
，ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z）．
由于
，
所以
．
由于函数f（x）在（
，
）单调，
故
，整理得
，
整理得ω≤12．
由于ω＞0，
所以0＜ω≤12．
当φ＝
时，则k1+k2＝0，ω＝4k2+1，所以ω＝1，5，9；
当φ＝
时，则k1+k2＝﹣1，ω＝4k2+3，所以ω＝3，7，11；
若ω＝1，5 时函数在（
，
）不单调，故不符合题意；
当ω＝9 时，函数f（x）＝sin（9x+
）在（
，
）单调，符合题意，
当ω＝11 时，函数f（x）＝sin（11x﹣
）在（
，
）单调递增，在（
）上单调递减，
不符合题意，
综上所述则ω的最⼤值为9．
故选：B．
3．已知函数f（x）＝sin（ωx+
）（ω＞0）在区间[﹣
，
]上单调递增，则ω的取值范围为（
）
A．（0，]
B．（0，]
C．[
，]
D．[
，2]
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+
）（ω＞0）在区间[﹣
，
]上单调递增，
∴
，k∈Z
解得：
∵ω＞0，
当k＝0 时，可得：
．
故选：B．
4．已知函数
在区间
上单调递减，则实数ω的取值范围为
（
）
A．
B．（1，2]
C．（0，1]
D．
【解答】解：由题意有T＝
≥π，可得0＜ω≤2，
⼜由
＜
+
≤
，
必有
+
≤π，
可得0＜ω≤
，即实数ω的取值范围为（0，]．
故选：A．
5．已知函数
在
上单调递减，则实数ω的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
的最⼩正周期
，
所以
，即﹣2≤ω＜0，
当
时，
，
依题意知
，k∈Z，
解得
，⼜﹣2≤ω＜0，
∴当k＝0 时成⽴，
．
故选：A．
6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
的最⼩正周期为π，且f（x）是（
，
）上的单调
函数，则φ的取值范围是（
）
A．（﹣
，﹣
]
B．（﹣
，
]
C．[﹣
，﹣
]
D．[﹣
，
）
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）的最⼩正周期为
＝π，∴ω＝2，∴f（x）
＝sin（2x+φ）．
∵f（x）是（
，
）上的单调函数，∴
+φ≥
，且
+φ≤
，求得﹣
≤φ≤﹣
，
故选：C．
7．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣
）（ω＞0）的图象在区间（1，2）上不单调，则ω的取值范围为（
）
A．（
，+∞）
B．（
，
）∪（
，+∞）
C．（
，
）∪（
，+∞）
D．（
，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx﹣
）（ω＞0）的对称轴为ωx﹣
＝
+kπ，k∈Z，
即x＝
+
，k∈Z，
当k＝0 时，1＜
＜2，解得
＜ω＜
，
当k＝1 时，
+
＜2，解得ω＞
，
综上所述，ω的取值范围为（
，
）∪（
，+∞），
故选：B．
8．已知函数f（x）＝sin（
）（ω＞0）的图象在区间（2，4）上不单调，若ω的取值范围为集合A，
则下列属于集合A 的⼦集的是（
）
A．（
，
）
B．（
，+∞）
C．（
，
）
D．（0，
）
【解答】解：函数f（x）＝sin（
）（ω＞0）的图象在区间（2，4）上不单调，
且函数f（x）的对称轴为ωx+
＝
+kπ，k∈Z，
解得x＝
+
，k∈Z，
当k＝0 时，x＝
，令2＜
＜4，解得
＜ω＜
，
当k＝1 时，x＝
+
＝
，令2＜
＜4，解得
＜ω＜
，
当k＝2 时，x＝
+
＝
，令2＜
＜4，解得
＜ω＜
，
当k＝3 时，x＝
＝
，令2
，解得
，
当k＝4 时，x＝
＝
，令2＜
，解得
，
…
综上，集合A＝（
）∪（
，+∞）．
故选：B．
9．若函数
在区间[0，2π]上有且仅有5 条对称轴，则ω取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
，
令
，解得
，
若函数在区间[0，2π]上有且仅有5 条对称轴，
则函数f（x）在（0，+∞）上由⼩到⼤的第1 条对称轴为
，
第2 条对称轴为
，第3 条对称轴为
，
第4 条对称轴为
，第5 条对称轴为
，
第6 条对称轴为
，由题意知，
，
解得
，故D 正确．
故选：D．
10．函数
在区间[0，π]上有且仅有3 个零点，则实数ω有（
）
A．最⼤值
B．最⼤值
C．最⼩值
D．最⼩值
【解答】解：令
，解得x＝
（kπ+
），k∈Z．
即函数y＝sin（ωx﹣
）的零点为
，
可得函数在y 轴右侧的四个零点分别是
，
因为函数在[0，π]有且仅有3 个零点，
所以
，解得
，所以实数ω有最⼩值为
，⽆最⼤值．
故选：D．
11．已知函数f（x）＝tan（
）（ω＞0），若f（x）在区间（0，π）上单调递增，则ω的取值范围为
（
）
A．（0，]
B．（0，）
C．（0，）
D．（0，]
【
解
答
】
解
：
令
Z
，
移
项
可
得
﹣
，k∈Z，
即
，因为ω＞0，两边同时除以ω，
得到
，k∈Z，
已知f（x）在区间（0，π）上单调递增，
