指数函数
模块一：基础知识
考点一：指数函数的定义
一般地，函数y＝a
x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
考点二：两类指数模型
1．y＝ka
x(k>0)，当a>1 时为指数增长型函数模型．
2．y＝ka
x(k>0)，当0<a<1 时为指数衰减型函数模型．
考点三：指数函数的图象和性质
指数函数y＝a
x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1
函数值的变化
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x>0 时，0<y<1；
当x<0 时，y>1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
考点四：比较幂的大小
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
考点五：解指数方程、不等式
(1)形如a
f(x)>a
g(x)的不等式，可借助y＝a
x的单调性求解；
(2)形如a
f(x)>b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y＝a
x的单调性求解；
(3)形如a
x>b
x的不等式，可借助两函数y＝a
x，y＝b
x的图象求解．
考点六：指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝a
f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝a
f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1 时，函数y＝a
f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1 时，函数y＝a
f(x)与函数y＝f(x)的单
调性相反．
模块二：题型分类
题型一：指数函数的判定与求值
1．若指数函数
( )
f x 的图象经过点(2,9) ，则
( 1)
f
A．1
3
B．
1
3
C．2
D．2
【答案】A
【分析】先设函数解析式为
( )
(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，根据图像过定点，求出解析式，即可得出结果.
【详解】设指数函数
( )
(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，
因为
( )
f x 的图象经过点(2,9) ，
所以
2
9
a
，解得：
3
a
，即
( )
3x
f x
，
因此
1
1
1
3
(
)
3
f
.
故选：A
【点睛】本题主要考查由指数函数过定点求参数，以及求函数值的问题，熟记指数函数解析式即可，属于
基础题型.
2．已知函数
f
x 是R 上的偶函数，且
f
x 的图象关于点
1,0 对称，当
0,1
x
时，
2
2x
f
x
，则
0
1
2
2024
f
f
f
f
的值为（
）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
【答案】D
【分析】由函数
f
x 是R 上的偶函数与
f
x 的图象关于点
1,0 对称可得出函数的周期，根据
0,1
x
时
的表达式可求解出一个周期的函数值，从而解出本题.
【详解】解：因为函数
f
x 是R 上的偶函数，
所以
f
x
f x
，
因为
f
x 的图象关于点
1,0 对称，
所以
2
0
f
x
f
x
，即
2
0
f x
f
x
，
所以
2
f
x
f
x
，
所以
4
2
f
x
f
x
f x
，
所以函数
f
x 是R 上周期为4 的函数，
当
0,1
x
时，
2
2x
f
x
，
所以
0
1
f
，
1
0
f
，
又
2
0
1
f
f
，
3
1
0
f
f
，
所以
0
1
2
3
0
f
f
f
f
，
所以
0
1
2
2024
2024
0
1
f
f
f
f
f
f
.
故选：D.
3．给出下列函数：①
3x
y
；②
1
3x
y
；③
3x
y
；④
3
y
x
；⑤
2
x
y
．其中，指数函数的个数
是（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.
【详解】①中，3x 的系数是－1，故①不是指数函数；
②中，
1
3x
y
的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x 一项，故③是指数函数；
④中，
3
y
x
的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
⑤中，底数2
0
，不是指数函数．
综上，指数函数的个数为1，
故选：B.
4．已知函数f(x)=
2 ,
0,
2 ,
0
x
x
a
x
x
(a∈R)，若
( ( 1))
1
f
f
，则a=（
）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】A
【分析】先求出
( 1)
f
的值，再求
( ( 1))
f f
的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得
( 1)
( 1)
2
2
f
，
所以
2
( ( 1))
(2)
2
4
1
f f
f
a
a
，解得a= 1
4 .
故选：A
【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题
题型二：根据指数函数求参数
1．若4 a ＋
0
(
2)
a
有意义，则a 的取值范围是(
)
A．
0
a
B．
2
a
C．
2
a
D．
0
a
且
2
a
【答案】D
【分析】根据根式、指数幂的性质列不等式组求参数范围即可.
【详解】由题设知：
0
2
0
a
a
，可得
0
2
a
a
.
故选：D
2．函数f（x）=（2a–3）ax 是指数函数，则f（1）=
A．8
B．3
2
C．4
D．2
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象与性质，求出a 的值，写出f（x）的解析式，再计算f（1）的值．
【详解】函数f（x）=（2a-3）ax 是指数函数，
∴2a-3=1，
解得a=2；
∴f（x）=2x，
∴f（1）=2．
故选D．
【点睛】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题．
3．若函数
2
2
2
x
y
m
m
m
是指数函数，则m 等于（
）
A．1
或3
B．1
C．3
D．1
3
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义求解即可.
【详解】因为函数
2
2
2
x
y
m
m
m
是指数函数，
所以
2
2
2
1
0
3
1
m
m
m
m
m
.
故选：C
4．若指数函数
x
y
b a
在
,2
b
上的最大值和最小值的和是6,则
a
（
）
A．2 或3
B．-3
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据
x
y
b a
为指数函数即可解得
1
b 及a 的范围,由于指数函数为单调函数,其最值在端点处取得,
列出等式即可得出结果.
【详解】解:由题知
x
y
f x
b a
为指数函数,
故
1
b ,
0
a
且
1
a ,
即
x
y
a
在
1,2 上的最大值和最小值的和是6,
由于指数函数为单调函数,
故
f
x 最值在端点处取得,
即
2
1
2
6
f
f
a
a
,
解得:
2
a
或
3
a (舍),
综上:
2
a
.
故选:C
题型三：求指数函数解析式
1．指数函数
0
x
f x
a
a
且
0
a
图像经过点
3,27 ，则
2
f
（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】先求指数函数的解析式，再求
2
f
.
【详解】由题意
3
27
a
，得
3
a
，故
2
2
3
9
f
，
故选：C
2．下列函数中，满足
1
1
2
f
x
f
x
的是（
）
A．
4x
f x
B．
4 x
f x
C．
2x
f
x
D．
2 x
f x
【答案】D
【分析】根据指数运算法则，结合函数解析式直接判断即可.
【详解】对于A，
1
1
4
4 4
4
x
x
f
x
f
x
，A 错误；
对于B，
1
1
1
1
4
4
4
4
x
x
f x
f x
，B 错误；
对于C，
1
1
2
2 2
2
x
x
f
x
f
x
，C 错误；
对于D，
1
1
1
1
2
2
2
2
x
x
f x
f x
，D 正确.
故选：D.
3．放射性核素锶89 的质量M 会按某个衰减率衰减，设初始质量为
0
M ，质量M 与时间t（单位：天）的
函数关系为
0
1
2
t
h
M
M
（其中h 为常数），若锶89 的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50 天，
那么质量为
0
M 的锶89 经过30 天衰减后质量大约变为（
）（参考数据
0.6
2
1.516
）
A．0.72
0
M
B．0.70
0
M
C．0.68
0
M
D．0.66
0
M
【答案】D
【分析】根据
50
t
时
0
1
2
M
M
，代入函数关系式中，可得h 的值，进而代入
30
t
求解即可.
【详解】由题意，锶89 半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50 天，
即
50
0
0
1
1
2
2
h
M
M
，则
50
h
，
所以质量为
0
M 的锶89 经过30 天衰减后，
质量大约为
30
0.6
50
0
0
0
0
0
0.6
1
1
1
1
0.66
2
2
2
1.516
M
M
M
M
M
．
故选：D．
4．若指数函数
f
x 的图象过点
3,8 ，则
f
x 的解析式为（
）
A．
3
f x
x
B．
1
3
f x
x
C．
1
2
x
f
x
D．
2x
f
x
【答案】D
【分析】设出解析式，将点
3,8 代入，求出解析式.
【详解】设
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ），则
3
8
a
，
解得
2
a
，故
2x
f
x
.
故选：D
题型四：判断指数函数图形形状
1．已知函数
1
2
x
y
a
b
的图象过原点，且无限接近直线
2
y
但不与该直线相交，则（
）
A．
2
a ，
2
b
B．
2
a
，
2
b
C．
1
a ，
2
b
D．
2
a
，
1
b
【答案】A
【分析】根据题意得到
0
a
b
，
1
2
x
b
a
b
，从而求出
2
a ，
2
b
.
【详解】由题意得
0
1
0
2
a
b
，即
0
a
b
，
x 时，
0
1
2
x
，故
1
2
x
b
a
b
，
故
2
b
，解得
2
a .
故选：A
2．函数
1
x
y
a
a
（
0
a
，且
1
a ）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别讨论
1
a 或0
1
a
时，图象与y 轴的交点的纵坐标，即可得出答案.
【详解】A，B 选项中，
1
a ，于是
1
0
1
1
a
，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在
0,1 之间，
显然A，B 的图象均不正确；
C，D 选项中，0
1
a
，于是
1
1
0
a
，图象与y 轴的交点的纵坐标应在小于0 ，所以D 项符合.
故选：D
题型五：根据指数函数图像求参数范围
1．设函数
3x
f
x
b
，函数
f
x 的图像经过第一､三､四象限，则
1
g b
f b
f b
的取值范围为（
）
A．
2
0, 9
B．
2
, 9
C．
2
, 3
D．
2
0, 3
【答案】A
【分析】根据题意求得
1
b ，化简得到
2 3
3
b
g b
，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由函数
3x
f
x
b
的的图像经过第一､三､四象限，可得
1
b ，
所以
1
1
1
2
2
2
1
3
3
3
1
3
3
3
3
3
9
b
b
b
b
g b
f b
f b
，
又因为2 3
0
3
b
，所以
1
g b
f b
f b
的取值范围为
2
0, 9
.
故选：A.
2．已知实数a，b 满足等式3
6
a
b
，则下列关系式中不可能成立的是（
）
A．a
b
B．0
b
a
C．
0
a
b
D．0
a
b
【答案】D
【分析】在同一坐标系内分别画出函数
3x
y
和
6x
y
的图象，结合图象即可判断.
