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专题 2-6 导数大题证明不等式归类
目录
题型01 不等式证明方法....................................................................................................................................................1
题型02 单变量构造：利用第一问结论..............................................................................................................................2
题型03 单变量构造：数列型..............................................................................................................................................3
题型04 数列不等式：无限和裂项型..................................................................................................................................4
题型05 数列不等式：累积相消型......................................................................................................................................5
题型06 数列不等式：取对数型..........................................................................................................................................6
题型07 虚设根型证不等式..................................................................................................................................................6
题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式..................................................................................................................7
题型09 同构型不等式证明..................................................................................................................................................8
题型10 双变量型构造........................................................................................................................................................9
题型11 极值点偏移型：和型证明....................................................................................................................................10
题型12 极值点偏移型：积型证明....................................................................................................................................11
题型13 极值点偏移型：平方型证明................................................................................................................................12
题型14 三角函数型不等式证明........................................................................................................................................12
题型15 韦达定理代换型....................................................................................................................................................13
题型16 切线放缩型证明....................................................................................................................................................14
高考练场..............................................................................................................................................................................14
题型 01 不等式证明方法
【解题攻略】
利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
【典例1-1】（陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学（理）试题）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【典例1-2】已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)求证：当 时， .【变式1-1】（湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题）已知函数 ，曲线
在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)证明： ．
【变式1-2】（湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题）已知函数f（x）＝ax3
﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ．
题型 02 单变量构造：利用第一问结论
【解题攻略】
一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向
1.可以利用第一问单调性提炼出不等式
2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）
【典例1-1】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【典例1-2】（2021下·北京丰台·高三统考）已知函数 在 处有极值2．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明： ．
【变式1-1】（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数 ，其
中 为自然对数的底数，曲线 在 处切线的倾斜角的正切值为 ．
（1）求 的值；
（2）证明： ．
【变式1-2】（2022下·山东聊城·高三练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性并求极值；
(2)证明：当 时， .【变式1-3】（20122安徽马鞍山·统考模拟）已知函数 .
(1)若 在定义域内无极值点，求实数 的取值范围；
(2)求证：当 时， 恒成立.
题型 03 单变量构造：数列型
【解题攻略】
数列型不等式证明
1. 对于n 型数列不等式证明，可以转化为定义域为X 1,在实数范围内证明不等式。
2. 一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意
对应换元的取值范围
3. 数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证
明
【典例1-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)讨论 的单调性，并证明：当 时， ．
【典例1-2】2012·河北衡水·统考一模）设函数 ,其中 ．
(1)当 时， 在 时取得极值，求 ；
(2)当 时，若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)证明对任意的正整数 ,不等式 都成立．
【变式1-1】2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设函数 ，其
中 和 是实数，曲线 恒与 轴相切于坐标原点．
求常数 的值；
当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
求证： ．
【变式1-2】（2023上·河南南阳·高三统考期中）（1）已知函数 ，判断函数
的单调性并证明；
（2）设 为大于1的整数，证明： .
【变式1-3】（2017下·黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数 ；
(1)若函数 在 上为增函数，求正实数 的取值范围；(2)当 时，求函数 在 上的最值；
(3)当 时，对大于1的任意正整数 ，试比较 与 的大小关系．
题型 04 数列不等式：无限和裂项型
【解题攻略】
证明不等式 ，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变
形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设 ，
则只需证 ，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关
系，即如果能够证出 恒成立，则原不等式也就成立.
【典例1-1】（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)求证： ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明: ．
【变式1-1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数 ）.
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时， ，求实数 的取值范围；
(3)对任意 ，证明： .
【变式1-2】（2023上·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中）已知函数 .
(1)若不等式 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： （ 为自然对数的底数）【变式1-3】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知 ， ， ， ，求证： ；
(3)证明： ．
题型 05 数列不等式：累积相消型
【解题攻略】
累加列项相消证明法
证明不等式 为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以
通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型
这样一来，设 ，
则只需证 ，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，
即如果能够证出 恒成立，则原不等式也就成立.
【典例1-1】（2022贵州铜仁·高三贵州省铜仁第一中学阶段练习）已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2
( 是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证： ×…× < (n≥2，n∈N*)
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 且 时， ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，
(1)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设整数 ， ， 且 ，函数
．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： .
题型 06 数列不等式：取对数型
【解题攻略】
取对数型
证明不等式 为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以
通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求证：当 时， ；
(2)已知e为自然对数的底数，求证： ， ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【变式1-1】（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：当 时， ；
(3)设 为整数，若对于 成立，求 的最小值．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的函数
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，【变式1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数
(1)若 单调递增，求a的值；
(2)判断 （ 且 ）与 的大小，并说明理由.
题型 07 虚设根型证不等式
【解题攻略】
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种
整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
【典例1-1】已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
【典例1-2】（20122·浙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
【变式1-1】（2023上·福建福州·高三校联考）设函数 ．
(1)求 时， 的单调区间；
(2)求证：当 时， ．
【变式1-2】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，令 ，若 为 的极大值点，证明： .
【变式1-3】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数 , .
(1)判断 的单调性;
(2)若 , 求证: ,其中e是自然对数的底数.