那么（0，π）这个区间要包含在f（x）的某个单调递增区间
，
内，
当k＝0 时，单调递增区间为
，要使
，
则
，解
，两边同时乘以4ω，则3π≥4ωπ，两边再同时除以4π，解得
，
⼜因为ω＞0，所以
．
故选：A．
12．若当x∈[0，2π]时，函数
与
的图象有且仅有4 个交点，则ω的
取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，画出
在x∈[0，2π]的图象，
也画出
的草图，
函数
与
的图象有且仅有4 个交点，
则将
的第4 个，第5 个与x 轴交点向2π处移动即可．
满⾜
，解得
．
故选：C．
13．设函数
，则ω可以是（
）
A．
B．1
C．2
D．3
【解答】解：由题意，函数f（x）＝cosωx 在x1和x2处取到最⼤值和最⼩值，且
，
由于cosωx 的周期为
，因此
是周期的⼀半，
即
，解得|ω|＝2，所以ω可以是2．
故选：C．
14．已知函数
的最⼩正周期
，若函数f（x）在
上单
调，且关于直线
对称，则符合要求的ω的所有值的和是（
）
A．
B．2
C．5
D．
【解答】解：函数
的最⼩正周期为
，由
，得0＜ω＜4，
由于f（x）在
上单调，该区间⻓度⼩于等于半个周期，即
，得ω≤6，
结合ω＜4，最终得到0＜ω＜4，
⼜因为f（x）关于直线
对称，所以
，解得
，其中k 为整数，
在0＜ω＜4 的范围内，满⾜条件的ω值为
和
和
，
验证可知，这两个值均满⾜函数在
上单调，
因此，符合要求的ω所有值的和为
．
故选：D．
15．已知函数f（x）＝3
cosωx（ω＞0）恰有两个对称中⼼在区间
上，且
，则ω的所有可能取值之和是（
）
A．6
B．
C．
D．16
【解答】解：
＝
＝
，
∵
，∴函数关于
对称，
∴
，∴
，
∵恰有两个对称中⼼在区间
上，
∴
，∴
，∴6＜ω≤9，∴
或
，
∴ω的所有可能取值之和是
．
故选：D．
16．已知ω＞0，函数
在
上单调递增，则ω的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据f（x）在
上单调递增，可知f（x）的周期T 满⾜
，解得T≥π，
即
，结合ω＞0，解得0＜ω≤1．
函数
的单调递增区间满⾜
+2kπ≤2ωx+
≤
+2kπ（k∈Z）．
解得
（k∈Z）．
所以f（x）的增区间为[
+
，
+
]（k∈Z），可得
⊂[
+
，
+
]
（k∈Z）．
所以
，结合0＜ω≤1，取k＝0 解得ω∈（0，]．
故选：B．
17．函数f（x）＝cos（ωx）+|x﹣1|+|x﹣2|（ω＞0）的最⼩值为0，则ω的最⼩值为（
）
A．π
B．
C．
D．2π
【解答】解：因为|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|＝1，
当且仅当（x﹣1）（x﹣2）≤0，即x∈[1，2]时，等号成⽴，
⼜因为f（x）＝cos（ωx）+|x﹣1|+|x﹣2|的最⼩值为0，
所以当x∈[1，2]时，y＝cos（ωx）的最⼩值为﹣1，
因为x∈[1，2]，所以ωx∈[ω，2ω]，
所以π+2kπ∈[ω，2ω]，k∈Z，所以
，k∈Z，
⼜因为ω＞0，所以当k＝0 时，
，能使得ω有最⼩值，
所以ω的最⼩值为
．
故选：C．
18．已知函数f（x）＝5sinωx+12cosωx（ω＞0）在区间（0，π）内没有零点，但有极值点，则5cosπω+12sinπω
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，可得f（x）＝5sinωx+12cosωx＝13sin（ωx+φ），
其中
，
，
，
所以
，
，且
，
当x∈（0，π）时，ωx+φ∈（φ，πω+φ），
因为f（x）在区间（0，π）内没有零点，但有极值点，
所以
，可得
，
因为5cosπω+12sinπω＝13cos（πω﹣φ），
，
，且
，
所以13cos（πω﹣φ）≤13，
，
13cos（πω﹣φ）≥13cos（π﹣2φ）＝﹣13cos2φ＝
，
可得5cosπω+12sinπω＝
．
故选：A．
19．函数f（x）＝sinx，若⽅程f（x）﹣4f2（x）＝a 在
内有两个不同的解，则实数a 的取值范
围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当
时，f（x）＝sinx 的图象如图所示，
则f（x）＝sinx∈（0，1]，
令f（x）＝t，则⽅程为t﹣4t2＝a，t∈（0，1]，
⼜
，
当
时，若⽅程f（x）﹣4f2（x）＝a 在
内有两个不同的解，
只需t﹣4t2＝a 只有⼀解，
即函数y＝a 与y＝﹣4t2+t，
只有⼀个交点，
⼜函数y＝﹣4t2+t 在
上单调递减，
所以
，即
，当t＝1 时，a＝﹣4+1＝﹣3，
⽅程4f2（x）﹣f（x）﹣3＝0 的解为f（x）＝1 和
，
当f（x）＝1 时，
，当
时，⽆解，
显然⽅程4f2（x）﹣f（x）+a＝0 只有⼀解，不合题意；
当
时，
，⽅程
的解为
和
，
当
时，
，当
时，⽆解，
显然⽅程4f2（x）﹣f（x）+a＝0 只有⼀解，不合题意；
当
时，若⽅程4f2（x）﹣f（x）+a＝0 在
内有两个不同的解，
只需4t2﹣t+a＝0 有两个不同的解，
即函数y＝a 与y＝﹣4t2+t，
