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4整式的除法
一、单选题
1．计算：12x4 y2÷3x3y结果正确的是( )
A．4xy B．4x y3 C．4x2y D．4x3y
2．下列运算正确的是（ ）
A．x4 ⋅x3=x12 B．(a6) 2 ÷(a4) 3 =1
C．(a3) 2 ⋅a4=a9 D．(ab2) 3 ÷(−ab) 2=−ab4
3．下列计算正确的是（ ）
A．2x4+(−3x2
)
2=11x8
B．(3x5−2x3+x)÷x=3x4−2x2
C．(−3x y2 )(2y2−xyz+1)=−6x y4+3x2y3z−3x y2
D．(2x+5 y) 2=4x2+10xy+25 y2
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．3a3•2a2＝6a6
C．6y6÷2y2＝3y3 D．（﹣b2）3＝﹣b6
5．计算2x6÷x4的结果是（ ）
A．x2 B．2x2 C．2x4 D．2x10
二、填空题
1 −1
6．计算 ( ) −(−3) 2 的结果是 ．
2
7．化简2x2−(x+2)(x−2)的结果是 ．
a2−4a
8．化简 .
a
9．若a－b＝1，ab=3，则(a-1)(b+1)＝ ．
10．计算：4a6÷2a2= ．
11． 化简 (9a2b−6ab2)÷(3ab)=
三、计算题
1 / 712．先化简，再求值： 5(3a2b−ab2)−(ab2+3a2b−1) ，其中a=-2，b=1．
13．已知x−y=−5，xy=3，求下列各式的值：
（1）x2+ y2；
（2）(3x+2)(3 y−2)；
（3）(x+ y) 2．
14．先化简，再求值：(x−1) 2+(x+3)(x−3)+(x−3)(x−1)，其中x2−2x=2．
四、解答题
15．如图，甲长方形的两边长分别为m+1、m+7；乙长方形的两边长分别为m+2、m+4（其中m
为正整数）．
（1）设图中的甲长方形的面积为S ，乙长方形的面积为S ，试比较S 与S 的大小；
1 2 1 2
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长
方形面积S 的差（即S−S ）是一个常数，请求出这个常数．
1 1
五、综合题
16．老赵和老丁在农村老家都有一块田地，老赵田地的宽AB是老丁田地的宽EF的2倍，老丁田地的
长EH是老赵田地的长AD的2倍．
（1）若老丁自家田地的长是宽的6倍，设老丁田地的宽为x米，直接写出：老赵田地的面积为
______m2，老丁田地的面积为______m2；
（2）在（1）下，老赵和老丁退休后，回农村后把田地进行改造，老赵把田地的长增加1米，而老
丁把田地的长减少1米，直接写出改造后：老赵田地的长为______米，老丁田地的长为______米；
（3）在（1）（2）下，老赵把田地的宽增加3米，老丁也把田地的宽增加3米，当x为多少米时，
两家改造后的田地的面积相等？
17．张叔叔刚分到一套新房，其结构如图所示（单位：米）．他打算除卧室外，其余部分都铺地砖．
2 / 7（1）至少需要多少平方米地砖？
（2）如果铺的这种地砖的价格是2m元/米3，那么至少需要花多少钱？
18．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律.如图是今年4月的日历牌，若任意选择
图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：
3×9−2×10=7，6×12−5×13=7 ，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
六、实践探究题
19．定义：对于一组关于x的多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a．b，c，d是有理数），当其中两
个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式
是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式x+1，x+2，
x+3，x+4，因为(x+1)(x+4)−(x+2)(x+3)=(x2+5x+4)−(x2+5x+6)=−2，所以多项式x+1，
x+2，x+3，x+4是一组黄金多项式，其黄金因子为|−2|=2．
（1）小贤发现多项式x+1，x+4，x+5，x+8是一组黄金多项式，其列式为
(x+1)(x+8)−(x+4)(x+5)
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
（2）若多项式x+1，x−2，x+5，x+n（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
（3）若多项式x+m（m为有理数）x−3，x+2，x+3是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直
接写出m的值．
3 / 7答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式除以单项式
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
5．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
6．【答案】-7
【知识点】整式的混合运算
7．【答案】x2+4
【知识点】整式的混合运算
8．【答案】a-4
【知识点】多项式除以单项式
9．【答案】3
【知识点】整式的混合运算
10．【答案】2a4
【知识点】单项式除以单项式
11．【答案】3a−2b
【知识点】多项式除以单项式
12．【答案】解：原式=15a2b−5ab2−ab2−3a2b+1，
=12a2b−6ab2+1，
∵a=-2，b=1，
∴原式=12×(−2)2×1−6×(−2)×12+1，
=48+12+1，
=61.
