5.12导数压轴大题：证明不等式（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_导数知识点+题型分类_单独的原卷版+解析版

5.12 导数压轴大题：证明不等式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：导数证明不等式常见策略..................................................2
考点二：极值点偏移证不等式....................................................... 2
考点三：导数证明三角函数型不等式...............................................3
考点四：韦达定理证明不等式....................................................... 3
考点五：切线放缩法证明不等式.................................................... 3
考点六：数列不等式证明策略....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：不等式证明常规方法....................................................... 4
题型二：单变量构造................................................................... 6
题型三：双变量构造................................................................... 7
题型四：虚设零点证不等式.......................................................... 8
题型五：同构型不等式证明........................................................ 10
题型六：凸凹转化证明不等式......................................................11
题型七：三角函数型不等式证明...................................................12
题型八：切线放缩型证明........................................................... 13
题型九：韦达定理代换型........................................................... 14
题型十：极值点偏移加法型(x1 + x2) ............................................. 16
题型十一：极值点偏移乘积型(x1x2) ..............................................17
题型十二：极值点偏移平方型(x1
2 + x2
2) .......................................... 18
题型十三：数列型单变量构造......................................................20
题型十四：无限和裂项型数列不等式.............................................21
题型十五：累乘型数列不等式......................................................22
题型十六：取对数型数列不等式...................................................24
模块三：综合巩固....................................................................... 25
5.12 导数压轴大题：证明不等式
模块一：基础知识
考点一：导数证明不等式常见策略
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1.利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式

f x
g x

（或

f x
g x

）转化为证明

0
f x
g x


（或


0
f x
g x


），进而构造辅助函数


h x
f x
g x


；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2.利用导数证明不等式的基本步骤
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(1)作差或变形；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(2)构造新的函数
h x ；
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
(3)利用导数研究
h x 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
3.一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向
（1）可以利用第一问单调性提炼出不等式
（2）可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
（3）可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）
4.虚设零点法：【前面章节有讲到，这里不细讲】
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出
来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
5.凸凹反转型【前面章节有讲到，这里不细讲】
首先是证明不等式的一种技巧，欲证明
0
)
(

x
f
，若可将不等式左端
)
(x
f
拆成
)
(
)
(
x
h
x
g

，且
)
(
)
(
max
min
x
h
x
g

的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取
)
(x
g
为上凸型函数，
)
(x
h
为
下凹型函数来完成证明.
考点二：极值点偏移证不等式
【前面章节有讲到，这里不细讲】
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
4.处理极值点偏移问题中的类似于





1
2
1
2
x x
a f x
f x


的问题的基本步骤如下：
①求导确定

f
x 的单调性，得到
1
2
,
x x 的范围；
②构造函数


a
F x
f x
f
x








，求导可得

F x 恒正或恒负；
③得到

1
f x
与
1
a
f
x






的大小关系后，将

1
f x
置换为


2
f x
；
④根据
2
x 与
1
a
x 的范围，结合

f
x 的单调性，可得
2
x 与
1
a
x 的大小关系，由此证得结论.
考点三：导数证明三角函数型不等式
1.正余弦的有界性
2.三角函数与函数的重要放缩公式：


sin
0
x
x x


.
考点四：韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2 有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
考点五：切线放缩法证明不等式
常用的切线放缩有：
（1）
1
xe
x

；（2）
xe
ex

；（3）
1
1
ln
1
x
x
x



；（4）ln
x
x
e

.
考点六：数列不等式证明策略
1.单变量构造
数列型不等式证明
（1）对于n
N 

型数列不等式证明，可以转化为定义域为x≥1,在实数范围内证明不等式。
（2）一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注
意对应换元的取值范围
数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
2.裂项求和型
证明不等式




1
2
f
f
f n
g n





，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变
形将右边也转化为求和式，即
















1
1
2
2
3
2
1
1
0
g n
g n
g n
g n
g n
g n
g n
g
g
g
g





































这样一来，设


1
nb
g n
g n





*
nN
，
则只需证



1
2
1
2
n
f
f
f n
b
b
b









，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关
系，即如果能够证出

n
f n
b

恒成立，则原不等式也就成立.
3.累乘证明数列不等式
证明不等式




1
2
f
f
f n
g n



为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以
通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型










