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4整式的除法（培优）
一、单选题
1．面积为 9a2−6ab+3a 的长方形一边长为 3a， 另一边长为（ ）
A．3a−2b+1 B．2a-3b C．2a−3b+1 D．3a−2b
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2b=3ab B．3a2-2a2=1
C．a2·a4=a8 D．(-a2b)3÷(a3b)2=-b
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6a B．（﹣a3）2=a6
C．6a÷2a=3a D．（﹣2a）3=﹣6a3
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a5
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x3y6
5．下列计算正确的是（ ）
A．x2+3x2=4x4 B．x2y⋅2x3=2x4 y
C．(6x2y2 )÷(3x)=2x2 D．(−3x) 2=9x2
二、填空题
6．计算：(a+b) 2−2ab= ．
7．计算： 6a6÷3a2= .
8．已知92m×27m﹣1=311，则m= ．
9．当a=√2，b=1时，(a+2b)(a-2b)= .
10．长方形的面积是6a2−3ab，若一边长是3a，则另一边长是 ，周长是 ．
11．计算2a2b÷（-4ab）的结果是 ．
三、计算题
12．化简求值：
| 1|
（1）已知 a+ +(b−3) 2=0，求代数式[(2a+b) 2+(2a+b)(b−2a)−6b]÷2b的值．
2
（2）已知x+ y=a，x2+ y2=b，求4x2y2．
（3）计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(2128+1)+1．
1 / 913． 计算下列各式
（1）(3x2+2x−3)(2x−1)
（2）(4x4−6x2+2)(5x3−2x2+x−1)
（3）(a+b) 2−(a−b) 2
（4）(a+b) 3−3ab(a+b)
（5）(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
（6）(3x3−4x2+5x−1)÷(x2+3x−1)
（7）(5x3−7x+1)÷(2x+1)
（8）(x3+1)÷(x+1)
（9）(a2−b2 )÷(a2+2ab+b2 )×(a3+b3
)
（10）(7x2+3x)÷(2x+1)×(6x+3)÷(7x+3)
1
14．（1）化简：(
ab2−4a2b)⋅(−4ab)
2
（2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
先化简，再求值：[(2x+ y)(2x−y)−(2x−3 y) 2 ]÷(−2y)，其中x=1，y=−2．
解：原式=(4x2−y2−4x2−12xy+9 y2 )÷(−2y)第一步
=(−12xy+8 y2 )÷(−2y)第二步
=6x−4 y．第三步
当x=1，y=−2时，原式=14．第四步
任务：
①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）；
②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______；
③请写出正确的解答过程．
四、解答题
2 / 915．(x+3)(x−3)−x(x−2)
五、综合题
16．某植物园中有A、B两个园区，已知A园区为长方形，其长为(x+ y)米，宽为(x−y)米；B园区为
正方形，边长为(x+4 y)米．
（1）请用代数式表示A、B两个园区的面积之和并化简；
（2）现在根据实际情况需要对B园区进行改造，将其改造成长方形，宽保持原长度不变，长比原
边长增加(3x−2y)米，用代数式表示改造后B园区的面积并化简．
17．图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问
题（单位：cm ）
（1）求杯子的容积；（用含a的代数式表示）
（2）当H=1，ℎ =2时，一共需要多少个这样的杯子．
18．如图所示，吉安市青原区有一块长为(2a+3b)米，宽为(2a−b)米的长方形地块，角上有四个边
长均为(a−b)米的小正方形空地，政府计划将阴影部分进行绿化．
3 / 9（1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（结果写成最简形式）
（2）若a=20，b=10，预计每平方米绿化成本80元，请你计算绿化这块空地所需成本．
六、实践探究题
19．定义：对于一组关于x的多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a．b，c，d是有理数），当其中两
个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式
是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式x+1，x+2，
x+3，x+4，因为(x+1)(x+4)−(x+2)(x+3)=(x2+5x+4)−(x2+5x+6)=−2，所以多项式x+1，
x+2，x+3，x+4是一组黄金多项式，其黄金因子为|−2|=2．
（1）小贤发现多项式x+1，x+4，x+5，x+8是一组黄金多项式，其列式为
(x+1)(x+8)−(x+4)(x+5)
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
（2）若多项式x+1，x−2，x+5，x+n（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
（3）若多项式x+m（m为有理数）x−3，x+2，x+3是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直
接写出m的值．
4 / 9答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运
算
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
5．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
6．【答案】a2+b2
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
7．【答案】2a4
【知识点】单项式除以单项式
8．【答案】2．
【知识点】整式的混合运算
9．【答案】-2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
10．【答案】2a−b；10a−2b
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
1
11．【答案】− a
2
【知识点】单项式除以单项式
12．【答案】（1）−1
（2）a4−2a2b+b2
（3）2256
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；绝对值的非负性
13．【答案】（1）解：原式=6x3-3x2+4x2-2x-6x+3，
=6x3+x2-8x+3.