【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数
3x
y
和
6x
y
的图象，如图所示：
由图象知，当
0
a
b
=
=
时，3
6
1
a
b
，所以选项A 正确；
作出直线y
k
，当
1
k 时，若3
6
a
b
k
，则0
b
a
，所以选项B 正确；
当0
1
k
时，若3
6
a
b
k
，则
0
a
b
，所以选项C 正确．
所以不可能成立的是D ，
故选：D ．
3．已知
1
x
y
a
，
2
x
y
b
是指数函数，
3
c
y
x
，
4
d
y
x
是幂函数，它们的图象如图所示，则a ，b ，c ，d
的大小关系为（
）
A．a
b
c
d
B．c
b
a
d
C．c
a
b
d
D．b
a
c
d
【答案】B
【分析】由指数函数
1
x
y
a
，
2
x
y
b
单调递减以及图象可得1
0
a
b
，根据根据
4
d
y
x
的函数图像，
可得
1
d ，
3
c
y
x
单调递减，则
0
c
，得出答案.
【详解】由指数函数
1
x
y
a
，
2
x
y
b
单调递减，则
,
0,1
a b
当
1
x 时，有
1
2
y
y
，即a
b
，所以1
0
a
b
由
3
c
y
x
，
4
d
y
x
是幂函数，
由
4
d
y
x
单调递增，则
0
d
，根据
4
d
y
x
的函数图像，可得
1
d
3
c
y
x
单调递减，则
0
c
.
所以c
b
a
d
故选：B
【点睛】本题考查根据指数，幂函数的图象位置关系比较大小，，属于基础题.
题型六：指数函数图像过定点问题
1．函数
1
1
x
y
a
恒过定点（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
0,1
D．
1,1
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质即可得到过定点
【详解】指数函数
x
y
a
（
0
a
且
1
a ）过定点
0,1 ，
所以
1
1
x
y
a
，当
1
0
1
x
x
时y 的值恒为2，即过定点
1,2 ，
故选：B
2．函数
2
1
x
y
a
0
a
且
1
a
的图象过定点（
）
A．( 1,1)
B．(2,1)
C．( 2,2)
D．(2, 2)
【答案】C
【分析】根据指数函数
x
y
a
0
a
且
1
a
的图象过定点
0,1 ，再结合函数图象平移变换即可得答案.
【详解】因为指数函数
x
y
a
0
a
且
1
a
的图象过定点
0,1 ，
函数
2
1
x
y
a
的图象由函数
x
y
a
的图象向左平移2 个单位，再向上平移1个单位得到，
故函数
2
1
x
y
a
的图象过定点
2,2
故选：C.
题型七：指数函数定义域
1．函数
3
27
x
y
的定义域为（
）
A．
, 3
B．
, 3
C．
3,
D．
3,
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.
【详解】由题意得3
27
0
x
，即
3
3
3
x
，解得
3
x
．
故选：C.
2．若集合
2
A
x
x
，
3
3
x
B
x
，则A
B
（
）．
A．
,4
B．
1
, 2
C．
1
0, 2
D．1 ,4
2
【答案】C
【分析】分别解出集合A，B，然后求交集运算即可.
【详解】
2
0
4
A
x
x
x
x
，
1
2
1
3
3
3
3
2
x
x
B
x
x
x x
，
所以，
1
| 0
2
A
B
x
x
.
故选：C.
3．已知集合
1
2
1
x
A
x
，
2
{ |
2
0}
B
x x
x
，则A
B
（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．
0,3
D．
1,2
【答案】D
【解析】解不等式集合
,
A B ，再由交集定义运算．
【详解】由
1
2
1
x
A
x
，
可得：
1
A
x x
，
2
{ |
2
0}
B
x x
x
，
可得：
0
2
{
}
|
B
x
x
，
所以
{ |1
2}
A
B
x
x
.
故选：D.
题型八：指数型复合函数定义域
1．若
2
3
3
1
x
f x
a
为奇函数，则
a
（
）
A．1
B．0
C．1
2
D．1
3
【答案】D
【分析】由奇函数性质
0
0
f
求参数，再由奇偶性定义验证即可.
【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，
所以
0
2
1
0
3
3
1
0
3
1
3
f
a
a
a
，
故
2
3
1
1
3
1
3
1
x
x
x
f
x
，
由
3
1
1 3
( )
3
1
1 3
x
x
x
x
f
x
f x
，为奇函数，满足题设.
所以
1
3
a
.
故选：D
2．已知集合
2
1
A
y y
x
，
4
2x
B
x y
，则A
B
（
）
A．
0,2
B．
0,2
C．
0,2
D．
0,2
【答案】B
【分析】求出
2
1
y
x
的值域得到
0
A
y y
，求出
4
2x
y
的定义域得到
2
B
x x
，从而得到交集.
【详解】集合
2
1
0
A
y y
y y
x
，由4
2
0
x
，解得：
2
x
，
故
2
B
x x
，则
0,2
A
B
.
故选：B.
3．若函数
2
2
( )
2
1
x
ax a
f x
的定义域为R，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵函数
的定义域为R,
∴
恒成立
题型九：指数函数值域
1．(多选)已知集合
0
2
M
x
x
，
0
4
N
y
y
，则下列表达式能建立从集合M 到集合N 的函数
关系的有（
）
A．
2
1
y
x
B．
2x
y
C．
ln
y
x
D．
3
1
2
y
x
【答案】BD
【分析】分析每个选项中函数在对应定义域的单调性，求解出值域，即可判断.
【详解】对A，当0
2
x
时，函数
2
1
y
x
单调递增，所以1
5
y
，不符合题意；对B，当0
2
x
时，
函数
2x
y
单调递增，所以1
4
y
，符合题意；对C，函数
ln
y
x
的定义域为
0,
，不符合题意；对
D，当0
2
x
时，函数
3
1
2
y
x
单调递增，所以0
4
y
，符合题意.
故选：BD
2．(多选)已知函数
2 2
2
( )
x
x
f x
，则下列命题中，正确的有（
）
A．函数
( )
f x 的值域为(0,
)
；
B．函数
( )
f x 的单调增区间为[1,
)
；
C．方程
( )
4
f x
有两个不同的实数解；
D．函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x 对称．
【答案】BCD
【分析】A 选项，根据
2
2
1
g x
x
x
求出
2 2
1
2
2
( )
x
x
f x
，得到答案；B 选项，根据复合函数单调性
求出
2
2
g x
x
x
的单调递增区间即可；C 选项，求出
2
2
2
x
x
，得到两个实数解；D 选项，根据
2
2
g x
x
x
关于
1
x 对称，得到
( )
f x 的图象关于
1
x 对称，D 正确.
【详解】A 选项，因为
2
2
2
1
1
1
g x
x
x
x
，故
2 2
1
1
2
2
2
( )
x
x
f x
，
故函数
( )
f x 的值域为1 ,
2
，A 错误；
B 选项，因为
2u
y
在R 上单调递增，
故
2
2
g x
x
x
的单调递增区间为
2 2
2
( )
x
x
f x
的单调递增区间，
因为
2
2
2
1
1
g x
x
x
x
的单调递增区间为[1,
)
，
所以函数
( )
f x 的单调增区间为[1,
)
，B 正确；
C 选项，令
2 2
2
4
x
x
，即
2
2
2
x
x
，所以
2
2
2
0
x
x
，解得
2
4
8
1
3
2
x
，
故方程
( )
4
f x
有两个不同的实数解，C 正确；
D 选项，
2
2
2
1
1
g x
x
x
x
关于
1
x 对称，
故
2 2
2
( )
x
x
f x
的图象关于
1
x 对称，D 正确.
故选：BCD
3．(多选)若
( )
3
1
x
f x
，则下列选项中不正确的是（
）
A．
( )
f x 在[ 1,1]
上单调递减
B．
3
1
x
y
与
1
1
3
x
y
的图象关于y 轴对称
C．
( )
f x 的图象过点(0,1)
D．
( )
f x 的值域为[1,
)
【答案】ACD
【分析】对于A,可直接根据指数函数的性质判断；对于B ,也可根据性质直接判断；对于C ,通过验证判断；
对于D ,可以利用性质求出值域判定.
【详解】因为
( )
3
1
x
f x
在R 上单调递增，则A 错误；
3
1
x
y
与
3
1
x
y
的图象关于y 轴对称，则B 正确；
由
(0)
2
f
，得
( )
f x 的图象过点(0,2) ，则C 错误；
由3
0
x
，可得
( )
1
f x ，则D 错误，
故选：ACD.
4．(多选)下列说法中正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为
0,2 ，则函数
2
f
x 的定义域为
0,4
B．若
1
2
1
f
x
x
，则
2
2
4
3
f x
x
x
，
1,
x
C．函数
4
2
1
x
x
y
的值域为
1,
D．
1
1
f
x
x
在
,1
1,
上单调递减
【答案】BC
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可判断A 选项；利用换元法求函数
f
x 的解析式，可判断B 选
项；利用指数函数与二次函数的基本性质求出函数
4
2
1
x
x
y
的值域，可判断C 选项；利用反比例型函
数的单调性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为函数
f
x 的定义域为
0,2 ，
对于函数
2
f
x ，则0
2
2
x
，解得0
1
x
，即函数
2
f
x 的定义域为
0,1 ，A 错；
对于B 选项，若
1
2
1
f
x
x
，令
1
1
t
x
，可得
2
1
x
t
，
所以，
2
2
2
1
1
2
4
3
f t
t
t
t
，其中
1
t ，
所以，
2
2
4
3
f x
x
x
，
1,
x
，B 对；
对于C 选项，因为2
0
x
，
2
4
2
1
2
2
1
1
x
x
x
x
y
，
即函数
4
2
1
x
x
y
的值域为
1,，C 对；
对于D 选项，函数
1
1
f
x
x
的减区间为
,1
、
1,，
但函数
1
1
f
x
x
在
,1
1,
上不单调，D 错.