有两个不同的个交点，
⼜函数y＝﹣4t2+t 在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
综上所述，实数a 的取值范围为
．
故选：D．
20 ．函数
的部分图象如图所示，若
，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（
）
A．
B．
C．
D．0
【解答】解：观察图象可得，
，则
，
则f（x）＝Asin（3x+φ），
⼜
，且函数f（x）在
附近单调递减，
则
，解得
，
⼜因为
，所以
，则
，
∵
，可得
，
∴
，
∵x1、
，∴
，
，
∵f（x1）＝f（x2），∴
，所以
，
故
．
故选：C．
21．已知函数f（x）＝cos3x﹣cos2x，x∈（0，π），若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（
）
A．
B．x2＝3x1
C．
D．
【解答】解：因为函数f（x）＝cos3x﹣cos2x，
由f（x）＝0，得cos3x＝cos2x，⽽x∈（0，π），则2x∈（0，2π），3x∈（0，3π），3x﹣2x＝x∈（0，π），
因此3x+2x＝2kπ，k∈N，
即5x＝2kπ，k∈N，
解得
，
由x∈（0，π），得k＝1 或k＝2，
于是
，
对于A，
，A 错误；
对于B，x2＝2x1，B 错误；
对于C，
，C 错误；
对于
D ，
＝
＝
＝
＝
，D 正确．
故选：D．
⼆．解答题（共31 ⼩题）
22．已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称中⼼坐标；
（3）当
时，⽅程
有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，求sin（x2﹣x1）
的值．
【解答】解：（1）由图象知A＝2，B＝1，⼜
，
故T＝π，ω＝2，
由图象可知
，得
，
由于
，故
，
．
（2）令
，解得
，
所以函数f（x）的对称中⼼为
．
（3）由
可得
，
⼜⽅程
在有
两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，
所以
，所以
，
且
，
⼜
，即
，
所以
，
所以cos（2x1+
）＝，
⼜
，
即sin（x2﹣x1）的值为
．
23．已知函数
．
（1）若ω＝1，求f（x）的对称轴⽅程；
（2）若f（x）在x∈[0，2π]上恰取得⼀次最⼤值和⼀次最⼩值，求ω的取值范围；
（3）若f（x）在y 轴右侧的第⼀个零点为
，令
，且g（x）在
（0，4π）内恰有6 个零点，求实数m．
【解答】解：（1）由题意可得，f（x）＝
＝
＝
，
因为ω＝1，所以
，
，k∈Z，
则x＝
；
（2）因为x∈[0，2π}，ω＞0，所以
，
⼜因函数y＝f（x）在x∈[0，2π]上恰有1 个最⼤值和1 个最⼩值，
所以
，
解得
，所以
；
（3）由题知
，k∈Z，所以
，
⼜因
，所以
，
所以ω＝2，
⼜因
，
即﹣2sin2x+msinx+1＝0 在（0，4π）内有6 个根，
令t＝sinx，则有﹣2t2+mt+1＝0，
显然△＞0，所以﹣2t2+mt+1＝0 有两不等实根，不妨设为t1，t2，
则有
，显然t1，t2异号，
不妨设﹣1≤t1＜0，0＜t2≤1，
①若t1＝﹣1，易知
，m＝﹣1，
结合正弦函数的性质可知，sinx＝﹣1 在（0，4π）上有2 个根，
在（0，4π）上有4 个根
所以m＝﹣1 符合题⽬要求；
②若﹣1＜t1＜0，结合正弦函数的性质可知，sinx＝t1在（0，4π）上有4 个根，
故需sinx＝t2在（0，4π）上有2 个根，易知此时t2＝1，
代⼊⽅程得
，m＝1，
综上所述，m∈{﹣1，1}．
24．已知f（x）＝2sin（x+φ）（
），对任意都有
．
（1）求φ的值；
（2）若当x∈（0，π）时⽅程f（x）+m＝0 有唯⼀实根，求m 的范围．
【解答】解：（1）f（x）＝2sin（x+φ）（
），对任意x∈R 都有
，
则函数f（x）的图象关于直线
对称，
所以
，k∈Z，⽽
，则k＝0，
，所以
．
（2）
，当x∈（0，π）时，设
，
y＝2sint 在
为增函数，在
为减函数，
所以⽅程f（x）+m＝0 有唯⼀实根，
等价于y＝2sint 与y＝﹣m 的图象有⼀个交点，
由图象可知
或﹣m＝2，
所以
或m＝﹣2，
所以m 的范围是
．
25．已知函数
的最⼩正周期是π，将f（x）的图象向右平
移
个单位后得到的图象关于原点对称．
（1）求函数f（x）的图象的对称中⼼的坐标和对称轴的⽅程；
（2）若x1，
，且f（x1）＝f（x2），求f（x1+x2）的值．
【解答】解：（1）∵函数
的最⼩正周期是π，
∴
，f（x）＝sin（2x+φ），
将f（x）的图象向右平移
个单位后得到的图象所对应的函数为
为奇函数，
则
，即
，∵
，
∴
，
，
令
，则
，k∈Z；
令
，则
，k∈Z，
∴y＝f（x）的图象的对称中⼼的坐标为
，k∈Z，对称轴的⽅程为
，k∈Z．
（2）若
，则
，
⽽y＝sint 在
上递增，在
上递减，
若x1，
且f（x1）＝f（x2），
则
，
可得
，
∴
．
26．已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在