题型 08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式
【解题攻略】
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明f (x)>0，若可将不等式左端f (x)拆成g(x)>h(x)，且 g (x)>h (x)的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取g(x)为上凸型函数，h(x)
min max
为下凹型函数来完成证明.
y
y=g(x)
O y=h(x) x
【典例1-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
【典例1-2】已知函数 ．
（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： ．
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知 ， ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，证明： ．
【变式1-2】已知 ，
（1）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）证明：对一切 ，都有 ．
【变式1-3】已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx．
（I）若f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a＝e（e为自然对数的底数），证明：当x＞0时，f（x）＜xex+ ．
题型 09 同构型不等式证明
【解题攻略】
常见同构技巧：【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【典例1-2】（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）已知函数 ，
为自然对数的底数.
(1)试判断函数 的零点个数并说明理由；
(2)证明： .
【变式1-1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设 ， ，
(1)试讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 恒成立.
【变式1-2】已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；(2)当 时，求证： ．
题型 10 双变量型构造
【典例1-1】（2022贵州黔东南·统考一模）已知函数 .
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)对 ，且 ，证明： .
【典例1-2】（2023上·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)求函数 的单调区间；
(2)已知m，n是正整数，且 ，证明 ．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，试证明 ．
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）求证：函数 在 上单调递增；
（2）设 ，求证： ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若函数 在 上为单调增函数，求 的取值范围；
（2）设 ，且 ，求证 .
题型 11 极值点偏移型：和型证明
【解题攻略】
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
【典例1-1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
【典例1-2】（2023·山西·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若关于 的方程 有两个不同的正实根 ，证明： .
【变式1-1】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且 ，证明： ，且 ．
【变式1-2】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数 ．若函数 有两
个不相等的零点 ．
(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
题型 12 极值点偏移型：积型证明
【解题攻略】
处理极值点偏移问题中的类似于 的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
【典例1-1】（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .
【典例1-2】（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；(2)若 ，求函数 的最小值；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： .
【变式1-1】（2023上·重庆渝中·高三统考）已知函数 ．
(1)若函数 是减函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
【变式1-2】（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)当 时，求函数 的零点个数.
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围并证明 .
题型 13 极值点偏移型：平方型证明
【典例1-1】（2023下·辽宁·高三统考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
【典例1-2】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
【变式1-1】（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
【变式1-2】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．题型 14 三角函数型不等式证明
【解题攻略】
1. 利用导数证明三角函数型不等式
2. 正余弦的有界性
3. 三角函数与函数的重要放缩公式： .
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)证明： ；
(2)当 时，证明不等式 ，在 上恒成立.
【典例1-2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，过点 作曲线 的切线l，求l的方程；
(2)当 时，对于任意 ，证明： ．
【变式1-1】（2022·新疆·统考三模）已知函数 ，
(1)若 在 处的切线为 ，求实数a的值；
(2)当 ， 时，求证：
【变式1-2】设函数 ， ， .
(1)求 的最小值，并证明： ；
(2)若不等式： 成立，求实数a的取值范围.
题型 15 韦达定理代换型
【解题攻略】
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
【典例1-1】已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .【典例1-2】已知函数f（x）＝ln x＋ax2－x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值；
（2）设f′（x）为f（x）的导函数，若x，x 是函数f′（x）的两个不相等的零点，求证：f（x）＋f（x）
1 2 1 2
0且x≠1时，证明：曲线y＝f(x)的图象恒在切线y＝bx＋1的上方；
(3)证明不等式：4xex－1－x3－3x－2ln x≥0.
【变式1-2】（2013·新课标II卷）已知函数 ①
（1）设 是 的极值点，求m并讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：
高考练场
1.2021·福建莆田·统考二模）设函数 ．
（1）若 在 上存在零点，求实数 的取值范围；
（2）证明：当 时， ．
2.2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
3.（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程，
(2)证明： .
4.（2023·全国·高三专题练习）设函数 是函数 的导函数.
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且 ，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？
(3)利用（2）中的不等式证明： .
5.（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)若函数 在定义域内是单调增函数，求实数 的取值范围；
(2)求证： ， ．
6.（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，证明： 恒成立；
(2)当 时，证明： ．
7.（2020·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）设 是 的导函数 的零点，若 ，求证： .
8.（天津市红桥区2021-2022学年高三数学试题）已知 ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）对一切 ， 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切 ，都有 成立.
9.（辽宁省五校（辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连 24中）2021-2022学年高
三考试数学试题）材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本
初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数
，我们可以作变形： ，所以 可看作是由函数
和 复合而成的，即 为初等函数，根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 极值点
（2）对于初等函数 ，有且仅有两个不相等实数 满足： .
（i）求 的取值范围.
（ii）求证： （注：题中 为自然对数的底数，即 ）
10.（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数 ，a为实数．
(1)当 时，求函数在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
．
11.（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设 ， .(1)当 时，求 的极值；
(2)若 有 恒成立，求 的取值范围；
(3)当 时，若 ，求证： .
12.（2023·北京通州·统考三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
13.（2021·福建·高三统考阶段练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
14.（广西桂林市国龙外国语学校2021-2022学年高三考试数学试题）已知函数
(1)若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
(2)当 时， 为 在 上的零点，求证： .
15.（山西省山西大学附属中学2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题）已知函数
， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，证明： ．