（2）解：原式=20x7-8x6+4x5-4x4-30x5+12x4-6x3+6x2+10x3-4x2+2x-2，
5 / 9=20x7-8x6-26x5+8x4+4x3+2x2+2x-2.
（3）解：原式=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2，
=4ab.
（4）解：原式=（a+b）【（a+b）2-3ab】，
=（a+b）（a2+2ab+b2-3ab），
=（a+b）（a2-ab+b2），
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3，
=a3+b3.
（5）解：原式=a3+ab2+ac2-a2b-abc-a2c+a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc+a2c+-b2c+c3-abc-bc2-ac2，
=a3+b3+c3-3abc.
（6）解：∵被除数首项为3x3，而除数首项为x2，
∴商式为3x+a，余式为bx+c，
依题可得：
（x2+3x-1）（3x+a）+（bx+c）=3x3-4x2+5x-1，
3x3+（a+9）x2+（3a+b-3）x+（c-a）=3x3-4x2+5x-1，
{ a+9=−4(1)
∴ 3a+b−3=5(2)，
c−a=−1(3)
{a=−13
解得： b=47 ，
c=−14
∴商式为3x-13，余式为47x-14.
（7）解：∵被除数首项为5x3，而除数首项为2x，
5
∴商式为 x2+ax+b，余式为c，
2
依题可得：
5
（2x+1）（ x2+ax+b）+c=5x3-7x+1，
2
5
5x3+（2a+ ）x2+（2b+a）x+（b+c）=5x3-7x+1，
2
6 / 95
{ 2a+ =0(1)
2
∴ ，
2b+a=−7(2)
b+c=1(3)
5
{a=−
4
23
解得： b=− .
8
31
c=
8
5 5 23 31
∴商式为 x2- x- ，余式为 .
2 4 8 8
(x+1)(x2−x+1)
（8）解：原式= ，
x+1
=x2-x+1.
(a+b)(a−b)
（9）解：原式=
×(a+b)(a2−ab+b2)，
(a+b) 2
=（a-b）（a2-ab+b2），
=a3-a2b+ab2-a2b+ab2-b3，
=a3-2a2b+2ab2-b3.
x(7x+3) 3(2x+1)
（10）解：原式= × ，
2x+1 7x+3
=3x.
【知识点】整式的混合运算
14．【答案】（1）2a2b3+16a3b2；（2）①平方差公式或完全平方公式或(a+b)(a−b)=a2−b2或
(a−b) 2=a2−2ab+b2（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；
③-16
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算
15．【答案】2x−9
7 / 9【知识点】整式的混合运算
16．【答案】（1）(x+ y)(x−y)+(x+4 y) 2=(2x2+8xy+15 y2)平方米
（2）[(x+4 y)+(3x−2y)](x+4 y)=(4x2+18xy+8 y2)平方米
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算
1
17．【答案】（1）
πa2cm3
2
（2）一共需要3个这样的杯子
【知识点】多项式除以单项式；积的乘方运算
18．【答案】（1）(12ab−7b2)平方米
（2）136000元
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
19．【答案】（1）解：∵(x+1)(x+8)−(x+4)(x+5)
=x2+9x+8−x2−9x−20
=−12，
∴这组黄金多项式的黄金因子是|−12|=12；
（2）解：若多项式x+1，x−2，x+5，x+n(n是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①(x+1)(x−2)−(x+5)(x+n)
=x2−x−2−x2−(5+n)x−5n
=(−6−n)x−2−5n．
∵这是一组黄金多项式，
∴−6−n=0，
∴n=−6；
②(x+1)(x+5)−(x−2)(x+n)
=x2+6x+5−x2−(n−2)x+2n
=(8−n)x+2n+5．
∵这是一组黄金多项式，
∴8−n=0，
∴n=8；
③(x+1)(x+n)−(x+5)(x−2)
8 / 9=x2+(1+n)x+n−x2−3x+10
=(n−2)x+n+10．
∵这是一组黄金多项式，
∴n−2=0，
∴n=2，
综上所述，n的值为−6或8或2；
（3）解：①∵(x+m)(x−3)−(x+3)(x+2)
=x2−3x+mx−3m−x2−5x−6
=(m−8)x−3m−6，
∵这是一组黄金多项式，
∴m−8=0，
∴m=8，
∴黄金因子为|−3m−6|=|−30|=30，不合题意，舍去；
②∵(x+m)(x+3)−(x−3)(x+2)
=x2+3x+mx+3m−x2+x+6
=(m+4)x+3m+6，
∵这是一组黄金多项式，
∴m+4=0，
∴m=−4，
∴黄金因子为|3m+6|=|6|=6，不合题意，舍去；
③∵(x+m)(x+2)−(x−3)(x+3)
=x2+2x+mx+2m−x2+9
=(m+2)x+2m+9，
∵这是一组黄金多项式，
∴m+2=0，
∴m=−2，
∴黄金因子为|2m+9|=|5|=5，符合题意，
综上所述 ，m的值为−2.
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
9 / 9