上的值域；
（3）若函数g（x）＝f（x）+2 在
上恰有两个不同的零点，求m 的取值范围．
【解答】解：（1）由图可得f（x）的最⼩正周期
．
∴
．
∵f（x）的图象经过点
，
∴
，
∴
，即
．
∵0＜φ＜π，∴
，
则
．
（2）∵
，∴
．
当
，即x＝0 时，f（x）取得最⼤值，最⼤值为
；
当
，即
时，f（x）取得最⼩值，最⼩值为
．
故f（x）在
上的值域为
．
（3）∵
，∴
．
由g（x）＝0，得f（x）＝﹣2，∵g（x）在
上有两个不同的零点，∴
，
解得
．
故m 的取值范围为
．
27．已知函数
．
（1）当
时，求f（x）的取值范围；
（2）若关于x 的⽅程f（x）＝m 在区间
上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）∵
＝
＝
，
⼜∵
，可得
，
∴
，
∴f（x）的取值范围为[﹣1，2]；
（2）∵题意可得
，
∴由
，得
，
∵
有两个不同的实数根，
⼜∵y ＝sinx 在
上单调递增，在
上单调递减，且当
时，
，
作出函数
的图象如图所示，
可得
，解得2≤m＜3，
故实数m 的取值范围是[2，3）．
28．已知函数
．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，得到函数g（x）的图象，若存在x1，x2∈
，
使得不等式f（x1）+m≥g（x2）有解，求m 的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝
sin（
+x）sin（
﹣x）+sinxcosx
＝
（
cosx+
sinx）（
cosx﹣sinx）+
sin2x＝
（cos2x﹣sin2x）+
sin2x
＝
（
+
+
sin2x
＝
+
cos2x+
sin2x
＝sin（2x+
）+
，
令
，
得
，
即f（x）的单调递减区间为
；
（2）根据题意可得
，
因为存在
，使得不等式f（x1）+m≥g（x2）有解，
所以m≥g（x2）min﹣f（x1）max，
当
时，
，
．
当
时，
，
，
所以m≥﹣1，即m 的取值范围为[﹣1，+∞）．
29．已知函数
．
（1）求函数f（x）的最⼩正周期；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，π]上的单调性；
（3）当x∈[0，π]时，求不等式
的解集．
【解答】解：（1）已知函数
，
则f（x）＝
＝
＝
，
函数f（x）的最⼩正周期为
．
（2）因为函数y＝cosx 的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z），单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），
由
，
解得
，
当k＝1 时，
，
由
，
解得
，
当k＝0 时，
；当k＝1 时，
，
所以函数f（x）在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（3）令
，
解得
或
，
即
或
，
当x∈[0，π]时，⽅程
的解为
或
，
结合（2）中单调性的结论知，当
时，
，
所以当x∈[0，π]时，不等式
的解集为
．
30．已知函数
的最⼩正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（3）若不等式m﹣f（x）≥﹣4 在
内恒成⽴，求m 的取值范围．
【解答】解：（1）函数
的最⼩正周期为π，由
，⼜
ω＞0，解得ω＝2．
（2）由（1）知
，
由
，k∈Z，解得
，k∈Z，
当k＝0 时，得
，⼜x∈[0，π]，所以
，
当k＝1 时，得
，⼜x∈[0，π]，所以
，
所以函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为
和
．
（3）因为不等式m﹣f（x）≥﹣4 在
内恒成⽴，
所以
在
内恒成⽴，
令
，
，
则m≥g（x）max，当
时，
，
则
，
，
故m 的取值范围为[﹣1，+∞）．
31．已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求函数f（x）的最⼩正周期；
（2）求函数
在[0，π]上的单调区间；
（3）若x∈[0，π]，函数
，求不等式g（x）≤0 的解集．
【解答】解：（1）f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x
＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx＝cos2x+sin2x＝
，
∴函数f（x）的最⼩正周期为π；
（2）由（1）知
，
由
，解得
，
当k＝0 时，
，当k＝1 时，
，
由
，解得
，
当k＝0 时，
．
∴函数
在[0，π]上的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
（3）∵函数f（x）的最⼩正周期为π，
∴
，
∴不等式g（x）≤0 等价于
，∴
，
即
，
令
，则
或
，
∴
，或
，
∴⽅程
在[0，π]内的实数根为
，
，