故选：BC.
5．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR ，用
x 表示不超过x 的最大整数，则
y
x
称为高斯函数，例如：
3.5
4
，
2.1
2
，已知函数
2e
1
1 e
2
x
x
f x
，
g x
f
x
，则下列叙述正
确的是（
）
A．
g x 是偶函数
B．
f
x 在R 上是增函数
C．
f
x 的值域是
1 ,
2
D．
g x 的值域是
1,0,1
【答案】BD
【分析】依题意可得
2
3
2
1
ex
f
x
，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B、D，
再根据高斯函数的定义求出
g x 的解析式，即可判断A、D.
【详解】解：因为
2
2 e
2e
1
1
1
3
2
1 e
2
1 e
2
1 e
2
1
1
2
2
e
2
x
x
x
x
x
x
f x
，定义域为R ，
因为
1 e x
y
在定义域上单调递增，且
e
1
1
x
y
，又
2
y
x
在
1,上单调递增，
所以
2
3
2
1
ex
f
x
在定义域R 上单调递增，故B 正确；
因为1 e
1
x
，所以
1
0
1
1 e x
，所以
1
1
0
1
ex
，则
2
2
0
1
ex
，
则
1
3
2
3
2
2
1
e
2
x
，即
1 3
,
2 2
f
x
，故C 错误；
令
0
f
x
，即3
2
0
2
1
ex
，解得
ln3
x
，
所以当
ln3
x
时
1 ,0
2
f x
，
令
1
f x ，即3
2
1
2
1
ex
，解得
ln3
x
，
所以当
ln3
ln3
x
时
0,1
f x
，当
ln 3
x
时
3
1, 2
f
x
，
所以
1,
ln3
0, ln3
ln3
1,
ln3
x
g x
f x
x
x
，
所以
g x 的值域是
1,0,1
，故D 正确；
显然
5
5
g
g
，即
g x 不是偶函数，故A 错误；
故选：BD
6．(多选)下列各结论中正确的是（
）
A．“
0
ab
”是“
0
a
b
”的充要条件；
B．函数
2
2
1
2
2
y
x
x
的最小值为2；
C．命题“
1
x
，
2
0
x
x
”的否定是“
0
1
x
，
2
0
0
0
x
x
”；
D．函数
| |
1
2
x
y
的值域为(0,1].
【答案】AD
【分析】利用充要条件的概念判断A；结合基本不等式求解判断B；根据全称命题的否定是特称命题判断C；
根据指数函数的单调性求解判断D．
【详解】因为
0
ab
可推出,a b 同号可推出
0
a
b
，所以“
0
ab
”是“
0
a
b
”的充要条件，故A 正确；
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x
，
当且仅当
2
2
1
2
2
x
x
时取等号，但由
2
2
1
2
2
x
x
得
2
1
x ，方程无解，
所以等号不成立，即
2
2
1
2
2
2
y
x
x
，故B 错误；
命题“
1
x
，
2
0
x
x
”的否定是“
0
1
x
，
2
0
0
0
x
x
”，故C 错误；
∵|
| 0
x
，∴
|
0
|
1
1
1
0
2
2
x
，则函数
| |
1
2
x
y
的值域为(0,1]，故D 正确.
故选：AD．
7．(多选)已知函数
2
1
( )
2
2
2
x
x
f x
，定义域为M ，值域为
1,2 ，则下列说法中一定正确
．．．．的是（
）
A．
0,2
M
B．
,1
M
C．0
M
D．1
M
【答案】BCD
【解析】先研究值域为
1,2 时函数的定义域，再研究使得值域为
1,2 得函数的最小值的自变量的取值集合，
研究函数值取1，2 时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.
【详解】由于
2
1
2
( )
2
2
2
(2
1)
1
1,2
x
x
x
f x
，
2
(2
1)
0,1
x
，
2
1
1,1
x
，
2
0,2
x
，
,1
x
，
即函数
2
1
( )
2
2
2
x
x
f x
的定义域为
,1
当函数的最小值为1 时，仅有
0
x
满足，所以0
M
，故C 正确；
当函数的最大值为2 时，仅有
1
x 满足，所以1
M
，故D 正确；
即当
0,1
M
时，函数的值域也为
1,2 ，故
,1
M
，故B 正确；
当
2
x
时，函数值
(2)
10
1,2
f
，故A 错误；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，
再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.
题型十：判断指数函数单调性
1．下列函数中，在
0,
上单调递增的是（
）
A．
2
1
y
x
B．
1
y
x
C．
3
y
x
D．
2 x
y
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判
定C,D．
【详解】A 中，
2
1
y
x
的图象关于y 轴对称，开口向下的抛物线，在
0,
上单调递减，故Ａ不对；
B 中，
1
y
x
的图像关于直线
1
x 对称，在
1
，上单调递减，在
1,上单调递增，故排除B；
C 中，由幂函数的性质可知
3
y
x
在
0,
上单调递增，故C 正确；
D 中，根据指数函数的性质可得
1
2
2
x
x
y
在
，
上单调递减，故排除D；
故选：C．
【点睛】本题考查函数单调性的判断，涉及幂函数和指数函数，属基础题，熟练掌握基本函数的图象和性
质是关键．
2．下列函数在
0,
上为增函数的是（
）
A．
1
2
f
x
x
B．
2 x
f x
C．
2
1
f
x
x
D．
f
x
x
【答案】D
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数
1
2
y
x
在
0,
上为增函数，所以函数
1
2
f
x
x
在上为减函数，
因此选项A 不正确；
因为
1
2
( )
2
x
x
f
x
在
0,
上为减函数，
所以选项B 不正确；
因为
2
1
f
x
x
在
0,
上为减函数，
所以选项C 不正确；
当
0,
x
时，
f x
x
x
，显然函数在
0,
上为增函数，
所以选项D 正确，
故选：D
3．(多选)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
|
|
y
x
D．
2
2
x
x
y
【答案】BD
【分析】根据奇函数的定义判断函数奇偶性，利用单调性的定义和性质判断函数的增减性.
【详解】选项四个函数定义域都是R，
函数
2
y
x
的斜率为-2，在R 上单调递减，故A 错误；
函数
3
( )
f x
x
，
3
3
( )
(
)
0
f x
f
x
x
x
，则
3
( )
f x
x
是奇函数，
任取
1
2
x
x
，则
3
3
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)(
)
0
f x
f x
x
x
x
x
x
x x
x
，所以
3
( )
f x
x
在R 上单调递增；故B
正确；
,
0
,
0
x x
y
x
x x
，则
|
|
y
x
在
,0
单调递减，在
0,
单调递增，故C 错误；
( )
2
2
x
x
g x
，则
( )
(
)
2
2
2
2
0
x
x
x
x
g x
g
x
，所以( )
g x 是奇函数，
因为
2x
y
单调递增，
2 x
y
单调递减，所以( )
g x 在R 上单调递增，故D 正确.
故选：BD.
4．(多选)已知
( )
f x 定义域为R ，其函数图象关于直线
3
x 对称，且
(
3)
(
3)
f x
f x
，若当
[0,3]
x
时，
( )
2
2
1
x
f x
x
=
+
- ，则下列结论正确的是（
）
A．
( )
f x 为偶函数
B．
( )
f x 的图象关于
3
x
对称
C．
( )
f x 在[ 6, 3]
上单调递减
D．
(2023)
3
f
【答案】ABD
【分析】利用函数图象的对称性以及
(
3)
(
3)
f x
f x
，可得
(
)
( )
f
x
f x
，即可判断A，利用函数
( )
f x 为
偶函数，且图象关于直线
3
x 对称，分析判断B，由
(
3)
(
3)
f x
f x
可得函数的周期为6，再判断
( )
f x
在[0,3]上的单调性，从而可判断在[ 6, 3]
上单调性，即可判断C，利用函数的周期性判断D，
【详解】对于A，因为
( )
f x 定义域为R ，其函数图象关于直线
3
x 对称，所以
(
3)
(
3)
f x
f
x
，
因为
(
3)
(
3)
f x
f x
，所以
(
3)
(
3)
f
x
f x
，
所以
3
3
3
3
f
x
f
x
，即
(
)
( )
f
x
f x
，所以
( )
f x 为偶函数，所以A 正确，
对于B，因为
( )
f x 为偶函数，且图象关于直线
3
x 对称，
所以
(
3)
(
3)
(3
)
f x
f
x
f
x
，
(
3)
(
3)
(
3)
f
x
f
x
f x
，
(
3)
(
3)
f x
f
x
，
所以
(3
)
(3
)
f
x
f
x
，所以
( )
f x 的图象关于
3
x
对称，所以B 正确，
对于C，因为
(
3)
(
3)
f x
f x
，所以
(
6)
(
3
3)
( )
f x
f x
f x
，
所以
( )
f x 是以6 为周期的周期函数，
当
[0,3]
x
时，
( )
2
2
1
x
f x
x
=
+
- ，因为
2x
y
和
2
1
y
x
在[0,3]上为增函数，
所以
( )
2
2
1
x
f x
x
=
+
- 在[0,3]上为增函数，
所以
( )
f x 在[ 6, 3]
上单调递增，所以C 错误，
对于D，因为
( )
f x 是以6 为周期的周期函数，所以
1
(2023)
(6 337 1)
(1)
2
2 1 1
3
f
f
f
，所以D
正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数性质的综合应用，考查了函数的奇偶性、周期性、对称性和单调性的
应用，解题的关键是根据已知条件结合对称的定义和周期的定义求出函数的周期，考查了逻辑推理能力和
计算能力，属于较难题.