1
2
1
1
2
1
g n
g n
g
g n
g
g n
g n
g






这样一来，设


1
n
g n
b
g n




*
nN
，
则只需证



1
2
1
2
n
f
f
f n
b
b
b







，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，
即如果能够证出

n
f n
b

恒成立，则原不等式也就成立.
4.两边同时取对数型
证明不等式



1
2
t
f
f
f n 


为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以
通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型







ln
1
2
ln t
ln
1
ln
2
ln
3
ln
2
ln t
f
f
f n
f
f
f
f






（
）
（
）+ （
）+ （
）+ （
）
模块二：题型分类
题型一：不等式证明常规方法
1.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x


.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(Ⅰ)求函数
( )
f x 的单调区间；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(Ⅱ)求证：当
2
x 
时，
( )
3
4
f x
x


.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
2.设函数
( )
ln
1
f x
x
x


．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)证明：当
(1,
)
x
时，
1
1
ln
x
x


．
3.已知函数

ex
f x
ax
b



，曲线

y
f x

在点



0,
0
f
处的切线方程为y
a
b


．
(1)求a，b 的值；
(2)证明：

0
f x 
．
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
4.已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
题型二：单变量构造
1.已知函数
( )
e
1
x
f x
a
bx


在
0
x 
处有极值2．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：
( )
e
f x
x
x


．
2.已知函数


2
1
( )
1
ln
2
f x
x
x



.
(1)求

f
x 的最小值；
(2)证明：
4
7
ln 3
32

.
3.设函数



2
2
2
ln
x
f
x
x
x e
aex
e
x




，其中e 为自然对数的底数，曲线

y
f x

在



2
2
f,
处切线的倾
斜角的正切值为
2
3
2
2 e
e

．
（1）求a 的值；
（2）证明：

0
f x 
．
4.已知函数
( )
ln
f x
x
x

.
(1)讨论
( )
y
f x

的单调性并求极值；
(2)证明：当
1
x 时，
2
ln (
1)
ln
ln(
2)
x
x
x




.
题型三：双变量构造
1.已知函数




R
ln
1
1
x
a
f
x
x
a
x






．
(1)求函数

f
x 的单调区间；
(2)已知m，n 是正整数，且1
m
n


，证明



1
1
n
m
m
n



．
2.已知函数
ln
( )
(
0)
x
f x
m
mx


.
(1)试讨论函数
( )
f x 的单调性；
(2)对


,
e,
a b




，且a
b

，证明：
b
a
a
b

.
3.已知函数
1
ln
1
x
g x
x


．
（1）求
g x 的单调区间；
（2）当1
1
e
m
n


时，试证明
1
ln
1
ln
n
n
m
m



．
4.已知函数



2
1
ln
1
x
f x
x
x




．
（1）求证：函数

f
x 在

0, 

上单调递增；
（2）设
0
m
n


，求证：ln
ln
2
m
n
m
n
m
n




．
题型四：虚设零点证不等式
1.已知函数

ln
f x
ax
x x


,
R
a 
.
(1)判断

f
x 的单调性;
(2)若
1, 0
1
a
x


, 求证:

e
1
e
x
f
x


,其中e 是自然对数的底数.
2.已知函数
2
( )
(
2)
ln (
)
f x
x
a
x
a
x a
R





．
(1)求函数
( )
y
f x

的单调区间；
(2)当
1
a 时，证明：对任意的
0
x 
，
2
( )
2
x
f x
x
x




e
．
3.已知函数
2
( )
(
2)
ln (
)
f x
x
a
x
a
x a
R





．
(1)求函数
( )
y
f x

的单调区间；
(2)当
1
a 时，证明：对任意的
0
x 
，
2
( )
2
x
f x
x
x




e
．
4.设函数
2
( )
e
ln
x
f x
a
x


．
(1)求
e
a 时，
( )
f x 的单调区间；
(2)求证：当
0
a 
时，
2
( )
2
ln
f x
a
a
a


．
题型五：同构型不等式证明
1.已知

1
2
ex
f x
x



，
ln
a
x
x
g x
x



，
R
a 
．
(1)当


1,
x
时，求函数
g x 的极值；
(2)当
0
a 
时，求证：


f x
g x

．
2.已知

1
2
ex
f x
x



，
ln
a
x
x
g x
x



，
R
a 
．
(1)当


1,
x
时，求函数
g x 的极值；
(2)当
0
a 
时，求证：


f x
g x

．
3.已知函数
3
e
( )
1
x
f x
x

，e
2.71828

为自然对数的底数.
(1)试判断函数
( )
f x 的零点个数并说明理由；
(2)证明：
( )
f x 
3ln
x
x

.
题型六：凸凹转化证明不等式
1.已知函数
( )
(
)
x
f x
e
x
m m
R




．
（1）当
0
x 
时，
( )
0
f x 
恒成立，求m 的取值范围；
（2）当
1
m 时，证明：
2
1
(
) ( )
1
x
x
lnx f x
e
e


．
2.已知函数

ln ,
R
m
f
x
x m
x



.
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)证明：当
0
m 
时，

2
1
mf x
m

.
3.已知
( )
ln
f x
x
ax


，a R ．
（Ⅰ）讨论
( )
f x 的单调性；
（Ⅱ）若
1
a ，证明：
( )
1
f x ．
4.已知
( )
f x
xlnx

，
2
( )
3
g x
x
ax



（1）对
(0,
)
x
，不等式2 ( )
( )
f x
g x

恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）证明：对一切
(0,
)
x
，都有
1
2
x
lnx
e
ex


．
题型七：三角函数型不等式证明
1.已知函数
( )
sin
cos
f x
x
ax
x


，a R
(1)若
( )
f x 在
0
x 
处的切线为y
x

，求实数a 的值；
(2)当
1
3
a 
，
[0,
)
x 
时，求证：

2
.
f x
ax

2.已知函数

e
1
x
f x
x


.
(1)证明：

0
f x ；
(2)当
1
m £ 时，证明不等式e
cos
2
0
x
mx
x




，在


0,
x
上恒成立.
3.已知函数

3
1
f x
x
ax


．
(1)当
1
a 时，过点

1,0 作曲线

y
f x

的切线l，求l 的方程；
(2)当
0
a 
时，对于任意
0
x 
，证明：

cos
f
x
x

．
题型八：切线放缩型证明
1.已知函数f(x)＝4ex－1＋ax2，曲线y＝f(x)在x＝1 处的切线方程为y＝bx＋1.
(1)求实数a，b 的值；
(2)x>0 且x≠1 时，证明：曲线y＝f(x)的图象恒在切线y＝bx＋1 的上方；
(3)证明不等式：4xex－1－x3－3x－2ln x≥0.
2.已知x1ln x1＝x2ln x2＝a，且x1<x2，求证：
x2－x1<2a＋1＋e
－2.
求证：|a－b|<
n n1－n
ln n t＋n n.
3.已知函数
1
2
( )
4



x
f x
e
ax ，曲线
( )
y
f x

在
1
x 处的切线方程为
1
y
bx

.
（1）求实数a
b
、的值；
（2）
0
x 
且
1
x 时，证明：曲线
( )
y
f x

的图象恒在切线
1
y
bx

的上方；
（3）证明：不等式：
1
3
4
3
2ln
0
x
xe
x
x
x



.
4.已知函数



ln
x
f x
e
x
m



①
（1）设
0
x 
是

f x 的极值点，求m 并讨论

f x 的单调性；
（2）当
2
m 
时，证明：

0
f x 
题型九：韦达定理代换型
1.已知函数



2
ln
f x
x
x
ax a
R




.
（1）求函数

f
x 的单调区间；
（2）设

f
x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x

，若
1
1
0
2
x


，求证：



1
2
3
ln 2
4
f x
f x



.
2.已知函数f（x）＝ln x＋ax2－x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值；
（2）设f′（x）为f（x）的导函数，若x1，x2 是函数f′（x）的两个不相等的零点，求证：f（x1）＋f（x2）
<x1＋x2－5
3.已知函数