结合（2）的结论知，当
时，符合题意．
∴不等式g（x）≤0 的解集为
．
32．已知f（x）＝sin（ωx+φ），
（ω＞0，0≤φ＜π），最⼩正周期为π，且对任意的x∈R，都有
．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）设函数
，若存在
，使得⽅程g2（x）﹣mg（x）﹣1＝0 有
解，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）最⼩正周期为π，可得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+φ），
⼜由对任意的x∈R，都有
，可得f（x）关于
对称，
即
，即
，
因为0≤φ＜π，可得
，则
，
令
，解得
，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为：
．
（2）由
，
因为
，可得
，
所以
，即g（x）∈[2，3]，
⼜⽅程g2（x）﹣mg（x）﹣1＝0 有解，即
有解，
令t＝g（x）∈[2，3]，即
在[2，3]上有解，
令
，则h（t）在t∈[2，3]上为单调递增函数，
则
，所以
，
即实数m 的取值范围为
．
33．已知
求（1）f（x）的最⼩正周期及单调递增区间；
（2）
时，f（x）﹣3≥m 恒成⽴，求实数m 的范围．
【解答】解：
化解可得：f（x）＝cos2x+
sin2x+1＝2sin（2x+
）+1．
（1）∴f（x）的最⼩正周期T＝
，
由
2x+
，k∈Z
可得kπ
≤x≤
．
∴函数的单调递增区间为[kπ
，
]，k∈Z
（2）
时，可得2x+
∈[
，
]，
当2x+
＝
时，函数f（x）取得最⼩值为：
．
要使f（x）﹣3≥m 恒成⽴，则f（x）min≥m+3，即0≥m+3，
可得：m≤﹣3．
故得实数m 的范围是（﹣∞，﹣3]．
34．已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式并求出f（x）的增区间；
（2）先把f（x）的图象向右平移
个单位，再向下平移1 个单位，得到函数g（x）的图象，若且关于
x 的⽅程g（x）﹣m＝0 在
上有解，求m 的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知，
，
则T＝π，
⼜ω＞0，所以
，
故f（x）＝2sin（2x+φ），
因为点
在f（x）上，
则
，即
，
所以
，即
，⼜
，
故
，
所以
，
令
，得
，
所以f（x）的增区间为
．
（2 ）先把f （x ）的图象向右平移
个单位得到的图像对应的解析式为
，
再向下平移1 个单位，
得到的图像对应的解析式为
，
∵
，∴
，则
，
∴
，即g（x）∈[﹣3，0]，
∵g（x）﹣m＝0 在
上有解，即m＝g（x）在
上有解，
∴m∈[﹣3，0]，即m 的取值范围为[﹣3，0]．
35．已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）图象上所有的点向左平移
个单位⻓度，得到函数y＝g（x）的图象，若对于任意的x1，
x2∈[π﹣m，m]，当x1＞x2时，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成⽴，求实数m 的最⼤值．
【解答】解：（1）由图像可知，周期
，∴
，
∵点
在函数图像上，
∴
，即
，
⼜∵
，∴
，
则
，即
，
∵点（0，1）在函数图像上，∴
，即A＝2，
故函数f（x）的解析式为
．
（2）由题意可得
，
设
＝
，
x1，x2∈[π﹣m，m]，当x1＞x2时，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成⽴，
即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2）恒成⽴，
即h（x1）＜h（x2）恒成⽴，∴h（x）在区间[π﹣m，m]上单调递减，
令
，解得
，
∵π﹣m＜m，∴
，则
，
故
，解得
，
∴m 最⼤值为
．
36．已知
．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若
对任意的
恒成⽴，求a 的取值范围；
（3）已知函数
，记⽅程
在区间[0，21]上的根从⼩到⼤依次为x1，x2，…，
xn，求x3+2x4+…+2xn﹣1+xn 的值．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
，
令
，k∈Z，则
，
故f（x）的单调递增区间为
．
（2）
，
即asinx﹣cosx≥2 对任意的
恒成⽴，
则
对任意的
恒成⽴，
令
＝
，
因为
，则
，易知
在
单
调递减，
⼜
，所以
，
则
的最⼤值为
，故
；
（3）因为函数
，
所以
，
因为x∈[0，21]，所以
，
令
，
函数y＝sint 在
上的图象如下图所示，
由图可知，y＝sint 与
共有6 个交点，即n＝6，
因为
，
所以
．
37．设函数f（x）＝﹣cos2x+asinx+a+3（a∈R）．
（1）求函数f（x）在R 上的最⼩值；
（2）若不等式f（x）＜0 在
上恒成⽴，求a 的取值范围；