5．(多选)已知函数
( )
f x 和( )
g x 分别为奇函数和偶函数，且
( )
( )
2 x
f x
g x
，则（
）
A．
( )
( )
2 x
f x
g x
B．
( )
f x 在定义域(
,
)
上单调递增
C．
( )
f x 的导函数
( )
1
f
x
D．( )
1
g x
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性可得
2
2
2
2
,
2
2
x
x
x
x
f x
g x
-
-
=
=
，结合选项即可逐一求解,
【详解】由
( )
( )
2 x
f x
g x
得
(
)
(
)
2 x
f
x
g
x
-
-
-
，由于函数
( )
f x 和( )
g x 分别为奇函数和偶函数，所以
( )
( )
2 x
f x
g x
-
-
，因此
2
2
2
2
,
2
2
x
x
x
x
f x
g x
-
-
=
=
，
对于A,
( )
( )
2 x
f x
g x
-
,故A 错误，
对于B，由于函数
2x
y
在(
,
)
单调递增，
2 x
y
在(
,
)
单调递减，所以
2
2
2
x
x
f x
-
=
在(
,
)
单调递增，故B 正确，
对于C，
2
2
ln2
2 ln2
2
ln2
2 2
2
ln2
ln2,
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f
x
-
-
-
=
当且仅当
0
x
时取等号，
而ln 2
1
，所以C 错误，
对于D，2
2
2 2
2
1
2
2
x
x
x
x
g x
-
-
=
，当且仅当
0
x
时取等号，所以D 正确，
故选：BD
6．(多选)已知偶函数
( )
f x 的定义域为R，
(
4)
f x
也是偶函数，当
[0,4]
x
时，
2
( )
2
1
x
x
a
f x
．若
( 1)
(5)
1
f
f
，则（
）
A．
(5)
( 1)
f
f
B．
( 3)
( 6)
f
f
C．
(5)
( 3)
f
f
D．
( 1)
( 6)
f
f
【答案】AC
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为
( )
f x 是偶函数，所以
( 1)
(1)
f
f
，
( 3)
(3)
f
f
．因为
(
4)
f x
是偶函数，所以
(
4)
(
4)
f x
f
x
，则
( 5)
( 3)
(3)
f
f
f
．
3
3
2
2
( 1)
(5)
(1)
(3)
1
2 1
2
1
a
a
f
f
f
f
．解得
9
14
a
．因为
9
1
( )
1
14
2
1
x
f x
在[0,4]上单调递增，所
以
(3)
(2)
( 3)
(1)
f
f
f
f
．因为
( 6)
( 2)
(2)
f
f
f
，所以
(5)
( 6)
( 3)
( 1)
f
f
f
f
．
故选：AC
题型十一：由指数型的单调性求参数
1．已知函数
2
3
x
x a
f x
在区间
,1
上单调递减，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性求得a 的取值范围，进而求得a 的最小值.
【详解】令
2
u
x
x
a
，因为
3u
y
是增函数，
所以
2
2
2x
a
u
x
x
a
x
在区间
,1
上单调递减，
所以
1
4
a ，解得
4
a
，所以a 的最小值为4 .
故选：D
2．已知函数
2
,
1
2
,
1
x
a
a x
x
f x
a
x
，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,2
B．
2
0, 3
C．
1,2
D．4 ,2
3
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性的判断方法列不等式，求解.
【详解】由函数
2
,
1
2
,
1
x
a
a x
x
f x
a
x
，是R 上的增函数，
得
2
0
1
2
2
a
a
a
a
a
，解得4
2
3
a
，
即
4 ,2
3
a
，
故选：D.
3．(多选)已知函数
1
2
1
1,
0
2
,
0
x
x
f x
x
x
，则下列结论中错误的是（
）
A．
f
x 的值域为
0,
B．
f
x 是单调函数
C．
f
x 是偶函数
D．
f
x 的图像与直线
2
y
有两个交点
【答案】ABC
【分析】根据分段函数的性质分别判断各选项.
【详解】当
0
x
时，
1
1
2
x
f
x
单调递减，且
0,
f x
，
当
0
x
时，
1
2
f x
x
单调递增，且
0,
f x
，
所以
f
x 的值域为
0,
，A 选项错误；
f
x 在
,0
上单调递减，在
0,
上单调递增，B 选项错误；
当
0
x
时，
0
x
，
(
)
(
)
( )
1
2
1
1
2
x
f
x
x
f x
-
= -
¹
- =
，所以函数
f
x
不是偶函数，C 选项错误；
又函数
f
x 与直线
2
y
在
,0
和
0,
上分别有一个交点，共有两个交点正确，D 选项正确；
故选：ABC.
题型十二：判断指数型复合函数的单调性
1．已知
g x 为偶函数，
h x 为奇函数，且满足
2x
g x
h x
.若对任意的
1
1, 2
x
都有不等式
0
m g x
h x
成立，则实数m 的最大值为（
）.
A．1
3
B．1
C．1
D．
3
5
-
【答案】D
【分析】由题意得出
g x 、
h x 的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得
2
1
4
1
x
m
转化为求
函数的最值，求出函数
2
1
4
1
x
y
的最小值即可.
【详解】
g x 为偶函数，
h x 为奇函数，且
2x
g x
h x
①
2 x
g
x
h
x
g x
h x
②
①②两式联立可得
2
2
2
x
x
g x
，
2
2
2
x
x
h x
.
由
0
m g x
h x
得
2
2
4
1
2
1
2
2
4
1
4
1
x
x
x
x
x
x
x
m
，
∵
4
1
x
t
在
1
1, 2
x
是增函数，且
5 ,3
4
t
，
2
y
t
在
5 ,3
4
t
上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知
2
1
4
1
x
y
在
1
1, 2
x
为增函数，
∴
1
min
2
2
3
1
1
4
1
4
1
5
x
，
∴
3
5
m
，即实数m 的最大值为
3
5
-
故选：D.
2．若
e
e
x
x
f
x
a
为奇函数，则
1
e
e
f x
的解集为（
）
A．
,2
B．
,1
C．
2,
D．
1,
【答案】D
【分析】利用奇函数的定义求出a 值，再由函数单调性求解不等式作答.
【详解】由
e
e
x
x
f
x
a
为奇函数，得
(e
e )
(e
e )
0
( )
x
x
x
x
f
f
x
a
x
，解得
1
a ，
于是
( )
e
e
x
x
f x
，而
e x
y
是减函数，
ex
y
是增函数，函数
( )
f x 是R 上的减函数，
不等式
1
e
( )
(1)
e
f
x
f x
f
，因此
1
x
，
所以不等式
1
e
e
f x
的解集为
1,.
故选：D
3．(多选)已知函数
2
1
2
1
x
x
f x
，则（
）
A．函数
f
x 的图象关于原点对称
B．函数
f
x 的图象关于y 轴对称
C．函数
f
x 的值域为
1,1
D．函数
f
x 是减函数
【答案】AC
【分析】求函数
f
x 的奇偶性可判断AB；分离参数可得
2
1
2
1
x
f
x
，根据指数函数的值域可判断C；
根据单调性的定义可判断D.
【详解】
f
x 的定义域为R ，
2
1
2
1
x
x
f x
，则
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
f
x
f x
，
所以
f
x 为奇函数，
f
x 的图象关于原点对称,A 正确，B 错误；
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
f x
，因为2
1
1
x ,所以
1
0
1
2
1
x
,
2
0
2
2
1
x
，
所以
2
1
1
1
2
1
x
,故
f
x 的值域为
1,1
,C 正确；
设
2
1
x
x
,则
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
x
x
f x
f x
2
1
1
2
1
2
2 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
,
因为
2
1
x
x
，所以
2
1
1
2
2
2
0,2
1
0,2
1
0
x
x
x
x
，
所以
2
1
0
f x
f x
,即
2
1
f x
f x
，
所以函数
f
x 是增函数，故D 错误，
故选:AC.
题型十三：比较指数幂的大小
1．设
0.1
0.8
0.5
2 ,
(0.5)
,
(0.5)
a
b
c
，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．c
a
b
D．b
c
a
【答案】A
【分析】根据函数单调性及中间值比较大小.
【详解】因为
2x
f x
单调递增，所以
0.1
0
2
2
1
a
，
因为
0.5x
g x
单调递减，所以
0
0
1
.8
0.5
1
0.5
(0.5)
，
0
0
1
.5
0.5
1
0.5
(0.5)
，
即
,
0.5,1
b c
，
因为0.8
0.5
，所以
0.8
0.5
0.5
0.5
，即b
c
，
综上：a
c
b
.
故选：A
2．设
1.5
0.9
0.48
1
4
,
8
,
2
a
b
c
，则（
）
A．c
a
b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．a
c
b
【答案】D
【分析】指数式比较大小，化为同底，转化为函数单调性的问题.
【详解】因为
1.5
0.9
1.8
0.48
1.44
1.5
1
4
2 ,
8
2
,
2
2
a
b
c
，由于函数
2x
y
在R 上是增函数，且1.8
1.5
1.44
，
所以
1.8
1.5
1.44
2
2
2
，即a
c
b
.
故选：D.
题型十四：由指数函数的单调性解不等式
1．若不等式
2
1
1
3
3
ax
ax
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
4,0
B．
4,0
C．
0,4
D．
0,4
【答案】B
【分析】依题意可得
2
1
0
ax
ax
+
- <
恒成立，再分
0
a
和
0
a
两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】因为不等式
2
1
1
3
3
ax
ax
恒成立，即
2
1
3
3
ax
ax
恒成立
所以
2
1
a
a
x
x
恒成立，即
2
1
0
ax
ax
+
- <
恒成立，
当
0
a
时1
0
恒成立，符合题意；
当
0
a
时，则
2
0
Δ
4
0
a
a
a
，解得4
0
a
- <
<
；
综上可得4
0
a
- <
£ ，即实数a 的取值范围是
4,0
.
故选：B
2．集合
2
2x
A
x y
，
2
3
0
B
x x
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
1,3
C．
0,3
D．
,3
【答案】A
【分析】先分别求出A,B 集合，再根据交集的运算即可得到两个集合的交集.