【知识点】整式的混合运算
13．【答案】（1）解：x2+ y2=(x−y) 2+2xy=(−5) 2+2×3=31，
4 / 7即x2+ y2=31，
（2）解：(3x+2)(3 y−2)=9xy−6x+6 y−4=9xy−6(x−y)−4=9×3−6×(−5)−4=53，
即(3x+2)(3 y−2)=53；
（3）解：(x+ y) 2=(x−y) 2+4xy=(−5) 2+4×3=37，
即(x+ y) 2=37，
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
14．【答案】解：(x−1) 2+(x+3)(x−3)+(x−3)(x−1)，
=x2−2x+1+x2−9+x2−4x+3
=3x2−6x−5
∵x2−2x=2，
∴原式=3(x2−2x)−5=3×2−5=1．
【知识点】代数式求值；利用整式的混合运算化简求值
15．【答案】（1）S >S
1 2
（2）S−S =9
1
【知识点】整式的混合运算
16．【答案】（1）6x2，6x2；
（2）(3x+1)；(6x−1)；
（3）1米．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
17．【答案】（1）11ab平方米
（2）22abm元
【知识点】整式的混合运算
18．【答案】（1）解：根据题意，
8×14 − 7×15=7；
5×11 − 4×12=7（答案不唯一）
（2）证明：其它三个分别为a+1，a+7，a+8，则
（a+1）（a+7） − a（a+8）
=a2+8a+7 − a2− 8a
=7
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算
5 / 719．【答案】（1）解：∵(x+1)(x+8)−(x+4)(x+5)
=x2+9x+8−x2−9x−20
=−12，
∴这组黄金多项式的黄金因子是|−12|=12；
（2）解：若多项式x+1，x−2，x+5，x+n(n是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①(x+1)(x−2)−(x+5)(x+n)
=x2−x−2−x2−(5+n)x−5n
=(−6−n)x−2−5n．
∵这是一组黄金多项式，
∴−6−n=0，
∴n=−6；
②(x+1)(x+5)−(x−2)(x+n)
=x2+6x+5−x2−(n−2)x+2n
=(8−n)x+2n+5．
∵这是一组黄金多项式，
∴8−n=0，
∴n=8；
③(x+1)(x+n)−(x+5)(x−2)
=x2+(1+n)x+n−x2−3x+10
=(n−2)x+n+10．
∵这是一组黄金多项式，
∴n−2=0，
∴n=2，
综上所述，n的值为−6或8或2；
（3）解：①∵(x+m)(x−3)−(x+3)(x+2)
=x2−3x+mx−3m−x2−5x−6
=(m−8)x−3m−6，
∵这是一组黄金多项式，
∴m−8=0，
∴m=8，
∴黄金因子为|−3m−6|=|−30|=30，不合题意，舍去；
6 / 7②∵(x+m)(x+3)−(x−3)(x+2)
=x2+3x+mx+3m−x2+x+6
=(m+4)x+3m+6，
∵这是一组黄金多项式，
∴m+4=0，
∴m=−4，
∴黄金因子为|3m+6|=|6|=6，不合题意，舍去；
③∵(x+m)(x+2)−(x−3)(x+3)
=x2+2x+mx+2m−x2+9
=(m+2)x+2m+9，
∵这是一组黄金多项式，
∴m+2=0，
∴m=−2，
∴黄金因子为|2m+9|=|5|=5，符合题意，
综上所述 ，m的值为−2.
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
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