（3）若⽅程f（x）＝1 在（0，π）上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）设sinx＝t，则t∈[﹣1，1]，
所以函数
．
①当
，即﹣2≤a≤2 时，
．
②当
，即a＜﹣2 时，f（x）min＝g（1）＝2a+3．
③当
，即a＞2 时，f（x）min＝g（﹣1）＝3．
综上可知，
；
（2）令sinx＝t，由题意可知当
时，f（x）max＜0，⽽f（x）＝g（t）＝t2+at+a+2，t∈[0，1]
的图象是开⼝向上的抛物线的⼀部分，
最⼤值⼀定在端点处取得，所以有
，
解得a＜﹣2，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
（3）令sinx＝t，x∈（0，π）．由题意可知，当0＜t＜1 时，
关于x 的⽅程sinx＝t 有两个不等实数解，
所以原题可转化为g（t）＝t2+at+a+2＝1，
即t2+at+a+1＝0 在（0，1）内有两个不等实数根，
令h（t）＝t2+at+a+1，则有
，
解得
，
故a 的取值范围是
．
38 ．函数
的最⼩正周期为π ，且
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在
上的单调递减区间；
（3）若函数y＝[f（x）]2﹣（m+2）f（x）+2m 在
有三个不同的零点从⼩到⼤依次为
x1，x2，x3，求实数m 的取值范围及tan（x1+x2+2x3）的值．
【解答】解：（1）f（x）＝2sin（ωx+φ）的最⼩正周期为π，所以T＝
＝π，解得ω＝2，
由cos4φ﹣sin4φ＝（cos2φ+sin2φ）（cos2φ﹣sin2φ）
＝cos2φ﹣sin2φ
＝cos2φ＝，且﹣
＜φ＜0，
得﹣π＜2φ＜0，所以2φ＝﹣
，解得φ＝﹣
，所以f（x）＝2sin（2x﹣
）；
（2）由正弦函数的单调性，令
+2kπ≤2x﹣
≤
+2kπ，
解得
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z；
k＝﹣1 时，﹣
≤x≤﹣
，k＝0 时，
≤x≤
；
所以f（x）在x∈[﹣
，
]上的单调递减区间为[﹣
，﹣
]和[
，
]；
（3）由y＝[f（x）]2﹣（m+2）f（x）+2m＝[f（x）﹣2][f（x）﹣m]＝0，得f（x）＝2 或f（x）＝m，
因为x∈[﹣
，
]，所以2x﹣
∈[﹣
，
]，
由正弦函数y＝sinz 的单调性知，在[﹣
，﹣
]上单调递减，在[﹣
，
]上单调递增；
且f（﹣
）＝2sin（﹣
）＝1，f（
）＝2sin
＝2，所以函数y 的⼀个零点为x3＝
，
要使函数y 有三个不同的零点，所以f（x）＝m 有两个零点，且与x3不同，所以﹣2＜m≤1，
由f（x）＝2sin（2x﹣
）的对称性知，f（x）＝m 时，（2x1﹣
）+（2x2﹣
）＝﹣π，
所以x1+x2＝﹣
，x1+x2+2x3＝﹣
+2×
＝
，
所以tan（x1+x2+2x3）＝
．
39．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解
析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移
个单位⻓度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵
坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．当
时，求g（x）的取值范围．
【解答】解：（1）由图可得A＝2，
函数f（x）的最⼩正周期为
，则
，
故f（x）＝2sin（2x+φ），
由“五点作图法”得2×
+φ＝0，
解得
，
因此，
；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移
个单位⻓度，
可得到函数
，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，
则
．
当
时，
，则
，则﹣1≤g（x）≤2．
∴g（x）∈[﹣1，2]．
40．已知函数
．
（1）求函数f（x）的最⼩正周期和单调递增区间；
（2）若
，求函数f（x）的值域；
（3）若⽅程f（x）＝2 在
上有两个不相等的实数根x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
，
即
，最⼩正周期为π，
令
，解得
，k∈Z，
故单调递增区间为
；
（2）因为
，
所以﹣
，
所以
，
即f（x）的值域为[﹣
，3]；
（3）
时，
，
因为f（x）＝2 在
上有两个不相等的实数根x1，x2，
所以
，
则
，
所以
，
所以cos（x1﹣x2）＝cos（2
）＝sin（2
）＝．
41．已知锐⻆α的终边与单位圆相交于点
．
（Ⅰ）求实数m 及tanα的值；
（Ⅱ）求
的值；
（Ⅲ）若
，且
，求sinβ的值．
【解答】解：（I）由于点P 在单位圆上，且α是锐⻆，
可得
，m＞0，
则
，
；
（Ⅱ）因为锐⻆α的终边与单位圆相交于点
，所以
，
，
可得
，sin2α＝2sinαcos
，
所以cos（2α+
）＝
（cos2α﹣sin2α）＝
；