【详解】由2
2
0
2
2
1
x
x
x
，所以
1
A
x x
，
由
2
3
0
x
x
解得0
3
x
，所以
0
3
B
x
x
，
所以
0
1
A
B
x
x
，
故选：A
3．(多选)已知3
1
a b
，则下列不等式成立的有（
）
A．a
b
B．
2
2
ac
bc
C．
2
2
a
b
≥
D．a a
b b
【答案】AB
【分析】结合指数函数的单调性解得a
b
，然后由不等式性质逐项分析各选项即可；
【详解】由3
1
a b
，即
0
3
3
a b
，所以
0
a
b
，则a
b
，故A 正确，
对于B，因为
2c 0 ，所以
2
2
ac
bc
，故B 正确；
对于C：当
1
a ，
2
b
时
2
2
a
b
，故C 错误；
对于D：因为
2
2
,
0
,
0
x
x
f x
x x
x
x
，则
f
x 在R 上为增函数，
由a
b
得a a
b b
，故D 错误；
故选：AB
题型十五：求已知指数型函数的最值
1．已知
f
x ，
g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足
2x
f x
g x
．若
0
g f x
a
恒
成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
【答案】B
【分析】首先利用方程组法求出
f
x 、
g x 的解析式，再判断( )
g x 的单调性，则问题转化为
0
f x
a
恒成立，参变分离求出
min
f x
，即可得解.
【详解】因为
( )
f x ，( )
g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，
所以
(
)
( )
f
x
f x
，(
)
( )
g
x
g x
，
因为
( )
( )
2 x
f x
g x
，①
所以
(
)
(
)
2 x
f
x
g
x
，
所以
( )
( )
2 x
f x
g x
，②
①②得
2
2
( )
2
x
x
f x
，
2
2
( )
2
x
x
g x
，
因为
2x
y
在定义域R 上单调递增，
2 x
y
在定义域R 上单调递减，
所以
2
2
( )
2
x
x
g x
在R 上单调递增，又(0)
0
g
，
若
0
g f x
a
恒成立，则
0
g f
x
a
g
恒成立，
所以
0
f
x
a
恒成立，
所以
f x
a
恒成立，
所以只需
min
a
f
x
，
因为2
0
x
，2
0
x
，所以2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
（当且仅当2
2
x
x ，即
0
x
时取等号），
所以
2
2
1
2
x
x
f x
（当且仅当
0
x
时，取等号），
所以
1
a ，
所以a 的取值范围为
,1
.
故选：B．
2．函数
2x
f x
在区间
1,2 上的最大值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性计算可得.
【详解】函数
2x
f
x
在区间
1,2 上单调递增，
所以
2
max
2
2
4
f x
f
.
故选：D
3．(多选)若函数
2
3
1
3
x
ax
f x
的图像经过点
31，，则（
）
A．
2
a
B．
f
x
在
1
，上单调递减
C．
f
x
的最大值为81
D．
f
x
的最小值为1
81
【答案】AC
【分析】利用函数经过点
31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.
【详解】对于A :由题意得
3
6
1
3
1
3
a
f
，得
2
a
,故A 正确;
对于B :令函数
2
2
3
u
x
x
，则该函数在
,1
上单调递减，在
1,
上单调递增．
因为
1
3
u
y
是减函数，所以
f
x 在
,1
上单调递增，在
1,
上单调递减，故B 错误;
对于C D :因为
f
x 在
,1
上单调递增，在
1,
上单调递减,
所以
max
1
81
f x
f
,
f
x 无最小值．故C 正确, D 错误;
故选: AC.
题型十六：根据指数函数的最值求参数
1．当x>0 时，函数
2
1
x
f x
a
的值总大于1，则实数a 的取值范围是（
）
A．1<|a|<2
B．|a|<1
C．|a|>
2
D．|a|<
2
【答案】C
【分析】根据x>0 时，函数
2
1
x
f x
a
的值总大于1，
2
1
1
a 求解.
【详解】解：因为当x>0 时，函数
2
1
x
f x
a
的值总大于1，
所以
2
1
1
a ，则
2
2
a
，
解得
2
a
，
故选：C.
2．已知函数
1 2
( )
2
2
x
x
f x
a
．若函数
( )
f x 的最大值为1，则实数
a
（
）
A．
7
8
B．7
8
C．
9
8
D．9
8
【答案】B
【分析】令
2 x
t
，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出a .
【详解】
2
( )
2
2 2
x
x
f x
a
，令
0,
2 x
t
，
则
2
2
1
1
2
2
4
8
y
t
t
a
t
a
，当
1 ,
2
4
t
x
时，
max
1
1
8
y
a
，解得
7
8
a =
.
故选：B
3．(多选)已知函数
2
( )
2
1, ( )
2
x
f x
g x
x
x
，下列结论正确的是（
）
A．
[0,3], ( )
x
g x
a
，则实数a 的取值范围是
1
a
B．
[0,3], ( )
x
g x
a
恒成立，则实数a 的取值范围是
1
a
C．
[ 2,2],
[0,3],
( )
( )
x
t
f x
g t
D．
[ 2,2],
( )
x
f x
a
，则实数a 的取值范围是
3
3
4
a
【答案】BD
【分析】求出
g x 在
[0,3]
x
的值域可判断A B；
求出
( )
f x 在
[ 2,2]
x
的值域，
[ 2,2],
[0,3],
( )
( )
x
t
f x
g t
，转化为
( )
f x 的值域是
( )
g t 值域的子集，可
判断C；由
( )
2
1
x
f x
在
[ 2,2]
x
的值域可判断D.
【详解】因为
2
2
2
1
1
g x
x
x
x
，所以
[0,3]
x
时，
1
3
g x
，
若
[0,3], ( )
x
g x
a
，则
3
a
，故A 错误；
若
[0,3], ( )
x
g x
a
恒成立，则实数a 的取值范围是
1
a ，故B 正确；
因为
2x
y
在x
R
上单调递增，所以
( )
2
1
x
f x
在
[ 2,2]
x
单调递减，
所以
3
3
( )
4
f x
，
[ 2,2],
[0,3],
( )
( )
x
t
f x
g t
，所以
( )
f x 的值域是
( )
g t 值域的子集，
而
( )
f x 的值域是
3
3, 4
，
( )
g t 的值域是
1,3
，故C 错误；
因为
( )
2
1
x
f x
在
[ 2,2]
x
的值域是
3
3, 4
，所以实数a 的取值范围是
3
3
4
a
，故D 正确.
故选：BD.
题型十七：含参指数函数的最值
1．钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一
条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建
筑之一，函数解析式为
e
e
(
0)
2
x
x
a
a
f x
a
a
，则下列关于
f
x 的说法正确的是（
）
A．
0
a
，
( )
f x 为奇函数
B．
0
a
，
( )
f x 在(0,
)
上单调递增
C．
0
a
，
( )
f x 在(
,0)
上单调递增
D．
0
a
，
( )
f x 有最小值1
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.
【详解】由题意易得
( )
f x 定义域为R，
e
e
e
e
2
2
x
x
x
x
a
a
a
a
f x
f
x
a
a
，即
( )
f x 为偶函数，
故A 错误；
令
e
0
x
a
y
x
，则
1
y 且y 随x 增大而增大，
此时
1
e
e
1
x
x
a
a
u
y
y
y
，由对勾函数的单调性得u 单调递增，
根据复合函数的单调性原则得
( )
f x 在(0,
)
上单调递增，故B 正确；
结合A 项得
( )
f x 在(
,0)
上单调递减，故C 错误；
结合B 项及对勾函数的性质得
1
1
e
e
2
x
x
a
a
u
y
f x
y
a
，故D 错误.
故选：B.
2．已知
2(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，且在区间
1 2
，上有
1
8
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
4
2
,
B．
3
4
0,2
1,
C．
3
4
2
,1
1,
D．
3
4
0,2
1,
【答案】C
【分析】“在区间
1 2
，上，
1
8
f
x
恒成立”等价于“在区间
1 2
，上，min
1
8
f
x
”，分别讨论
1
a 和0
1
a
，
得到关于a 的不等式，即可求解出结果．
【详解】“在区间
1 2
，上，
1
8
f
x
恒成立”等价于“在区间
1 2
，上，
min
1
8
f
x
”.