1
n
)
l
(
f
x
x
a
x a
x



R ，
（1）求曲线

y
f x

在点
1
( ,
)
e
e

处的切线与坐标轴围成三角形的面积．
（2）

f
x

是

f
x 的导函数，若函数

2
2ln
g x
x
f
x
ax
x





有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
0
x
x
e



，
求证：



2
1
2
2
1
4
g x
g x
e
e




．
4.已知函数

2
1
ln
2
f x
x
x
mx



，（m
R

）．
（1）若

f
x 存在两个极值点，求实数m 的取值范围；
（2）若
1x ，
2x 为

f
x 的两个极值点，证明：






2
1
2
1
2
2
2
2
8
f x
f x
m
x
x
f











．
题型十：极值点偏移加法型(��+ ��)
1.已知函数

2
2
e
e



x
f x
ax
x 有两个极值点
1
3
a，


2
1
2
x
x
x

．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：
1
2
2ln 2
x
x
a


．
2.已知函数

ln
1,
f
x
x
a x
a



R .
(1)若

0
f x 
，求a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程

2
2
e
e
ax
f
x
x


有两个不同的正实根
1
2
,
x x ，证明：
1
2
2 e
x
x


.
3.已知函数
( )
ex
m
f x
x


．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
1
2
x
x

，且




1
2
2
f x
f x


，证明：0
e
m


，且
1
2
2
x
x


．
4.已知函数

2
ln
,
R
a
f
x
x
a
x



．若函数

f
x 有两个不相等的零点
1
2
,
x x ．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
1
2
4
x
x
a


．
题型十一：极值点偏移乘积型(����)
1.已知函数
2
1
( )
(2
1)
2ln (
R)
2
f x
ax
a
x
x a





.
(1)若
( )
f x 有唯一极值，求a 的取值范围；
(2)当
0
a 
时，若
1
2
( )
(
)
f x
f x

，
1
2
x
x

，求证：
1
2
4
x x 
.
2.已知函数

ex
f x
x

，
ln
g x
x
x


.
(1)求函数
g x 的极值；
(2)若


h x
f x
g x


，求函数
h x 的最小值；
(3)若
h x
a

有两个零点
1
x ，
2
x ，证明：
1
2
1
x x .
3.已知函数

2
ln
,
R
f
x
x x
ax
x a




．
(1)若函数

f
x 是减函数，求a 的取值范围；
(2)若

f
x 有两个零点
1
2
,
x x ，且
2
1
2
x
x

，证明：
1
2
2
8
e
x x 
．
4.已知函数




2
1
ln
1
2
f
x
x
ax
a
x a




R .
(1)当
1
a 时，求函数

y
f x

的零点个数.
(2)若关于x 的方程

2
1
2
f x
ax

有两个不同实根
1
2
,
x x ，求实数a 的取值范围并证明
2
1
2
x
x
e


.
题型十二：极值点偏移平方型(��
�+ ��
�)
1.已知函数

ln
1
x
f
x
ax


.
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)若



2
1
1
2
e
e
x
x
x
x

（e 是自然对数的底数），且
1 > 0
x
，
2
0
x 
，
1
2
x
x

，证明：
2
2
1
2
2
x
x


.
2.已知函数

2
ln
f x
x
ax


.
(1)讨论函数

f
x 的单调性：
(2)若
1
2
,
x x 是方程

0
f
x 
的两不等实根，求证：
2
2
1
2
2e
x
x


；
3.已知函数

ln x
f
x
ax
x


.
(1)若

1
f
x ，求实数a 的取值范围；
(2)若

f
x 有2 个不同的零点
1
2
,
x x （
1
2
x
x

），求证：
2
2
1
2
12
2
3
5
x
x
a


.
4.已知函数

1 lnx
f x
ax


，
0
a 
．
(1)若

1
f x ≤，求a 的取值范围；
(2)证明：若存在
1
x ，
2
x ，使得



1
2
f x
f x

，则
2
2
1
2
2
x
x


．
题型十三：数列型单变量构造
1.已知函数

1
1
(
0)
x
f
x
x
x









．
(1)证明：

e
f x 
；
(2)讨论

f
x 的单调性，并证明：当
*
nN 时，







2
1 ln
1
ln
1 ln
2
n
n
n
n
n
n






．
2.设函数
2
( )
ln(
)
f x
x
b
x
a



,其中
0
b 
．
(1)当
1
b 时，
( )
f x 在
2
x 时取得极值，求a ；
(2)当
1
a 时，若
( )
f x 在( 1,
)