（Ⅲ）由题意得0＜α+β＜π，
，
则sin（α+β）＝
，
所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
＝
＝
．
42．已知函数
．
（1）已知集合A＝[0，3]，函数f（x）的值域为B，若B 是A 的⼀个⼦集，求实数t 的取值范围；
（2）已知函数
，若
，求使函数g（x）取得最⼩值的⾃变量x
的取值集合C；
（3）若函数f（x）的定义域为D＝[0，2π]，求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）
，
令cosx＝m∈[﹣1，1]，则
，
∴
，
∴函数f（x）的值域为
，
∵集合A＝[0，3]，且B 是A 的⼀个⼦集，
∴
解得
，
∴实数t 的取值范围是
．
（2）当
时，函数
，
令
，得
，
∴使函数g（x）取得最⼩值的⾃变量x 的集合
．
（3）①当
时，即
，
由x∈[0，2π]，得
，
⼜函数y＝cosx 在
上单调递减，在
上单调递增，
则函数f（x）在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，即
，则有
，
⼜∵函数y＝cosx 在
上单调递减，在
上单调递增，
则函数f（x）在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述，函数f （x ）的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
43．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，⻆
和⻆
的顶点均与坐标原点
O 重合，始边均为x 轴的⾮负半轴，终边分别与单位圆交于P，Q 两点，且P，Q 两点关于y 轴对称．
（Ⅰ）若点P 的纵坐标为
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求
的最⼩值．
【解答】解：（Ⅰ）因为点P 的纵坐标为
，
所以
，
⼜
，
所以
，
因为
，sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，
所以
＝
＝
＝
；
（Ⅱ）因为
，
所以
，
所以
，
则
）≤0，
即当
时，
取最⼩值为
．
44．已知函数f（x）＝2
ωx+1 且0＜ω＜2，在下列①②中选择⼀个做为条件，
并完成解答．
①函数f（x）图象上相邻两个对称中⼼的距离为
；
②函数f（x）图象的⼀条对称轴为x＝
．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将f（x）的图象向右平移
个单位，再向上平移2 个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）
在[﹣
上的值域．
【解答】解：（1 ）函数
f （x ）＝2
ωx+1 ＝
，
选条件①时，函数f（x）图象上相邻两个对称中⼼的距离为
；故周期为π，故ω＝1，
所以f（x）＝2sin（2x+
），
（2）将函数f（x）的图象向右平移
个单位，再向上平移2 个单位，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣
）
+2＝﹣2cos2x+2 的图象，
由于x∈[﹣
，故
，
所以
，故g（x）∈[0，3]．
选条件②时，函数f（x）图象的⼀条对称轴为x＝
，故
，解得ω＝3k+1，（k∈Z），
由于0＜ω＜2，故ω＝1，
所以f（x）＝2sin（2x+
），
（2）将函数f（x）的图象向右平移
个单位，再向上平移2 个单位，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣
）
+2＝﹣2cos2x+2 的图象，
由于x∈[﹣
，故
，
所以
，故g（x）∈[0，3]．
45．已知函数
．
（1）求函数f（x）的最⼩正周期及单调递减区间；
（2）求函数f（x）在
上的最值；
（3）若
，求
的值．
【解答】解：
＝sin2x﹣
cos2x＝sin（2x﹣
），
（1）函数f（x）的最⼩正周期为π，
令
，k∈Z，
则
≤x≤
+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[
，
+kπ]，k∈Z；
（2）当
时，
2x﹣
，
所以﹣1≤sin（2x﹣
）
，
故函数f（x）在
上的最⼤值为
，最⼩值为﹣1；
（3）若
＝sin（α﹣
），
则
＝sin（2α﹣
+
）＝﹣cos（2
）
＝2sin2（
）﹣1＝2×
＝﹣．
46．已知函数
，设锐⻆△ABC 三个⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．
（1）若
，f（C）＝2，2sinA＝3sinB，求a，b 的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移
个单位⻓度后得到函数g（x）的图象，若g（A）＝0，＝（sinB，
sinC），
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
∵f（C）＝2sin（2C﹣
）＝2，即sin（2C﹣