①当
1
a 时，( )
f x 在
1 2
，上单调递增，此时
2
3
4
( )
x
f x
a
a
a
，
，( )
f x 在
1
x 处取得最小值
3
a ，即
3
1
8
a
，
解得
1
2
a
，故
1
a ；
②当0
1
a
时，
2
4
3
x
f
x
a
a
a
，
，即
4
1
8
a
，解得
3
4
2
a
，故
3
4
2
1
a
．
综上，实数a 的取值范围是
3
4
2
,1
1,
．
故选：C
3．(多选)已知函数
e
e
2
x
x
f x
，则（
）
A．
2
2
f
x
y
f x
为偶函数
B．
2
y
f
x
f
x
是增函数
C．
sin
1
y
f
x
不是周期函数
D．
1
y
f
x
f x
的最小值为1
【答案】AD
【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC，分类讨论确定函数的最小值判断D．
【详解】选项A，由
( )
0
f x
得
0
x
，函数定义域是{ |
0}
x x
，关于原点对称，
2
2
2
2
e
e
e
e
( 2 )
(2 )
2
2
e
e
e
e
2 (
)
2 ( )
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f x
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是(
,0)
(0,
)
，
e
(
)
(
e
)
2
x
x
f
x
f x
，即
( )
f x 是奇函数，易知
( )
f x 是R 上的增函数，
函数值域为R，
(0)
0
f
，所以存在
0
0
x
，值得
0
(
)
2
f x
，从而
0
(
)
2
f
x
，于是
0
0
2
(
)
0
(
)
f x
f x
，
0
0
2
(
)
0
(
)
f
x
f
x
，但
0
0
x
x
，所以
2
( )
( )
y
f x
f x
不是增函数，B 错；
选项C，
sin
1
y
f
x
定义域是R，
(sin(2
1))
(sin(
1))
f
x
f
x
，因此2是函数的一个周期，C 错；
选项D，由上推理知
( )
f x 是奇函数，
0
x
时，
1
y
f
x
f x
(
)
( )
1
1
f
x
f x
，
0
x
时，
1
y
f
x
f x
( )
( ) 1
e
e
1
x
x
f x
f x
，易知函数为增函数，所以
( )
(0)
1
f x
f
，综
上函数最小值是1，D 正确．
故选：AD．
题型十八：指数函数最值与不等式的综合问题
1．已知函数
3
3
1
x
x
m
f x
，若对任意
1
x 、
2
x 、
3
R
x
，总有
1
f x
、
2
f x
、
3
f x
为某一个三角形的边
长，则实数m 的取值范围是（
）
A．1 ,1
2
B．
0,1
C．
1,2
D．1 ,2
2
【答案】D
【分析】根据
3
1
1
3
1
3
1
x
x
x
m
m
f x
，分三种情况当
1
m 时，当
1
m
时，当
1
m 时，求得函数的值域，
问题转化为
1
2
3
f x
f x
f x
，对任意
1
x ，
2
x ，
3
R
x
，恒成立求解．
【详解】解：因为
1
( )
f x
，
2
(
)
f x
，
3
(
)
f x
为某一个三角形的三条边长，
所以
1
2
3
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
，对任意
1
x ，
2
x ，
3
R
x
，恒成立，
函数
3
3
1
1
1
1
3
1
3
1
3
1
x
x
x
x
x
m
m
m
f x
，
当
1
m 时，
( )
1
f x ，满足
1
2
3
f x
f x
f x
，符合题意；
当
1
m
时，
( )
f x 在R 上递减，
所以函数的值域为(1,
)
m ，
所以
1
2
(
)
(
)
2
f x
f x
且
3
(
)
f x
m
，
所以
2
m
，又
1
m
，所以1
2
m
，
当
1
m 时，
( )
f x 在R 上递增，
函数
( )
f x 的值域为( ,1)
m
，
所以
1
2
(
)
(
)
2
f x
f x
m
且
3
(
)
1
f x
，
所以1
2m
，解得
1
2
m
，所以1
1
2
m
，
综上m 的取值范围是1 ,2
2
．
故选：D．
2．已知
0
a
b
且
1
ab ，若把2b
a ，
2
a b
，2a
b 按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（
）
A．2b
a
B．
2
a b
C．2a
b
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决.
【详解】法一：特殊值法.
令
3
a
，
1
3
b
，则
1
3
3
1
2
2
b
a
，
5
3
5
3
2
2
2
1
a b
，而
5
3
2
1
1
1
1
4
2
2
1
2
24
a
b
，所以
2
2
2
a b
b
a
a
b
，所以中间数为
2
a b
.
法二：不等式的性质
由题意，
1
0
a
b
，所以
2
2
a
b
a
b
，所以2
2
b
a
a
b
，
又
2
2
2
2
a b
b
b
a
，所以
2
2
2
1
a b
a b
b
a
’
又
2
2
2
2
a
a
b
a
b
，所以
2
2
1
2a
a b
a b
b
’
所以
2
2
2
a b
b
a
a
b
，所以中间数为
2
a b
.
法三：构造函数
log
2
2
1
log
1
2
2
2
2
a
a
a
b
a
a
，
2
2
2
a b
a b
，
log
2
2
1
log
1
2
2
2
2
b
b
b
a
b
b
，
问题变为比较
2
log
1
a
a
，
2
a
b
，
2
log
1
b
b
的大小.
构造函数
2
2
1
1
log
)
log
2
2
1
( )
(
g
x
x
x
x
x
x
x
x
，
0
x
很显然，( )
g x 为两个增函数的和，在(0,
)
为增函数，所以
( )
(1)
0
( )
g a
g
g b
，
所以
2
2
1
1
log
log
2
2
1
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
，
所以
log
log
2
2
1
1
2
2
2
b
a
b
a b
a
，即
2
2
2
a b
b
a
a
b
.
故选：B.
3．(多选)下列关于函数
1
2
4
x
x
f
x
的描述正确的是（
）
A．
f
x 是减函数
B．若
f x
a
恒成立，则
1
a
4
C．若方程
f x
k
有两个不相等的根，则
1
0
4
k
D．
2,3
a
，
x
y
a
f x
为奇函数
【答案】BCD
【分析】对于A，根据
(0)
(1)
f
f
可判断A 不正确；对于B，求出
( )
f x 的最大值，将
f x
a
恒成立，化
为
max
( )
a
f x
求出a 的范围，可判断B 正确；令
1
2
x
t
，
(0,
)
t
，化为
2
0
t
t
k
有两个不相等的正
根，利用二次函数知识求出k 的范围，可判断C 正确；对于D，设( )
( )
x
g x
a
f x
(2
4 )
x
x
x
a
，根据
(
)
( )
g
x
g x
恒成立，求出a ，可判断D 正确.
【详解】对于A，因为
(0)
0
f
1
1
1
(1)
2
4
4
f
，所以
f
x 不是减函数，故A 不正确；
对于B，因为
2
1
1
( )
2
2
x
x
f x
2
1
1
1
2
2
4
x
，且
1
0,
2
x
，所以当1
1
2
2
x
，即
1
x 时，
( )
f x 取得最大值1
4 ，若
f x
a
恒成立，则
max
1
( )
4
a
f x
，故B 正确；
对于C，令
1
2
x
t
，
(0,
)
t
，若方程
f x
k
有两个不相等的根，则
2
t
t
k
，即
2
0
t
t
k
有两个
不相等的正根，设为1
2
,
t t ，则
1
2
1 2
Δ
1 4
0
1
0
k
t
t
t t
k
，解得
1
0
4
k
，故C 正确；
对于D，设( )
( )
x
g x
a
f x
(2
4 )
x
x
x
a
，(
)
(2
4 )
x
x
x
g
x
a
，
若( )
g x 为奇函数，则
(
)
( )
g
x
g x
，即
(2
4 )
x
x
x
a
(2
4 )
x
x
x
a
恒成立，
所以
2
1
1
4
2
2
4
x
x
x
x
x
a
恒成立，
所以
2
2
4
4
2
0
x
x
x
x
x
a
恒成立，
所以
2
2
4
0
x
x
x
a
恒成立，
所以
2
8
x
x
a
恒成立，
所以
2
8
a
，所以在[2,3]内存在
2 2
a
，使得
x
y
a
f x
为奇函数，故D 正确.
故选：BCD
题型十九：指数函数综合应用
1．一个口罩厂今年12 月份的产量是去年12 月份产量的
1
m m
倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均
增长率是（
）
A．11
1
m
B．12
1
m
C．11
m
D．12
m
【答案】B
【分析】设月平均增长率为x ，去年12 月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可．
【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为x ，去年12 月份的产量为1.
因为今年12 月份的产量是去年12 月份产量的
1
m m
倍，
所以
12
1
x
m
，即
12
1
x
m
，即
12
1
x
m
.
故选：B.
2．据2002 年3 月5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比
上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001 年－2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到
“十·五”末我国国内年生产总值约为（
）
A．115000 亿元
B．120000 亿元
C．127000 亿元
D．135000 亿元
【答案】C
【分析】每年的国内生产总值呈指数增长，列式计算即可.
【详解】根据题意，到“十·五”末我国国内年生产总值为：95933(1+7.3%)4≈127164.8（亿元）.
故选：C．
3．(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：
2
m ）与时间t （单位：月）的关系满足
t
y
a
，则下列说
法正确的是（
）
A．蓝藻面积每个月的增长率为100%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6 个月时，蓝藻面积就会超过
2
60m
D．若蓝藻面积蔓延到
2
2
2
2
,3
,6
m
m
m 所经过的时间分别是1
2
3
, ,
t t t ，则一定有1
2
3
t
t
t
【答案】ACD
【解析】由函数
t
y
a
图象经过
1,2 可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．
【详解】解：由图可知，函数
t
y
a
图象经过
1,2 ，即
1
2
a
，则
2
a
，∴
2t
y
；
∴
1
2
2
2
t
t
t
不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2 倍，则每个月的增长率为100 % ，A 对、B 错；
当
6
t
时，
62
64
60
y
，C 对；
若蓝藻面积蔓延到
2
2
2
2
,3
,6
m
m
m 所经过的时间分别是1
2
3
, ,
t
t
t ，则
1
2
2
t
，
2
2
3
t
，
3
2
6
t
，则
1
2
2
2
2 3
t
t
，
即
1
2
2
6
t
t
，则1
2
3
t
t
t
，D 对；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．
4．已知函数
2
2
,
3
3
27
( )
1
,
3
3
x m
mx
x
x
f x
x
，
0
m
(1)若
1
m ，求
( (2))
f
f
的值；
(2)若对任意
1
[3,
)
x
，总存在
2
(
,3)
x
使得
1
2
f x
f x
成立，求m 的取值范围.
【答案】(1) 1
18
(2) 0
6
m
【分析】（1）直接代入求值即可；
（2）利用基本不等式和指数函数单调性求最值，再转化为子集问题，利用对数运算及对数函数单调性即
可求解.
【详解】（1）由题设
2
1 2
,
3
3
27
( )
1
,
3
3
x
x
x
x
f x
x
，则
2 1 2
1
(2)
3
3
f
，
所以
2
3
1
( (2))
(3)
3 3
27
18
f f
f
.