上单调递增，求b 的取值范围；
(3)证明对任意的正整数n ,不等式
2
3
1
1
1
ln(
1)
n
n
n



都成立．
3.设函数





1
ln
1
f x
ax
x
bx




，其中a 和b 是实数，曲线

y
f x

恒与x 轴相切于坐标原点．

1 求常数b 的值；

2 当0
1
x

时，关于x 的不等式

0
f x 
恒成立，求实数a 的取值范围；

3 求证：
10000.4
1000.5
10001
1001
10000
1000
e














．
4.（1）已知函数

ln
f x
x x

，判断函数




1
1
g x
f
x
f
x




的单调性并证明；
（2）设n 为大于1 的整数，证明：



1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n





.
题型十四：无限和裂项型数列不等式
1.已知函数



ln 1
f
x
x
mx



．
(1)求函数

f
x 的极值；
(2)求证：


*
1
1
1
ln 2
N
1
2
1
n
n
n
n
n










．
2.已知函数
2
( )
2 ln
f x
a
x
x
a



，
R
a 
．
(1)讨论函数

f
x 的单调性；
(2)证明:


*
1
1
1
1
2ln
1
(
2
3
4
1
)
n
n
n








N

．
3.已知函数

ln
,(
R)
f
x
ax
x
x a



）.
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)若
1
x 时，

1
f x ，求实数a 的取值范围；
(3)对任意
*
N
n
，证明：
1
2
3
ln
1
2
3
4
1
n
n
n
n









.
4.已知函数


ln
,
x
f x
kx g x
x


.
(1)若不等式


f x
g x

在区间

0, 

内恒成立，求实数k 的取值范围；
(2)求证：
4
4
4
ln 2
ln3
ln
1
...
2
3
2e
n
n




（
2,
N ,e
n
n



为自然对数的底数）
题型十五：累乘型数列不等式
1.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋
x2
'( )
m
f
x
n






(
( )
f
x

是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；
(3)求证：ln 2
ln 3
ln 4
2
3
4


×…× ln n
n < 1
n (n≥2，n∈N*)
2.已知函数

ln
1
f x
a
x
x


．
(1)若

0
f x 
，求a 的值；
(2)证明：当n

N 且
2
n 
时，
2
2
2
2
ln 2
ln3
ln 4
ln
1
2
3
4
n
n
n






．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
3.已知函数
( )
(
1)ln
f x
x
x


，


2
g x
ax
a


R
(1)若
( )
( )
f x
g x

对任意的
[1,
)
x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)求证：
2
ln 2 ln3 ln 4...ln
(
1)
n
n
n n






2,
n
n


N
.
4.设整数
1
p ，
*
N
n
，
1
x 且
0
x 
，函数



1
1
p
f
x
x
px



．
(1)求证：

0
f x 
；
(2)求证：
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
5
2
1
n
n


























．
题型十六：取对数型数列不等式
1.已知函数



ln 1
f x
x


．
(1)求证：当


0,
x
时，

1
x
f x
x
x 


；
(2)已知e 为自然对数的底数，求证：
*
N
n

，
2
2
2
1
2
e
1
1
1
e
n
n
n
n





















．
2.已知函数
( )
sin
cos (
0)
f x
x
x
x x



．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(1)求函数
( )
f x 的图象在π ,1
2






处的切线方程；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(2)若任意
,
(
)
0
x
，不等式
3
( )
f x
ax

恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设
2
3
( )
( )
g x
f x
x

，证明：
2
1
1
1
1
1
1
e
3
3
3n
g
g
g






































．
3.已知函数

ln
f x
ax
a
x



．
(1)求曲线

y
f x

在点



1,
1
f
处的切线方程；
(2)证明：当
1
a 时，

0
f x ；
(3)设m 为整数，若对于
2
1
*
2
3
1
2
2
2
, 1
1
1
1
3
3
3
3
n
n
n
m


























N

成立，求m 的最小值．
4.已知关于x 的函数



ln
1
ln2 .
f
x
ax
x




（1）讨论

f
x 的单调性；
（2）证明：当
*
nN 时，


2
ln 1 2 3
ln2.
n
n
n





模块三：综合巩固
1.已知函数
( )
sin
f x
x
x


，
,
(
)
0
x
．
(1)求曲线
( )
y
f x

在点(
,
( ))
2
2
f


处的切线方程；
(2)证明：2e
( )
cos
e
1
x
x
f x
x



．
2.已知函数

e
,
R
x
a
f x
a
x



.
(1)若

f
x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；
(2)求证：当 
1,
0
a
x



0
时，

1
f x 恒成立.
3.已知函数


1
ln
1
a x
f x
x
x




.
（1）若函数

f
x 在

0, 

上为单调增函数，求a 的取值范围；
（2）设
,
R
m n
，且m
n

，求证ln
ln
2
m
n
m
n
m
n




.
4.已知函数

ln
4,
f
x
x
a x
a



R .
(1)讨论函数

f
x 的单调性；
(2)当
1
a 时，令




2 ex
F x
x
f
x



，若
0
x
x

为

F x 的极大值点，证明：


0
0
1
F x

.
5.设
3
( )
e x
f x
a
x


，
2
( )
3
ln
h x
x
x
x


，
(1)试讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
1
a 时，证明
( )
( )
f x
h x

恒成立.
6.已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx．
（I）若f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若a＝e（e 为自然对数的底数），证明：当x＞0 时，f（x）＜xex+
．
7.设函数
( )
e cos
x
f x
x

，
2
cos
( )
e x
a
x
g x 
，
π
0, 3
x






.
(1)求

f
x 的最小值，并证明：
π
12
e
2

；
(2)若不等式：
3
( )
2
e x
g x 

成立，求实数a 的取值范围.
8.已知函数
1
( )
ln
x
f x
x
ax



；
(1)若函数
( )
f x 在[1,
)
上为增函数，求正实数a 的取值范围；
(2)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在1
[ ,2]
2
上的最值；
(3)当
1
a 时，对大于1 的任意正整数n ，试比较ln
1
n
n 与1
n 的大小关系．
9.已知函数

e
e
x
x
f
x
a



，a R ．
(1)若函数

f
x 在R 上单调递减，求a 的取值范围；
(2)已知
1
a ，
1
2
m 
，
1
x ，


ln
ln
g x
x
mf
x


，求证：
0
g x 
；
(3)证明：


*
1
1
1
ln 5
1
5
n
n
n
n






N

．
10.已知函数

ln
f
x
x
x

，


2
2
a x
x
g x


.
(1)若

f x
g x

在

1,上恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)求证：






2
2
2
1
2
1
1
1
e
1
1
1
n
n
n
n




























.
11.已知函数

2
1
e
2
x
f
x
ax
x



(1)若

f
x 单调递增，求a 的值；
(2)判断

2
1
1
1 1 1
1
4
n
















（
*
nN 且
2
n 
）与
2e 的大小，并说明理由.
12.设函数
( )
2
cos ,
x
f x
e
a
x a


R ．
（1）若
( )
f x 在0, 2







上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）证明：当


1,2 ,
0, 2
a
x







时，
( ) 2
3
f x
x 

．
13.已知函数
2
( )
(
1)
ln
f x
x
a
x
ax




.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)证明：当a<0 时，
2
3
( )
2
1
4
a
f x
a


.
14.已知函数
2
( )
sin
f x
x
x


.
(1)求曲线
( )
y
f x

在点(0,
(0))
f
处的切线方程，
(2)证明：
5
( )
16
f x 
.