）＝1，
∵C 为锐⻆，
故
，
∴
，故
，
∵2sinA＝3sinB，由正弦定理得2a＝3b，
⼜
，由余弦定理得7＝a2+b2﹣ab＝
，
∴a＝3，b＝2；
（2）由题意可知，
．
∵g（A）＝2cos2A＝0 且
，
则A＝
，
∵
＝（sinB，sinC），
，
＝sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝sin（2C+
），
∵△ABC 为锐⻆三⻆形，
，
∴
，
则
，
的取值范围是
．
47．已知
．
（1）若f（α）＝﹣2，求
的值；
（2）若
，求
的值．
【解答】解：（1）f（x）＝
＝﹣tanx，
⼜f（α）＝﹣tanα＝﹣2，
∴tanα＝2，
∴
＝
＝
＝3；
（2）∵f（α+
）＝﹣tan（α+
）＝﹣2，
∴tan（α+
）＝2，
∴tan2（α+
）＝
＝
＝﹣，
∴
＝tan（2α+
）＝tan[（2α+
）﹣
]＝
＝
＝7．
48．已知向量
，
，ω＞0，函数
，且f（x）
的最⼩正周期为π．
（1）若
，求f（x）的值域；
（2）将f（x）的图象先向下平移
个单位⻓度，再向左平移m（m＞0）个单位⻓度，最后将横坐标变为
原来的两倍，所得函数图象与函数y＝cosx 的图象重合，求实数m 的最⼩值．
【解答】解：（1）向量
，
，ω＞0，
则
＝
，
因为f（x）最⼩正周期为π，所以
，解得ω＝1，
所以
，
因为
，所以
，
则
，
所以
，
所以当
时，f（x）的值域为
．
（2）向下平移
个单位⻓度得
，
向左平移m（m＞0）个单位⻓度得
，
横坐标变为原来的2 倍得
．
因为
，
所以要使得
与y＝cosx 的图象重合，
则
，k∈Z，解得
，k∈Z
当k＝0 时，实数m 取得最⼩值
．
49．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，O 是坐标原点，⻆α的终边OA 与单位圆的交点为A，射线OA 绕点O 按逆
时针⽅向旋转θ弧度后交单位圆于点B，记点B 的纵坐标y 关于θ的函数为y＝f（θ），终边OB 对应⻆β．
（1）若
，m＜0，求α；
（2）对（1）中α，若
，求tanθ；
（3）若
，A 的纵坐标为
，B 的横坐标为
，求θ﹣α．
【解答】解：（1）因为
，且m＜0，所以点A 在第三象限，
所以
；
（2）由于
，知
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，由平⽅关系解得
，
所以
，
＝
；
（3）由题知，
，
由
可知，
，
所以
，
，
由
，可知
，
所以
，
所以cos（θ﹣α）＝cos[（θ+α）﹣2α]＝cos（θ+α）cos2α+sin（θ+α）sin2α
＝
＝
，
因为
，所以
．
50．已知函数f（x）＝sinxcosxcosφ﹣sin2xsinφ+
sinφ（|φ|＜
）．
（1）求f（x）的最⼤值；
（2）若将f（x）的图象上所有点向左平移
个单位⻓度得到
的图象，求f（x）的单调
递增区间；
（3）当
时，f（x）∈
，求φ的值．
【解答】解：（1）f（x）＝sinxcosxcosφ﹣sin2xsinφ+
sinφ可化为
＝
，
∴
．
（2）由平移变换知
，⼜
，
∴
，即
，
⼜
，∴
，
，
由
得
，
∴f（x）的单调递增区间为
；
（3）当
时，∴
，此时
，
由
及
知
，得
，
∴
.由
知
，
∴
，或
，
解得
或
，经检验，
或
符合题意．
51．已知函数
．
（1）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）若
，
，求sin2α的值；
（3）请在同⼀平⾯直⻆坐标系上画出函数f（x）和g（x）＝cosx 在[0，3π]上的图象（不要求写作法）；
并根据图象求曲线f（x）和g（x）的交点个数．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
，
令
，
解得
，
分别取k＝0，1，得
，
，
所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为
，
．
（2）因为
，所以
，
⼜因为
，所以
，所以
，
所以sin2α＝sin[（2α﹣
）+
]＝sin（2α﹣
）cos
+cos（2α﹣
）sin
＝×
+（﹣）×
＝
．
（3）图象如图所示．
由图可知，y＝f（x）与y＝g（x）的图象在[0，3π]上共有7 个交点．
52．已知函数
，且g（x）＝f（x﹣φ），
，x∈R．
（1）求f（x）的最⼩正周期和单调递增区间；
（2）若函数g（x）是奇函数，求φ的值；
（3）若
，当x＝θ时函数g（x）取得最⼤值，求
的值．
【解答】解：（1）
，
则其最⼩正周期
，
令
，k∈Z，
解得
、k∈Z，
则其单调递增区间为
，k∈Z．
（2）g（x）＝f（x﹣φ）＝
，
若函数g（x）是奇函数，则
，k∈Z，即
，k∈Z，
因为
，所以k＝﹣1 时，
．
（3）由题知
，则
，k∈Z，从⽽
，
k∈Z，
因此
．
因为
，且
，所以
，
所以
＝sin2φcos
﹣cos2φsin
＝
×
﹣×
＝
，
所以
＝
．
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