（2）若
2
3
27
mx
y
x
在[3,
)
上的值域为A ，
2
1
( )
3
x m
g x
在(
3)
,
上的值域为B ，
由题意知：A
B
，即A 是B 的子集，
而
27
3
m
y
x
x
，且
27
27
3
2 3
18
x
x
x
x
，当且仅当
3
x
时等号成立，
则在
[3,
)
x
上，由于
0
m
，得0
18
m
y
，
即当
0
m
时，
(0,
]
18
m
A
，
对于( )
g x 的值域B ：
当0
3
m
时，
2
2
3
,
3
( )
3
,
m
x
x
m
m
x
g x
x
m
，
所以( )
g x 在[ ,3)
m
单调递减，在(
,
)
m
单调递增，
所以0
( )
( )
9
g x
g m
，则
(0,9]
B
，
故当0
3
m
时，
(0,
]
18
m
A
B
；
当
3
m
时，
2
( )
3x
m
g x
，且( )
g x 在
,3
单调递增，
所以
5
0
( )
(3)
3
m
g x
g
，
故
2
5
( )
3
(0,3
)
x
m
m
g x
，
要使A
B
，即
5
(0,
]
0,3
18
m
m
，
只需
53
18
m
m
，两边取对数，
得
3
3
3
5
log
log
log 18
18
m
m
m
，
移项得：
3
3
3
3
3
log
5
log 18
5
log 3
log 6
6
log 6
m
m
，
由
3
log
y
x
x
在[3,
)
上为单调增函数，故
6
m
；
所以3
6
m
，
综上，0
6
m
.
5．已知函数
1
2
2
x
f x
.
(1)求
0
f
与
2
f
，
1
f
与
3
f
的值；
(2)由（1）中求得的结果，猜想
f
x 与
2
f
x
的关系并证明你的猜想；
(3)求
2020
2019
0
1
2
2021
2022
f
f
f
f
f
f
f
的值.
【答案】(1)）
1
0
3
f
，
1
2
6
f
，
2
1
5
f
，
1
3
10
f
(2)
1
2
2
f x
f
x
，证明见解析
(3) 4043
4
【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3 求值即可；
（2）根据（1）的结果猜想
1
2
2
f x
f
x
，计算
2
f
x
f
x
的值即可证明；
（3）根据（2）的结果可得
1
( 2020)
(2022)
2
f
f
，根据规律计算即可求解.
【详解】（1）解：因为
1
2
2
x
f x
，故
1
1
(0)
1
2
3
f
，
2
1
1
(2)
2
2
6
f
，
1
1
2
( 1)
2
2
5
f
，
3
1
1
(3)
2
2
10
f
.
（2）解：猜想：
1
2
2
f x
f
x
，
证明：∵对于任意的x
R
，都有
2
2
2
1
1
2
2
(2
)
2
2
2
2
2 2
2(2
2)
2
2
x
x
x
x
x
x
f
x
∴
2
2
1
( )
(2
)
2(2
2)
2
x
x
f x
f
x
.
故
1
2
2
f x
f
x
.
（3）解：由（2）得
1
2
2
f x
f
x
，
故
( 2020)
(2
2022)
f
f
，
1
( 2020)
(2022)
2
f
f
，
1
( 2019)
(2021)
2
f
f
，
所以
2020
2019
0
1
2
2021
2022
f
f
f
f
f
f
f
2020
2022
2019
2021
( 1)
(3)
0
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
1
1
4043
2021
2
4
4
.
6．一片森林原来面积为2014 万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积
的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4 ，已知到今年为止，森
林剩余面积为原来的
2
2
．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
【答案】（1）
1
10
1
1
2
；（2）5；（3）15．
【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为x ，由指数函数的性质列式求解；
（2）由
2
2014 (1
)
2014
2
m
x
求解可得；
（3）由
5
1
2014 (1
)
2014
4
n
x
求解可得．
【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为x ，则
10
1
2014 (1
)
2014
2
x
，解得
1
10
1
1
2
x
；
（2）设到今年为止，该森林已砍伐了m 年，则
2
2014 (1
)
2014
2
m
x
，
10
1
2
2
2
m
，
1
10
2
m
，
5
m
；
（3）设今后最多还能砍伐n 年，
则
5
1
2014 (1
)
2014
4
n
x
，
5
10
1
1
2
4
n
，5
2
10
n
，
15
n
．
答：（1）每年砍伐面积的百分比为
1
10
1
1
2
；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5 年；（3）今后最多还
能砍伐15 年．
【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为x ，
那么n年后，剩余量为
2014 (1
)n
y
x
．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得．
7．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶
放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h.
(1)写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；
(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据
15
11
0.125
7
32
，
8
11
7
0.328
32
，精
确到1h）
(3)运用上面的数据，作此函数的图象.
【答案】(1)
22
7
192
32
x
y
0
x
(2)储藏温度为30 C
保鲜时间约24 小时；储藏温度为16 C
保鲜时间约为63小时．
(3)图象见解析
【分析】（1）设
(
0
x
y
k a
k
，
0
a
且
1)
a
，则利用牛奶放在0 C
的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在
22 C
的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式；
（2）将
30
x
与
16
x
代入函数解析式，求值即可；
（3）根据函数解析式画出函数草图．
【详解】（1）解：设
(
0
x
y
k a
k
，
0
a
且
1)
a
，则有
22
192
42
·
k
k a
，
1
22
192
7
(
)
32
k
a
，
22
7
192
32
x
y
0
x
．
（2）解：
30
x
时，
30
22
7
192 (
)
32
4
y
，即储藏温度为30 C
保鲜时间约24 小时；
16
x
时，
16
22
7
192 (
)
63
32
y
，即储藏温度为16 C
保鲜时间约为63小时．
（3）解：因为
22
7
192
32
x
y
0
x
，函数图象如下所示：
．
8．已知函数
f
x 、
g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数且
ex
f x
g x
；
(1)若对任意的正实数m 、
n m
n
都有
1
0
f m
f n
，求4
1
m
n
最小值；
(2)若
2
2
4
e
e
2
k
k
g x
x
对任意的
0
x
恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)9
(2) 2< <2
k
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出关于
f
x 、
g x 的等式组，解出这两个函数的解析式，分析
函数
f
x 的单调性，结合奇函数的性质可得出
1
m
n
，将代数式m
n
与4
1
m
n
相乘，展开后利用基本不
等式可求出4
1
m
n
的最小值；
（2）利用复合函数法分析函数
g x 在
0,
上的单调性，可得出
4
2
g x
g
k
x
，可得出
4
2 k
x
x
，
结合基本不等式可求出实数k 的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数
f
x 、
g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数且
ex
f x
g x
，
则
e x
f
x
g
x
，即
e x
g x
f x
，
所以，
e
e
x
x
f x
g x
g x
f x
，解得
e
e
2
e
e
2
x
x
x
x
f x
g x
，
因为函数
ex
y
、
e x
y
均为R 上的增函数，故函数
e
e
2
x
x
f x
为R 上的增函数，
由
1
0
f m
f n
可得
1
1
f m
f n
f
n
，则
1
m
n
，所以，
1
m
n
，
又因为m 、
n m
n
均为正实数，所以，
4
1
4
1
4
5
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
4
5
2
9
n m
m
n
，
当且仅当
4
1
0,
0
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
时，即当
2
3
1
3
m
n
时，等号成立，故4
1
m
n
有最小值9.
（2）解：
e
e
2
x
x
g x
定义域为R ，且函数
g x 为偶函数，
当
0
x
时，令
e
1
x
t
，则
e
e
1
1
2
2
x
x
g x
t
t
，
因为内层函数
ex
t
在
0,
上为增函数，外层函数
1
1
2
y
t
t
在
1,上为增函数，
所以，函数
g x 在
0,
上为增函数，
由
2
2
4
e
e
2
2
2
k
k
g x
g
k
g
k
x
，
因为
4
0
x
x
，则
4
2 k
x
x
，
由基本不等式可得
4
4
2
4
x
x
x
x
，当且仅当
4
0
x
x
x
时，即当
2
x
时，等号成立，
所以，2
4
k
，解得2< <2
k
，
因此，实数k 的取值范围是
2,2
.
模块三：综合巩固
1.如果函数
1
x
f x
a
a
的图象经过点
3,8
A
，那么实数a 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．24
【答案】A
【分析】把给定的点代入指数函数解析式求解即得.
【详解】由函数
1
x
f x
a
a
的图象经过点
3,8
A
，得
3
8
a
，解得
2
a
，
所以数a 的值为2.
故选：A
2.已知函数
2
,
1
2
,
1
x
a
a x
x
f x
a
x
，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,2
B．
2
0, 3
C．
1,2
D．4 ,2
3
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性的判断方法列不等式，求解.
【详解】由函数
2
,
1
2
,
1
x
a
a x
x
f x
a
x
，是R 上的增函数，
得
2
0
1
2
2
a
a
a
a
a
，解得4
2
3
a
，
即
4 ,2
3
a
，
故选：D.
3.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在区间
0,
单调递增.若实数a 满足
2
4
1
0
x
x
f a
f
，
则a 的取值范围是（
）
A．
2 2
,
B．
0,2
C．
0,2
D．
,2
【答案】A
【分析】根据题意将不等式转化为
2
4
1
x
x
f
a
f
，再由
f
x 在区间
0,
单调递增，得
1
2
2
x
x
a
，
然后求出
1
2
2
x
x
的最小值，从而可求出a 的取值范围
【详解】由
2
4
1
0
x
x
f a
f
，得
2
4
1
x
x
f a
f
，
因为函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，
所以
2
4
1
x
x
f a
f
可化为
2
4
1
x
x
f
a
f
因为
f
x 在区间
0,
单调递增，
所以
2
4
1
x
x
a
，所以
2
4
1
x
x
a
，
所以
1
2
2
x
x
a
，
因为
1
1
2
2 2
2
2
2
x
x
x
x
，当且仅当
1
2
2
x
x
，即
0
x
时取等号，
所以
2
a
，解得2
2
a
，
即a 的取值范围是
2 2
, ，
故选：A
4.已知幂函数
( )
(
2)
a
f x
a
x
，则( )
1(
1)
x a
g x
b
b
过定点（
）
A．(1,1)
B．(1,2)
C．( 3,1)
D．( 3,2)
【答案】D
【分析】利用幂函数的定义求出a 的值，进一步分析( )
g x 的解析式即可.
【详解】
( )
(
2)
a
f x
a
x
是幂函数，
2
1
a
，
故
3,
a
则
3
( )
1
x
g x
b
，
令
3
0
x
，即
3
x ，
得( )
2
g x
，
故( )
g x 过定点( 3,2)
.
故选：D.
5.下列大小关系正确的是（
）
A．
2.5
3
1.7
1.7
B．
0.3
3.1
1.7
0.9
C．
2.5
3.2
1.5
1.5
D．
1.2
1.5
0.6
0.6
【答案】C
【分析】利用指数函数单调性逐项比较大小作答.
【详解】对于A，函数
1.7x
y
在R 上单调递增，则
2.5
3
1.7
1.7
，A 错误；
对于B，函数
1.7x
y
在R 上单调递增，则
0.3
0
1.7
1.7
1
，
函数
0.9x
y
在R 上单调递减，则
3.1
0
0.9
0.9
1
，因此
0.3
3.1
1.7
0.9
，B 错误；
对于C，函数
1.5x
y
在R 上单调递增，则
2.5
3.2
1.5
1.5
，C 正确；
对于D，函数
0.6x
y
在R 上单调递减，则
1.2
1.5
0.6
0.6
，D 错误.
故选：C
6.已知函数
( )
x
f x
a
b
的图象如图所示，则函数( )
(
)(
)
g x
x
a x
b
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数
( )
x
f x
a
b
的图象可求得,a b 的范围，再根据二次函数的图
象即可得解.
【详解】函数
( )
x
f x
a
b
的图象是由函数
x
y
a
的图象向下或向上平移b 个单位得到的，
由函数
( )
x
f x
a
b
的图象可得函数为单调递减函数，则0
1
a
，
令
0
x
得
1
1,0
b
，则
2, 1
b
，
则函数( )
(
)(
)
g x
x
a x
b
的大致图象为A 选项.
故选：A.
7.已知函数
2
( )
3
2 3
3
x
x
f x
.
(1)若
( )
0
f m
，求m 的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
1
m
(2)[ 4,
)
.
【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可；
（2）换元法转化为二次函数求值域即可得解.
【详解】（1）因为
2
( )
3
2 3
3
x
x
f x
，
若
( )
0
f m
，则
23
2 3
3
0
m
m
，
令3
0
m
t
，则方程为
2
2
3
0
t
t
，
解得
3
t
或1
（舍去），
所以3
3
m
，解得
1
m .
（2）因为
2
( )
3
2 3
3
x
x
f x
，
令3x
t
0 ，则
2
2
( )
2
3
(
1)
4
g t
t
t
t
，
所以当
1
t 时，
( )
g t 取得最小值4
，
故
2
( )
3
2 3
3
x
x
f x
的值域[ 4,
)
.
8.已知曲线
1
1(
0
x
y
a
a
且
1)
a
过定点
,k b ，若m
n
b
k
且
0
0
m
n
，
，则9
1
m
n
的最小值为（
）
A．9
B．9
2
C．16
D．5
2
【答案】C
【分析】根据给定的曲线，求出,k b ，再利用“1”的妙用求出最小值作答.
【详解】曲线
1
1(
0
x
y
a
a
且
1)
a
中，由
1
0
x
，得
1,
2
x
y
，因此该曲线过定点(1,2) ，
即
1,
2
k
b
，于是
1
m
n
，又
0,
0
m
n
，
因此9
1
9
1
9
9
(
)(
)
10
10
2
16
n
m
n m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
，当且仅当9n
m
m
n
，即
3
3
4
m
n
时取等号，
所以9
1
m
n
的最小值为16.
故选：C
9.已知函数
1
( )
2
1
3
x
f x
x
，则不等式
( )
0
f x
的解集为（
）
A．
0,1
B．
1,0
C．
, 1
0,
D．
,0
1,
【答案】B
【分析】
( )
0
f x
的解集即为1
1
2
3
x
x
的解集，画出
1
3
x
y
与
1
2
y
x
的图象即可求解.
【详解】令
1
( )
2
1
0
3
x
f x
x
,可得1
1 2
3
x
x
,
在同一直角坐标系中画出
1
3
x
y
与
1
2
y
x
的图象：
由图可得，
1
3
x
y
与
1
2
y
x
的图象有两个交点，
又
1
1
1
2 1
0
3
f
，
0
1
0
0 1
0
3
f
，
由图可得1
1
2
3
x
x
的解集为
1,0
,即
( )
0
f x
的解集为
1,0
.
故选:B.
10.已知函数
x
f
x
a
（
0
a
且
1
a ），若
3
4
f
f
，则不等式
2
2
3
f
x
x
f
的解集为（
）
A．
1,3
B．
1,3
C．
, 1
3,
D．
1,0)
0,2
(2,3
【答案】B
【分析】根据条件判断函数
f
x 为偶函数，同时
1
a ，再利用单调性即可求出结果.
【详解】因为函数
x
f
x
a
定义域为R ，且
x
f
x
a
f x
，
所以函数
f
x 为偶函数，
则
f
x
f
x
，
因为
3
4
f
f
，则
3
4
f
f
，即
3
4
f
f
，
所以
1
a ，
所以
2
2
3
f
x
x
f
可以转化为
2
2
3
f
x
x
f
，
则
2
2
3
x
x
，
所以1
3
x
，
故选：B.
11.(多选)已知函数
1
x
x
f
x
a
a
，其中
0
a
且
1
a ，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f
x 是奇函数
B．函数
f
x 的图象过定点
0,1
C．函数
f
x
0
在其定义域上有解
D．当
1
a 时，函数
f
x 在其定义域上为单调递增函数
【答案】ACD
【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B，根据
0
0
f
即可判断B 错误，对选
项C，令
0
x
x
f x
a
a
求解即可判断C 正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D 正确.
【详解】函数
1
x
x
x
x
f
x
a
a
a
a
，
对选项A，
x
x
f x
a
a
，定义域为R，
x
x
f
x
a
a
f x
，
所以函数
f
x 是奇函数，故A 正确.
对选项B，
0
0
0
0
f
a
a
，故B 错误.
对选项C，
x
x
f x
a
a
，定义域为R，令
0
x
x
f x
a
a
，解得
0
x
，
故C 正确.
对选项D，当
1
a 时，
1
0
1
a
，所以
x
y
a
和
1
x
y
a
在R 上为增函数，
所以函数
1
x
x
f x
a
a
在R 上为单调递增函数，故D 正确.
故选：ACD
12.已知定义域为R 的函数
2
( )
2
1
x
x
a
f x
是奇函数且为减函数.
(1)求实数a 的值；
(2)若对任意的
1,2
t
，不等式
2
2
(
2 )
(2
)
0
f t
t
f
t
k
恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
1
a
(2)
,1
【分析】（1）根据
0
0
f
计算出a 的值，然后再代入检验是否满足条件，由此确定出a 的值；
（2）根据奇偶性将不等式变形为
2
2
2
2
f t
t
f k
t
，再由函数单调性将函数值关系转变为自变量的关
系，采用分离参数法求解出k 的取值范围.
【详解】（1）因为
f
x 为奇函数且定义域为R ，所以
1
0
0
2
a
f
，所以
1
a ，
当
1
a 时，
1 2
1 2
2
1
,
1 2
1 2
2
1
x
x
x
x
x
x
f x
f
x
f x
，
满足条件
f
x 为奇函数，故
1
a .
（2）
2
2
2
2
2
2
0,
2
2
f t
t
f
t
k
f t
t
f
t
k
f x
为奇函数，
2
2
2
2
f t
t
f k
t
，
又因为函数
f
x 在R 上为减函数，
所以
2
2
2
2
t
t
k
t
对
1,2
t
恒成立，
则
2
3
2
k
t
t
对
1,2
t
恒成立，
令
2
3
2
g t
t
t
，其图象对称轴为
1
3
t
，开口向上，
所以
g t 在
1,2 上单调递增，故
min
1
3
2
1
g t
g
，
故要使
( )
k
g t
对
1,2
t
恒成立，则
1
k ，即
,1
k
.
【点睛】思路点睛：根据函数的奇偶性和单调性求解参数范围的思路：
（1）根据函数奇偶性将关于函数值的不等式转变为
f a
f b
（或
f a
f b
）的形式；
（2）根据函数单调性将关于函数值的不等关系转变为关于自变量的大小关系；
（3）采用分类讨论法或参变分离法求解出参数范围.
13.已知函数
1
e
1
x
a
f x
为奇函数.
(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数
f
x 在R 上是增函数；
(2)求不等式
4
4
5 2
0
x
x
f
f
的解集.
【答案】(1)
2
a ；函数
f
x 在R 上是增函数证明见解析
(2)
2
0
x
x
【分析】（1）根据奇函数的性质
0
0
f
代入可求a ，然后结合函数单调性的定义即可证明；
（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为
2
3
2
t
t
，解之即可得结论.
【详解】（1）∵
1
e
1
x
a
f x
是奇函数，定义域为R ，
∴
0
1
0
2
a
f
，则
2
a ，
1
e
2
1
x
f x
，
所以
2 1
e
2
2
2e
2
1
1
1
1
e
1
1
e
1
e
1
e
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
，符合
f
x 为奇函数，
证明：任取
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
2 e
e
2
2
1
1
e
1
e
1
e
1 e
1
x
x
x
x
x
x
f x
f x
，
由
1
2
x
x
，可得
1
2
e
e
x
x
，则
1
2
e
e
0
x
x
，
1
1
0
xe
，
2
e
1
0
x
∴
1
2
0
f x
f x
，即
1
2
f
x
f
x
，
∴函数
f
x 在R 上是增函数.
（2）∵函数
f
x 在R 上是奇函数
∴
4
4
5 2
5 2
4
x
x
x
f
f
f
又函数
f
x 在R 上是增函数
∴4
5 2
4
x
x
令2 x
为t ，则
2
5
4
0
t
t
解得1
4
t
即2
0
x
∴不等式的解集为
2
0
x
x
